INTEGRAL MCSHANE
TUGAS AKHIR
untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains
YOHANA SUWANDI NIM 83950
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2012
Tugas Akhir ini dipersembahkan kepada Kedua orang tua
Bapak Afriwandi dan Ibu Azarni Kedua orang adik
Ovaria Suwandi dan Tri Wulandari Suwandi
ABSTRAK Yohana Suwandi :
Integral McShane diperkenalkan oleh E. J. McShane (1904-1989). Hal yang membedakan integral McShane dengan integral lain adalah cara McShane mengkonstruksi partisinya yang berbeda dengan integral lain yang dikenal dengan partisi berlabel bebas. Penelitian ini membahas pengkonstruksian integral McShane serta sifat-sifat yang dipenuhi oleh integral McShane.
Penelitian ini merupakan penelitian dasar (teoritis). Metode yang digunakan adalah metode deskriptif yang bersifat analisis dan dilakukan dengan cara studi literatur dengan mempelajari buku-buku teks penunjang.
Partisi McShane yang disebut partisi berlabel bebas (free tagged partition) dari suatu interval merupakan koleksi berhingga dari subinterval yang dilabeli dimana label tersebut tidak harus berada pada subinterval dan subinterval tersebut juga tidak saling tumpang tindih pada suatu interval yang menutupi interval tersebut. Partisi McShane subordinat pada suatu fungsi positif yang terdapat pada interval tersebut. Jumlah McShane merupakan jumlah dari hasil kali fungsi pada label dengan lebar partisinya. Untuk menentukan apakah suatu fungsi terintegral McShane atau tidak tanpa mencari nilai integralnya digunakan kriteria Cauchy.
Fungsi yang terintegral McShane pada suatu selang memenuhi sifat-sifat integral McShane, antara lain:
a. Jika terdapat suatu titik yang membagi satu selang menjadi dua selang maka suatu fungsi yang terintegral McShane pada kedua selang akan terintegral McShane pada gabungan kedua selang dan hasil integral McShane pada selang tersebut akan sama dengan jumlah hasil integral McShane pada kedua selang.
b. Jika suatu fungsi terintegral McShane maka hasil kali fungsi dengan suatu bilangan juga terintegral McShane dan hasil integral McShane fungsi yang sudah dikalikan dengan suatu bilangan akan sama dengan hasil kali bilangan dengan hasil integral McShane fungsi tersebut.
c. Jika dua fungsi terintegral McShane maka penjumlahan kedua fungsi juga terintegral McShane dan hasil integral McShane dari penjumlahan kedua fungsi akan sama dengan penjumlahan hasil integral McShane kedua fungsi.
d. Jika dua fungsi yang memenuhi sifat keterurutan terintegral McShane maka hasil Integral McShane kedua fungsi mempertahankan sifat keterurutan tersebut.
Integral McShane
i
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, segala puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Swt, atas rahmat dan hidayah-Nya yang telah diberikan kepada penulis berupa ketabahan, ketekunan dan keuletan, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan sebaik-baiknya yang diberi judul: “Integral McShane”.
Semua hambatan dan tantangan dalam penyusunan Tugas Akhir ini merupakan nikmat tersendiri yang dianugerahkan kepada penulis sebagai pengalaman hidup yang tak ternilai. Semuanya akan kembali kepada sumber segala sumber ilmu pengetahuan di jagad raya ini yaitu Allah Swt. Yang Maha Mengetahui sebagaimana yang telah tersirat dan tersurat.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih atas segala sesuatu yang telah diberikan kepada penulis baik berupa dorongan moril maupun materil, sehingga sangat membantu terselesaikannya Tugas Akhir, yaitu kepada:
1. Ibu Dra. Arnellis, M. Si. Dosen Pembimbing I.
2. Bapak Muhammad Subhan, M. Si. Dosen Pembimbing II.
3. Ibu Dra. Dewi Murni, M. Si, Bapak Dr. Yerizon, M. Si, dan Bapak Drs. Yusmet Rizal, M. Si sebagai dosen penguji Tugas Akhir.
4. Ibu Dra. Nonong Amalita, M. Si. selaku Pembimbing Akademik.
5. Ketua Jurusan Matematika Ibu Dr. Armiati, M. Pd.
6. Ketua Program Studi Matematika Ibu Dra. Dewi Murni, M. Si
ii
7. Bapak dan Ibu staf Pengajar dan Labor Jurusan Matematika FMIPA UNP.
8. Seluruh rekan Mahasiswa Jurusan Matematika khususnya angkatan 2007 FMIPA UNP.
9. Semua pihak yang telah rela memberikan bantuan sampai terlaksananya penyusunan Tugas Akhir ini.
Semoga bimbingan, dorongan serta pengorbanan yang telah diberikan mendapat ridho dari Allah SWT. Penulis telah berusaha dengan maksimal untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini, namun penulis menyadari baik isi maupun penulisan ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu kepada pembaca, penulis mengharapkan saran dan kritikan yang sifatnya membangun demi perbaikan di masa yang akan datang.
