Pelabelan Total Sisi Ajaib Pada Subkelas Pohon

(1)

Abstrak— Graf G(V,E) dikatakan memenuhi pelabelan

total sisi ajaib jika elemen-elemen graf yaitu simpul dan sisi dipetakan dengan satu bilangan asli dari

{

1,2,3,,V + E

}

. Sehingga untuk masing-masing sisi berlaku

k y xy x)+ ( )+ ( )= ( λ λ λ , denganx,y∈V(G) dan xy∈E(G). Notasi λ merupakan fungsi bijektif yang memetakan sisi dan simpul graf ke bilangan asli sehingga penjumlahan label dari semua sisi yang melekat pada simpul tertentu ditambah dengan label simpul tersebut mempunyai hasil yang sama. Konstanta disebut bilangan ajaib (magic sum). Pada Tugas Akhir ini peroleh pelabelan total sisi ajaib pada graf kembang api

( )

F

_m,_n dan graf pohon pisang

( )

B_m_,_n dengan m=2 dan

n

bilangan asli. Dari analisis yang dilakukan diperoleh hasil bahwa graf kembang api F₂_,_n dengan n bilangan asli adalah graf edge magic

total labeling dengan k= n4 +12 , dan graf pohon pisang B₂_,_n

dengan

n

bilangan asli adalah graf edge magic total labeling dengan k= n4 +10.

Kata kunci : Graf, Pelabelan Total Sisi Ajaib, Graf Kembang

Api, Graf Pohon Pisang

I. PENDAHULUAN

EORI graf merupakan salah satu bagian penting dalam kehidupan manusia. Beberapa contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diabstraksikan sebagai masalah yang berkaitan dengan teori graf, misalnya rangkaian listrik, menentukan jarak terpendek dari suatu lintasan dan desain komunikasi dengan aplikasi pelabelan graf.

Pelabelan pada suatu graf adalah pemetaan sebarang atau fungsi yang memasangkan elemen-elemen graf yaitu simpul dan sisi dengan satu bilangan asli. Pemberian label pada elemen graf ini disebut weight. Weight untuk setiap sisi

(edge) xy adalah . Jika

domain dari pemetaan adalah simpul, maka pelabelan disebut pelabelan simpul (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka disebut pelabelan sisi (edge labeling), dan jika domainnya simpul dan sisi, maka disebut pelabelan total (total

labeling).

Sedláčk telah menerbitkan sebuah makalah tentang jenis lain dari pelabelan graf. Ia menyebut pelabelan ajaib (magic labeling). Definisi pelabelan ajaib didorong oleh gagasan persegi ajaib. Pelabelan ajaib (magic labeling) adalah fungsi λ dari himpunan sisi graf G menjadi bilangan asli,

sehingga jumlah dari label sisi disetiap simpul di G semua sama[1].

Kotzig dan Rosa membuktikan beberapa pelabelan total sisi ajaib diantaranya pada graf cycle untuk n≥3, graf lengkap Kn jika dan hanya jika n=

{

1,2,3,4,5,6

}

, dan semua graf caterpillar[2].

Karena pelabelan total sisi ajaib (edge magic total

labeling) berkaitan dengan pengkonstruksian fungsi, maka

dimungkinkan fungsi yang dibuat seorang peneliti akan berbeda dengan fungsi yang dibuat peneliti lain pada graf yang sama. Pada Tugas Akhir ini, dilakukan kajian pelabelan total sisi ajaib (edge magic total labeling) pada subkelas dari pohon yaitu graf kembang api dan graf pohon pisang dengan m=2

dan sebarang bilangan asli.

II. PELABELANTOTALSISIAJAIB

Pelabelan total sisi ajaib (λ) pada suatu graph (G) dari

) ( ) (G EG

V  ke himpunan

{

1,2,3,,p+q

}

dimana p= V(G)

dan q= E(G) sehingga untuk masing-masing sisi xy di G berlaku λ(x)+λ(xy)+λ(y)=k, untuk k konstanta dan λ merupakan fungsi bijektif yang memetakan sisi dan simpul graf ke bilangan asli (N). Konstanta k disebut bilangan ajaib (magic sum) dengan kata lain, wt(xy)=k untuk setiap sisi (edge) [3].

