PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Petrus Tri Hariyadi NIM :121414080
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA 2017
i
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Petrus Tri Hariyadi NIM : 121414080
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA 2017
ii
SKRIPSII
iii
SKRIPSI
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Orang yang berhasil adalah orang bodoh yang tetap berjuang,dan orang yang tidak menghasilkan apapun adalah
orang bijak yang berhenti berjuang
Celica, Rmkar
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 24 Agustus 2017 Penulis
Petrus Tri Hariyadi
vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Petrus Tri Hariyadi NIM : 12 1414 080
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda
Dengan demikian saya memberikan kepada Universitas Sanata Dharma hak untuk menyiapkan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelola dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun member royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya
Dibuat di Yogyakarta
Pada Tanggal: 24 Agustus 2017 Yang menyatakan,
(Petrus Tri Hariyadi)
vii
ABSTRAK
Petrus Tri Hariyadi. 2017. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda. Skripsi.
Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Pelabelan Total Ajaib Sisi atau Edge Magic Total Labelings (ETML) merupakan pemetaan bijektif 𝜆 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan asli {1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒} dengan 𝑣 = |V(G)| dan 𝑒 = |E(G)| sedemikian sehingga untuk setiap sisi 𝑣𝑖,𝑣𝑗 ∈ 𝐸(𝐺) berlaku, 𝜆(𝑣𝑖) + 𝜆(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) + 𝜆(𝑣𝑗) = 𝑘 untuk setiap konstanta ajaib 𝑘. Graf roda 𝑊1,𝑛 merupakan graf yang dibangun dengan operasi penggabungan pada graf lengkap 𝐾1 dengan graf sikel 𝐶𝑛, dinotasikan 𝑊1,𝑛 = 𝐾1+ 𝐶𝑛. Pada skripsi ini, graf roda 𝑊1,𝑛 akan disebut 𝑊𝑛. Tujuan penelitian ini adalah (1) mengetahui apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda, (2) mengetahui bagaimana rentang nilai konstanta ajaib 𝑘, dan (3) mengetahui cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib k.
Hasil penelitian ini adalah (1) pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda 𝑊𝑛 jika (𝑛 ≢ 3(𝑚𝑜𝑑 4)) , (2) melalui perhitungan dasar dengan mempertimbangkan struktur graf roda diperoleh rentang nilai kosntanta ajaib 𝑘 yaitu 11𝑛+17
4 ≤ 𝑘 ≤25𝑛+7
4 , dan (3) pelabelan dilakukan secara iteratif dengan memberikan label titik tengah (𝑐) dan titik lainnya (𝑣) sehingga diperoleh label untuk jari-jari (𝑒), dan pelabelan label sisi (𝑠). Ada banyak cara memberikan label elemen pada graf roda sehingga dibutuhkan suatu algoritma untuk pelabelan pada graf roda. Algoritma pelabelan disimulasikan melalui program MATLAB 7.1.
Kata kunci : pelabelan total ajaib sisi, graf roda
viii
ABSTRACT
Petrus Tri Hariyadi. 2017. Edge-Magic Total Labelings on Wheel.
Undergradute Thesis. Mathematics Education Study, Faculty of Teacher Training and Education Science, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
Edge-magic total labeling is one-to-one function of 𝜆 from 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) into the integer {1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒} with 𝑣 = |V(G)| and 𝑒 = |E(G)| if there is so that for every 𝑣𝑖,𝑣𝑗 ∈ 𝐸(𝐺), 𝜆(𝑣𝑖) + 𝜆(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) + 𝜆(𝑣𝑗) = 𝑘 for every magic constant 𝑘.
Wheel 𝑊1,𝑛 is the join of 𝐾1 with 𝐶𝑛, that is 𝑊1,𝑛 = 𝐾1+ 𝐶𝑛. In this thesis, the wheel 𝑊1,𝑛 is called 𝑊𝑛. The purpose of this thesis were (1) to know whether the graph wheel has edge-,magic total labeling, (2) to know to interval magic constant 𝑘, and (3) to know how to label the elements of wheel with magic constant 𝑘.
The product of the research are (1) graph wheel has edge-magic total labeling if (𝑛 ≢ 3(𝑚𝑜𝑑 4)), (2) with basic counting of computing which consider to the structure of wheel, The feasiable range of magic constant 𝑘 is 11𝑛+17
4 ≤ 𝑘 ≤
25𝑛+7
4 , and (3) labeling is started by attempting possible label for central vertex (𝑐) and another vertex (𝑣), spoke edge (𝑒) and rim edge (𝑠) done iteratively. There are many ways to label the element of wheel therefore a labeling algorithm of wheel is needed.Labeling algorithm is simulated through the MATLAB 7.1 Program.
Keywords : edge-magic total labeling, wheel
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepeda Tuhan Yang Maha Esa, karena hanya dengan berkat dan karunia-Nya, serta campur tangan-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda”
dengan baik.
Pada kesempatan ini penulis juga mengucapkan rasa terima kasih kepada:
1. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis, sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.
2. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik.
3. Bapak Drs. Sugiarto Pudjohartono, M.T. selaku Dosen Pembimbing Akademik dari tahun 2012-2017.
4. Segenap Dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan setelah penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan studi.
5. Segenap Staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi kampus selama penulis melakukan studi.
6. Keluarga yaitu Bapak Supardi, Ibu Maria, Mas Eko dan Desi yang selalu memberikan dukungan serta doa kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
x
7. Segenap keluarga, terutama Mbah Cipto, Le Tar, Le Topik, Le To, Mbah Nem, Le Yatno dan Mas Heri yang selalu memberikan semangat, motivasi, serta inspirasi kepad penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan studi.
8. Nataya, Veronica dan Bella yang memberikan semangat dan dukungan yang sangat berarti bagi penulis selama menjalani studi.
9. Remon, Bintang, Andi, Jepri, Setya, Ricat, David, Gesta dan Fauzi yang memberikan dukungan kepada penulis selama studi.
10. Semua teman dari program studi Pendidikan Matematika angkatan 2012 yang memberikan dukungan kepada penulis selama studi.
11. Seluruh anggota dari Menwa Ignatian Universitas Sanata Dharma yang selalu memberikan hal-hal baru kepada penulis.
12. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat berguna bagi para pembaca.
