PELABELAN JUMLAH GANJIL-GENAP PADA GRAF JELLYFISH 𝑱
𝒎DAN GRAF MUSHROOM 𝑴𝑹
𝒎SKRIPSI
Rusdan Nurhakim NIM 11140940000040
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2019 M /1440 H
i
PELABELAN JUMLAH GANJIL-GENAP PADA GRAF JELLYFISH J
mDAN GRAF MUSHROOM MR
mSkripsi
Diajukan kepada
Universitas Islam Negri Syarif Hidayatulah Jakarta Fakultas Sains dan Teknologi
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)
Oleh Rusdan Nurhakim NIM 11140940000040
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2019 M/1440 H
ii
iii
iv
v
PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persembahkan untuk kedua orang tua penulis yang kasih sayangnya tidak dapat tergantikan. Mereka memang tidak pernah bergelar sarjana, namun mereka dengan tanpa gelar sarjana mampu membuat anaknya
menjadi seorang sarjana.
“Merekalah Sarjana yang Sesungguhnya”
vi MOTTO
“Allah adalah Tuhan yang bergantung kepada-Nya segala sesuatu.”
- QS. Al - Ikhlas: 2 -
vii ABSTRAK
Rusdan Nurhakim, Pelabelan Jumlah Ganjil-genap pada Graf Jellyfish 𝐽
𝑚dan Graf Mushroom 𝑀𝑟
𝑚, di bawah bimbingan Dr. Taufik Edy Sutanto, MScTech, Budi Harianto, M.Pd, M.Si
Graf 𝐺(𝑉, 𝐸) dengan banyak simpul 𝑝 dan sisi 𝑞 dikatakan graf jumlah ganjil-genap jika terdapat suatu fungsi 𝑓 injektif dari bilangan bulat ganjil di 𝑉 sehingga 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) merupakan label sisi dengan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, dimana 𝑓 merupakan pelabelan jumlah ganjil-genap. Kriteria graf yang dapat dilabeli oleh pelabelan jumlah ganjil-genap ada tiga, yaitu graf yang tidak berarah, tidak memiliki loop, dan terbatas, baik secara sisi maupun simpul. Graf jellyfish 𝐽
𝑚dan graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚memenuhi ketiga kriteria tersebut. Pada skripsi ini akan ditunjukkan bahwa kedua graf tersebut dapat dilabeli dengan pelabelan jumlah ganjil-genap.
Kata kunci: Fungsi bijektif, fungsi injektif, graf jumlah, dan pelabelan jumlah
ganjil-genap.
viii ABSTRACT
Rusdan Nurhakim, Odd-even Sum Labeling of Graph Jellyfish 𝐽
𝑚and Graph Mushroom 𝑀𝑟
𝑚, under the guidance of Dr. Taufik Edy Sutanto, MScTech, Budi Harianto, M.Pd, M.Si
A graph 𝐺(𝑉, 𝐸) with with 𝑝 vertex and 𝑞 edges called graph odd-even sum if there is a function 𝑓 is injective from odd integer in 𝑉 so that 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) is label of edge and 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, and 𝑓 called odd-even sum labeling. There are three criteria of graph that can labeled by this labeling, they are undirected, no loops, and finite for every edges and vertex. Graph jellyfish 𝐽
𝑚and graph mushroom 𝑀𝑟
𝑚have the criteria. So in this paper will be showed the graphs can be labeled by this labeling.
Keywords: Bijective function, injective function, odd-even sum labeling, and sum
graph.
ix
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmaanirrahim
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Alhamdulilah, segala puji-pujian dan rasa syukur khadirat Allah Yang Maha Baik yang telah menganugerahkan penulis nikmat ilmu, kesempatan, dan hidayah- Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini yang berjudul
“Pelabelan Jumlah Ganjil-genap pada Graf Jellyfish 𝑱
𝒎dan Graf Mushroom 𝑴𝒓
𝒎” dengan baik dan lancar. Penulisan skripsi ini merupakan salah satu kewajiban penulis sebagai tugas akhir untuk memperoleh gelar sarjana matematika (S.Mat). Penulis berharap skripsi ini diridhoi oleh-Nya sehingga dapat diperoleh suatu nilai kebaikan dan manfaat di dalamnya.
Dalam penulisan skripsi ini penulis sadar bahwa banyak pihak yang terlibat baik secara langsung maupun tidak, sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Untuk itu penulis menyampaikan rasa terima kasih yang mendalam kepada :
1. Dr. Agus Salim, S.Ag, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negri Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Dr. Nina Fitriyati, M.Kom, selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negri Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Muhaza Liebenlito, M.Si, selaku Sekretaris Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negri Syarif Hidayatullah Jakarta.