Misalkan adalah pelabelan total sisi ajaib, jika x dan

y adalah simpul yang berdekatan, maka sisi xy mempunyai

label k−λ

( ) ( )

x −λ y .

Jadi didapat

∑

(

( ) ( ) ( )

)

∈E + + =

xy λ xy λ x λ y qk.

Persamaan ini terdiri dari penjumlahan label tiap simpul dan sisi dan pelabelan simpul yang mempunyai derajat tambahan

1 − i d , sehingga

( )

(

)

∑

∈ ∈ − + + = V p q E i i d q f p f qk 1λ (1)

III. PELABELANTOTALSISIAJAIBPADAGRAF KEMBANGAPIDANPOHONPISANG

A. Bilangan Ajaib Graf Kembang Api

Graf kembang api didapatkan dengan menghubungkan satu simpul anting dari graf bintang secara berurutan. Lintasan

Pelabelan Total Sisi Ajaib

Pada Subkelas Pohon

Hilda Rizky Ningtyas, Dr. Darmaji, S.Si., M.T.[1]

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

E-mail: [email protected][1]

(2)

yang menghubungkan simpul-simpul daun dari barisan graf bintang tersebut disebut backbone dari graf kembang api. Jika banyaknya simpul anting sama maka graf tersebut merupakan graf kembang api teratur. Dinotasikan dengan dengan m adalah jumlah simpul backbone dan n adalah jumlah simpul anting. Sebuah graf kembang api mempunyai simpul-simpul dan sisi-sisi

( )

F _n

{

x x

} {

 c c

}



{

a a a _j

}

 V ₂_, = ₁, ₂ ₁, ₂ ₁₁, ₁₂, , ₁

{

a21,a22,,a2j

}

( )

F₂_,

{ } {

x₁x₂  x₁c₁,x₂c₂

}

 E _n =

{

c₁a₁₁,c₂a₁₂,,c₁a₁_j

}



{

c2a21,c2a22,,c2a2j

}

Gambar 1 adalah contoh graf kembang api teratur

Gambar 1. Graf kembang api Reguler

Graf kembang api mempunyai V(G)= p=2n+4

dan E(G) =q=2n+3.

Dari Persamaan (1) Graf kembang api dikatakan mempunyai pelabelan total sisi ajaib yang memenuhi Lemma 1:

Lemma 1

Jika Graf adalah graf edge magic total, maka bilangan ajaibnya (magic sum) adalah

(

)

( ) ( )

( )

_       + + + + + =

∑

= m i c n x x n n q k 1 1 2 1 2 28 30 8 1 _λ _λ _λ Bukti:

Diasumsikan bahwa graf adalah graf total sisi ajaib, dengan demikian simpul dan sisi dilabelkan dari angka 1 sampai

(

p+q

)

sehingga:

( )

(

)

∑

∈ ∈ + + + + = + V p q E n q p λ 1 2  4 7 λ

(

)(

)

2 8 4 7 4 + + = n n (2)

Persamaan (2) disubtitusikan kedalam persamaan (1) sehingga didapatkan nilai k untuk graf kembang api

(

)(

_{) ( ) ( )}

_{( )}

0 2 8 4 7 4 1 1 2 1 + + + + + + =

∑

= m i c n x x n n qk λ λ λ

(

8 30 28

)

( ) ( )

( )

0 1 1 2 1 2₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ =

∑

= m i c n x x n n qk λ λ λ

Jadi terbukti, diperoleh bilangan ajaib k untuk pelabelan total sisi ajaib pada Graf Kembang Api.

Bilangan ajaib k dapat ditemukan jika terdapat nilai pada simpul tersebut. Bilangan ajaib tersebut didapat dengan meminimumkan dan memaksimalkan nilai pelabelannya[4]. Sehingga didapatkan rentang bilangan ajaib k untuk pelabelan total sisi ajaib pada graf F₂_,_n.