Penulis, Petrus Tri Hariyadi
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN MOTTO ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .. vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xiii
DAFTAR NOTASI ... xvi
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ... 1
B. Batasan Masalah ... 5
C. Rumusan Masalah ... 5
D. Tujuan Penelitian ... 5
E. Manfaat Penelitian ... 6
F. Metode Penelitian... 6
G. Sistematika Penulisan ... 7
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pengertian Graf ... 8
B. Jenis-jenis Graf ... 13
C. Pelabelan Graf ... 21
D. Dualitas Graf ... 27
xii
BAB III PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi ... 28
B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda... 30
1. Batas Total Label Titik 𝑆𝑣 ...30
2. Batas Nilai Konstanta Ajaib k Untuk Setiap Graf Roda ...31
3. Batas Nilai Titik Pusat c untuk Konstanta Ajaib k ...33
4. Pelabelan Titik dan Sisi Pada Graf Roda ...37
C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda ... 38
1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda 𝑛 ≡ 0𝑚𝑜𝑑4 ...39
2. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda 𝑛 ≡ 1𝑚𝑜𝑑4 ...40
3. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda 𝑛 ≡ 2𝑚𝑜𝑑4 ...41
4. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda 𝑛 ≡ 3𝑚𝑜𝑑4 ...42
BAB IV ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA A. Proses Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda ... 44
B. Diagram Alir Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda ... 46
1. Bagian Input (Menginput nilai 𝑛 dan 𝑘) ...47
2. Bagian Pengolahan (Program perulangan) ...48
3. Bagian Output (Mengeluarkan hasil) ...52
C. Deskripsi Algoritma Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda ... 52
1. Bagian Input (Menginput nilai 𝑛 dan 𝑘) ...52
2. Bagian Pengolahan (Program perulangan) ...53
3. Bagian Output (Mengeluarkan hasil) ...58
D. Simulasi Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda ... 58
E. Kekurangan pelabelan dengan menggunakan software MATLAB 7.1 ... 63
F. Contoh Pemanfaatan Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda ... 64
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan ... 69
B. Saran ... 70
DAFTAR PUSTAKA ...71
LAMPIRAN ...72
xiii
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR G AMBAR
Gambar 1.1 Diagram Alir Enkripsi dan Deskripsi ………... 2
Gambar 1.2 Proses Enkripsi dan Deskripsi sebuah pesan ……… 2
Gambar 1.3 Pelabelan total ajaib sisi pada 𝑊6 dengan 𝑘 = 38 ……… 4
Gambar 2.1 Graf 𝐺1 dan 𝐺2……… 8
Gambar 2.2 Bukan Graf ……… 9
Gambar 2.3 Graf 𝐺3………... 9
Gambar 2.4 Graf 𝐺4……… 10
Gambar 2.5 Graf 𝐺5………... 11
Gambar 2.6 Graf Sederhana …..……… 13
Gambar 2.7 Graf Tidak Sederhana (a) graf ganda, (b) graf semu ……… 14
Gambar 2.8 Graf tidak berhingga ……… 15
Gambar 2.9 Graf tidak berarah ……… 16
Gambar 2.10 Graf berarah ……….. 16
Gambar 2.11 Graf lengkap ………. 17
Gambar 2.12 Graf sikel ……….. 17
Gambar 2.13 Graf teratur ………... 18
Gambar 2.14 Graf Lengkap 𝐾4 merupakan Graf Planar ………. 18
Gambar 2.15 Graf Lengkap 𝐾5 merupakan Graf Tidak Planar ………... 19
Gambar 2.16 Operasi penggabungan graf ………... 20
xiv
Gambar 2.17 Graf roda ……….. 20
Gambar 2.18 Penamaan elemen graf roda ………. 21
Gambar 2.19 Label elemen graf roda ………. 22
Gambar 2.20 Pelabelan titik pada graf roda ………... 22
Gambar 2.21 Pelabelan sisi pada graf roda ……… 22
Gambar 2.22 Pelabelan total pada graf roda ……….. 23
Gambar 2.23 Pelabelan total ajaib sisi pada graf roda 𝑊6 ……… 25
Gambar 3.1 Pelabelan pada graf roda ……….. 29
Gambar 3.2 Pelabelan pada graf roda ……….. 34
Gambar 4.1 Diagram Alir Proses Pelabelan ………. 46
Gambar 4.2 Diagram input nilai 𝑛 dan 𝑘 ………. 47
Gambar 4.3 Diagram label 𝑐, 𝑣1 dan 𝑒1 ………... 49
Gambar 4.4 Diagram label 𝑣, 𝑒 dan 𝑠1 sampai 𝑠𝑛−1 ……… 50
Gambar 4.5 Diagram label𝑠𝑛 ……….. 51
Gambar 4.6 Diagram output label 𝑐, 𝑣, 𝑒 dan 𝑠 ……… 52
Gambar 4.7 Tampilan awal pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 ……… 58
Gambar 4.8 Tampilan input 𝑛 = 5 pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 ……… 59
Gambar 4.9 Tampilan hasil pelabelan dengan 𝑛 = 5 dan 𝑘 = 25 pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 ………. 59
Gambar 4.10 Tahap pertama ilustrasi hasil pelabelan ……….…… 60
Gambar 4.11 Tahap kedua ilustrasi hasil pelabelan ……… 60
Gambar 4.12 Tahap ketiga ilustrasi hasil pelabelan ……… 61
Gambar 4.13 Tahap keempat ilustrasi hasil pelabelan ……… 62
xv
Gambar 4.14 Tahap kelima ilustrasi hasil pelabelan ……….. 62 Gambar 4.15 Pelabelan total ajaib sisi pada 𝑊6 …………..……… 64
xvi
DAFTAR NOTASI
V(G) Himpunan titik di G E(G) Himpunan sisi di G 𝑣𝑖 Titik ke-i
𝑣𝑖, 𝑣𝑗 Sisi yang menghubungkan titik 𝑣𝑖 dengan 𝑣𝑗 𝑒𝑖 Sisi ke-i
Dalam graf roda berupa sisi pada jari-jari di mana 𝑒𝑖 bersisian dengan 𝑐 dan 𝑣𝑖
|𝑉(𝐺)| Order (banyaknya titik) pada G
|𝐸(𝐺)| Ukuran (banyaknya sisi) pada G
𝑑(𝑣𝑖) Degree (banyaknya sisi yang bersisian) pada titik 𝑣𝑖 𝐺 + 𝐻 Operasi penggabungan (Join) graf G dengan graf H c Dalam graf roda berupa titik pusat
𝑠𝑖 Dalam graf roda berupa sisi pada sikel di mana 𝑠𝑖 bersisian dengan 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑖+1
𝜆(𝑣𝑖) Label pada titik 𝑣𝑖
𝜆(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) Label pada sisi yang menghubungkan titik 𝑣𝑖 dengan 𝑣𝑗 𝑤𝑡(𝑣𝑖) Bobot pada titik 𝑣𝑖
𝑤𝑡(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) Bobot pada sisi yang menghubungkan titik 𝑣𝑖 dengan 𝑣𝑗 𝑆𝑣 Jumlah semua label titik
𝑆𝑒 Jumlah semua label sisi 𝑆𝑤 Jumlah semua bobot sisi
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Ada berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dalam diagram titik dan garis. Titik merepresentasikan objek permasalahan dan garis merepresentasikan hubungan antara objek. Permodelan semacam ini secara khusus dipelajari dalam matematika pada pokok bahasan graf.
Representasi semacam ini dirasakan manfaatnya pada berbagai bidang antara lain dalam perencanaan jalur transportasi, optimasi jaringan komunikasi, model ikatan kimia, perencanaan alur pengunjung pameran, perancanaan jaringan elekrik, dll.
Pelabelan graf merupakan kajian yang terdapat dalam teori graf yang berkembang dan banyak diteliti. Kajian ini pertama kali diperkenalkan oleh Sadlacek pada tahun 1963. Kemudian dikembangkan Steward pada tahun 1966 dan pada tahun 1970, Kotzig dan Rosa membahasnya dengan istilah valuation dalam Wallis (2001). Pelabelan graf juga memiliki aplikasi yang cukup luas dalam berbagai bidang seperti x-ray, kriptografi, sistem biometrik, radar astronomi, desain sirkuit dan desain jaringan komunikasi.