Padang, Juli 2012
Penulis
iii
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK ... i
KATA PENGANTAR ... ii
DAFTAR ISI ... iv
BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang ... 1
B. Perumusan Masalah ... 3
C. Petanyaan Penelitian ... 4
D. Tujuan Penelitian ... 4
E. Manfaat Penelitian ... 4
F. Metode Penelitian ... 4
BAB II. KAJIAN TEORI A. Fungsi ... 6
B. Interval ... 7
C. Limit ... 10
D. Supremum dan Infimum ... 11
E. Kekontinuan Fungsi ... 13
F. Integral Riemann ... 13
BAB III. PEMBAHASAN A. Pengkonstruksian Integral McShane ... 18
B. Sifat-sifat Integral McShane ... 21
iv
BAB IV. PENUTUP
A. Kesimpulan ... 30 B. Saran ... 31 DAFTAR PUSTAKA ... vi
v
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Integral merupakan salah satu ilmu matematika yang termasuk dalam cabang analisis. Teori integral terus berkembang dan telah banyak dipakai dalam bidang ilmu matematika maupun bidang ilmu lainnya. Dasar pengintegralan pertama kali dikemukakan oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz yang mendefinisikan integral secara deskriptif menggunakan anti turunan. Untuk mendapatkan solusi masalah numerik dalam perhitungan integral, Augustin-Louis Cauchy membangun kalkulus yang berlandaskan konsep limit. Cauchy mendefinisikan integral sebagai limit jumlah persegi panjang yang dibangun dengan membagi interval menjadi beberapa subinterval, dan menggunakan nilai fungsi pada titik ujung setiap subinterval untuk menentukan tinggi segi empat yang disimbolkan dengan
( ) = lim
→ ( )( − )
dimana merupakan titik ujung dari tiap subinterval untuk setiap 1≤ ≤ . Tidak berbeda jauh dengan Cauchy, Riemann mendefinisikan integral secara konstruktif dengan cara membagi selang menjadi sejumlah subinterval dan menghitung jumlah limitnya, namun mengganti nilai titik ujung subinterval dengan nilai suatu titik yang ada pada subinterval tersebut. Bentuk dari integral Riemann adalah sebagai berikut
1
( ) = lim
→ ( )( − )
dimana merupakan titik yang berada pada subinterval [ , ].(Wells, 2011).
Pendefinisian integral yang dilakukan oleh Riemann hanya membahas fungsi-fungsi yang terbatas, namun demikian tidak semua fungsi yang terbatas terintegral oleh Riemann, salah satunya adalah fungsi berikut. Misalkan
≔[0,1] dan ∶ → ℝ didefinisikan dengan:
( )≔ 1,
0,
Fungsi tersebut tidak terintegral Riemann namun terintegral Lebesgue.
Konsep Integral Lebesgue didasarkan pada ukuran. Integral Lebesgue sudah tidak bergantung pada kekontinuan dan fungsi yang terintegral Lebesgue tidak hanya terdefinisi pada interval tertutup. Setiap fungsi yang terintegral Lebesgue terdefinisi pada himpunan terukur. Sedangkan setiap himpunan terukur mempunyai ukuran luar dan ukuran dalam Lebesgue. (Douglas and Charles, 2004)
Kelemahan dari integral Lebesgue adalah banyak dibutuhkannya persyaratan untuk mempelajarinya (seperti aljabar sigma, teori ukuran, himpunan terukur, fungsi terukur). Pada akhirnya ditemukan teori integral baru yang merupakan perluasan dari integral Lebesgue, yakni integral Denjoy dan Perron yang pendefinisiannya masih sedikit rumit. Oleh Henstock dan Kurzweil kemudian disusun definisi integral yang baru secara konstruktif, layaknya integral Riemann. Dengan demikian definisi dan pembuktian teori
integral menjadi lebih sederhana. Dan ternyata integral Henstock-Kurzweil ekuivalen dengan integral Denjoy dan Perron.(Peng Lee, 1989)
Untuk mendapatkan integral Lebesgue sebagai limit dari jumlah partisi, perlu dilakukan perubahan definisi dari integral Henstock-Kurzweil. Perluasan kelas partisi berlabel didapatkan dengan tidak memaksakan label dari suatu interval berada dalam interval tersebut. Suatu fungsi menjadi lebih sulit dintegralkan karena peningkatan jumlah partisi yang subordinat ke . (Gordon, 1994)
Partisi Riemann dan partisi Henstock – Kurzweil merupakan partisi berlabel yang labelnya berada di dalam subinterval yang dilabelinya, sehingga satu label hanya dapat melabeli paling banyak dua subinterval. Sedangkan partisi Mcshane merupakan partisi berlabel bebas yang labelnya tidak harus berada di dalam subinterval yang dilabelinya, sehingga satu label bisa saja melabeli semua subinterval pada suatu interval. (Douglas dan Charles, 2004)
Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk mengkaji pengkonstruksian integral McShane serta sifat-sifat yang berlaku pada integral McShane. Sehingga penelitian ini diberi judul: “Integral McShane”
B. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan sebelumnya, maka rumusan masalah yang dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimanakah kajian mengenai integral McShane?
C. Pertanyaan penelitian
Adapun pertanyaan penelitiannya adalah :
1. Bagaimanakah pengkonstruksi integral McShane?
2. Sifat dasar apa sajakah yang berlaku pada integral McShane?
D. Tujuan Penelitian
Sesuai dengan permasalahan di atas, penelitian ini bertujuan untuk : A. Mengetahui cara membangun atau mengkonstruksi integral McShane.
B. Mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada integral McShane.
E. Manfaat Penelitian
Dalam penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat antara lain : 1. Menambah wawasan penulis dan pembaca dalam mempelajari integral
terutama tentang integral McShane.
2. Referensi bagi penelitian selanjutnya.
F. Metode Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian dasar atau teoritis. Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi kepustakaan yang menganalisa teori-teori yang relevan terhadap permasalahan yang dibahas. Dalam penyelesaian permasalahan langkah kerja yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Meninjau dan memahami permasalahan yang dibahas.