Teorema 1

Jika Graf adalah graf edge magic total, maka bilangan ajaibnya (magic sum) teletak pada

(

8 33 35

)

1

(

16 51 37

)

1 ₂₊ ₊ _≤ _≤ ₂₊ ₊ n n q k n n q Bukti:

Bilangan ajaib akan bernilai minimum saat simpul berderajat paling besar dilabeli dengan label paling kecil[4]. Persamaan Lemma 1 menjadi:

(

)

( ) ( )

( )

_       + + + + + =

∑

= m i c n x x n n q k 1 1 2 1 2 ₃₀ ₂₈ 8 1 λ λ λ =1

(

8n2+30n+28

)

+3n+3+4

)

q =1

(

8n2+33n+35

)

q

Dan k akan bernilai maksimum saat simpul berderajat paling besar dilabeli dengan label paling besar[4]. Persamaan Lemma 1 menjadi:

(

)

(

)

(

8 30 28 8 13 4 5 4 4 1 2₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ = n n n n n n q k = 1

(

16n2+51n+37

)

q

Jadi terbukti jika adalah graf edge magic total dengan bilangan ajib k terletak pada rentang

(

8 33 35

)

1

(

16 51 37

)

1 2₊ ₊ _≤ _≤ 2₊ ₊ n n q k n n q ∎

B. Pelabelan Total Sisi Ajaib Graf Kembang Api

Secara umum graf kembang api F₂_,_n dengan

2 =

m

, dinotasikan dengan . Mempunyai simpul dan sisi:

( )

F n

{

x x

} {

c c

}

{

a a aj

} {

a a a j

}

V ₂_, = ₁, ₂  ₁, ₂  ₁₁, ₁₂,, ₁  ₂₁, ₂₂,, ₂

( )

F₂_,

{ } {

x₁x₂  x₁c₁,x₂c₂

}

 E _n =

{

c₁a₁₁,c₂a₁₂,,c₁a₁_j

} {

 c₂a₂₁,c₂a₂₂,,c₂a₂_j

}

Jumlah simpul dan sisi masing–masing adalah

(

2

)

2 ) (F2, = n+ V n dan E(F2,n) = n2( +2)−1. Teorema 2

Jika adalah sebuah graf kembang api dengan dua simpul backbone

{ }

x1x2 dan buah anting , maka mempunyai pelabelan total sisi ajaib dengan k= n4 +12.

Bukti:

Misalkan graf kembang api mempunyai,

( )

F n

{

x x c c a a j a a j

}

V ₂_, = ₁, ₂, ₁, ₂, ₁₁,, ₁ , ₂₁,, ₂

( )

F n

{

xx xc xc ca caij ca ca j

}

E ₂_, = ₁ ₂, ₁₁, ₂ ₂, ₁₁₁,, ₁ , ₂ ₂₁,, ₂ ₂

(3)

Sehingga mempunyai sisi

( )

F₂_,

{

( ) (

x₁ x₁x₂

) ( )

x₂

}



{

( ) ( ) ( )

x₁ x₁c₁ c₁

}



V _n = λ +λ +λ λ +λ +λ

{

λ

( ) (

x₂ +λ x₂c₂

) ( )

+λ c₂

}



{

λ

( )

c_i +λ

( ) ( )

c_ia_ij +λa_ij

}

Didefinisikan V

( ) ( )

F₂_,_n EF₂_,_n ke himpunan

{

1,2,3,,p+q

}

dimana p=V(G) dan q= E(G) dengan pola sebagai berikut:

( )

x₁ = n2 +6 λ

( )

x₂ =2 λ

( )

c1 = i2 −1 λ

( )

a_ij =2j−i+4 λ

(

x1x2

)

= n2 +4 λ

( )

x₁c₁ = n2 +5 λ

(

x₂c₂

)

= n4 +7 λ

( )

c₁a_ij =4n+9−2j−i λ

karena masing-masing sisi berlaku λ(x)+λ(xy)+λ(y)=k, maka: a.

{

λ

( ) (

x1 +λ x1x2

) ( )

+λ x2

}

=

(

2n+6

) (

+ 2n+4

)

+2 = n4 +12 b.

{

λ

( ) ( ) ( )

x1 +λ x1c1 +λ c1

}

=

(

2n+6

) (

+ 2n+5

) (

+ 2i−1

)

=

(

2n+6

) (

+ 2n+5

) ( )

+

(

21−1

)

= n4 +12 c.

{

λ

( ) (

x2 +λ x2c2

) ( )

+λc2

}

( ) (

2 + 4 +7

) (

+ 2 −1

)

= n i

( ) (

2 + 4 +7

)

+

(

2

( )

1−1

)

= n 12 4 + = n d.

