BAB III. PEMBAHASAN
B. Sifat-sifat Integral McShane
Untuk menentukan apakah suatu fungsi terintegral McShane atau tidak tanpa mencari nilai integralnya, bisa digunakan kriteria cauchy untuk integral McShane yang dijelaskan pada teorema berikut.
Teorema 3.1
Fungsi : [ , ] → ℝ terintegral McShane pada interval [ , ] jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat fungsi > 0 pada [ , ] sedemikian sehingga | ( )− ( )| < dimana dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke .
(Gordon, 1994 : 158) Bukti
(i.) Misal ∶[ , ]→ ℝ terintegral McShane pada interval [ , ]. Akan dibuktikan untuk setiap > 0 terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga | ( )− ( )| < dimana dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke .
Dari definisi integral McShane dengan nilai , jika untuk setiap
> 0 terdapat fungsi ∶ [ , ] →(0,∞) sedemikian sehingga ‖ ( )−
‖< dimana = {([ , ], )} merupakan partisi Mcshane dari [ , ] yang subordinat ke terdapat > 0 dan > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga jika dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke dan maka berlaku :
( )− ∫ < dan ( )− ∫ <
Perhatikan bahwa :
Unttuk setiap > 0 pilih ( ) = min{ ( ), ( )} dimana ∈[ , ], maka;
| ( )− ( )| = ( )− + − ( )
≤ ( )− − ( )− <
2+ 2=
Dimana dan adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke .
(ii.) Misal untuk setiap > 0 terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga | ( )− ( )| < dimana dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke . Akan dibuktikan
∶[ , ]→ ℝ terintegral McShane pada interval [ , ].
Misalkan untuk setiap ∈ ℝ terdapat > 0 sedemikian sehingga jika dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke berlaku | ( )− ( )| < . . Perhatikan, bahwa untuk setiap ∈ ℝ, misalkan dan adalah partisi berlabel bebas yang subordinat ke maka | ( )− ( )| < , untuk setiap ∈ ℝ . Jika > maka { ( )} adalah barisan Cauchy di ℝ. Akibatnya { ( )}
konvergen, misalkan konvergen ke ∈ ℝ. Jadi lim → ( ) = . Sehingga, ketika → ∞ maka | ( )− | < . Berarti terdapat ∈ ℝ, dimana untuk setiap > 0 (pilih > , ∈ ℝ) dan diketahui terdapat fungsi > 0 sehingga;
| ( )− | = | ( )− ( ) + ( )− |
≤| ( )− ( )| + | ( )− | <1 +1
= 2
<
dimana adalah sebarang partisi berlabel bebas yang subordinat ke .
∎
Integral McShane juga memenuhi sifat penambahan selang yang dijelaskan pada Teorema berikut.
Teorema 3.2
Misal : [ , ]→ ℝ dan ∈( , ). Jika terintegral McShane pada setiap interval [ , ] dan [ , ], maka terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ + ( )∫
(Gordon, 1994 : 158-159) Bukti
Misal : [ , ]→ ℝ dan ∈( , ). Misal terintegral McShane pada setiap interval [ , ] dan [ , ]. Akan dibuktikan terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ + ( )∫ . Karena terintegral McShane pada interval [ , ], maka untuk setiap > 0, terdapat fungsi positif > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga | ( )− | < dimana adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke . Begitu juga, terintegral McShane pada interval [ , ], maka untuk setiap > 0, terdapat fungsi positif > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga
| ( )− | < dimana adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke .
Definisikan pada interval [ , ] sebagai berikut;
( ) =
⎩⎪
⎨
⎪⎧ ( ),1
2( − ) , ≤ ≤
{ ( ), ( )}, = ( ),1
2( − ) , < ≤
Misalkan adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] akan ditunjukan terdapat pada interval [ , ] yang subordinat ke dan pada interval [ , ] yang subordinat ke sedemikian sehingga ( ) = ( ) + ( ).
Kasus I :
Jika adalah titik partisi dari , maka akan termuat ke dalam dua subinterval dari yaitu [ , ] dan [ , ] dimana pilih sebagai label dari kedua subinterval. Karena adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke jelas subordinat ke . Begitu juga dengan partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke jelas subordinat ke dan ( ) bisa dinyatakan ( ) = ( ) + ( ).
Kasus II :
Jika bukan partisi dari = {( , )} maka adalah label dari beberapa subinterval, katakan label dari subinterval [ , ]. Tempatkan titik pada dua pasang subinterval ([ , ], ) dan ([ , ], ) dimana dan adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] dan [ , ]. Karena
( )( − ) = ( )( − ) + ( )( − ) maka jelas dan adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] dan [ , ] subordinat ke dan ( ) bisa dinyatakan ( ) = ( ) + ( ).
Oleh karena itu, perhatikan bahwa :
( )− + = ( ) + ( )− −
≤ ( )− ∫ + ( )− ∫ < + =
Jadi terintegral McShane pada interval [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ + ( )∫
∎ Integral McShane juga memenuhi sifat perkalian skalar dan penjumlahan dua fungsi yang dijelaskan pada teorema kelinearan integral berikut.
Teorema 3.3
Misal dan terintegral McShane pada [ , ], maka
a. terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ untuk setiap ∈ ℝ;
b. + ∈ [ , ] dan ( )∫ ( + ) = ( )∫ + ( )∫ .