Sebagai contoh dalam kriptografi penggunaan Mesin Enigma untuk merubah sebuah pesan menjadi sebuah pesan acak (Enkripsi) dan merubah pesan acak tersebut menjadi pesan yang sesungguhnya (Deskripsi) melalui algoritma tertentu.
Gambar 1.1 Diagram Alir Enkripsi dan Deskripsi
Gambar 1.2 Proses Enkripsi dan Deskripsi sebuah pesan
Pada beberapa kasus, solusi dari permasalahan-permasalahan tersebut dapat ditemukan dengan melakukan pelabelan pada sisi atau titiknya.
Pelabelan graf merupakan pelabelan yang memetakan setiap elemen graf ke bilangan asli, beberapa jenis pelabelan menurut himpunan asalnya, yaitu pelabelan titik (vertex labelings), pelabelan sisi (edge labeling) dan pelabelan total (total labeling). Pelabelan titik merupakan pelabelan dengan himpunan
asal berupa titik, pelabelan sisi merupakan pelabelan dengan himpunan asal berupa sisi, sedangkan pelabelan total adalah pelabelan yang himpunan asalnya adalah titik dan sisi.
Bila pelabelan yang dilakukan memenuhi suatu nilai tertentu, maka pelabelan graf dibedakan menjadi dua yakni pelabelan ajaib (magic labeling) dan pelabelan tidak-ajaib (antimagic labeling). Pada pelabelan ajaib, bobot elemen graf yang dievaluasai memenuhi suatu nilai tertentu, nilai ini selalu tetap untuk semua elemen yang dievaluasi dan disebut konstanta ajaib. Sedangkan pada pelabelan tidak-ajaib, nilai bobot elemen graf yang dievaluasi berbeda satu dengan yang lainnya.
Pada penerapan pelabelan, bobot elemen yang dievaluasi dapat berupa titik maupun sisi, sehingga terdapat banyak penerapan yang dapat digunakan.
Pelabelan total ajaib sisi merupakan pelabelan yang memetakan setiap himpunan sisi dan titik ke himpunan bilangan asli {1,2,3,…, e + v} di mana e dan v secara beruntun menyatakan banyaknya sisi dan titik, sedemikian hingga jumlahan dari label sisi dan titik yang bersisian sama/konstan. Wallis (2001).
Pelabelan graf tersebut dapat diterapkan untuk memecahkan suatu permasalahan dengan menggunakan model tertentu, sehingga label pada setiap elemen yang dievaluasi dapat terhubung. Pada penerapannya, pelabelan total ajaib sisi pada graf roda dapat digunakan sebagai kode yang diterapkan pada suatu kartu, dimana kartu tersebut dapat digunakan untuk menggunakan dua buah akses antara lain berdasarkan label yang terdapat pada kartu sebagai akses untuk membuka suatu ruangan dan berdasarkan nilai konstanta ajaib yang di
terapkan pada kartu tersebut sebagai akses untuk menggunakan lift pada suatu bangunan bertingkat.
Gambar 1.3 Pelabelan total ajaib sisi pada 𝑊6 dengan 𝑘 = 38 Sebagai contoh pada lantai 6 sebuah bangunan, terdapat 12 ruangan berbeda di mana setiap ruangan memiliki kodenya masing-masing. Ruangan tersebut hanya dapat dibuka dengan menggunakan kartu yang memiliki kode yang sama.
Misalkan kode pada ruangan 601 adalah 160319 sedangkan pada ruangan 602 adalah 160517. Pada saat menggunakan lift dari kedua kartu tersebut langsung terintegrasi dengan lantai 6 karena nilai konstanta ajaib yang diterapkan pada kedua kartu tersebut adalah 38.
Dalam penelitiannya, Kristinawati (2015) telah membuktikan bahwa pelabelan total ajaib dengan model roda dengan bobot elemen yang dievaluasi adalah titik dapat diberikan label dengan batasan banyaknya titik pada sikel terletak pada (3 ≤ 𝑛 ≤ 11).
Berdasarkan penelitaian yang telah dilakukan oleh Kristinawati, peneliti tertarik untuk meneliti pelabelan total ajaib dengan roda sebagai modelnya.
Pada penelitian ini, bobot elemen yang akan dievaluasi adalah sisi.
8 18 12
3
17 9 15
13
11 6
2 16
1
7
5
19
4 10
14
B. Batasan Masalah
Pada skripsi ini akan dibahas graf roda 𝑊𝑛 dan pelabelan total ajaib sisi pada suatu nilai konstanta ajaib k tertentu. Algoritma pelabelan disimulasikan menggunakan program MATLAB 7.1 untuk suatu nilai konstanta ajaib k tertentu.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas, rumusan masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah
1. Apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda?
2. Bagaimana rentang nilai konstanta ajaib yang terbentuk dalam pelabelan total ajaib sisi pada graf roda?
3. Bagaimana cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib k?
D. Tujuan Penelitian
1. Mengetahui apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda.
2. Mengetahui bagaimana rentang nilai konstanta ajaib yang terbentuk dalam pelabelan total ajaib sisi pada graf roda.
3. Mengetahui cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib k.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah
1. Menambah wawasan mengenai pelabelan total ajaib sisi pada graf roda dan rentang nilai konstanta ajaib k yang terbentuk.
2. Dapat memberikan label sisi dan titik pada graf roda dengan menetukan nilai konstanta ajaibnya.
F. Metode Penelitian
Penelitian dalam tugas akhir ini adalah penelitian pustaka (literature research) yang mengacu pada buku Magic Graph oleh W. D. Walis (2001).
Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif, sehingga pola pembahasan dimulai dari hal-hal khusus (induktif) menuju pada sebuah generalisasi yang bersifat umum (deduktif).
Secara garis besar langkah-langkah penelitian ini sebagai berikut:
1. Mengumpulkan literatur yang berhubungan dengan graf roda 𝑊𝑛. 2. Mempelajari graf roda 𝑊𝑛.
3. Menganalisa sifat-sifat pelabelan total ajaib sisi.
4. Menentukan apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada roda 𝑊𝑛, dan menentukan rentang nilai konstanta ajaibnya.
5. Menentukan cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib tertentu.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi lima bagian, yakni Bab I : Pendahuluan
Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan.
Bab II : Kajian Pustaka
Pada bab ini dijelaskan tentang teori graf dasar, jenis-jenis graf, pelabelan graf dan kerangka berpikir.
Bab III : Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda
Pada bab ini dianalisis menganai perhitungan dasar untuk menentukan nilai konstanta ajaib, dan rentang konstanta ajaib berdasarkan struktur graf roda.
Bab IV : Algoritma Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda Algoritma pelabelan total ajaib sisi pada graf roda dan simulasinya.
Bab V : Penutup
Pada bab ini dijelaskan kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya serta saran-saran yang berkaitan dengan pembahasan tersebut.