{

λ

( )

ci +λ

( ) ( )

ciaij +λaij

}

(

2 −1

) (

+ 4 +9−2 −

) (

+ 2 − +4

)

= i n j i j i 12 4 + = n

Jadi terbukti bahwa graf kembang api dengan bilangan asli adalah graf yang mempunyai pelabelan total sisi ajaib dengan k= n4 +12 ■

Pelabelan Total sisi ajaib pada graf kembang api dengan

28 =

k digambarkan seperti pada Gambar 2

Gambar 2 Graf Kembang Api

C. Bilangan Ajaib Graf Pohon Pisang

Graf pohon pisang B_m_,_n adalah sebuah graf yang diperoleh dengan menghubungkan satu simpul anting dari setiap buah salinan graf bintang ke sebuah simpul baru

yang disebut simpul akar . Sebuah Graf Pohon Pisang mempunyai:

( )

B

{

c c

} {

x x

}

{

a a a

} {

a a a

}

{ }

r V ₂_,_n = ₁, ₂  ₁, ₂  ₁₁, ₁₂,, ₁_j  ₂₁, ₂₂,, ₂_j 

( )

B₂_,

{

x₁r,x₂r

} {

 x₁c₁,x₂c₂

}

 E _n =

{

c1a11,c2a12,,c1a1j

} {

 c2a21,c2a22,,c2a2j

}

Untuk 1≤i≤m dan 1≤ j≤n−1.

Gambar 3 adalah contoh graf pohon pisang

Gambar 3 Graf Banana Tree Reguler

Graf pohon pisang mempunyai

( )

G = p=2n+3

V dan E

( )

G =q=2n+2.

Sama seperti graf kembang api, graf pohon pisang dikatakan pelabelan total sisi ajaib jika mempunyai bilangan ajaib sesuai Persamaan (1). Sehingga didapat Lemma 2,

Lemma 2

Jika Jika graf adalah graf edge magic total, maka bilangan ajaibnya (magic sum) adalah

(

)

(

) ( )

( ) (

)

( )

_       − + + − + + + =

∑

= = m i m i i i n c x r m n n q k 1 1 2 1 1 15 22 8 1 _λ _λ _λ Bukti:

Diasumsikan bahwa graf adalah graf yang mempunyai pelabelan total sisi ajaib, dengan simpul dan sisi diberi label dari angka 1 sampai

(

p+q

)

maka:

( )

(

)

∑

∈ ∈ + + + + = + V p q E n q p λ 1 2  4 5 λ

(

)(

)

2 6 4 5 4 + + = n n (3)

Persamaan (3) disubtitusikan kedalam persamaan (1) sehingga didapatkan nilai k untuk graf pohon pisang

(

)(

_{) ( ) ( )}

_∑

_{( ) (}

₎

_∑

_{( )}

= = − + + + − + + + = m i m i i i n c x r m n n qk 1 1 1 1 2 6 4 5 4 _λ _λ _λ

(

) ( )

∑

( ) (

)

∑

( )

= = − + + + − + + + = m i m i i i n c x r m n n qk 1 1 2 1 1 15 22 8 λ λ λ

(

)

(

) ( )

( ) (

)

( )

_       − + + − + + + =

∑

= = m i m i i i n c x r m n n q k 1 1 2 1 1 15 22 8 1 _λ _λ _λ

Jadi terbukti, diperoleh bilangan ajaib k untuk pelabelan total sisi ajaib pada Graf Pohon Pisang.

(4)

Dari Lemma 2 didapatkan nilai bilangan ajaib untuk graf . Bilangan ajaib k dapat ditemukan jika nilai pada simpul tersebut didapat dengan meminimumkan dan memaksimalkan nilai pelabelannya[4]. Sehingga didapatkan rentang bilangan ajaib k untuk pelabelan total sisi ajaib pada graf .

