BAHAN PROYEK NILAI
MAKSIMUM DAN MINIMUM
Tugas dibuat untuk Mendukung Proyek Akhir Makalah Mata Kuliah Kalkulus 1
Disusun Oleh : Olivia Oktaviani
K1318064
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET 2021
A. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi
Nilai maksimum dan minimum fungsi sejatinya adalah aplikasi atau penerapan dari konsep turunan. Nilai suatu fungsi dikatakan maksimum jika nilai dari fungsi tersebut paling besar dan sebaliknya nilai suatu fungsi dikatakan minimum jika nilai suatu fungsi tersebut paling kecil pada sebuah selang atau interval tertutup. Secara formal, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai berikut.
Definisi
Misal 𝑆 adalah daerah asal dari 𝑓 dan memuat titik 𝑐.
1. 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 pada 𝑆 2. 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 pada 𝑆
Dari nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi inilah dapat diperoleh nilai ekstrim. Pengaplikasian nilai ekstrim dalam kehidupan nyata sangat beragam, mulai dari untuk mencari biaya atau bahan minimum dalam proyek, mencari keuntungan maksimum, mencari volume maksimum dan lain hal sebagainya. Adapun definisi formal dari nilai ekstrim adalah sebagai berikut.
Definisi
Misal 𝑆 adalah daerah asal dari 𝑓 dan memuat titik 𝑐.
1. 𝑓(𝑐) adalah nilai ektrim dari 𝑓 pada S jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum atau nilai minimum
2. Fungsi yang akan dicari nilai ekstrimnya dikatakan fungsi objektif
Dalam menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi di suatu selang tutup, dapat dicek terlebih dahulu apakah 𝑓 kontinu pada selang tutup tersebut.
Teorema
Jika 𝑓 kontinu pada selang tutup [𝑎, 𝑏] maka 𝑓 mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada selang tersebut.
Terdapat beberapa titik yang merupakan kandidat dimana suatu fungsi dapat bernilai maksimum dan minimum, yakni di titik ujung selang, di titik dimana turunan fungsinya sama dengan 0 atau yang biasa dikenal sebagai titik stasioner dan titik dimana fungsi tidak dapat diturunkan atau dikenal dengan titik singular. Kandidat-kandidat itulah yang disebut sebagai titik-titik kritis.
Teorema Titik Kritis
Misal 𝑓 didefinisikan pada interval 𝐼 yang memuat 𝑐. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim, maka 𝑐 adalah titik kritis, yakni
1. Titik Ujung pada 𝐼
2. Titik Stasioner dari 𝑓, yaitu 𝑓′(𝑐) = 0 3. Titik Singular dari 𝑓, yaitu 𝑓′(𝑐) tidak ada
Dari teorema diatas, maka secara langsung dapat ditentukan langkah-langkah dalam mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi di selang tutup 𝐼 yaitu cari terlebih dahulu titik-titik kritis dari 𝑓 pada selang 𝐼, kemudian carilah nilai 𝑓 pada titik-titik kritis yang sudah didapatkan, dan terakhir periksalah nilai 𝑓 yang paling besar dan nilai 𝑓 yang paling kecil. Nilai 𝑓 yang paling besar berarti nilai itu adalah nilai maksimum dari fungsi 𝑓 tersebut sedangkan nilai 𝑓 yang paling kecil berarti nilai itu adalah nilai minimum dari fungsi 𝑓 tersebut.
Definisi (Uji Ekstrim Lokal)
Misal 𝑆 adalah daerah asal 𝑓 dan 𝑐 ∈ 𝑆.
1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka 𝐼 yang memuat 𝑐 sedemikian hingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆
2. 𝑓(𝑐) nilai minimum lokal 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka 𝐼 yang memuat 𝑐 sedemikian hingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆
3. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim lokal 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal atau minimum lokal
Dari definisi mengenai uji ekstrim lokal diatas, dapat diperoleh beberapa teorema terkait dengan nilai ekstrim lokal diantaranya yakni uji pertama untuk nilai ekstrim lokal dan uji kedua untuk nilai ekstrim lokal.
Definisi (Uji Pertama untuk Ekstrim Lokal)
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang buka (𝑎, 𝑏) yang memuat titik kritis 𝑐,
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal
3. Jika 𝑓′(𝑥) bertanda sama untuk kedua pihak, maka 𝑓(𝑐) bukan nilai ekstrim Definisi (Uji Pertama untuk Ekstrim Lokal)
Misal 𝑓 dan 𝑓′ dapat didiferensialkan pada selang buka (𝑎. 𝑏) yang memuat titik 𝑐 dengan 𝑓′(𝑐) = 0
1. Jika 𝑓′′(𝑐) < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal 2. Jika 𝑓′′(𝑐) > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal
B. Kemonotonan dan Kecekungan
Selain untuk mencari nilai maksimum dan nilai minimum, turunan juga dapat membantu kita dalam mencari apakah fungsi 𝑓 naik pada selang 𝐼 atau justru fungsi 𝑓 turun pada selang 𝐼. Definisi persis tentang naik dan turunnya suatu fungsi dapat dituliskan sebagai berikut.
Definisi
Misal 𝑓 didefinisikan pada interval 𝐼.