8 BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Pengertian Graf
Dalam mempelajari graf, terdapat beberapa teori dasar untuk mendukung pembuktian dan mempermudah pemahaman. Googaire dan Parmenter (1998) mendefinisikan graf sebagai:
Definisi 2.1 Graf (Googaire dan Parmenter, 1998)
Graf adalah himpunan pasangan G = (V,E) di mana V(G) adalah himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen yang berbeda pada E(G).
Elemen V(G) disebut titik (vertex) dan elemen E(G) disebut sisi (edge). Jika e ∈ E(G) maka e merupakan himpunan pasangan e = (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) di mana 𝑣𝑖, 𝑣𝑗 ∈ V(G) di mana 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 disebut titik ujung dari e atau dengan kata lain e =(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) yang menghubungkan titik 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗.
Chartrand dan Oellermann (1993) mengemukakan bahwa secara geografis graf dapat digambarkan dengan sekumpulan titik pada bidang dimensi dua yang dihubungkan dengan sekumpulan sisi.
(a) Graf 𝐺1 (b) Graf 𝐺2
Gambar 2.1 Graf 𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑣2 𝑣5
𝑒1
𝑣1 𝑒3
𝑒4 𝑒6
𝑒2
𝑣3 𝑒5 𝑣4
𝑣6
Gambar 2.2 Bukan Graf
Pada Gambar 2.2 bukan merupakan suatu graf karena tidak memenuhi Definisi 2.1 yaitu V(G) himpunan kosong.
Dengan mendalami pengertian pada Definisi 2.1, himpunan di V(G) pada sebuah graf bukanlah himpunan kosong sehingga dapat dipastikan terdapat minimal sebuah unsur di V(G) pada sebuah graf. Banyaknya unsur yang terdapat pada V(G) menentukan order dari graf tersebut.
Definisi 2.2 Order (Googaire dan Parmenter, 1998)
Banyaknya unsur di V(G) pada graf tersebut disebut order dari G dilambangkan dengan |V(G)|.
Pada Gambar 2.1 (a), banyaknya unsur V(G) pada graf 𝐺1 adalah 4 sehingga order dari graf 𝐺1 atau |V(G)| = 4
Berdasarkan Definisi 2.1 diketahui bahwa V(G) bukanlah himpunan kosong sehingga |V(G)| lebih besar sama dengan satu. Antara satu unsur V(G) dengan yang lainnya dimungkinkan adanya unsur E(G) yang menghubungkan dua buah unsur V(G) seperti gambar dibawah ini.
Gambar 2.3 Graf 𝐺3 𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑣5 𝑒5
𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4
Dengan memperhatikan Gambar 2.3 graf 𝐺3, antara satu unsur V(G) dengan yang lainnya ada yang dihubungkan melalui E(G) dan ada yang tidak. Titik 𝑣1 bertetangga dengan titik 𝑣2 dan 𝑣4 karena adanya unsur E(G) yaitu e yang menghubungkan dua buah titik tersebut, tetapi titik 𝑣1 tidak bertetangga dengan 𝑣3 dan 𝑣5.
Definisi 2.3 Ketetanggaan (Munir, 2001)
Dua titik 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 pada graf G dikatakan bertetangga bila terdapat sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut. e = (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ∈ E(G) di mana 𝑣𝑖 ≠ 𝑣𝑗.
Gambar 2.4 Graf 𝐺4
Dengan adanya Definisi 2.3, diantara dua titik yang bertetangga pasti terdapat sisi e yang menghubungkan kedua titik tersebut, tetapi tidak terdapat batasan berapa banyaknya sisi yang menghubungkan kedua titik yang bertetangga tersebut. Pada Gambar 2.4 graf 𝐺4 memiliki lebih dari satu sisi yang menghubungkan kedua titik 𝑣1 dan 𝑣2 yaitu 𝑒4 dan 𝑒7.
Definisi 2.4 Sisi ganda (Munir, 2001)
Graf G dikatakan memiliki sisi ganda jika pada graf G tersebut terdapat titik 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 yang dihubungkan oleh lebih dari satu sisi.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
𝑒6 𝑒7
Dengan adanya Definisi 2.3, diantara dua titik yang bertetangga pasti terdapat sisi e yang menghubungkan kedua titik tersebut, oleh sebab itu sisi e akan bersisian dengan kedua titik tersebut. Sebagai contoh pada Gambar 2.4 sisi 𝑒1 bersisian dengan titik 𝑣1 dan 𝑣2, tetapi tidak bersisian dengan 𝑣4.
Definisi 2.5 Bersisian (Munir, 2001)
Untuk sembarang sisi 𝑒 = (𝑢, 𝑣) dikatakan 𝑒 bersisisan dengan titik 𝑢 dan 𝑒 bersisian dengan titik 𝑣.
Gambar 2.5 Graf 𝐺5
Dengan mendalami Definisi 2.5, di mana sebuah sisi dikatakan bersisian dengan dua buah titik yang dihubungkan oleh sisi tersebut, tetapi tidak terdapat batasan apakah kedua titik yang dihubungkan oleh sisi tersebut merupakan titik yang berbeda. Seperti pada Gambar 2.5 graf 𝐺5 terdapat sebuah sisi 𝑒8 yang menghubungkan sebuah dua buah titik yang sama yaitu 𝑣4 . Sisi yang menghubungkan dua buah titik yang sama disebut gelang.
Definisi 2.6 Gelang (Munir, 2001)
Gelang (loop) merupakan sisi yang bersisian dengan dua buah titik yang sama. Jika 𝑒 = (𝑢, 𝑢) maka 𝑒 adalah gelang.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
𝑒6 𝑒7
𝑒8
Berdasarkan Definisi 2.5 sebuah titik bersisian dengan sebuah sisi jika sisi tersebut menghubungkan dua buah titik namun tidak terdapat batasan mengenai banyaknya sisi yang bersisian dengan titik tersebut, sehingga banyaknya sisi yang bersisian dengan sebuah titik dapat dinyatakan derajat dari titik tersebut.
Definisi 2.7 Derajat (Munir, 2001)
Derajat (degree) titik v atau d(v) adalah banyaknya sisi yang bersisian dengan titik v.
Jika 𝑑(𝑣𝑖) = 0 maka 𝑣𝑖 disebut titik terisolasi (isolated vertex).
Jika 𝑑(𝑣𝑖) = 1, maka 𝑣𝑖 disebut antingan (pendant vertex).
Pada sembarang gelang 𝑒 = (𝑣𝑖, 𝑣𝑖), 𝑑(𝑣𝑖) = 2.
Berdasarkan Gambar 2.5 diketahui bahwa:
𝑣1 bersisian dengan 𝑒1, 𝑒4 dan 𝑒7 sehingga 𝑑(𝑣1) = 3 𝑣2 bersisian dengan 𝑒1, 𝑒2 dan 𝑒5 sehingga 𝑑(𝑣2) = 3
𝑣4 bersisian dengan 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5𝑒6, 𝑒7 dan gelang 𝑒8 sehingga 𝑑(𝑣3) = 7
Berdasarkan Definisi 2.3 di mana dua titik dikatakan bertetangga jika terdapat sisi yang menghubungan kedua titik tersebut. Banyaknya sisi pada sebuah graf menyatakan ukuran (size) dari graf tersebut.