Teorema 3

Jika graf adalah graf edge magic total, maka bilangan ajaibnya (magic sum) teletak pada rentang

(

8 33 12

)

1

(

16 29 24

)

1 ₂ ₂ + + ≤ ≤ + + n n q k n n q untuk n<2

(

8 25 24

)

1

(

16 33 12

)

1 2₊ ₊ _≤ _≤ 2₊ ₊ n n q k n n q untuk n≥2 Bukti:

Bilangan ajaib akan bernilai minimum saat simpul berderajat paling besar dilabeli dengan label paling kecil[8]. Sehingga Lemma 4.2 menjadi batas bawah dari rentang nilai k yaitu: Untuk n<2;

(

)

( ) ( ) (

)

(

8 22 15 1 5 9 9

)

1 2₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₋ = n n n q k

(

8 31 12

)

1 2₊ ₊ = n n q k Untuk n≥2;

(

)

(

) ( ) ( )

(

8 22 15 3 3 3 9

)

1 2₊ ₊ ₊ ₋ ₊ ₊ = n n n q k

(

8 25 24

)

1 2₊ ₊ = n n q k

Dan k akan bernilai maksimum saat simpul berderajat paling besar dilabeli dengan label paling besar. Sehingga Lemma 4.2 menjadi batas atas dari rentang nilai k yaitu: Untuk n<2;

(

)

(

) (

)

(

)

(

8 22 15 4 5 8 7 8 5 3

)

1 2₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ 2₋ ₋ = n n n n n n q k

(

16 29 24

)

1 ₂ + + = n n q k Untuk n≥2;

(

) (

)

(

) (

)

(

8 22 15 8 9 4 7 8 3

)

1 ₂ ₂ + + + + − − + + + = n n n n n n q k

(

16 33 12

)

1 2₊ ₊ = n n q k

Jadi jika adalah graf edge magic total dengan bilangan ajaib, maka k terletak pada rentang

(

8 33 12

)

1

(

16 29 24

)

1 2₊ ₊ _≤ _≤ _n2₊ _n₊ q k n n q untuk n<2

(

8 25 24

)

1

(

16 33 12

)

1 2₊ ₊ _≤ _≤ 2₊ ₊ n n q k n n q untuk n≥2 ■

D. Pelabelan Total Sisi Ajaib Graf Pohon Pisang

Secara umum graf pohon pisang B_m_,_n dengan

2 =

m , dinotasikan dengan . Mempunyai simpul dan

sisi

( )

B

{

c c

} {

x x

}

{

a a a

} {

a a a

}

{ }

r V ₂_,_n = ₁, ₂  ₁, ₂  ₁₁, ₁₂,, ₁_j  ₂₁, ₂₂,, ₂_j 

( )

B₂_,

{

x₁r,x₂r

} {

 x₁c₁,x₂c₂

}

 E _n =

{

c₁a₁₁,c₂a₁₂,,c₁a₁_j

} {

 c₂a₂₁,c₂a₂₂,,c₂a₂_j

}

Untuk 1≤i≤m dan 1≤ j≤n−1.

Jumlah simpul dan sisi masing–masing adalah

3 2 ) (B2, = n+ V n dan E

( )

B2,n = n2 +2. Teorema 4

Graf adalah sebuah graf pohon pisang dengan salinan graf bintang dan buah anting, maka adalah graf yang mempunyai pelabelan total sisi ajaib dengan k= n4 +10 . Bukti:

Misalkan graf Pohon pisang mempunyai,

( ) ( )

B _n EB _n

{

c c x x r a a a _j

}



V ₂_, ₂_, = ₁, ₂, ₁, ₂, , ₁₁, ₁₂, , ₁

{

x₁r,x₂r,x₁c₁,x₂c₂,c₁a₁₁,c₂a₁₂,,c₁a₁_j

}



{

c₂a₂₁,c₂a₂₂,,c₂a₂_j

}

Sehingga mempunyai sisi

( )

B _n

{

( ) ( ) ( )

r rx_i x_i

}



{

( ) ( ) ( )

x_i xici c_i

}



V ₂_, = λ +λ +λ λ +λ +λ

{

λ

( )

c1 +λ

( ) ( )

c1a1j +λa1j

}



{

λ

( )

c2 +λ

(

c2ai2j

) ( )

+λai2j

}

Didefinisikan V

( ) ( )

B₂_,_n EB₂_,_n ke himpunan

{

1,2,3,,p+q

}

dimana p= V(G) dan q= E(G) dengan pola sebagai berikut:

( )

x1 =n+i+2 λ

( )

x2 = i2 −1 λ

( )

rxi =3n−i+6 λ

( )

xici =3n−3i+9 λ

( )

r =2 λ

( )

a₁_j = 2+i+ j λ

( )

a₂_j =n+i+ j+2 λ

( )

c₁a₁_j =4n+i− j+5 λ

(

c₂a₂_j

)

=3n+2i−j−1 λ

karena masing-masing sisi berlaku λ(x)+λ(xy)+λ(y)=k, maka: a.