4. Dr. Taufik Edy Sutanto, MScTech, selaku Pembimbing I, terima kasih atas segala ilmu, waktu, saran, dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini.
5. Budi Harianto, M.Pd, M.Si, selaku Pembimbing II, terima kasih untuk semua ilmu, ide, arahan, kesempatan yang telah diberikan selama penulisan skripsi ini.
6. Yanne Irene, M.Si, selaku Penguji I dan Wisnu Aribowo, M.Si, selaku
Penguji II, terima kasih atas masukan, kritik, dan saran yang telah diberikan
kepada penulis terhadap skripsi ini.
x
7. Seluruh dosen di Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmunya dengan penuh rasa sabar dan tanggung jawab.
8. Kedua orang tua penulis yang selalu mendukung dari jauh, Bapak Amat dan Ibu Rohmah, meskipun jarak memisahkan namun segala doa, nasihat, kasih sayang, dan dukungannya selalu sampai kepada penulis terutama selama penulisan skripsi ini sehingga terselesaikan dengan baik.
9. Kakak-kakak penulis (Teh Geu-geu dan suami, Teh Ratih dan suami) yang tak pernah lelah meberikan doa dan dukungannya kepada penulis.
10. Seluruh teman-teman Matematika 2014 (finex family), terima kasih atas kebersamaan, semangat, dan saling mengingatkan untuk segera wisuda sejak kita saling mengenal.
11. Teman-teman HIMATIKA, KOSAL, seluruh angkatan, dan KKN penulis juga berterima kasih untuk kebersamaan yang telah kita lalui bersama.
12. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini dengan tanpa mengurangi rasa hormat yang tidak dapat penulis sebutkan satu- persatu.
Penulis menyadari dalam penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan.
Untuk itu seluruh kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan dalam rangka saling mengingatkan dan menasehati dalam kebaikan demi kemajuan di masa yang akan mendatang.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Jakarta, 22 Januari 2019
Penulis
xi DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
PENGESAHAN UJIAN... Error! Bookmark not defined. PERNYATAAN KEASLIAN ... Error! Bookmark not defined. PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... iii
PERSEMBAHAN ... iv
MOTTO... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xiii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1. Latar Belakang... 1
1.2. Perumusan Masalah ... 4
1.3. Pembatasan Masalah ... 4
1.4. Tujuan Penulisan ... 4
1.5. Manfat Penulisan ... 4
BAB II LANDASAN TEORI ... 6
2.1. Definisi Fungsi ... 6
2.2. Definisi Graf ... 7
2.3. Jenis-jenis Graf ... 8
xii
2.4. Graf Jellyfish J
m,n... 9
2.5. Pelabelan Jumlah Ganjil-genap ... 10
2.6. Studi Pustaka ... 11
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN... 12
3.1. Graf Mushroom Mr
m... 12
3.2. Pelabelan Jumlah Ganjil-genap pada Graf Jellyfish J
m... 12
3.3. Pelabelan Jumlah Ganjil-genap pada Graf Mushroom Mr
m... 14
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN ... 18
4.1. Kesimpulan ... 18
4.2. Saran ... 18
DAFTAR PUSTAKA ... 19
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. 1. Ilustrasi interaksi antar suku. ... 2
Gambar 2. 1. Fungsi injektif. ... 6
Gambar 2. 2. Fungsi surjektif. ... 7
Gambar 2. 3. Fungsi bijektif. ... 7
Gambar 2. 4. Graf jellyfish J
m,n.... 9
Gambar 2. 5. Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf P
4.... 10
Gambar 2. 6. Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf K
1,4.... 11
Gambar 3. 1. Graf mushroom Mr
m.... 12
Gambar 3.2.(a) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf J
1.... 14
Gambar 3.2.(b) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf J
2.... 14
Gambar 3.2 (c) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf J
3.... 14
Gambar 3.3.(a) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf Mr
3... 16
Gambar 3.3.(b) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf Mr
5. ... 16
Gambar 3.3.(c) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf Mr
7... 16
Gambar 3.4.(a) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf Mr
2... 17
Gambar 3.4.(b) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf Mr
4. ... 17
Gambar 3.4.(c) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf Mr
6... 17
1 BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai sejarah munculnya konsep teori graf, beberapa penelitian tentang teori graf, serta rumusan masalah pada penulisan ini.