2. Mengumpulkan teori-teori yang dapat mendukung dalam pembahasan integral McShane, diantaranya fungsi, partisi, limit, supremum dan infimum, fungsi kontinu, integral Riemann.
3. Mengkonstruksi integral McShane.
4. Memaparkan dan membuktikan sifat-sifat dari integral McShane.
5. Merumuskan simpulan dari hasil analisis yang telah dilakukan.
BAB II KAJIAN TEORI
Beberapa teori yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
A. Fungsi
Secara umum dapat dinyatakan suatu fungsi dari himpunan ke himpunan adalah suatu relasi antara dan dengan aturan setiap anggota dikaitkan dengan tepat satu anggota , dalam hal ini ditulis
= ( ).
Dalam teori himpunan, fungsi dapat dinyatakan sebagai
⊆ ×
= {( , )⊆ × } ∈ , = ( )∈ Definisi formal dari fungsi adalah sebagai berikut.
Definisi 1
Misal , himpunan tak kosong. Maka fungsi dari ke adalah suatu pasangan terurut di × dimana untuk setiap ∈ terdapat ∈ tunggal sehingga ( , )∈ . (Dengan kata lain, jika ( , ) dan ( , ) ∈ , maka = ).
(Bartle dan Sherbert, 2000: 5) Pada himpunan yang menjadi elemen pertama dari pasangan terurut fungsi, terdapat himpunan
= { ∈ |( , )∈ ∈ }
6
yang kita sebut domain (daerah asal) dari fungsi . Sementara pada himpunan terdapat himpunan
= { ∈ |( , )∈ ∈ }
yang disebut range (daerah hasil) dari fungsi . Sehingga, jika ∶ → ,
maka = dan ⊆
Contoh
Misal = [1,3] dan = [1,4]. Maka × adalah himpunan {( , )|1≤ ≤ 3,1≤ ≤ 4}. Misal ( , )⊂ × sedemikian sehingga jika ( , )∈ ( , ) dan ( , )∈ ( , ) maka = . Pemasangan → ( dimana ( , )∈ ( , ) ) merupakan sebuah fungsi. Jadi fungsi adalah pengaitan :
∶ →
→
Sedemikian sehingga dipetakan dengan tepat satu elemen . Himpunan ( , ) disebut grafik dari . Secara umun, himpunan bagian
⊂ × mendefinisikan sebuah relasi. Jadi, fungsi adalah sebuah relasi khusus dimana setiap anggota ∈ hanya dipetakan (dipasangkan) satu kali.
B. Interval
Setiap fungsi memiliki domain fungsi yang berupa interval. Interval merupakan himpunan semua titik dari ke . Hal penting dalam membedakan antara interval yang memuat titik batas atau tidak dijelaskan pada definisi berikut.
Definisi 2
Misal < . Interval terbuka ( , ) didefinisikan dengan ( , ) = { ∶ < < } dan interval tertutup [ , ] didefinisikan dengan [ , ] = { ∶ ≤ ≤ } sementara itu interval setengah terbuka didefinisikan dengan definisi yang sama dengan pertidaksamaan ( , ] = { ∶ < ≤
} atau [ , ) = { ∶ ≤ < } sedangakan interval tak terbatas didefinisikan dengan [ ,∞) = { ∶ ≥ } dan ( ,∞) = { ∶ > } serta (−∞, ] = { ∶ ≤ } dan (−∞, ) = { ∶ < }.
(Apostol, 1982 : 4) Sebuah interval memuat beberapa subinterval yang lebih dikenal dengan partisi yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3
Sebuah partisi pada interval ≔ [ , ] adalah kumpulan = { , ,⋯, } dengan = [ , ] dimana = < ⋯< < <
⋯< =
(Bartle dan Sherbert, 2000: 145) Setiap partisi mempunyai sifat :
i. ⋃ = ⋃ ⋃ ⋯ ⋃ = [ , ]
ii. ⋂ = , titik ( = 0,1,⋯, ) disebut titik partisi dari .
Titik-titik di digunakan untuk membagi interval = [ , ] menjadi subinterval yang tidak saling tumpang tindih. Selanjutnya akan dinotasikan partisi dan didefinisikan norm nya sebagai berikut.
Definisi 4
Jika partisi dinotasikan dengan = {( , )} , maka norm dari merupakan bilangan yang memenuhi ‖ ‖ = { − , −
,⋯, − } dengan = <⋯ < < < ⋯< = . (Bartle dan Sherbert, 2000: 194) Setiap partisi yang ditandai dengan sebarang titik yang berada dalam partisi tersebut disebut partisi berlabel (tagged partition) yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 5
Jika sebuah titik ∈ sebarang titik pada subinterval , untuk = 1,2,⋯, maka disebut label dari subinterval , dan himpunan pasangan terurut ̇ = {( , ), ( , ),⋯, ( , ), … , ( , )} disebut partisi berlabel (tagged partition).
