Variabel is licensed under
a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
Pelabelan Prima pada Graf Simpul Semi Total dari Graf Sikat
Dany Riansyah Putra1, Mariatul Kiftiah2, Fransiskus Fran3 Universitas Tanjungpura, Pontianak, Indonesia
danyriansyahp@gmail.com1, kiftiahmariatul@math.untan.ac.id2, fransiskusfran@math.untan.ac.id3,*)
*)Corresponding author
Kata Kunci:
Pemetaan; Graf Prima; Relatif Prima; Faktor Persekutuan Terbesar
ABSTRAK
Artikel ini membahas mengenai pelabelan prima pada suatu graf sederhana ๐บ dengan himpunan simpul ๐(๐บ) dan himpunan sisi ๐ธ(๐บ). Suatu graf ๐บ adalah graf prima jika terdapat pemetaan bijektif ๐: ๐(๐บ) โ {1,2, โฏ , |๐(๐บ)|} sedemikian sehingga untuk setiap simpul ๐ข dan ๐ฃ yang bertetangga berlaku FPB(๐(๐ข), ๐(๐ฃ)) = 1, ๐(๐ข), ๐(๐ฃ) โ {1,2, โฏ , |๐(๐บ)|}.
Selanjutnya, untuk graf sederhana yang berupa graf simpul semi total dari graf sikat, dikonstruksi suatu pelabelan prima dengan pembuktiannya memanfaatkan algoritma Euclidean.
Hasil konstruksi menunjukkan bahwa graf simpul semi total dari graf sikat merupakan graf prima.
Prime Labeling for a Semi-Total Point Graph of a Brush Graph
Keywords:
Mapping; Prime Graph;
Relatively Prime; Greatest Common Divisor
ABSTRACT
In this article, we investigate prime labeling for a simple graph G, where V(G) and E(G) are vertex set and edge set of G, respectively. A graph G is called a prime graph if there exists a bijective mapping ๐: ๐(๐บ) โ {1,2, โฏ , |๐(๐บ)|} such that for each u and v are adjacent vertices in G then we have GCD(๐(๐ข), ๐(๐ฃ)) = 1, ๐คโ๐๐๐ ๐(๐ข), ๐(๐ฃ) โ {1,2, โฏ , |๐(๐บ)|}.
Furthermore, in terms of a semi-total point graph of a brush graph, a prime labeling was constructed using the Euclidean algorithm. As a result, this graph was a prime graph.
PENDAHULUAN
Teori graf merupakan satu satu teori dalam matematika yang sedang berkembang hingga saat ini. Hal ini ditunjukan dengan adanya penemuan-penemuan baru tentang graf seperti berbagai jenis graf, pelabelan graf dan cara melabelkannya. Pelabelan graf ๐บ adalah pemberian nilai simpul atau sisi pada graf ๐บ. Secara umum, unsur-unsur pelabelan graf terdiri dari simpul, sisi, dan himpunan bilangan yang disebut label. Diantara pelabelan yang telah dikembangkan terdapat pelabelan yang disebut dengan pelabelan prima.
Pelabelan prima merupakan fungsi bijektif ๐: ๐(๐บ) โ {1,2,3, . . . , |๐(๐บ)|} dengan |๐(๐บ)| adalah banyak simpul di graf ๐บ sedemikian sehingga untuk setiap simpul ๐ข dan ๐ฃ yang bertetangga berlaku ๐น๐๐ต(๐(๐ข), ๐(๐ฃ)) = 1 dengan label dari simpul ๐ข dan ๐ฃ dinotasikan dengan ๐(๐ข),๐(๐ฃ) โ {1,2,3, . . . , |๐(๐บ)|} (Vaidya & Prajapati, 2012). Graf-graf yang memenuhi pelabelan prima, selanjutnya disebut graf prima.