1.1. Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu cabang keilmuan dalam matematika. Pada dasarnya graf ini adalah himpunan simpul yang dinotasikan dengan 𝑉 dan sisi yang dinotasikan dengan 𝐸. Himpunan simpul tidak kosong namun himpunan sisi mungkin saja kosong [1]. Contoh konsep sederhana graf dalam kehidupan nyata adalah proses interaksi manusia dengan ponsel pintar. Misalnya di sebuah ruangan terdapat dua puluh lima orang yang semuanya saling berinteraksi satu sama lain dengan ponsel mereka. Kedua puluh lima orang ini merupakan himpunan simpul, sedangkan seluruh interaksi yang mereka lakukan adalah suatu himpunan sisi.
Di dalam kitab suci Al-Qur’an, secara tersirat terdapat cukup banyak ayat- ayat yang bila diperhatikan bersinggungan dengan teori graf. Salah satu ayat dalam Al-Qur’an yang bersinggungan dengan teori graf yaitu terdapat pada surat AL- Hujarat ayat 13 sebagai berikut:
“Hai manusia, sesungguhnya Kami menciptakan kamu dari seorang laki-laki dan seorang perempuan dan menjadikan kamu berbangsa-bangsa dan bersuku-suku supaya kamu saling kenal-mengenal. Sesungguhnya orang yang paling mulia diantara kamu disisi Allah ialah orang yang paling takwa diantara kamu.
Sesungguhnya Allah Maha Mengetahui lagi Maha Mengenal.”
Ayat di atas menjelaskan tentang penciptaan manusia yang diciptakan Allah
berbangsa-bangsa dan bersuku-suku dengan tujuan agar setiap suku dan bangsa
dapat saling mengenal, saling berinteraksi, dan tujuan akhirnya adalah untuk saling
mengasihi. Secara teori graf, setiap suku ataupun bangsa dapat kita anggap sebagai
simpul dan proses berkenalan ataupun berinteraksi dapat dianggap sebagai sisi.
2 Gambar 1. 1. Ilustrasi interaksi antar suku.
Gambar 1.1. merupakan ilustrasi lima suku yang ada di Indonesia. Setiap suku mewakili setiap pulau dari lima pulau terbesar yang ada di Indonesia. Setiap suku tersebut dapat direpresentasikan sebagai simpul pada graf. Kelima suku tersebut saling berinteraksi satu sama lain yang mana interaksi ini dapat direpresentasikan sebagai sisi pada graf.
Pada tahun 1736, Leonhard Euler (seorang matematikawan berkebangsaan Swiss) mengemukakan konsep graf untuk pertama kalinya di kehidupan nyata.
Konsep ini muncul karena terdapat suatu permsalahan yang sederhana dengan suatu jembatan yang ada di kota Königsberg atau yang sekarang bernama kota Kaliningrad. Di kota tersebut terdapat sungai Pregel yang mengalir mengitari pulau Kneiphof yang memiliki dua cabang. Di atas sungai tersebut terdapat tujuh buah jembatan yang menghubungkan dua daratan yang terbelah oleh sungai tersebut.
Permasalahannya adalah mungkinkah mengitari ketujuh jembatan tersebut tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat semula [1].
Setelah Leonhard Euler mengenalkan konsep graf, penelitian mengenai graf terus mengalami perkembangan. Salah satu penelitian pada graf yang tengah berkembang adalah mengenai pelabelan graf. Pelabelan untuk pertama kalinya diperkenalkan oleh Sadlack (1964), kemudian oleh Stewart (1966), dan Kotzig &
Rosa (1970). Kortiz & Rosa memperkenalkan pelabelan total sisi ajaib yang
kemudian berkembang menjadi pelabelan sisi (𝑎, 𝑑)-sisi ajaib. Kemudian pada
3 tahun 2005, Guiterez dan Lladó mengembangkan pelabelan total sisi menjadi pelabelan selimut 𝐻-ajaib.
Terdapat cukup banyak topik dan penelitian yang membahas pelabelan graf.
Salah satu pelabelan yang tengah berkembang selain pelabelan ajaib dan anti ajaib adalah pelabelan jumlah. Konsep pelabelan jumlah bermula dari graf jumlah yang diperkenalkan oleh Frank Harary [2]. Frank Harary menjelaskan bahwa suatu graf dikatakan graf jumlah jika terdapat fungsi bijektif yang memetakan setiap simpul ke setiap bilangan bulat positif di sisi graf tersebut, sehingga sisinya terlabeli oleh penjumlahan kedua simpul yang ada di kedua ujung sisi tersebut.