Definisi 2.8 Ukuran (Googaire dan Parmenter, 1998)
Banyaknya unsur pada E(G) disebut ukuran (size) dari G dilambangkan dengan |E(G)|.
Pada Gambar 2.1 (b), banyaknya unsur E(G) pada graf 𝐺2 adalah 6 sehingga order dari graf 𝐺2 atau |E(G)| = 6
B. Jenis-jenis Graf
Dengan banyaknya kemungkinan bentuk graf, graf dapat dibagi menjadi beberapa jenis. Berikut ini pembagian jenis graf menurut sifat-sifat yang terdapat pada graf:
1. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf
Dengan banyaknya bentuk-bentuk graf, mungkin saja terdapat sisi ganda pada graf tersebut sehingga graf dikelompokan menjadi dua yakni:
Definisi 2.9 Graf sederhana (Munir, 2001)
Graf sederhana merupakan graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda. Berikut ini pada Gambar 2.6 merupakan contoh dari graf sederhana.
Gambar 2.6 Graf sederhana
Definisi 2.10 Graf tidak sederhana (Munir, 2001)
Graf tidak sederhana merupakan graf yang mengandung gelang atau sisi ganda.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
Graf tidak sederhana dibedakan menjadi dua macam, yakni:
Gambar 2.7 Graf tidak sederhana
a. Graf ganda (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ) adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf pada Gambar 2.7 (a) adalah contoh graf ganda.
b. Graf semu (𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ) graf yang mengandung sisi ganda dan gelang. Graf pada Gambar 2.7 (b) merupakan contoh graf semu.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, peneliti akan meneliti mengenai graf sederhana.
2. Berdasarkan banyaknya titik pada suatu graf
Berdasarkan Definisi 2.1 di mana graf dikatakan benar sebuah graf jika V(G) adalah himpunan tak kosong, tetapi tidak terdapat batasan banyaknya himpunan yang terdapat V(G) berhingga ataupun tidak, sehingga dimungkinkan graf dikelompokan menjadi dua macam, yakni:
Definisi 2.11 Graf berhingga (Munir, 2001)
Graf berhingga merupakan graf yang banyaknya titik berhingga.
Graf pada Gambar 2.7 merupakan contoh graf berhingga.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
𝑒6 𝑒7
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
𝑒6 𝑒7
𝑒8
(a) Graf ganda (b) Graf semu
Definisi 2.12 Graf tidak berhingga (Munir, 2001)
Graf tidak berhingga adalah graf yang banyak titik tidak berhingga.
Berikut ini pada Gambar 2.8 merupakan contoh dari graf tidak berhingga.
Gambar 2.8 Graf tidak berhingga
Graf pada Gambar 2.8 merupakan contoh graf tidak berhingga karena banyaknya titik pada Gambar 2.8 tidak berhingga.
Berdasarkan banyaknya titik pada suatu graf, peneliti akan meneliti mengenai graf berhingga.
3. Berdasarkan arah pada sisi
Berdasarkan Definisi 2.3 di mana dua titik dikatakan bertetangga jika terdapat sebuah sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut, namun tidak terdapat batasan mengenai arah pada sisi tersebut sehingga secara umum graf dikelompokan menjadi dua jenis, yakni:
Definisi 2.13 Graf tidak berarah (Munir, 2001)
Graf tidak berarah adalah graf yang sisinya tidak memiliki arah sehingga urutan pasangan titik yang dihubungkan tidak diperhatikan.
Gambar 2.9 Graf tidak berarah
Definisi 2.14 Graf berarah (Munir, 2001)
Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberi arah, sehingga urutan pasangan titik diperhatikan. Pada graf berarah (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) berbeda dengan (𝑣𝑗, 𝑣𝑖) , sebab (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) 𝑣𝑖 adalah titik awal (𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥) dan 𝑣𝑗 merupakan titik terminal (𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥). Sementara pada (𝑣𝑗, 𝑣𝑖) berlaku sebaliknya. Sisi berarah pada graf berarah disebut busur (𝑎𝑟𝑐).
Berikut ini pada Gambar 2.10 merupakan contoh dari graf berarah.
Gambar 2.10 Graf berarah
Berdasarkan arah pada sisi, peneliti akan meneliti mengenai graf tidak berarah.
Berdasarkan tiga jenis pengelompokan di atas, peneliti akan mengenai tentang graf sederhana yang berhingga dan tidak tidak berarah.
𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
Selain pengelompokan berdasarkan sifat-sifat di atas, terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus, antara lain:
1. Graf lengkap (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑒 𝐺𝑟𝑎𝑝ℎ)
Graf lengkap adalah graf sederhana yang di mana setiap titiknya saling bertetangga. Graf lengkap dengan 𝑛 buah simpul dilambangkan dengan 𝐾𝑛. Gambar berikut ini merupakan contoh dari graf lengkap:
Gambar 2.11 Graf lengkap
2. Graf Sikel
Graf sikel 𝐶𝑛 merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua.
Graf sikel dengan 𝑛 buah simpul dilambangkan dengan 𝐶𝑛. Gambar berikut ini merupakan contoh dari graf sikel:
Gambar 2.12 Graf sikel
𝐾1 𝐾2 𝐾3 𝐾4 𝐾5
𝐶3 𝐶4 𝐶5
3. Graf teratur (𝑅𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐺𝑟𝑎𝑝ℎ)
Graf teratur adalah graf yang setiap titiknya memiliki derajat yang sama.
Graf lengkap 𝐾𝑛 adalah graf teratur berderajat (𝑛 − 1) . Graf sikel 𝐶𝑛 adalah graf teratur berderajat dua. Gambar berikut ini merupakan contoh dari graf teratur:
Gambar 2.13 Graf teratur
4. Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)
Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi yang berpotongan kecuali di titik di mana keduanya bersisian. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan dinamakan graf bidang. Suatu graf mungkin saja planar meskipun biasanya digambarkan saling berpotongan, karena graf tersebut dapat digambarkan dengan cara yang berbeda. Gambar berikut ini akan memperjelas mengenai graf planar:
Gambar 2.14 Graf Lengkap 𝐾4 merupakan Graf Planar
Gambar 2.15 Graf Lengkap 𝐾5 merupakan Graf Tidak Planar
Penelitian dan perkembangan pokok bahasan graf, memunculkan beberapa jenis graf baru. Graf tersebut diperoleh dengan melakukan operasi penggabungan, penghapusan sisi atau titik (𝑒𝑑𝑔𝑒 𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥 𝑑𝑒𝑙𝑒𝑡𝑖𝑛𝑔) pada suatu graf.
Dua buah graf yang saling tidak terhubung dapat dibuat sebuah graf baru dengan cara melakukan operasi penggabungan (Join).
Definisi 2.15 Penggabungan graf (Join) (Buckley & Lewinter, 2002)
Dua buah graf yang saling tidak terhubung (graf G dan graf H) dapat dibuat sebuah graf baru dengan cara melakukan operasi penggabungan (Join).
Operasi penggabungan pada graf dapat dilakukan dengan cara menjadikan setiap titik yang terdapat pada graf G bertetangga dengan setiap titik yang terdapat pada graf H, dilambangkan dengan G + H.