{

λ

( ) ( ) ( )

r +λrxi +λ xi

}

=

( ) (

2 + 3n−i+6

) (

+ n+i+2

)

= n4 +10 b.

{

λ

( ) ( ) ( )

xi +λ xici +λci

}

=

(

n+i+2

) (

+ 3n−3i+9

) (

+ 2i−1

)

= n4 +10 c.

{

λ

( )

c1 +λ

( ) ( )

c1a1j +λa1j

}

(

i−

) (

+ n+i− j+

) (

+ +i+ j

)

= 2 1 4 5 2

(

× −

) (

+ n+ − j+

) (

+ + + j

)

= 2 1 1 4 1 5 2 1 = n4 +10

(5)

d.

{

λ

( )

c₂ +λ

(

c₂a_i₂_j

) ( )

+λa_i₂_j

}

=

(

2i−1

) (

+ 3n+2i− j−1

) (

+ n+i+ j+2

)

=

(

2×2−1

) (

+ 3n+2×2−j−1

) (

+ n+2+ j+2

)

= n4 +10

Jadi terbukti bahwa graf pohon pisang dengan bilangan asli adalah graf yang mempunyai pelabelan total sisi ajaib dengan k= n4 +10∎

Gambar 4 Graf Pohon Pisang

Pelabelan Total sisi ajaib pada graf pohon pisang dengan digambarkan seperti pada Gambar 4

IV. SIMPULAN

1. Graf adalah sebuah graf kembang api dengan dua simpul backbone

{ }

x1x2 dan buah anting ,

maka adalah graf yang mempunyai pelabelan total sisi ajaib dan mempunyai bilangan ajaib (magic

sum) teletak teletak pada

(

8 33 35

)

1

(

16 51 37

)

1 2₊ ₊ _≤ _≤ 2₊ ₊ n n q k n n q

Dan mempunyai bilangan ajaib k= n4 +12 dengan pola sebagai berikut:

( )

x1 = n2 +6 λ

( )

x2 =2 λ

( )

c1 = i2 −1 λ

( )

a_ij =2j−i+4 λ

(

x₁x₂

)

= n2 +4 λ

( )

x1c1 = n2 +5 λ

(

x2c2

)

= n4 +7 λ

( )

c₁a_ij =4n+9−2j−i λ

2. Graf B2,n adalah sebuah graf pohon pisang dengan

salinan graf bintang dan buah anting, maka B2,n

adalah graf yang mempunyai pelabelan total sisi ajaib maka bilangan ajaibnya (magic sum) teletak pada

(

8 33 12

)

1

(

16 29 24

)

1 ₂₊ ₊ _≤ _≤ ₂₊ ₊ n n q k n n q untuk n<2

(

8 25 24

)

1

(

16 33 12

)

1 2₊ ₊ _≤ _≤ 2₊ ₊ n n q k n n q untuk n≥2

Dan mempunyai bilangan ajaib k= n4 +10 dengan

pola sebagai berikut:

( )

x₁ =n+i+2 λ

( )

x₂ = i2 −1 λ

( )

rxi =3n−i+6 λ

( )

xici =3n−3i+9 λ

( )

r =2 λ

( )

a₁_j = 2+i+ j λ

( )

a₂_j =n+i+ j+2 λ

( )

c₁a₁_j =4n+i− j+5 λ

(

c₂a₂_j

)

=3n+2i−j−1 λ DAFTARPUSTAKA

[1] J, Sedláčk. (1963). “Theory of Graphs and Its Applications”. Problem

27, Proc. Symposium Smolenice, June 1963. 163-167.

[2] Kotzig .A, Rosa .A. (1970). “Magic valuations of finite graphs”. Canad.

Math. Bull, 13. 451-461.

[3] Wallis, W.D. (2001). “Magic Graphs”. Boston, Birkauser

[4] Muthoharoh. (2007). ”Pelabelan edge magic dan super edge magic