Ramya dkk [3] memperkenalkan pelabelan rata-rata skolem even-vertex-odd difference. Di dalam penelitiannya, Ramya dkk. menjelaskan bahwa graf yang dapat dilabeli oleh skolem even-vertex-odd difference dapat dikatakan graf rata-rata odd difference. Kemudian Ponraj dkk [4] memperkenalkan pelabelan pair sum. Di dalam penelitiannya, Ponraj dkk melabeli setiap simpulnya dengan bilangan bulat dan setiap sisinya terlabeli oleh dua simpul di sampingnya dan label sisinya merupakan bilangan bulat bukan 0. Konsep pelabelan jumlah ganjil kemudian diperkenalkan oleh S. Arockiaraj dkk [5]. Dalam penelitiannya, S. Arockiaraj dkk melabeli simpulnya dengan bilangan bulat positif dan sehingga sisinya akan terlabeli dengan bilangan bulat ganjil.
Pelabelan jumlah ganjil-genap sendiri merupakan konsep baru dalam pelabelan jumlah yang berkaitan dengan beberapa penelitian yang lebih dahulu mengenai pelabelan jumlah. Pelabelan jumlah ganjil-genap diperkenalkan oleh K.
Monika dan K. Murugan [6] pada tahun 2017. Pelabelan jumlah ganjil-genap memiliki keunikan tersendiri. Pelabelan ini hanya dapat diaplikasikan pada graf yang tidak berarah, tidak memiliki loop, dan graf yang memiliki sisi dan simpul yang terbatas.
Karena konsep pelabelan jumlah ganjil-genap merupakan konsep pelabelan yang masih baru, jadi belum banyak penelitian mengenai pelabelan ini. Hanya terdapat beberapa jurnal turunan dari jurnal utama yang penulis gunakan.
Diantaranya adalah membahas mengenai generalisasi pelabelan jumlah ganjil-
4 genap. Beberapa graf sederhana yang telah dilabeli dengan pelabelan jumlah ganjil- genap diantaranya graf lintasan 𝑃
𝑛, graf bintang 𝐾
1,𝑛, graf bistar 𝐵
𝑚,𝑘, dan graf coconut tree [6].
Pada penulisan kali ini, akan dipaparkan mengenai dua buah graf, yaitu graf jellyfish 𝐽
𝑚dan graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚. Kemudian akan ditunjukkan bahwa kedua graf tersebut merupakan graf jumlah ganjil-genap.
1.2. Perumusan Masalah
Permasalahan pada penulisan ini adalah bagaimana mengkonstruksi pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf jellyfish 𝐽
𝑚dengan 𝑚 ≥ 1 serta graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚dengan 𝑚 ≥ 2.
1.3. Pembatasan Masalah
Pada penulisan kali ini, penulis hanya akan membahas mengenai bagaimana mengkonstruksi pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf jellyfish 𝐽
𝑚, dengan 𝑚 ≥ 1 serta graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚, dengan 𝑚 ≥ 2.
1.4. Tujuan Penulisan
a. Mengkonstruksi pelabelan dan membentuk pola pelabelan ganjil-genap pada graf jellyfish 𝐽
𝑚dengan 𝑚 ≥ 1 serta graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚dengan 𝑚 ≥ 2.
b. Menunjukkan bahwa graf jellyfish 𝐽
𝑚dengan 𝑚 ≥ 1 serta graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚dengan 𝑚 ≥ 2 merupakan graf jumlah ganjil-genap.
1.5. Manfat Penulisan
Salah satu manfaat dalam penulisan skripsi ini adalah untuk menambah
wawasan penulis secara khusus dan pembaca pada umumnya mengenai graf,
terutama mengenai pelabelan jumlah ganjil-genap. Manfaat lainnya yaitu agar
penulis dapat memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan kurikulum tingkat
5
akhir Prodi Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam
Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
6 BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai definisi dan macam-macam graf, definisi pelabelan jumlah ganjil-genap , serta definisi graf yang akan dilabeli.
2.1. Definisi Fungsi
Diberikan himpunan tidak kosong 𝐴 dan 𝐵. Suatu fungsi 𝑓 dari 𝐴 ke 𝐵 adalah penetapan tepat satu anggota 𝐵 ke setiap anggota 𝐴 yang ditulis 𝑓(𝑎) = 𝑏 dengan 𝑏 ∈ 𝐵 yang dipasangkan oleh fungsi 𝑓 ke 𝑎 ∈ 𝐴. Jika 𝑓 adalah fungsi dari 𝐴 ke 𝐵, ditulis 𝑓: 𝐴 → 𝐵 [1].
Jika 𝑓 adalah fungsi dari 𝐴 ke 𝐵, maka dapat dikatakan bahwa 𝐴 merupakan domain dan 𝐵 merupakan kodomain dari 𝑓. Jika 𝑓(𝑎) = 𝑏, maka dapat dikatakan bahwa 𝑏 adalah image (bayangan) dari 𝑎 dan 𝑎 merupakan preimage dari 𝑏. Range atau nama lain dari image dari 𝑓 adalah himpunan semua bayangan dari anggota 𝐴 [1].