(Bartle dan Sherbert, 2000: 145) Selain partisi berlabel, terdapat juga partisi berlabel bebas yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 6
Partisi McShane yang disebut partisi berlabel bebas (free tagged partition) dari interval [ , ] adalah koleksi berhingga = {([ , ], )}
sedemikian sehingga {[ , ], 1≤ ≤ } adalah koleksi subinterval yang tidak saling tumpang tindih dari interval [ , ] yang menutupi (covering) [ , ] dan ∈[ , ],∀ ≤ . Terdapat suatu fungsi pada [ , ] yaitu
fungsi ∶ [ , ]→(0,∞). Partisi McShane = {([ , ], )}
subordinat ke jika [ , ]⊂ − ( ), + ( ) untuk setiap ≤ . (Park, 2003: 644) C. Limit
Sebelum mengenal limit, ada baiknya untuk mengetahui definisi dari lingkungan- dan titik cluster.
Definisi 7
Misal ∈ ℝ dan > 0. Maka lingkungan- ( −neigborhood) dari merupakan himpunan ( )≔{ ∈ ℝ ∶ | − | < }.
(Bartle dan Sherbert, 2000: 46) Definisi 8
Misal ⊆ . Suatu titik ∈ ℝ merupakan titik cluster dari jika untuk setiap > 0 terdapat setidaknya satu titik ∈ , ≠ sedemikian sehingga | − | < .
(Bartle dan Sherbert, 2000: 97) Intisari dari konsep limit untuk fungsi bernilai rill dari variabel rill dijelaskan sebagai berikut.
Definisi 9
Misal ⊆ ℝ, dan merupakan titik cluster dari . Untuk fungsi ∶ → ℝ, dikatakan limit dari di jika diberikan > 0 terdapat >
0 sedemikian sehingga ∈ dan 0 < | − | < , maka | ( )− | <
dan dituliskan dengan lim → ( ) = .
(Bartle dan Sherbert, 2000: 111)
Contoh
Lim → = , agar lebih jelas misal ( )≔ untuk semua ∈ ℝ.
Akan diperlihatkan bahwa lim → = .
Jika > 0 diberikan, misal ≔1. Maka, jika 0 < | − | < 1, didapatkan | ( )− | = | − | = 0 < .
Karena > 0, dari definisi didapat lim → = . D. Supremum dan Infimum
Sebelum membahas definisi supremum dan infimum terlebih dahulu akan didefinisikan batas atas dan batas bawah.
Definisi 10
Misal subset tak kosong dari ℝ.
1. Himpunan dikatakan terbatas di atas jika terdapat ∈ ℝ sedemikian sehingga ≤ untuk semua ∈ . Maka disebut batas atas dari .
2. Himpunan dikatakan terbatas di bawah jika terdapat ∈ ℝ sedemikian sehingga ≤ untuk semua ∈ . Maka disebut batas bawah dari .
3. Suatu himpunan dikatakan terbatas jika terbatas di atas dan terbatas di bawah. Jika salah satu prasyarat tidak dipenuhi maka himpunan tersebut tidak terbatas.
(Bartle dan Sherbert, 2000: 48)
Contoh
Himpunan ≔{ ∈ ℝ ∶ < 2} terbatas di atas, bilangan 2 dan bilangan lain yang lebih besar dari 2 merupakan batas atas dari . Himpunan ini tidak memiliki batas bawah, sehingga disebut tidak terbatas di bawah. Oleh karna itu dikatakan tidak terbatas (walaupun terbatas di atas).
Jika suatu himpunan memiliki satu batas atas, maka himpunan tersebut memiliki batas atas dalam jumlah yang tidak terbatas, karena jika merupakan batas atas dari , maka + 1, + 2, … juga batas atas dari . (hal ini juga berlaku pada batas bawah). Pada himpunan batas atas dan batas bawah, ditentukan batas atas terkecil dan juga batas bawah terkecil, yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 11
Misal subset tak kosong dari ℝ.
a. Jika terbatas di atas, maka disebut Supremum (batas atas terkecil) dari jika memenuhi kondisi :
(i) merupakan batas atas dari , dan
(ii) jika merupakan batas atas lain dari , maka ≤ .
b. Jika terbatas di bawah, maka disebut Infimum (batas bawah terbesar) dari jika memenuhi kondisi :
(i) merupakan batas bawah dari , dan
(ii) jika merupakan batas atas lain dari , maka ≤ .
(Bartle dan Sherbert, 2000: 48-49)
E. Kekontinuan Fungsi
Definisi berikut menjelaskan kekontinuan suatu fungsi pada titik.
Definisi 12
Misal ⊆ ℝ, ∶ → ℝ, dan ∈ . dikatakan kontinu pada titik jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehungga jika adalah sebarang titik pada yang memenuhi | − | < , sehingga | ( )−
( )| < .
(Bartle dan Sherbert, 2000: 133) Agar suatu fungsi kontinu pada suatu himpunan, maka fungsi tersebut harus kontinu di setiap titik pada himpunan tersebut.
Definisi 13
Misal ⊆ ℝ, ∶ → ℝ. Jika subset dari , dikatakan kontinu pada himpunan B jika dan hanya jika kontinu pada setiap titik di .
(Bartle dan Sherbert, 2000: 134) Contoh
Fungsi konstan ( )≔ kontinu di ℝ.
Jika ∈ ℝ, maka lim → ( ) = . Karena ( ) = maka kontinu pada setiap titik ∈ ℝ. Sehingga kontinu di ℝ.
F. Integral Riemann
Integral Riemann merupakan teori integral modern pertama yang memaparkan banyak sifat-sifat integral yang sangat diperlukan. Fungsi pada interval [ , ] yang dibagi menjadi beberapa subinterval yang lebih
kecil merupakan dasar dari integral Riemann. Sebelum mendefinisikan integral Riemann, terlebih dahulu akan dibahas mengenai jumlah Riemann.