(Gordon, 1994 : 159) Bukti
Misal dan terintegral McShane pada [ , ].
Kasus I : untuk ≠0
Karena ∈ ( , ) maka setiap > 0, terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga ( )− ∫ <
| | dimana adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke .
Perhatikan bahwa:
( )− = ( )− = | | ( )− < | |
| |=
Kasus II : untuk = 0 Perhatikan bahwa:
( )− = ( )− = |0| ( )− = 0 <
Selalu dipenuhi untuk setiap > 0.
a. Akan dibuktikan terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ untuk setiap ∈ ℝ; Berdasarkan kasus I dan II, pilih =
∫ ∈ ℝ karena terdapat ∈ ℝ dengan sifat; untuk setiap > 0, terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , berlaku
( )− ∫ < . Artinya ∈ [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ untuk setiap ∈ ℝ.
b. Akan dibuktikan + ∈ [ , ] dan ( )∫ ( + ) = ( )∫ + ( )∫ . Karena terintegral McShane pada interval [ , ] maka untuk setiap > 0, terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , berlaku ( )− ∫ < . Begitu juga, terintegral McShane pada interval [ , ] maka untuk setiap > 0, terdapat fungsi
> 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , berlaku ( )−
∫ < .
Perhatikan bahwa :
Pilih ( ) = { ( ), ( )} untuk setiap ∈[ , ]. Jika adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , maka setiap > 0 berlaku;
( + )( )− + = ( ) + ( )− −
≤ ( )− + ( )− <
2+ 2 = Artinya + ∈ [ , ] dan ( )∫ ( + ) = ( )∫ + ( )∫
∎ Sifat selanjutnya merupakan sifat perbandingan dua fungsi yang terintegral McShane, dimana apabila ≤ , maka nilai integral juga kecil atau sama dengan nilai integral , seperti yang dijelaskan pada teorema berikut.
Teorema 3.4
Misal dan terintegral McShane pada [ , ], sedemikian sehingga jika
≤ pada [ , ], maka ( )∫ ≤ ( )∫
(Gordon, 1994 : 159) Bukti
Misal dan terintegral McShane pada [ , ]. Akan dibuktikan jika ( )≤ ( ) setiap ∈[ , ], maka ( )∫ ≤( )∫ .
Karena ( )≤ ( ) setiap ∈[ , ] maka ( )≤ ( ).
Perhatikan bahwa :
Fungsi dan terintegral McShane pada interval [ , ], maka setiap
> 0, terdapat fungsi > 0 pada interval [ , ] sedemikian sehingga jika adalah partisi berlabel bebas pada interval [ , ] yang subordinat ke , berlaku ( )− ∫ < dan ( )− ∫ < .
Akibatnya diperoleh;
− < ( )− ∫ < ⋯ ⋯ ⋯(∗)
− < ( )− ∫ < ⋯ ⋯ ⋯(∗∗) Dari (∗) dan (∗∗) diperoleh;
− +∫ < ( )≤ ( ) <∫ + sehingga didapat
∫ <∫ + , maka diperoleh ( )∫ ≤ ( )∫
∎
BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan
Berdasarkan analisa yang telah dilakukan pada bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Jika ∶ [ , ]→ ℝ dan = {([ , ], )} merupakan partisi berlabel bebas dari interval [ , ] maka jumlah McShane didefinisikan dengan ( ) =∑ ( ) ( − ). Fungsi ∶ [ , ]→ ℝ terin tegral McShane pada [ , ] dengan nilai , jika untuk setiap > 0 terdapat
∶ [ , ]→ (0,∞) sedemikian sehingga ‖ ( )− ‖< dimana
= {([ , ], )} merupakan partisi Mcshane dari [ , ] yang subordinat ke .
2. Kriteria Cauchy digunakan untuk menentukan apakah suatu fungsi terintegral McShane atau tidak tanpa mencari nilai integralnya. Fungsi : [ , ]→ ℝ terintegral McShane pada interval [ , ] jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat fungsi pada [ , ] maka berlaku | ( )−
( )| < dimana dan merupakan partisi berlabel bebas dari [ , ] yang subordinat ke . Sifat – sifat yang dipenuhi oleh fungsi terintegral McShane antara lain :
a. Integral Mcshane memenuhi sifat penambahan selang. Misal : [ , ]→ ℝ dan ∈ ( , ). Jika terintegral McShane pada setiap interval [ , ] dan [ , ], maka terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ = ( )∫ + ( )∫ .
30
b. Integral McShane juga memenuhi sifat perkalian skalar dan penjumlahan dua fungsi. Misal dan terintegral McShane pada [ , ], maka terintegral McShane pada [ , ] dan ( )∫ =
( )∫ untuk setiap ∈ ℝ; dan jika + ∈ [ , ] maka ( )∫ ( + ) = ( )∫ + ( )∫ .
c. Integral McShane juga memenuhi sifat perbandingan dua fungsi yang terintegral McShane. Misal dan terintegral McShane pada [ , ], sedemikian sehingga jika ≤ pada [ , ], maka ( )∫ ≤ ( )∫ .
B. Saran
Penelitian ini hanya membahas pengkonstruksian integral McShane serta beberapa sifat integral McShane di ℝ. Bagi peneliti selanjutnya yang ingin melanjutkan pembahasan mengenai integral McShane, disarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai kekonvergenan barisan fungsi terintegral McShane.