Bergantung pada bayangan, fungsi dapat dikelompokan menjadi menjadi tiga kelompok, yaitu fungsi injektif, fungsi surjektif, dan fungsi bijektif [1]. Berikut adalah penjelasan mengenai ketiga kelompok fungsi tersebut.
1. Fungsi 𝑓 dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) yang berakibat bahwa 𝑎 = 𝑏 untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴. Ilustrasi fungsi injektif dapat dilihat pada gambar 2.1.
Gambar 2. 1. Fungsi injektif.
7 2. Sebuah fungsi 𝑓 dari 𝐴 ke 𝐵 dikatakan fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk setiap anggota 𝑏 ∈ 𝐵 terdapat 𝑎 ∈ 𝐴 sehingga 𝑓(𝑎) = 𝑏. Ilustrasi fungsi surjektif dapat dilihat pada gambar 2.2.
Gambar 2. 2. Fungsi surjektif.
3. Fungsi 𝑓 dikatakan fungsi bijektif jika 𝑓 merupakan fungsi yang injektif dan surjektif. Fungsi bijektif juga disebut korespondensi satu-satu. Ilustrasi fungsi bijektif dapat dilihat pada gambar 2.3.
Gambar 2. 3. Fungsi bijektif.
2.2. Definisi Graf
Suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) yang terdiri 𝑉, sebuah himpunan tak-kosong dari simpul dan 𝐸, sebuah himpunan sisi. Setiap sisi memiliki satu atau dua simpul yang dihubungkan oleh sisi tersebut, yang disebut dengan endpoints [1].
Definisi di atas menyatakan bahwa suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) selalu memiliki himpunan simpul minimal satu buah, namun bisa saja tidak memiliki himpunan sisi.
Himpunan simpul 𝑉 dan sisi 𝐸 mungkin saja berhingga dan tidak berhingga.
Himpunan 𝑉 dan 𝐸 yang berhingga disebut graf berhingga, sedangkan himpunan 𝑉
dan 𝐸 yang tidak berhingga disebut graf tak berhingga [1].
8 2.3. Jenis-jenis Graf
Setiap graf memiliki ciri khas tersendiri dan dapat dikelompokkan berdasarkan beberapa kategori. Beberapa kategori pengelompokkan graf diantaranya berdasarkan ada atau tidak adanya loop, orientasi arah pada sisi, dan banyaknya simpul maupun sisi [1]. Beberapa graf juga telah diberikan penamaan dan definisi tersendiri. Diantaranya ada yang dikelompokkan menjadi graf khusus sederhana.
Berdasarkan ada atau tidak adanya loop, suatu graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu:
1. Graf sederhana
Graf sederhana merupakan graf yang tidak memiliki sisi ganda maupun loop.
2. Graf tak-sederhana
Graf tak-sederhana merupakan graf yang memiliki sisi ganda dan/atau loop.
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, suatu graf dapat dikelompokkan ke dalam dua kelompok, yaitu:
1. Graf berarah
Graf berarah 𝐺 = (𝑉, 𝐸) terdiri dari himpunan simpul yang tak-kosong dan himpunan sisi yang memiliki arah. Setiap sisi tersebut menghubungkan sepasang simpul, sehingga untuk sisi berarah yang menghunbungkan (𝑢, 𝑣) artinya arahnya dimulai dari 𝑢 dan berakhir di 𝑣.
2. Graf tak-berarah
Graf tak-berarah 𝐺 = (𝑉, 𝐸) merupakan lawan dari graf berarah, dimana untuk simpul 𝑢 dan 𝑣 pada graf tersebut merupakan endpoints dari sisi 𝑒 pada 𝐺.
Berdasarkan banyaknya simpul pada graf, suatu graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu:
1. Graf berhingga
Graf berhingga dapat dikatakan suatu graf yang memiliki 𝑛 simpul, dengan
𝑛 yang terbatas/berhingga.
9 2. Graf tak-berhingga
Graf tak-berhingga dapat dikatakan suatu graf yang memiliki 𝑛 simpul, dengan 𝑛 yang tidak terbatas.
Adapun graf sederhana khusus yang telah didefinisikan dan dinamai secara khsusus diantaranya:
1. Graf lintasan
Graf lintasan merupakan graf yang memiliki 𝑛 simpul dan 𝑛 − 1 sisi. Graf lintasan dinotasikan dengan 𝑃
𝑛.
2. Graf bintang
Graf bintang yang biasa dinotasikan dengan 𝐾
1,𝑛adalah graf yang memiliki 𝑛 + 1 simpul dan 𝑛 sisi.