Para peneliti pada beberapa penelitian sebelumnya juga telah membahas mengenai perluasan pelabelan prima yang disebut dengan k-prime labeling. Pelabelan ini (k-prime labeling) merupakan fungsi injektif ๐: ๐(๐บ) โ {๐, ๐ + 1, ๐ + 2, . . . , ๐ + |๐(๐บ)| โ 1} sedemikian sehingga untuk setiap simpul ๐ข dan ๐ฃ yang bertetangga berlaku ๐น๐๐ต(๐(๐ข), ๐(๐ฃ)) = 1 (Vaidya & Prajapati, 2011). Graf yang dapat dilabelkan dengan k-prime labeling disebut dengan k-prime graph. Pada penelitian ini dikhususkan untuk membahas mengenai pelabelan k-prime labeling dengan ๐ = 1 (pelabelan prima).
Beberapa kelas graf yang merupakan graf prima diantaranya graf gurita (Edward, Samuel, & Kalaivani, 2016), graf Lilly (Samuel & Kalaivani, 2018a), graf drum (Samuel & Kalaivani, 2018) dan graf Jahangir (Lakshmi et al., 2018). Graf prima juga dapat diperoleh dari hasil operasi antar graf-graf prima (Prajapati
& Gajjar, 2014). Graf lainnya yang merupakan graf prima adalah graf sikat ๐ต๐ (Samuel & Kalaivani, 2018b).
Graf sikat ๐ต๐ diperoleh dari menggabungkan graf bintang ๐พ1,1 ke setiap simpul dari graf lintasan ๐๐ (Samuel & Kalaivani, 2018b). Pada penelitian lain, graf sikat disebut juga graf sisir (Zhang et al., 2020) dan graf kelabang (Rahmawati et al., 2020). Terkait pelabelan prima, graf-graf yang diturunkan atau graf yang dikonstruksi dari graf sikat mungkin saja merupakan graf prima (tidak semua graf merupakan graf prima). Oleh karena itu, pada artikel ini dibahas pelabelan prima pada salah satu graf yang diturunkan dari graf graf sikat, yaitu graf simpul semi total dari graf sikat ๐ ๐(๐ต๐) untuk ๐ = 1,2. Graf ๐ ๐(๐ต๐) akan merupakan suatu graf prima jika simpul-simpulnya dapat dilabelkan dengan pelabelan prima.
Graf simpul semi total adalah graf yang dihasilkan dengan menambahkan sebanyak ๐ simpul baru untuk setiap sisi dari suatu graf dan menghubungkan simpul tersebut dengan simpul-simpul dari masing- masing sisi (Jog et al., 2012). Graf ๐ ๐(๐ต๐) dengan ๐ = 1 dinotasikan dengan ๐ 1(๐ต๐), yaitu graf yang diperoleh dengan menambahkan sebanyak satu simpul baru untuk setiap sisi dari graf sikat ๐ต๐ dan menghubungkan simpul tersebut dengan masing-masing sisi. Dengan cara yang sama, yaitu menambahkan dua simpul baru untuk setiap sisi di peroleh graf ๐ ๐(๐ต๐) dengan ๐ = 2 yang dinotasikan dengan ๐ 2(๐ต๐). Pada artikel ini, dikonstruksi suatu pelabelan prima untuk mengidentifikasi dan menunjukan bahwa untuk setiap graf ๐ ๐(๐ต๐) dengan ๐ = 1,2 merupakan graf prima.
METODE PENELITIAN
Metode dalam penelitian ini adalah kajian pustaka. Untuk megidentifikasi bahwa bahwa suatu graf merupakan graf prima, dapat digunakan beberapa sifat terkait graf prima berdasarkan beberapa hasil penelitian sebelumnya yang terkait. Cara lainnya yaitu dengan mengkonstruksi suatu fungsi bijektif sehingga label simpul-simpul yang bertetangga saling prima. Pada artikel ini, dilakukan konstruksi fungsi bijektif ๐ pada graf simpul semi total dari graf sikat ๐ ๐(๐ต๐) untuk ๐ = 1,2, sehingga dengan fungsi ๐, graf ๐ 1(๐ต๐) dan ๐ 2(๐ต๐) dapat dilabelkan dengan pelabelan prima.
Masing-masing label dari simpul graf merupakan suatu bilangan asli yang berbeda dan label dari simpul- simpul yang bertetangga harus memenuhi kondisi ๐น๐๐ต(๐(๐ข), ๐(๐ฃ)) = 1, untuk suatu fungsi pelabelan ๐ dengan ๐ข, ๐ฃ simpul-simpul pada graf, atau dengan kata lain label simpul-simpul tersebut saling prima.