Misal ∶ = [ , ]→ ℝ suatu fungsi terbatas di dan ̇ ∶=
{ , , … , } merupakan partisi berlabel dari . Jumlah atas dari terhadap partisi berlabel ̇ pada [ , ] didefinisikan sebagai
( ̇; ) =∑ ( − )
dan jumlah bawah dari terhadap partisi berlabel ̇ pada [ , ] didefinisikan sebagai
( ̇; ) =∑ ( − )
dengan = ( ) dan = ( ), dimana = 1,2, … , dan
≤ ≤ . Maka dapat dibentuk
( ) = ( ̇, )
yang disebut integral Riemann atas fungsi pada [ , ] dan ( ) = ( ̇, )
yang disebut integral Riemann bawah fungsi pada [ , ] dengan Infimum dan Supremum diambil dari semua partisi berlabel ̇ pada [ , ]. Jika nilai integral atas dan integral bawah sama, maka dikatakan bahwa terintegral Riemann pada [ , ]. Nilai yang sama ini dinamakan Integral Riemann fungsi pada [ , ] dan ditulis ∫ ( ) . Jadi, ∫ ( ) =
∫ ( ) = ∫ ( ) .
Definisi 14
Fungsi : [ , ]→ ℝ dikatakan terintegral Riemann pada [ , ] jika dan hanya jika ada bilangan ∈ ℝ sedemikian sehingga untuk setiap > 0 ada > 0 sedemikian sehingga jika ̇ adalah sebarang partisi berlabel pada [ , ] dengan ̇ < berlaku ; ̇ − < .
(Bartle dan Sherbert, 2000: 196) Himpunan semua fungsi terintegral Riemann pada [ , ] dinotasikan dengan [ , ].
Contoh
Setiap fungsi konstan pada [ , ] terintegral Riemann.
Misal ( )≔ untuk semua ∈[ , ]. Jika ̇ ≔{([ , ], )}
merupakan partisi berlabel dari [ , ], maka diperoleh
; ̇ = ( − ) = ( − )
Sehingga, untuk setiap > 0, terdapat ≔1 sedemikian sehingga jika ̇ < , maka
; ̇ − ( − ) = 0 <
Karena > 0, disimpulkan bahwa ∈ [ , ] dan ∫ = ( − ).
Kriteria Cauchy untuk integral Riemann dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu fungsi terintegralkan atau tidak.
Teorema 1
Suatu fungsi ∶ [ , ]→ ℝ terintegral Riemann jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga jika ̇ dan ̇
merupakan partisi berlabel dari [ , ] dengan ̇ < dan ̇ < , maka ; ̇ − ; ̇ < .
(Bartle dan Sherbert, 2000: 203) Bukti
(i.) Jika ∈ [ , ] dengan integral , misal ≔ ⁄2> 0 sedemikian sehingga jika ̇, ̇ partisi berlabel sedemikian sehingga ̇ < dan
̇ < , maka
; ̇ − < ⁄2 dan ; ̇ − < ⁄2. Oleh karena itu,
; ̇ − ; ̇ ≤ ; ̇ − + − ; ̇
≤ ; ̇ − + − ; ̇
< ⁄2+ ⁄2=
(ii.) Untuk setiap ∈ ℕ, misal > 0 sedemikian sehingga jika ̇ dan ̇ merupakan partisi berlabel dengan norms < , maka
; ̇ − ; ̇ < 1⁄
Lebih jelas, diasumsikan bahwa ≥ untuk ∈ ℕ; sebaliknya diganti dengan ≔ { , … , }. Untuk setiap ∈ ℕ, misal ̇ menjadi partisi berlabel dengan ̇ ≤ . Jika > maka ̇ dan ̇ memiliki norm < , sedemikian sehingga
; ̇ − ; ̇ < 1⁄ untuk >
sebagai akibatnya, barisan ; ̇ merupakan barisan Cauchy di ℝ. Oleh karena itu barisan ini konvergen ke ℝ dan misal ≔ lim ( ; ̇ ), maka ; ̇ − ≤1⁄ untuk semua ∈ ℕ.
Untuk melihat menjadi integral Riemann dari , terdapat > 0, misal
∈ ℕ memenuhi > 2⁄ . Jika ̇ merupakan partisi berlabel dengan
̇ < , maka
; ̇ − ≤ ; ̇ − ; ̇ + ; ̇ −
≤1⁄ + 1⁄ <
Karena > 0, maka ∈ ℝ[ , ] dengan integral .
∎
BAB III PEMBAHASAN A. Pengkonstruksian Integral McShane
Integral McShane dibentuk dari perluasan integral Riemann, dimana Riemann membagi suatu selang menjadi sejumlah subinterval, menandai setiap subinterval, menghitung jumlah Riemann dan menentukan limit jumlahnya. Hal yang membedakan antara integral Riemann dengan integral McShane adalah cara McShane mengkonstruksi partisi yang berbeda dengan Riemann. Jika = [ , ] merupakan interval tertutup dan terbatas di ℝ, maka partisi dari berhingga. Misalkan = ( , , , … , ) dimana ∈ , = 1,2, … , sedemikian sehingga = < < ⋯< = . Titik-titik di digunakan untuk membagi interval = [ , ] menjadi subinterval yang tidak saling tumpang tindih.