2.4. Graf Jellyfish J
m,nGraf jellyfish yang dinotasikan dengan 𝐽
𝑚,𝑛untuk setiap bilangan asli 𝑚, 𝑛 ≥ 1 merupakan suatu graf dengan himpunan simpul 𝑉 = {𝑢, 𝑥, 𝑣, 𝑦, 𝑥
𝑖, 𝑦
𝑗|𝑖 = 1, 2, 3, … 𝑚, 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛} dan himpunan sisi 𝐸 = {𝑢𝑥, 𝑢𝑣, 𝑢𝑦, 𝑣𝑥, 𝑣𝑦} ∪ {𝑥𝑥
𝑖|𝑖 = 1,2, … 𝑚} ∪ {𝑦𝑦
𝑗|𝑗 = 1,2, … 𝑛} [7]. Graf jellyfish 𝐽
𝑚,𝑛tidak memiliki loop maupun sisi ganda, dan bukan merupakan graf berarah.
Ilustrasi graf jellyfish 𝐽
𝑚,𝑛secara umum dapat dilihat pada gambar 2.4.
Gambar 2. 4. Graf jellyfish J
m,n.Pada skripsi ini akan dibahas mengenai pelabelan jumlah ganjil-genap pada
graf jellyfish 𝐽
𝑚,𝑛dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 1 dan 𝑚 = 𝑛 serta graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚, dengan
10 𝑚 ≥ 2. Karena yang akan dilabeli untuk setiap 𝑚 = 𝑛, sehingga graf jellyfish 𝐽
𝑚,𝑛tersebut didefinisikan ulang dengan graf jellyfish 𝐽
𝑚.
2.5. Pelabelan Jumlah Ganjil-genap
Diberikan graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dengan banyaknya simpul 𝑝 dan sisi 𝑞. Graf 𝐺 dikatakan graf jumlah ganjil-genap jika terdapat fungsi injektif 𝑓 ∶ 𝑉(𝐺) → {±1, ±2, ±3, … , ±(2𝑝 − 1)} sehingga fungsi sisi terinduksi 𝑓
∗: 𝐸(𝐺) → {2, 4, 6, … , 2𝑞} yang didefinisikan oleh fungsi 𝑓
∗(𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣), ∀𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) merupakan fungsi bijektif. Fungsi 𝑓 dikatakan pelabelan jumlah ganjil-genap dari 𝐺 [6].
Pelabelan ini hanya dapat diaplikasikan ke dalam graf yang memiliki himpunan sisi dan simpul yang terbatas. Graf tersebut juga harus merupakan graf yang sederhana yang tidak memiliki arah pada sisinya. Selain harus merupakan graf tak-berarah, graf 𝐺 juga harus merupakan graf yang tidak memiliki loop [6].
Secara sederhana pelabelan ini dapat dipahami bahwa setiap sisi harus terlabeli oleh himpunan bilangan asli genap yang berbeda dengan maksimum pelabelannya sama dengan dua kali banyaknya sisi pada graf tersebut (2𝑞).
Bilangan asli yang genap tersebut merupakan jumlah kedua label simpul yang dihubungkan oleh sisi tersebut, dimana simpulnya terlabeli oleh bilangan bulat ganjil yang berbeda dengan maksimum bilangannya adalah sebesar ±(2𝑝 − 1).
Beberapa graf sederhana yang telah dilabeli oleh pelabelan ini diantaranya adalah sebagai berikut:
1. Graf lintasan 𝑃
𝑛, 𝑛 ≥ 2 dan ilustrasinya terdapat pada gambar 2.5.
Gambar 2. 5. Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf P
4.2. Graf bintang 𝐾
1,𝑛dan ilustrasinya terdapat pada gambar 2.6.
11 Gambar 2. 6. Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf K
1,4.2.6. Studi Pustaka
Beberapa penelitian mengenai graf jellyfish 𝐽
𝑚,𝑛yang telah dilakukan
diantaranya adalah pelabelan super edge anti magic yang dilakukan oleh Lee SM
dan Lee ANT [7]. Penelitian graf jellyfish 𝐽
𝑚,𝑛yang lain dilakukan oleh Anisa
Triagrina. Pada penelitiannya Anisa Triagrina mendaptakan kesimpulan bahwa graf
jellyfish 𝐽
𝑚,𝑛termasuk graf yang dapat dilabeli dengan pelabelan super edge magic.
12 BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai bentuk umum dari graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚, kemudian akan ditunjukkan bahwa graf jellyfish 𝐽
𝑚dan graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚dapat dilabeli oleh pelabelan jumlah ganjil-genap.