Berikut ini contoh operasi penggabungan pada graf:
Gambar 2.16 Operasi penggabungan graf
Graf roda 𝑊1,𝑛 merupakan graf yang dibangun dengan melakukan operasi penggabungan pada graf lengkap 𝐾1 dengan graf sikel 𝐶𝑛, dapat dinotasikan 𝑊1,𝑛 = 𝐾1+ 𝐶𝑛. Selanjutnya pada skripsi ini, graf 𝑊1,𝑛 akan disebut 𝑊𝑛 dengan 𝑛 mengacu pada banyaknya titik padak graf sikel. Berikut ini beberapa contoh graf roda 𝑊𝑛:
Gambar 2.17 Graf roda
Dengan memperhatikan cara terbentuknya, graf roda 𝑊𝑛 memiliki titik (order) sebanyak (𝑛 + 1) dengan banyaknya sisi (size) yaitu 2𝑛 . Titik 𝑣1 sampai 𝑣𝑛 merujuk titik pada sikel. Sisi pada sikel mendapatkan label 𝑠1 sampai 𝑠𝑛. Sisi yang menghubungkan titik pusat dengan titik pada sikel disebut jari- jari. Label jari-jari dapat dinyatakan pula dengan 𝑒𝑖 = {𝑐, 𝑣𝑖} untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
Pola penamaan secara grafis pada graf roda diperagakan pada gambar berikut.
𝑊3 𝑊4 𝑊5
(a) Graf 𝑃3 (b) Graf 𝑃5 (c) Graf (𝑃3+ 𝑃5)
Gambar 2.18 Penamaan elemen graf roda
Gambar 2.19 Label elemen graf roda
C. Pelabelan Graf
Dengan memperhatikan struktur yang terdapat pada suatu graf, graf tersebut memiliki titik (order) sebanyak 𝑣 = |𝑉(𝐺)| dengan banyaknya sisi (size) yaitu 𝑒 = |𝐸(𝐺)|. Jika setiap elemen yang terdapat pada graf tersebut diberikan label, maka banyaknya label yang akan diberikan pada graf tersebut sebanyak 𝑣 + 𝑒.
Pelabelan pada graf merupakan pelabelan yang memetakan setiap elemen pada graf tersebut ke bilangan asli 1,2,3, … sebanyak elemen yang akan berikan label pada graf tersebut.
Titik (𝑣) Sisi (𝑠)
Jari-jari (𝑒)
Titik tengah (𝑐)
𝑣2 𝑣1
𝑣3
𝑣4
𝑣5 𝑣𝑛
𝑣𝑛−1
𝑣𝑛−2
𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒4
𝑒5 𝑒𝑛
𝑒𝑛−1 𝑒𝑛−2 𝑠1
𝑠2
𝑠3
𝑠4 𝑠𝑛
𝑠𝑛−1
𝑠𝑛−2
𝑐
Berdasarkan Definisi 2.1 graf adalah himpunan pasangan G = (V,E) di mana V(G) adalah himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen yang berbeda pada E(G), maka pelabelan graf merupakan pelabelan yang memetakan setiap elemen pada graf ke bilangan asli. Pelabelan pada graf dibagi antara lain:
1. Pelabelan titik (𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥 𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔𝑠)
Pelabelan titik merupakan pelabelan yang himpunan asalnya titik.
Gambar 2.20 Pelabelan titik pada graf roda 2. Pelebelan sisi (𝑒𝑑𝑔𝑒 𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔𝑠)
Pelabelan sisi merupakan pelabelan yang himpunan asalnya sisi.
Gambar 2.21 Pelabelan sisi pada graf roda 3. Pelabelan total (𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔𝑠)
Pelabelan total merupakan pelabelan yang domainnya titik dan sisi.
Pada pelabelan total, banyaknya elemen titik yang akan diberikan label sebanyak v dan benyaknya elemen sisi yang akan diberikan label sebanyak e, sehingga banyaknya elemen yang akan diberikan label pada pelabelan
3
5 7
1
4
6 2
3 5 1 7
4 6 2
8 9
10 11
12
total sebanyak 𝑣 + 𝑒. Oleh sebab itu pemetaan total yang terdapat pada suatu graf merupakan pemetaan 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan asli 1,2, … , 𝑣 + 𝑒.
Pelabelan total pada graf merupakan pemetaan yang memetakan setiap elemen yang terdapat pada graf tersebut ke ke bilangan asli 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒.
Pelabelan yang diberikan untuk setiap elemen pada graf berbeda satu dengan yang lainnya dan setiap bilangan asli 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒 memiliki prapeta pada 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺). Oleh sebab itu pelabelan pada graf merupakan pemetaan yang bijektif.
Definisi 2.16 Pelabelan total pada graf (Wallis, 2001)
Pelabelan total pada suatu graf G adalah pemetaan bijektif 𝜆 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan asli 1,2, … , 𝑣 + 𝑒 , di mana 𝑣 = 𝑉(𝐺) dan 𝑒 = 𝐸(𝐺).
Gambar 2.22 Pelabelan total pada graf roda
Dengan adanya pelabelan total, di mana domainnya adalah titik dan sisi maka dapat diperoleh bobot elemen di mana bobot elemen adalah hasil penjumlahan label yang dievaluasi dengan label elemen yang bersisisan.
1 3 2
4
5 7 6
8
9 10
11 12
13
14
15
16
17 18
19
Definisi 2.17 Bobot titik (Stewart, 1966)
Bobot titik merupakan bobot yang diperoleh dari titik yang dievaluasi dan semua sisi yang bersisian dengan titik tersebut.
Bobot titik x pada pelabelan 𝜆 dinyatakan sebagai berikut:
𝑤𝑡(𝑣𝑖) = 𝜆(𝑣𝑖) + ∑ 𝜆(𝑣𝑖, 𝑣𝑗)
∑ 𝜆(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) adalah semua sisi yang bersisian dengan dengan titik 𝑣𝑖 Berdasarkan Gambar 2.22 bobot titik pada titik (16) adalah
𝑤𝑡(16) = 16 + 13 + 4 + 11
= 44 Definisi 2.18 Bobot sisi (Stewart, 1966)
Bobot sisi merupakan bobot yang diperoleh dari sisi dan dua buah titik bertetangga di mana kedua titik tersebut dihubungkan oleh sisi tersebut.
Bobot sisi 𝑥𝑦 pada pelabelan 𝜆 dinyatakan sebagai berikut 𝑤𝑡(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) = 𝜆(𝑣𝑖,) + (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) + 𝜆(𝑣𝑗) Berdasarkan Gambar 2.22 bobot titik pada sisi (4) adalah
𝑤𝑡(4) = 4 + 16 + 12
= 32
Berdasarkan hasil bobot elemen graf yang dievaluasi, bobot elemen memiliki hasil yang beragam, tetapi berdasarkan hasil tersebut pelabelan graf dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu sama dan tidak sama.
Definisi 2.19 Pelabelan ajaib (Wallis, 2001)
Pelabelan ajaib (magic labelings) adalah suatu pelabelan di mana bobot setiap elemen yang dievaluasi sama.