Oleh karena itu, diberikan konsep terkait saling prima dan fungsi bijektif.
Teorema 1 Misal ๐ dan ๐ adalah bilangan bulat, satu diantaranya tidak sama dengan nol. Bilangan bulat ๐ dan ๐ saling prima (relatif prima) jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat ๐ฅ dan ๐ฆ sedemikian sehingga 1 = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ (Burton, 2007).
Sebagai suatu cara yang digunakan untuk memperoleh nilai ๐ฅ dan ๐ฆ yang memenuhi persamaan 1 = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ dapat dilakukan dengan menggunakan algoritma Euclidean sebagai berikut.
1. Jika ๐ < ๐ tukar kedua nilai ๐ dan ๐ sedemikian sehingga ๐
๐ > 1.
2. Bagi ๐ dengan ๐ dan ambil sisanya sebagai nilai ๐. Jika nilai ๐ = 0 proses selesai.
3. Ganti nilai ๐ dengan nilai ๐ dan ganti nilai ๐ dengan nilai ๐. Kembali lagi pada langkah ke-2.
Tahapan selanjutnya adalah menggunakan persamaan-persamaan yang diperoleh pada langkah 1 sampai dengan 3 untuk menemukan nilai ๐ฅ dan ๐ฆ yang memenuhi persamaan ๐๐ฅ + ๐๐ฆ = 1.
Pelabelan prima pada graf simpul semi total dari graf sikat akan menggunakan fungsi bijektif ๐ untuk memberi label masing-masing simpulnya. Berikut adalah definisi dari beberapa fungsi yang digunakan pada tulisan ini yaitu fungsi injektif, fungsi surjektif, dan fungsi bijektif.
Definisi 2 Fungsi ๐: ๐ด โ ๐ต dikatakan (Munir, 2010):
a) Satu-satu atau injektif, jika tidak ada dua elemen dari himpunan ๐ด yang memiliki image sama.
Dengan kata lain, jika ๐ โ ๐ maka ๐(๐) โ ๐(๐).
b) Pada atau surjektif, jika setiap elemen himpunan ๐ต merupakan image dari satu atau lebih elemen himpunan ๐ด. Dengan kata lain himpunan ๐ต merupakan range dari ๐.
c) Bijektif, jika fungsi ๐ merupakan fungsi injektif dan juga fungsi surjektif.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian ini memuat penjelasan pembentukan graf simpul semi total dari graf sikat ๐ ๐(๐ต๐) serta hasil pelabelan prima pada graf ๐ 1(๐ต๐) dan ๐ 2(๐ต๐). Sebelum memasuki pembahasan terlebih dahulu diberikan definisi dari graf sikat dan graf simpul semi total dari graf sikat.
Definisi 3 Graf sikat ๐ต๐ dengan simpul sebanyak 2๐,(๐ โฅ 2) diperoleh dari menggabungkan graf bintang ๐พ1,1 ke setiap simpul graf lintasan ๐๐ (Samuel & Kalaivani, 2018b).
Gambar 1. Graf ๐ต5
Definisi 4 Misal ๐บ adalah graf sederhana. Graf simpul semi total dari graf ๐บ, dinotasikan dengan ๐ ๐(๐บ), yaitu graf yang diperoleh denga n menambahkan sebanyak ๐ simpul untuk setiap sisi di graf ๐บ dan menghubungkan simpul-simpul tersebut dengan simpu-simpul dari masing-masing sisi (Jog et al., 2012).
(a) (b)
Gambar 2. (a) Graf ๐ 1(๐ต๐) dan (b) Graf ๐ 2(๐ต๐)
Suatu graf prima ๐บ memiliki suatu fungsi bijektif yang memetakan simpul pada graf ๐บ ke bilangan- bilangan {1,2,3, . . . , |๐(๐บ)|}, sebagaimana dijelaskan oleh definisi dari graf prima pada Definisi 5. Lebih lanjut, hasil pelabelan prima dari berdasarkan penelitian sebelumnya terkait graf sikat dinyatakan pada Teorema 6 hingga Teorema 8.