3.1. Graf Mushroom Mr
mPada penulisan ini dihasilkan pendefinisian sebuah graf, graf tersebut penulis sebut sebagai graf mushroom yang dinotasikan oleh 𝑀𝑟
𝑚untuk 𝑚 ≥ 2. Graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚untuk 𝑚 himpunan bilangan asli adalah graf dengan himpunan simpul
𝑉 = {𝑣
𝑖, 𝑤, 𝑢
𝑗|𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚, 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚} dan himpunan sisi
𝐸 = {𝑤𝑣
𝑖|𝑖 = 1,2, … , 𝑚} ∪ {𝑤𝑢
𝑗|𝑗 = 1,2, … , 𝑚} ∪ {𝑣
𝑖𝑣
𝑖+1│𝑖 = 1,2, … , 𝑚 − 1}.
Ilustrasi graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚dapat dilihat pada gambar 3.1.
Gambar 3. 1. Graf mushroom Mr
m.3.2. Konstruksi Pelabelan Jumlah Ganjil-genap pada Graf Jellyfish J
mMengkonstruksi suatu pelabelan pada sebuah graf bisa dikatakan membangun
atau membentuk suatu fungsi 𝑓 yang bijektif dimana fungsi bijektif ini akan
memasangkan suatu himpunan bilangan bulat dengan unsur sisi dan simpul pada
graf tersebut.
13 Teorema 3.1. Graf jellyfish 𝐽
𝑚, dengan 𝑚 ≥ 1 merupakan graf jumlah ganjil- genap.
Bukti Diberikan
𝑉(𝐽
𝑚) = {𝑢, 𝑥, 𝑣, 𝑦, 𝑥
𝑖, 𝑦
𝑗|𝑖 = 1,2, … 𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚}
dan
(𝐽
𝑚) = {𝑢𝑥, 𝑢𝑣, 𝑢𝑦, 𝑣𝑥, 𝑣𝑦} ∪ {𝑥𝑥
𝑖|𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚} ∪ {𝑦𝑦
𝑗|𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚}.
Sehingga |𝑉(𝐽
𝑚)| = 2𝑚 + 4 dan |𝐸(𝐽
𝑚)| = 2𝑚 + 5.
Misal 𝑓: 𝑉(𝐽
𝑚) → {±1, ±3, … , ±2(2𝑚 + 4) − 1} yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑓(𝑣) = −(2𝑚 + 1), 𝑓(𝑢) = 2𝑚 + 3, 𝑓(𝑥) = 2𝑚 + 5, 𝑓(𝑦) = 2𝑚 + 7,
𝑓(𝑥
𝑖) = 2𝑖 + 1; 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚, 𝑓(𝑦
𝑗) = −(2𝑗 − 1); 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚.
Misal 𝑓
∗pelabelan sisi terinduksi dari 𝑓, sehingga : 𝑓
∗(𝑣𝑢) = 2,
𝑓
∗(𝑣𝑥) = 4, 𝑓
∗(𝑣𝑦) = 6,
𝑓
∗(𝑢𝑥) = 2(2𝑚 + 4), 𝑓
∗(𝑢𝑦) = 2(2𝑚 + 5),
𝑓
∗(𝑥𝑥
𝑖) = 2𝑚 + 2𝑖 + 6; 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚, 𝑓
∗(𝑦𝑦
𝑗) = 2𝑚 − 2𝑗 + 8; 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚.
Karena semua 𝑓
∗terinduksinya bernilai genap, maka graf jellyfish 𝐽
𝑚dengan
𝑚 ≥ 1 memenuhi definisi pelabelan jumlah ganjil-genap sehingga dapat dilabeli
dengan pelabelan jumlah ganjil-genap. Berikut adalah beberapa ilustrasi pelabelan
14 jumlah ganjil-genap pada graf jellyfish 𝐽
𝑚yang ditunjukkan oleh gambar 3.2. (a), (b), dan (c).
Gambar 3.2.(a) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf J
1.Gambar 3.2.(b) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf J
2.Gambar 3.2 (c) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf J
3.3.3. Konstruksi Pelabelan Jumlah Ganjil-genap pada Graf Mushroom Mr
mTeorema 3.2. Graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚dengan 𝑚 ≥ 2 merupakan graf jumlah ganjil- genap.
Bukti
Diberikan 𝑉(𝑀𝑟
𝑚) = {𝑣
𝑖, 𝑤, 𝑢
𝑗| 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚; 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚} dan 𝐸(𝑀𝑟
𝑚) = { 𝑤𝑣
𝑖| 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚} ∪ {𝑤𝑢
𝑗| 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚} ∪ {𝑣
𝑖𝑣
𝑖+1| 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 − 1},
sehingga |𝑉(𝑀𝑟
𝑚)| = 2𝑚 + 1 dan |𝐸(𝑀𝑟
𝑚)| = 3𝑚 − 1.