Definisi 2.20 Pelabelan tak-ajaib (Wallis, 2001)
Pelabelan tak-ajaib ( antimagic labelings ) adalah suatu pelabelan bobot elemen yang dievaluasi tidak sama.
Berdasarkan jenis pelabelan graf dan bobot elemen graf yang dievaluiasi, peneliti akan meneliti mengenai pelabelan ajaib dengan bobot elemen yang dievaluasi adalah sisi.
Berdasarkan himpunan asal, bobot dan elemen graf yang dievaluasi terdapat pelabelan total ajaib sisi (𝑒𝑑𝑔𝑒 − 𝑚𝑎𝑔𝑖𝑐 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔𝑠) (𝐸𝑀𝑇𝐿)
Pelabelan total ajaib sisi merupakan pemetaan bijektif 𝜆 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan asli {1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒} dengan 𝑣 = |𝑉(𝐺)| dan 𝑒 =
|𝐸(𝐺)| sedemikian sehingga untuk setiap sisi 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) berlaku 𝜆(𝑥) + 𝜆(𝑥𝑦) + 𝜆(𝑦) = 𝑘 untuk setiap konstanta ajaib 𝑘 (Wallis, 2001).
Pelabelan total ajaib sisi, adalah pemetaan di mana setiap elemen (sisi dan titik) diberikan label bilangan asli 1,2,3, … sampai sejumlah titik dan sisi dari graf. Label-label ditempatkan sedemikian sehingga setiap sisi pada graf tersebut memiliki bobot yang sama. Bobot sisi diperoleh dengan menjumlahkan label sisi dan dievaluasi dengan dua buah label titik yang bersisian dengan sisi tersebut.
Gambar 2.23 Pelabelan total ajaib sisi pada graf roda 𝑊6 1
3 2
4
5 7 6
8
9 10
11 12
13
14
15 16
17 18
19
Pada Gambar 2.23 graf roda 𝑊6 memiliki konstanta ajaib 32. Setiap sisi pada 𝑊6 memiliki bobot yang sama. Sebagai contoh sisi dengan label 1 bertetangga dengan titik berlabel 12 dan 19, sehingga bobot sisinya adalah:
Sisi berlabel 1 memiliki bobot 𝑤𝑡(1) = 1 + 12 + 19 = 32 Sisi berlabel 14 memiliki bobot 𝑤𝑡(14) = 14 + 12 + 6 = 32 Sisi berlabel 2 memiliki bobot 𝑤𝑡(2) = 2 + 12 + 18 = 32 Sisi berlabel 15 memiliki bobot 𝑤𝑡(15) = 15 + 12 + 5 = 32 Sisi berlabel 4 memiliki bobot 𝑤𝑡(4) = 4 + 12 + 16 = 32 Sisi berlabel 17 memiliki bobot 𝑤𝑡(17) = 17 + 12 + 3 = 32 Sisi berlabel 7 memiliki bobot 𝑤𝑡(7) = 7 + 19 + 6 = 32 Sisi berlabel 8 memiliki bobot 𝑤𝑡(8) = 8 + 6 + 18 = 32 Sisi berlabel 9 memiliki bobot 𝑤𝑡(9) = 9 + 18 + 5 = 32 Sisi berlabel 11 memiliki bobot 𝑤𝑡(11) = 11 + 5 + 16 = 32 Sisi berlabel 13 memiliki bobot 𝑤𝑡(13) = 13 + 16 + 3 = 32 Sisi berlabel 10 memiliki bobot 𝑤𝑡(10) = 10 + 3 + 19 = 32
Berdasarkan penelitiannya, Wallis menyatakan sebuah graf G di mana banyaknya sisi pada graf G genap, 𝑣 + 𝑒 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) dan untuk setiap titik pada graf G berderajat ganjil maka graf G tersebut tidak memiliki pelabelan total ajaib sisi.
D. Dualitas Graf
Googaire dan Parmenter (1998) menyatakan sebuah graf tertentu dapat dibentuk pelabelan baru dari pelabelan yang ada.
Suatu pelabelan 𝜆 dual dengan pelabelan 𝜆′ didefiniskan sebagai 𝜆′(𝑥𝑖) = (𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝜆(𝑥) untuk sembarang titik 𝑥𝑖
𝜆′(𝑥𝑦) = (𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝜆(𝑥𝑦) untuk sembarang sisi 𝑥𝑦
Dengan demikian pelabelan 𝜆′ merupakan pelabelan dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan positif {1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒} dan pelabelan 𝜆′ disebut dual dari pelabelan 𝜆 . Pada pelabelan 𝜆 , bobot elemen yang dievaluasi dinyatakan sebagai konstanta ajaib 𝑘.
Pada pelabelan 𝜆′, bobot elemen dievaluasi diperoleh dengan 𝑘′= 𝜆′(𝑥) + 𝜆′(𝑥𝑦) + 𝜆′(𝑦)
= ((𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝜆(𝑥)) + ((𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝜆(𝑥𝑦)) + ((𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝜆(𝑦))
= 3(𝑣 + 𝑒 + 1) − (𝜆(𝑥) + 𝜆(𝑥𝑦) + 𝜆(𝑦))
= 3(𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝑘
28 BAB III
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi
Berdasarkan Definisi 2.16, Definisi 2.18 dan Definisi 2.19, pelabelan total ajaib sisi pada graf merupakan pemetaan bijektif 𝜆 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan asli 1,2, … , 𝑣 + 𝑒, di mana 𝑣 = 𝑉(𝐺) dan 𝑒 = 𝐸(𝐺), di mana untuk setiap sisi (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) berlaku
𝜆(𝑣𝑖) + 𝜆(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) + 𝜆(𝑣𝑗) = 𝑘
(3.1) untuk setiap nilai konstanta k. Dengan kata lain, 𝑤𝑡(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) = 𝑘 untuk setiap sisi yang terdapat pada graf tersebut. Selanjutnya 𝑘 disebut dengan nilai konstanta ajaib dari graf 𝐺. Wallis (2001).
Pada pelabelan ajaib, nilai konstanta ajaib 𝑘 akan ditentukan lebih dahulu.