Definisi 5 Pelabelan prima dari suatu graf adalah suatu fungsi bijektif ๐: ๐(๐บ) โ {1,2,3, . . . , |๐(๐บ)|}
sedemikian sehingga untuk setiap pasang simpul ๐ข dan ๐ฃ yang bertetangga ๐น๐๐ต(๐(๐ข), ๐(๐ฃ)) = 1. Graf yang dapat dilabelkan dengan pelabelan prima disebut dengan graf prima (Vaidya & Prajapati, 2012).
Gambar 3. Pelabelan prima pada suatu graf
Teorema 6 Graf sikat ๐ต๐ adalah graf prima untuk ๐ โฅ 2, ๐ โ โ (Samuel & Kalaivani, 2018b).
Gambar 4. Pelabelan prima pada graf ๐ต5
Teorema 7 Line graf dari graf sikat ๐ฟ(๐ต๐) dengan 2๐ โ 1 simpul adalah graf prima, untuk ๐ โฅ 2, ๐ โ โ (Fran et al., 2021).
Gambar 5. Pelabelan prima pada graf ๐ฟ(๐ต5)
Teorema 8 Splitting graf dari graf sikat ๐ ๐๐(๐ต๐) adalah graf prima untuk ๐ โฅ 2, ๐ โ โ (Fran et al., 2021).
Gambar 6. Pelabelan prima pada graf ๐ ๐๐(๐ต5)
Berdasarkan Definisi 5, pada graf ๐ ๐(๐ต๐) dikonstruksi suatu fungsi ๐ sedemikian sehingga suatu graf simpul semi total dari graf sikat ๐ ๐(๐ต๐) untuk ๐ = 1,2 dapat dilabelkan dengan pelabelan prima. Oleh karena itu diperoleh Teorema 9 dan Teorema 10.
Teorema 9 Graf simpul semi total dari graf sikat ๐ 1(๐ต๐) dengan ๐ โฅ 2 merupakan graf prima.
Bukti: Dibentuk graf simpul semi total dari graf sikat ๐ 1(๐ต๐) dengan ๐ข๐, ๐ฃ๐, ๐ค๐, ๐ฅ๐ โ ๐(๐ 1(๐ต๐)), ๐ = 1,2, โฏ , ๐, ๐ = 1,2, โฏ , ๐ โ 1 dan |๐(๐ 1(๐ต๐))| = 4๐ โ 1. Dikonstruksi fungsi pelabelan prima ๐: ๐(๐ 1(๐ต๐)) โ {1,2, โฏ , |๐(๐ 1(๐ต๐))|} dengan,
๐(๐ข๐) = {4๐ โ 1, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ โก 1(๐๐๐ 3) 4๐ โ 3, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐(๐ฃ๐) = 4๐ โ 2
๐(๐ค๐) = {4๐ โ 3, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ โก 1(๐๐๐ 3) 4๐ โ 1, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐(๐ฅ๐) = 4๐
Selanjutnya akan dibuktikan untuk setiap pasang simpul ๐ข dan ๐ฃ yang bertetangga di ๐ 1(๐ต๐), ๐๐๐(๐(๐ข), ๐(๐ฃ)) = 1. Misal diberikan ๐ข dan ๐ฃ titik yang bertetangga pada graf ๐ 1(๐ต๐). Menggunakan algoritma Euclidean diperoleh nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada Tabel 1 sedemikian sehingga ๐(๐ฃ)๐ฅ + ๐(๐ค)๐ฆ = 1.