Partisi McShane yang disebut partisi berlabel bebas (free tagged partition) merupakan koleksi berhingga = {([ , ], )} sedemikian sehingga {[ , ], 1≤ ≤ } adalah koleksi subinterval yang tidak saling tumpang tindih dari interval [ , ] yang menutupi (covering) [ , ] dan
∈[ , ],∀ ≤ . Terdapat suatu fungsi pada [ , ] yaitu fungsi ∶ [ , ]→(0,∞). Partisi McShane = {([ , ], )} subordinat ke jika [ , ]⊂ − ( ), + ( ) untuk setiap ≤ .
Jika ∶ [ , ] → ℝ dan = {([ , ], )} merupakan partisi berlabel bebas dari interval [ , ] maka jumlah McShane didefinisikan dengan ( ) =∑ ( ) ( − ). Karena integral McShane merupakan
18
limit dari jumlah McShane, maka integral McShane didefinisikan dengan
∫ ( ) = lim → ∑ ( ) ( − ). Nilai tersebut dinamakan integral McShane fungsi pada [ , ] dan ditulis ( )∫ ( ) . Integral McShane didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3.1
Partisi McShane yang disebut partisi berlabel bebas (free tagged partition) dari interval [ , ] adalah koleksi berhingga = {([ , ], )}
sedemikian sehingga {[ , ], 1≤ ≤ } adalah koleksi subinterval yang tidak saling tumpang tindih dari interval [ , ] yang menutupi (covering) [ , ] dan ∈[ , ],∀ ≤ . Terdapat suatu fungsi pada [ , ] yaitu fungsi ∶ [ , ]→(0,∞). Partisi McShane = {([ , ], )}
subordinat ke jika [ , ]⊂ − ( ), + ( ) untuk setiap ≤ . Jika ∶ [ , ]→ ℝ dan = {([ , ], )} merupakan partisi berlabel bebas dari interval [ , ] maka jumlah McShane didefinisikan dengan ( ) = ∑ ( ) ( − ). Fungsi ∶ [ , ]→ ℝ terintegral McShane pada [ , ] dengan nilai , jika untuk setiap > 0 terdapat ∶ [ , ]→ (0,∞) sedemikian sehingga ‖ ( )− ‖< dimana
= {([ , ], )} merupakan partisi Mcshane dari [ , ] yang subordinat ke .
(Park, 2003: 644)
Selanjutnya dikatakan integral fungsi pada interval [ , ] atau ditulis z= ( )∫ dan [ , ] menyatakan himpunan dari fungsi-fungsi yang terintegral McShane pada interval [ , ].
Contoh
Misalkan ≔[0,1] dan ∶ → ℝ didefinisikan dengan:
( ) ≔ 1, ∈[0,1] ∩ ℚ 0, ∈[0,1]∩ ℚ
Akan diperlihatkan bahwa teintegral McShane dengan dengan nilai integral ( ) = 0, untuk setiap ∈[0,1].
Misal = {([ , ], )} merupakan partisi berlabel bebas dari [0,1] untuk setiap , dengan 1≤ ≤ . Misal terdapat himpunan , , … , dengan
∑ ⊆ sedemikian sehingga ( )− ( )−( − ) ( ) ∈ untuk setiap dan terdapat > 0 sedemikian sehingga – , ⊆ . Untuk [0,1] ∩ ℚ terdapat fungsi bijektif ∶ [0,1] ∩ ℚ → ℕ. Sehingga didefinisikan dengan :
( ) =
1, ∈[0,1] ∩ ℚ 2 ( ) , ∈[0,1]∩ ℚ
dan = − , .
Jika ∈[0,1]∩ ℚ , maka
( )− ( )−( − ) ( ) = 0∈
Jika ∈ [0,1]∩ ℚ terdapat [ , ]⊆ − ( ), + ( ) sedemikian sehingga − < 2 ( ) = . , maka
( )− ( )−( − ) ( ) =−( − ) ∈
Jika ∑ ⊆ dan misal ∈ ∑ , maka = ∑ dimana ∈ . Misal = { ( )∶ 1≤ ≤ }. Karena bijektif,
2 ( ) ≤ 2 Maka,
2 ( ) ≤ 2
= 1
2+1 4+1
8+⋯+ 1 2
= 1 2⁄
1−1 2⁄
= Karena − < < ,
− 2 ( ) < <
2 ( )
Maka, − < < . Karena ∈(− , )⊆ . Maka ∑ ⊆ . Sehingga terintegral McShane dengan nilai integral ( ) = 0
B. Sifat-Sifat Integral McShane
Untuk menentukan apakah suatu fungsi terintegral McShane atau tidak tanpa mencari nilai integralnya, bisa digunakan kriteria cauchy untuk integral McShane yang dijelaskan pada teorema berikut.
Teorema 3.1
Fungsi : [ , ] → ℝ terintegral McShane pada interval [ , ] jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat fungsi > 0 pada [ , ] sedemikian sehingga | ( )− ( )| < dimana dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke .
(Gordon, 1994 : 158) Bukti
(i.) Misal ∶[ , ]→ ℝ terintegral McShane pada interval [ , ]. Akan dibuktikan untuk setiap > 0 terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga | ( )− ( )| < dimana dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke .
Dari definisi integral McShane dengan nilai , jika untuk setiap
> 0 terdapat fungsi ∶ [ , ] →(0,∞) sedemikian sehingga ‖ ( )−
‖< dimana = {([ , ], )} merupakan partisi Mcshane dari [ , ] yang subordinat ke terdapat > 0 dan > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga jika dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke dan maka berlaku :
( )− ∫ < dan ( )− ∫ <
Perhatikan bahwa :
Unttuk setiap > 0 pilih ( ) = min{ ( ), ( )} dimana ∈[ , ], maka;
| ( )− ( )| = ( )− + − ( )
≤ ( )− − ( )− <
2+ 2=
Dimana dan adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke .
(ii.) Misal untuk setiap > 0 terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga | ( )− ( )| < dimana dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke . Akan dibuktikan
∶[ , ]→ ℝ terintegral McShane pada interval [ , ].
Misalkan untuk setiap ∈ ℝ terdapat > 0 sedemikian sehingga jika dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke berlaku | ( )− ( )| < . . Perhatikan, bahwa untuk setiap ∈ ℝ, misalkan dan adalah partisi berlabel bebas yang subordinat ke maka | ( )− ( )| < , untuk setiap ∈ ℝ . Jika > maka { ( )} adalah barisan Cauchy di ℝ. Akibatnya { ( )}
konvergen, misalkan konvergen ke ∈ ℝ. Jadi lim → ( ) = . Sehingga, ketika → ∞ maka | ( )− | < . Berarti terdapat ∈ ℝ, dimana untuk setiap > 0 (pilih > , ∈ ℝ) dan diketahui terdapat fungsi > 0 sehingga;
| ( )− | = | ( )− ( ) + ( )− |
≤| ( )− ( )| + | ( )− | <1 +1
= 2
<
dimana adalah sebarang partisi berlabel bebas yang subordinat ke .
∎
Integral McShane juga memenuhi sifat penambahan selang yang dijelaskan pada Teorema berikut.
Teorema 3.2
Misal : [ , ]→ ℝ dan ∈( , ). Jika terintegral McShane pada setiap interval [ , ] dan [ , ], maka terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ + ( )∫
(Gordon, 1994 : 158-159) Bukti
Misal : [ , ]→ ℝ dan ∈( , ). Misal terintegral McShane pada setiap interval [ , ] dan [ , ]. Akan dibuktikan terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ + ( )∫ . Karena terintegral McShane pada interval [ , ], maka untuk setiap > 0, terdapat fungsi positif > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga | ( )− | < dimana adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke . Begitu juga, terintegral McShane pada interval [ , ], maka untuk setiap > 0, terdapat fungsi positif > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga
| ( )− | < dimana adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke .
Definisikan pada interval [ , ] sebagai berikut;
( ) =
⎩⎪
⎨
⎪⎧ ( ),1
2( − ) , ≤ ≤
{ ( ), ( )}, = ( ),1
2( − ) , < ≤
Misalkan adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] akan ditunjukan terdapat pada interval [ , ] yang subordinat ke dan pada interval [ , ] yang subordinat ke sedemikian sehingga ( ) = ( ) + ( ).
Kasus I :
Jika adalah titik partisi dari , maka akan termuat ke dalam dua subinterval dari yaitu [ , ] dan [ , ] dimana pilih sebagai label dari kedua subinterval. Karena adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke jelas subordinat ke . Begitu juga dengan partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke jelas subordinat ke dan ( ) bisa dinyatakan ( ) = ( ) + ( ).
Kasus II :
Jika bukan partisi dari = {( , )} maka adalah label dari beberapa subinterval, katakan label dari subinterval [ , ]. Tempatkan titik pada dua pasang subinterval ([ , ], ) dan ([ , ], ) dimana dan adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] dan [ , ]. Karena
( )( − ) = ( )( − ) + ( )( − ) maka jelas dan adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] dan [ , ] subordinat ke dan ( ) bisa dinyatakan ( ) = ( ) + ( ).
Oleh karena itu, perhatikan bahwa :
( )− + = ( ) + ( )− −
≤ ( )− ∫ + ( )− ∫ < + =
Jadi terintegral McShane pada interval [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ + ( )∫
∎ Integral McShane juga memenuhi sifat perkalian skalar dan penjumlahan dua fungsi yang dijelaskan pada teorema kelinearan integral berikut.
Teorema 3.3
Misal dan terintegral McShane pada [ , ], maka
a. terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ untuk setiap ∈ ℝ;
b. + ∈ [ , ] dan ( )∫ ( + ) = ( )∫ + ( )∫ .
(Gordon, 1994 : 159) Bukti
Misal dan terintegral McShane pada [ , ].
Kasus I : untuk ≠0
Karena ∈ ( , ) maka setiap > 0, terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga ( )− ∫ <
| | dimana adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke .
Perhatikan bahwa:
( )− = ( )− = | | ( )− < | |
| |=
Kasus II : untuk = 0 Perhatikan bahwa:
( )− = ( )− = |0| ( )− = 0 <
Selalu dipenuhi untuk setiap > 0.
a. Akan dibuktikan terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ untuk setiap ∈ ℝ; Berdasarkan kasus I dan II, pilih =
∫ ∈ ℝ karena terdapat ∈ ℝ dengan sifat; untuk setiap > 0, terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , berlaku
( )− ∫ < . Artinya ∈ [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ untuk setiap ∈ ℝ.
b. Akan dibuktikan + ∈ [ , ] dan ( )∫ ( + ) = ( )∫ + ( )∫ . Karena terintegral McShane pada interval [ , ] maka untuk setiap > 0, terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , berlaku ( )− ∫ < . Begitu juga, terintegral McShane pada interval [ , ] maka untuk setiap > 0, terdapat fungsi
> 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , berlaku ( )−
∫ < .