Melalui perhitungan dasar akan diperoleh batas nilai kostanta ajaib 𝑘, sehingga dapat ditentukan suatu pelabelan untuk nilai konstanta ajaib 𝑘. Misalkan 𝑀 = 𝑣 + 𝑒, 𝑆𝑒 adalah jumlah seluruh label sisi dan 𝑆𝑣 adalah jumlah seluruh label titik dengan setiap label adalah bilangan bulat 1,2,3, … , 𝑀 sehingga jumlah semua label adalah
𝑆𝑒+ 𝑆𝑣 = ∑ 𝑖
𝑀
𝑖=1
=𝑀(𝑀 + 1) 2
(3.2)
Gambar 3.1 Pelabelan pada graf roda
Pada pelabelan total ajaib sisi khususnya pada roda, label sisi dihitung sebanyak satu kali dan label titik dihitung sebanyak tiga kali kecuali untuk label titik pusat (c) dihitung sebanyak 𝑛-kali. Berdasarkan persamaan (3.1) sehingga diperoleh
𝑆𝑤 = 𝑒1+ 𝑒2+ ⋯ + 𝑒𝑛+ 𝑠1+ 𝑠2+ ⋯ + 𝑠𝑛+ 3𝑣1+ 3𝑣2+ ⋯ + 3𝑣𝑛 + 𝑛𝑐
= (𝑒1+ 𝑒2+ ⋯ + 𝑒𝑛+ 𝑠1+ 𝑠2 + ⋯ + 𝑠𝑛) + 3𝑣1+ 3𝑣2+ ⋯ + 3𝑣𝑛+ 3𝑐 + (𝑛 − 3)𝑐
= 𝑆𝑒+ 3(𝑣1+ 𝑣2+ ⋯ + 𝑣𝑛+ 𝑐) + (𝑛 − 3)𝑐
= 𝑆𝑒+ 3Sv+ (n − 3)c
2𝑛𝑘 = (𝑆𝑒+ 𝑆𝑣) + 2𝑆𝑣+ (n − 3)c
= 𝑀(𝑀 + 1)
2 + 2𝑠𝑣+ (n − 3)c
𝑘 =
𝑀(𝑀+1)
2 + 2𝑠𝑣+ (n − 3)c 2n
(3.3) Berdasarkan persamaan tersebut maka label titik perlu diketahui lebih dahulu sementara label sisi dapat ditentukan dengan mengurangkan nilai konstanta ajaib dengan label titik yang bersisian dengan sisi tersebut.
𝑣1
𝑣4
𝑣5 𝑣𝑛
𝑣𝑛−1
𝑣𝑛−2 𝑒1 𝑒2 𝑒3
𝑒4
𝑒5 𝑒𝑛
𝑒𝑛−1 𝑒𝑛−2
𝑠3
𝑠4 𝑠𝑛
𝑠𝑛−1
𝑠𝑛−2
𝑐
Untuk kepentingan pelabelan, batas 𝑆𝑣 perlu ditentukan. Batas bawah diperoleh dengan memberikan label terkecil sebanyak 𝑣 titik dan batas atas diperoleh dengan memberikan label terbesar, sehingga
∑ 𝑖
𝑣
𝑖=1
≤ 𝑆𝑣 ≤ ∑ 𝑖
𝑣+𝑒
𝑖=𝑒+1
∑ 𝑖
𝑣
𝑖=1
≤ 𝑆𝑣 ≤ (𝑒 + 1) + (𝑒 + 2) + ⋯ + (𝑣 + 𝑒)
∑ 𝑖
𝑣
𝑖=1
≤ 𝑆𝑣 ≤ (1 + 2 + ⋯ + (𝑣 + 𝑒)) − (1 + 2 + ⋯ + 𝑒)
∑ 𝑖
𝑣
𝑖=1
≤ 𝑆𝑣 ≤ ∑ 𝑖
𝑣+𝑒
𝑖=1
− ∑ 𝑖
𝑒
𝑖=1
(3.4)
B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda 1. Batas Total Label Titik 𝑆𝑣
Berdasarkan persamaan (3.3) untuk kepentingan pencarian nilai konstanta ajaib 𝑘, batas total label 𝑆𝑣 perlu ditentukan terlebih dahulu. Berdasarkan persamaan (3.4) diperoleh
∑ 𝑖
𝑣
𝑖=1
≤ 𝑆𝑣 ≤ ∑ 𝑖
𝑣+𝑒
𝑖=1
− ∑ 𝑖
𝑒
𝑖=1
𝑣(𝑣 + 1)
2 ≤ 𝑆𝑣 ≤(𝑣 + 𝑒)(𝑣 + 𝑒 + 1)
2 −𝑒(𝑒 + 1)
2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2 ≤ 𝑆𝑣 ≤(3𝑛 + 1)(3𝑛 + 2)
2 −2𝑛(2𝑛 + 1)
2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2 ≤ 𝑆𝑣 ≤9𝑛2+ 9𝑛 + 2
2 −4𝑛2 + 2𝑛 2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2 ≤ 𝑆𝑣 ≤ 5𝑛2+ 7𝑛 + 2 2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2 ≤ 𝑆𝑣 ≤(𝑛 + 1)(5𝑛 + 2) 2
𝑆𝑣 =(𝑛+1)(𝑛+2)
2 + 𝑎, di mana 𝑎 adalah 0 ≤ 𝑎 ≤(𝑛 + 1)(5𝑛 + 2)
2 −(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 2
0 ≤ 𝑎 ≤(𝑛 + 1)((5𝑛 + 2) − (𝑛 + 2)) 2
0 ≤ 𝑎 ≤(𝑛 + 1)4𝑛 2 0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛(𝑛 + 1) 0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2+ 2𝑛 𝑆𝑣 =(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2 + 𝑎, 0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2+ 2𝑛, 𝑎 ∈ ℤ
(3.5)
2. Batas Nilai Konstanta Ajaib k Untuk Setiap Graf Roda
Batas nilai konstanta ajaib 𝑘 yang diperoleh dari perhitungan dasar menunjukan adanya pelabelan pada graf roda. Perhitungan dasar memberikan batas nilai kosntanta ajaib 𝑘 yang memungkinkan pada suatu graf secara umum. Sementara, setiap graf memiliki struktur yang berbeda- beda, sehingga memungkinkannya ditemui beberapa permasalahan untuk graf roda 𝑊𝑛 sehingga untuk nilai 𝑛 tertentu tidak dapat diberikan label, atau adanya suatu nilai kosntanta ajaib 𝑘 yang tidak memiliki pelabelan, dll.
Dengan demikian perlu adanya perhitungan khusus untuk menentukan batas nilai kosntanta ajaib.
Berdasarkan persamaan (3.3) dan (3.5) diperoleh
𝑘 =
𝑀(𝑀+1)
2 + 2𝑆𝑣+ (𝑛 − 3)𝑐 2𝑛
=
(3𝑛+1)(3𝑛+2)
2 + 2 ((𝑛+1)(𝑛+2)
2 + 𝑎) + (𝑛 − 3)𝑐 2𝑛
=
9𝑛2+9𝑛+2
2 + 2 (𝑛2+3𝑛+2
2 + 𝑎) + (𝑛 − 3)𝑐 2𝑛
=
9𝑛2+9𝑛+2
2 +2𝑛2+6𝑛+4
2 + 2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐 2𝑛
=
11𝑛2+15𝑛+6
2 + 2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛 , 0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2+ 2𝑛, 𝑎 ∈ ℤ
(3.6) Berdasarkan persamaan (3.6) diperoleh batas nilai kosntanta ajaib 𝑘 terkecil dapat diperoleh jika𝑎 = 0 dan 𝑐 = 1 sehingga
𝑘𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 =
11𝑛2+15𝑛+6
2 + 2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐 2𝑛
=
11𝑛2+15𝑛+6
2 + 2 ∙ 0 + (𝑛 − 3)1 2𝑛
=
11𝑛2+15𝑛+6
2 + (𝑛 − 3) 2𝑛
=
11𝑛2+15𝑛+6
2 +2𝑛−6
2
2𝑛
= 11𝑛2+ 17𝑛 4𝑛
= 11𝑛 + 17 4
(3.7)