Tabel 1 Nilai x dan y pada Graf ๐ 1(๐ต๐)
Deskripsi Kondisi Nilai ๐ Nilai ๐
๐ข๐ bertetangga dengan ๐ฃ๐ ๐ โก 1 (๐๐๐ 3) 1 โ1
๐ โข 1(๐๐๐ 3) โ1 1
๐ข๐ bertetangga dengan ๐ค๐ ๐ โก 1 (๐๐๐ 3) 2 โ 2๐ 2๐ โ 1 ๐ โข 1(๐๐๐ 3) 2๐ โ 1 2 โ 2๐
๐ค๐ bertetangga dengan ๐ฃ๐ ๐ โก 1 (๐๐๐ 3) โ1 1
๐ โข 1(๐๐๐ 3) 1 โ1
๐ค๐ bertetangga dengan ๐ค๐+1
๐ โก 1 (๐๐๐ 3) 4 โ10(๐ + 2) 3
10(๐ + 2) 3 โ 9 ๐ โก 2 (๐๐๐ 3) โ(๐ + 1) ๐ ๐ โก 0 (๐๐๐ 3) โ(2๐ + 1) 2๐ ๐ค๐ bertetangga dengan ๐ฅ๐ ๐ โก 1 (๐๐๐ 3) 5 โ8(๐ + 2)
3
8(๐ + 2) 3 โ 7
๐ โข 1(๐๐๐ 3) โ1 1
๐ฅ๐ bertetangga dengan ๐ค๐+1
๐ โก 1 (๐๐๐ 3) 3 โ8(๐ + 2) 3
8(๐ + 2) 3 โ 5 ๐ โก 2 (๐๐๐ 3) โ4(๐ + 1)
3
4(๐ + 1) 3 โ 1
Oleh karena terdapat ๐ฅ dan ๐ฆ sehingga ๐(๐ฃ)๐ฅ + ๐(๐ค)๐ฆ = 1, maka berdasarkan Teorema 1, ๐(๐ฃ) dan ๐(๐ค) saling prima. Graf ๐ 1(๐ต๐) dapat dilabelkan prima, sehingga ๐ 1(๐ต๐) adalah graf prima.
Gambar 7. Pelabelan prima pada ๐ 1(๐ต5)
Teorema 9 Graf simpul semi total dari graf sikat ๐ 2(๐ต๐) dengan ๐ โฅ 2 merupakan graf prima.
Bukti: Dibentuk graf simpul semi total dari graf sikat ๐ 2(๐ต๐) dengan ๐ข๐, ๐ฃ๐, ๐ค๐, ๐ฅ๐, ๐ฆ๐ โ ๐(๐ 2(๐ต๐)), ๐ = 1,2, โฏ , ๐ ; ๐ = 1,2, โฏ ,2๐; ๐ = 1,2, โฏ , ๐ โ 1 dan ๐(๐ 2(๐ต๐)) = 6๐ โ 2. Dikonstruksi fungsi pelabelan prima ๐: ๐(๐ 2(๐ต๐)) โ {1,2, . . . ,6๐ โ 2} sebagai berikut.
๐(๐ข๐) = 6๐ โ 3
๐(๐ฃ๐) = {3๐ + 1, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ โก 1(๐๐๐ 2) 3๐ โ 4, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐๐
๐(๐ค๐) = {6๐ โ 1, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ โ ๐ ๐๐๐ ๐ โก 0(๐๐๐ 5) 6๐ โ 5, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐(๐ฅ๐) = {6๐ โ 5, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ โก 0(๐๐๐ 5) 6๐ โ 1, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐(๐ฆ๐) = 6๐
Selanjutnya akan dibuktikan untuk setiap pasang simpul ๐ข dan ๐ฃ yang bertetangga di ๐ 2(๐ต๐),๐๐๐(๐(๐ข), ๐(๐ฃ)) = 1. Misal diberikan ๐ข dan ๐ฃ titik yang bertetangga pada graf ๐ 2(๐ต๐).
Menggunakan algoritma Euclidean diperoleh nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada Tabel 2 sedemikian sehingga ๐(๐ฃ)๐ฅ + ๐(๐ค)๐ฆ = 1.