15 Misal 𝑓: 𝑉( 𝑀𝑟
𝑚) → {±1, ±3, … , ±(2(2𝑚 + 1) − 1)}
Kasus (i) : 𝑚 ganjil,
𝑓(𝑣
2𝑖−1) = 𝑚 + 2𝑖 − 2; 𝑖 = 1, 2, 3, … ,
𝑚+12
, 𝑓(𝑣
2𝑖) = 3𝑚 + 2𝑖; 𝑖 = 1, 2, 3, … ,
𝑚−12
, dengan 𝑚 ≥ 3, 𝑓(𝑤) = −1,
𝑓(𝑢
2𝑗−1) = 2𝑚 + 2𝑗 − 1; 𝑗 = 1, 2, 3, … ,
𝑚+12
, 𝑓(𝑢
2𝑗) = 2𝑗 + 1; 𝑗 = 1, 2, 3, … ,
𝑚−32
, dengan 𝑚 ≥ 5, 𝑓(𝑢
𝑚−1) = 4𝑚 + 1.
Misal 𝑓
∗pelabelan sisi terinduksi dari 𝑓, sehingga : 𝑓
∗(𝑤𝑣
2𝑖−1) = 𝑚 + 2𝑖 − 3; 𝑖 = 1, 2, 3, … ,
𝑚+12
, 𝑓
∗(𝑤𝑣
2𝑖) = 3𝑚 + 2𝑖 − 1; 𝑖 = 1, 2, 3, … ,
𝑚−12
, dengan 𝑚 ≥ 3, 𝑓
∗(𝑤𝑢
2𝑗−1) = 2𝑚 + 2𝑗 − 2; 𝑗 = 1, 2, 3, … ,
𝑚+12
, 𝑓
∗(𝑤𝑢
2𝑗) = 2𝑗; 𝑗 = 1, 2, 3, … ,
𝑚−32
, dengan 𝑚 ≥ 5, 𝑓
∗(𝑤𝑢
𝑚) = 4𝑚,
𝑓
∗(𝑣
𝑖𝑣
𝑖+1) = 4𝑚 + 2𝑖; 𝑖 = 1, 2, 3, … , (𝑚 − 1).
Karena semua 𝑓
∗terinduksinya bernilai genap, maka graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚dengan 𝑚 ≥ 2 untuk 𝑚 ganjil memenuhi definisi pelabelan jumlah ganjil-genap
sehingga dapat dilabeli dengan pelabelan jumlah ganjil-genap. Berikut adalah
beberapa ilustrasi pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf mushroom 𝑀𝑟
𝑚dengan
𝑚 = 3, 5, dan 7 yang ditunjukkan oleh gambar 3. 3. (a), (b), dan (c).
16 Gambar 3.3.(a) Pelabelan jumlah
ganjil-genap pada graf Mr
3.
Gambar 3.3.(b) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf Mr
5.
Gambar 3.3.(c) Pelabelan jumlah ganjil-genap pada graf Mr
7. Kasus (ii): 𝑚 genap,
𝑓(𝑣
2𝑖−1) = 𝑚 + 2𝑖 − 1; 𝑖 = 1, 2, 3, … ,
𝑚2
, 𝑓(𝑣
2𝑖) = 3𝑚 + 2𝑖 − 1; 𝑖 = 1, 2, 3, … ,
𝑚2
, 𝑓(𝑤) = −1,
𝑓(𝑢
2𝑗−1) = 2𝑚 + 2𝑗 − 1; 𝑗 = 1, 2, 3, … ,
𝑚2
’ 𝑓(𝑢
2𝑗) = 2𝑗 + 1; 𝑗 = 1, 2, 3, … ,
𝑚−22
, dengan 𝑚 ≥ 4, 𝑓(𝑢
𝑚) = 4𝑚 + 1.
Misal 𝑓
∗pelabelan sisi terinduksi dari 𝑓, sehingga:
𝑓
∗(𝑤𝑣
2𝑖−1) = 𝑚 + 2𝑖 − 2; 𝑖 = 1, 2, 3, … ,
𝑚2
,
17 𝑓
∗(𝑤𝑣
2𝑖) = 3𝑚 + 2𝑖 − 2; 𝑖 = 1, 2, 3, … ,
𝑚2
, 𝑓
∗(𝑤𝑢
2𝑗−1) = 2𝑚 + 2𝑗 − 2; 𝑗 = 1, 2, 3, … ,
𝑚2
, 𝑓
∗(𝑤𝑢
2𝑗) = 2𝑗; 𝑗 = 1, 2, 3, … ,
𝑚−22