Perhatikan bahwa :
Pilih ( ) = { ( ), ( )} untuk setiap ∈[ , ]. Jika adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , maka setiap > 0 berlaku;
( + )( )− + = ( ) + ( )− −
≤ ( )− + ( )− <
2+ 2 = Artinya + ∈ [ , ] dan ( )∫ ( + ) = ( )∫ + ( )∫
∎ Sifat selanjutnya merupakan sifat perbandingan dua fungsi yang terintegral McShane, dimana apabila ≤ , maka nilai integral juga kecil atau sama dengan nilai integral , seperti yang dijelaskan pada teorema berikut.
Teorema 3.4
Misal dan terintegral McShane pada [ , ], sedemikian sehingga jika
≤ pada [ , ], maka ( )∫ ≤ ( )∫
(Gordon, 1994 : 159) Bukti
Misal dan terintegral McShane pada [ , ]. Akan dibuktikan jika ( )≤ ( ) setiap ∈[ , ], maka ( )∫ ≤( )∫ .
Karena ( )≤ ( ) setiap ∈[ , ] maka ( )≤ ( ).
Perhatikan bahwa :
Fungsi dan terintegral McShane pada interval [ , ], maka setiap
> 0, terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga jika adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , berlaku ( )− ∫ < dan ( )− ∫ < .
Akibatnya diperoleh;
− < ( )− ∫ < ⋯ ⋯ ⋯(∗)
− < ( )− ∫ < ⋯ ⋯ ⋯(∗∗) Dari (∗) dan (∗∗) diperoleh;
− +∫ < ( )≤ ( ) <∫ + sehingga didapat
∫ <∫ + , maka diperoleh ( )∫ ≤ ( )∫
∎
BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan
Berdasarkan analisa yang telah dilakukan pada bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Jika ∶ [ , ]→ ℝ dan = {([ , ], )} merupakan partisi berlabel bebas dari interval [ , ] maka jumlah McShane didefinisikan dengan ( ) =∑ ( ) ( − ). Fungsi ∶ [ , ]→ ℝ terin tegral McShane pada [ , ] dengan nilai , jika untuk setiap > 0 terdapat
∶ [ , ]→ (0,∞) sedemikian sehingga ‖ ( )− ‖< dimana
= {([ , ], )} merupakan partisi Mcshane dari [ , ] yang subordinat ke .
2. Kriteria Cauchy digunakan untuk menentukan apakah suatu fungsi terintegral McShane atau tidak tanpa mencari nilai integralnya. Fungsi : [ , ]→ ℝ terintegral McShane pada interval [ , ] jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat fungsi pada [ , ] maka berlaku | ( )−
( )| < dimana dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke . Sifat – sifat yang dipenuhi oleh fungsi terintegral McShane antara lain :
a. Integral Mcshane memenuhi sifat penambahan selang. Misal : [ , ]→ ℝ dan ∈ ( , ). Jika terintegral McShane pada setiap interval [ , ] dan [ , ], maka terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ + ( )∫ .
30
b. Integral McShane juga memenuhi sifat perkalian skalar dan penjumlahan dua fungsi. Misal dan terintegral McShane pada [ , ], maka terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ =
( )∫ untuk setiap ∈ ℝ; dan jika + ∈ [ , ] maka ( )∫ ( + ) = ( )∫ + ( )∫ .
c. Integral McShane juga memenuhi sifat perbandingan dua fungsi yang terintegral McShane. Misal dan terintegral McShane pada [ , ], sedemikian sehingga jika ≤ pada [ , ], maka ( )∫ ≤ ( )∫ .
B. Saran
Penelitian ini hanya membahas pengkonstruksian integral McShane serta beberapa sifat integral McShane di ℝ. Bagi peneliti selanjutnya yang ingin melanjutkan pembahasan mengenai integral McShane, disarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai kekonvergenan barisan fungsi terintegral McShane.
DAFTAR PUSTAKA
Apostol, Tom M. 1974. Mathematical Analysis, Second Edition. California : Addison – Wesley.
Bartle, R. G. 2000. A Modern Theory of Integration. Rhode Island : American Mathematical Society Providence.
Bartle, R.G and Sherbert, D.R. 2000. Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York : John Wiley and Sons, Inc.
Goldberg, Richard R. 1976. Method of Real Analysis. New York : John Willey and Sons,
Gordon, R.A. 1994. Theory of Lebesque, Denjoy, Perron, and Henstock- Kurzweil Integral. Rhode Island : Ams Publishing Company.
Hutahaean, E. 1980. Fungsi Rill. Bandung : ITB
J Purcel, Edwin. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta : PT.
Airlangga.
Kurtz, Douglas S and Charles W Swartz. 2004. Theories of Integration, The Integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzwell, and McShane.
Singapore : World Scientific Printers (S) Pte Ltd.
Paluga, Rolando N. And Sergio R. Canoy, Jr. 2010. On the McShane Integral in Topological Vector Spaces.
Park, Chun-Kee. 2003. On Denjoy-McShane-Stieltjes Integral.
Saks, Stanislaw. 1937. Theory of the Integral . Second Resived Edition. New York : Hafner Publishing Company.
Wells, Jonathan. 2011. Generalizations o the Riemann Integral : An Investigation of Henstock Integral.
Yee, Peng Lee. 1989. Lanzhou Lectures on Henstock Integration. Singapore : JBW Printers & Binders Pte. Ltd.
Yee, Peng Lee and Vyborny. 2000. Integral : An Easy Approach after Kurzweil and Henstock. USA : Cambridge University Press.
vi