Tabel 2 Nilai ๐ฅ dan ๐ฆ pada Graf ๐ 2(๐ต๐)
Deskripsi Kondisi Nilai ๐ Nilai ๐
๐ข๐ bertetangga dengan ๐ฃ2๐โ1 ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ ๐๐ก๐๐๐ ๐ โ1 1
๐ข๐ bertetangga dengan ๐ฃ2๐ ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ ๐๐ก๐๐๐ ๐ 1 โ1
๐ข๐ bertetangga dengan ๐ค๐
๐ = ๐ ๐๐๐
๐ โก 0 (๐๐๐ 5) 3๐ โ 2 1 โ 3๐
๐ โก 0 (๐๐๐ 5) โ3๐ 3๐ โ 1
๐ โข 0(๐๐๐ 5) 3๐ โ 2 1 โ 3๐ ๐ค๐ bertetangga dengan ๐ฃ2๐โ1
๐ = ๐ ๐๐๐
๐ โก 0 (๐๐๐ 5) 1 โ 4๐ 1 โ 3๐
๐ โก 0 (๐๐๐ 5) 1 โ1
๐ โข 0(๐๐๐ 5) 1 โ 4๐ 1 โ 3๐ ๐ค๐ bertetangga dengan ๐ฃ2๐
๐ = ๐ ๐๐๐
๐ โก 0 (๐๐๐ 5) โ1 1
๐ โก 0 (๐๐๐ 5) 10๐ โ 1 โ10๐
๐ โข 0(๐๐๐ 5) โ1 1
๐ค๐ bertetangga dengan ๐ฅ๐ ๐ โก 0 (๐๐๐ 10) 3๐
2 โ 1 โ3๐
2
Deskripsi Kondisi Nilai ๐ Nilai ๐ ๐ โข 0(๐๐๐ 10) 9(๐ + 1)
2 โ 8 5 โ9(๐ + 1) 2 ๐ โข 0(๐๐๐ 5)๐๐๐
๐ โก 0 (๐๐๐ 2) โ3๐ 2
3๐ 2 โ 1 ๐ โข 0(๐๐๐ 5) ๐๐๐
๐ โข 0(๐๐๐ 2) 5 โ9(๐ + 1) 2
9(๐ + 1) 2 โ 8
๐ฅ๐ bertetangga dengan ๐ค๐+1
๐ โก 0 (๐๐๐ 5) ๐๐๐
๐ โก 0 (๐๐๐ 10) ๐ 1 โ ๐
๐ โก 0 (๐๐๐ 5) ๐๐๐
๐ โข 0(๐๐๐ 10) โ(5๐ + 1) 5๐ โ 4 ๐ + 1 = ๐ ๐๐๐
๐ โก 4 (๐๐๐ 5) โ(3๐ + 1) 3๐ ๐ โก 4 (๐๐๐ 5) โ(๐ + 1) ๐ ๐ โข 0(๐๐๐ 5) ๐๐๐
๐ โข 4(๐๐๐ 5) โ(3๐ + 1) 3๐ ๐ค๐ bertetangga dengan ๐ฆ๐
๐ โก 0 (๐๐๐ 5) โ1 1
๐ โข 0(๐๐๐ 5) 5 โ9(๐ + 1) 2
9(๐ + 1) 2 โ 8
๐ฆ๐ bertetangga dengan ๐ค๐+1
๐ + 1 = ๐ ๐๐๐
๐ โก 4 (๐๐๐ 5) โ1 1
๐ โก 4 (๐๐๐ 5) โ(6(๐ + 1)
5 ) 6(๐ + 1) 5 โ 1
๐ โข 4(๐๐๐ 5) โ1 1
Oleh karena terdapat ๐ฅ dan ๐ฆ sehingga ๐(๐ฃ)๐ฅ + ๐(๐ค)๐ฆ = 1, maka berdasarkan Teorema 1, ๐(๐ฃ) dan ๐(๐ค) saling prima. Graf ๐ 2(๐ต๐) dapat dilabelkan prima, sehingga ๐ 2(๐ต๐) adalah graf prima.
Gambar 8. Pelabelan prima pada ๐ 2(๐ต5)
KESIMPULAN
Dari hasil konstruksi pelabelan prima yang dilakukan pada graf ๐ ๐(๐ต๐) diperoleh bahwa graf simpul semi total dari graf sikat ๐ ๐(๐ต๐) dengan 2๐(1 + ๐) โ ๐ simpul merupakan suatu graf prima untuk ๐ = 1,2. Pelabelan prima yang dikonstruksi pada graf simpul semi total dari graf sikat ๐ ๐(๐ต๐) merupakan fungsi bijektif ๐: ๐(๐ ๐(๐ต๐)) โ {1,2,3, . . . , |๐(๐ ๐(๐ต๐))|} sedemikian sehingga untuk setiap label simpul
๐
Penelitian tentang pelabelan prima untuk graf-graf lainnya yang merupakan hasil konstruksi dari graf dasar tertentu dapat dilakukan, khususnya terkait pengkonstruksian fungsi pada pelabelan prima.
Lanjutan dari penelitian ini, dapat dilakukan untuk graf ๐ ๐(๐ต๐) untuk ๐ โฅ 3. Salah satu hal yang menarik adalah menemukan semua ๐ โ โ sehingga graf ๐ ๐(๐ต๐) merupakan graf prima.
DAFTAR PUSTAKA
Burton, D. M. (2007). Elementary Number Theory - Sixth Edition. Elementary Number Theory, 13โ32.
Chaurasiya, M., Limda, A., Parmar, N., & Rupani, M. (2021). Note On k-Prime Labeling of Some Graphs. IRE Journals, 4(12), 2456-8880.
Edward, Samuel, A., & Kalaivani, S. (2016). Prime labeling for some octopus related graphs.
International Organisation of Scientific Research (IOSR)-Journal of Mathematics, 12(6).
Fran, F., Putra, D. P., & Pasaribu, M. (2021). Prime Labeling of Line and Splitting Graph of Brush Graph. Journal of Physics: Conference Series, 2106.
Jog, S. R., Hande, S. P., Gutman, I., & Burcu Bozkurt, ล. (2012). Derived graphs of some graphs.
Kragujevac Journal of Mathematics, 36(2), 309โ314.
Kavitha, P. (2022). Highly Total Prime Labeling for Some Duplicate Graph. TWMS J. AND ENG.
MATH, 12(4), 1336-1348.
Lakshmi, R. A., Jayalakshmi, K., & Madhavi, T. (2018). Prime labeling of Jahangir graphs.
International Journal of Engineering and Technology(UAE), 7(4.10 Special Issue 10), 389โ
392. https://doi.org/10.14419/ijet.v7i4.10.20944
Munir, R. (2010). Matematika Diskrit Ed ke-3. Bandung: Informatika.
Parthiban, A., Pir, A. A., & Felix, A. (2020). Certain Result on Prime and Prime Distance Labeling of Graphs. Journal of Physics: Conference Series. 1531.
Prajapati, U. M., & Gajjar, S. J. (2014). Some results on prime labeling. Open Journal of Discrete Mathematics, 4(3), 60โ66.
Rahmawati, D., Fran, F., Yudhi, & Krisantoni, D. (2020). Total rainbow connection number of- centipede graph and its line, square, and middle graph. In AIP Conference Proceedings (Vol.
2268). https://doi.org/10.1063/5.0016815
Samuel, A. E., & Kalaivani, S. (2018). Prime Labeling to Drums Graphs. Annals of Pure and Applied Mathematics, 16(2), 307โ312. https://doi.org/10.22457/apam.v16n2a7
Samuel, A. E., & Kalaivani, S. (2018a). Prime Labeling for Some Lilly related Graphs. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 118(23), 195โ204.
Samuel, A. E., & Kalaivani, S. (2018b). Prime Labeling to Brush Graphs. International Journal of
Mathematics Trends and Technology, 55(4), 259โ262.
https://doi.org/10.14445/22315373/ijmtt-v55p533
Teresa, A. S., & Vijayalakshmi, G. (2019). k-Prime Labeling of Certain Cycle Connected Graphs.
Malaya Journal of Matematik, S(1), 280-283.
Teresa, A. S., & Vijayalakshmi, G. (2020). k-Prime Labeling of One Point Union of Path Graph.
Procedia Computer Science, 172, 649-654.
Vaidya, S. K., & Prajapati, U. M. (2011). Some Result on Prime and k-Prime Labeling. Journal of Mathematics Research, 3(1).
Vaidya, S. K., & Prajapati, U. M. (2012). Some Switching Invariant Prime Graphs. Open Journal of Discrete Mathematics, 2(1), 17โ20. https://doi.org/10.4236/ojdm.2012.21004
Zhang, X., Cancan, M., Nadeem, M. F., & Imran, M. (2020). Edge irregularity strength of certain families of comb graph. Proyecciones, 39(4), 787โ797. https://doi.org/10.22199/issn.0717- 6279-2020-04-0049