1. 𝑓 naik pada 𝐼 jika untuk setiap pasang bilangan 𝑥1 dan 𝑥2 dalam 𝐼 berlaku 𝑥1 < 𝑥2⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
2. 𝑓 turun pada 𝐼 jika untuk setiap pasang bilangan 𝑥1 dan 𝑥2 dalam 𝐼 berlaku 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)
3. 𝑓 monoton murni pada 𝐼 jika 𝑓 naik pada 𝐼 atau turun pada 𝐼
Ingat bahwa konsep turunan dapat diperoleh dari konsep garis lurus yang memotong grafik di dua titik dan konsep garis singung. Perhatikan gambar dibawah ini.
Gambar 1
Dari gambar diperoleh informasi yaitu dimana 𝑓′(𝑥) > 0 maka garis singgungnya bergerak naik sedangkan saat 𝑓′(𝑥) < 0 garis singgungnya bergerak turun.
Teorema Kemonotonan
Misal 𝑓 dapat didefinisikan pada titik dalam selang 𝐼.
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari selang 𝐼 maka 𝑓 naik pada selang 𝐼 2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari selang 𝐼 maka 𝑓 turun pada selang 𝐼
Kemonotonan suatu fungsi erat kaitannya dengan turunan pertama dari fungsi tersebut. Sedangkan kecekungan suatu fungsi berkaitan dengan turunan kedua dari fungsi.
Perhatikan definisi berikut ini.
Definisi
Misalkan 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang buka 𝐼. Jika 𝑓′ naik pada 𝐼 dikatakan 𝑓 cekung ke atas di 𝐼 dan jika 𝑓′ turun pada 𝐼 dikatakan 𝑓 cekung kebawag di 𝐼.
Perhatikan bahwa turunan dari 𝑓′ adalah 𝑓′′. Sehingga dari definisi kecekungan diatas dapat diperoleh teorema kecekungan sebagai berikut.
Teorema Kecekungan
Andaikan 𝑓 terdiferensiasi dua kali pada interval terbuka 𝐼
1. Jika 𝑓′′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 dalam 𝐼, maka 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼 2. Jika 𝑓′′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 dalam 𝐼, maka 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼
Dalam kasus-kasus tertentu, pada selang tertentu, suatu grafik fungsi 𝑓 dapat cekung keatas dan cekung kebawah dalam beberapa sub selang. Hal tersebut mengakibatkan adanya titik yang biasa dikenal dengan titik belok. Sebuah titik dikatakan sebagai titik belok dari grafik fungsi 𝑓 jika 𝑓 cekung keatas di satu sisi dari 𝑐 dan 𝑓 cekung kebawah di sisi lainnya dari 𝑐. Titik-titik dengan 𝑓′′(𝑥) = 0 atau 𝑓′′(𝑥) tidak ada dapat dijadikan kandidat titik belok suatu grafik fungsi.
C. Penerapan Nilai Maksimum dan Minimum dalam Kehidupan Sehari-hari
Berikut adalah contoh penerapan nilai maksimum dan minimum dalam kehidupan sehari- hari.
Contoh 1
Sebuah balok tanpa tutup dengan alas persegi (𝑥 . 𝑥) dan tinggi 𝑡 mempunyai volume 180 𝑐𝑚3. Agar luas permukaan balok minimum, maka besar nilai 𝑥 adalah …
Jawab
Pertama-tama nyatakan 𝑡 dalam 𝑥 dengan menggunakan volume balok dengan alas persegi tersebut.
𝑉 = 108 𝑥 . 𝑥 . 𝑡 = 108 𝑥2. 𝑡 = 108 𝑡 =108
𝑥2
Dengan demikian dapat dinyatakan luas permukaan (𝐿) balok sebagai fungsi terhadap 𝑥 sebagai berikut.
𝐿(𝑥) = 4(𝑥 . 𝑡) + (𝑥 . 𝑥) 𝐿(𝑥) = 4𝑥𝑡 + 𝑥2
𝐿(𝑥) = 4𝑥108
𝑥2 + 𝑥2 𝐿(𝑥) = 432𝑥−1+ 𝑥2
Luas permukaan akan miniumum saat 𝐿′(𝑥) = 0 sehingga 𝐿′(𝑥) = 0
−432𝑥−2+ 2𝑥 = 0 2𝑥 = 432𝑥−2 𝑥3 = 216 𝑥 = √2163 𝑥 = 6
Jadi, besar nilai 𝑥 agar luas permukaannya minimum adalah 6 cm.
Contoh 2
Terdapat sebuah kawat dengan panjang 90 cm. Kawat tersebut akan dipotong menjadi 2 bagian, satu bagian untuk bahan membuat segitiga sama sisi dengan panjang 𝑥 cm dan satunya digunakan untuk membuat persegi. Agar jumlah luasnya maksimum, tentukanlah nilai 𝑥
Jawab
Diketahui segitiga sama sisi memiliki panjang sisi 𝑥, maka kawat yang dibutuhkan adalah 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 3𝑥 cm. Sedangkan sisa kawat akan dijadikan bahan membuat persegi adalah (90 − 3𝑥) cm. Jadi 𝑆𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 = (90−3𝑥)
4
𝐿𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 = (90−3𝑥)
4 .(90−3𝑥)
4
𝐿𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 = (90−3𝑥)2
16
Kemudian dapat diperoleh 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 sebagai berikut.
𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 = 1
2 . 𝑥 . 𝑥 . sin 60° = 1
4√3𝑥2 cm2
Setelah diketahui luas persegi dan luas segitiga, maka dapat ditulis fungsi 𝑓 sebagai berikut.
𝑓(𝑥) = (90−3𝑥)2
16 + 1
4√3𝑥2
Agar 𝑓(𝑥) maksimum, maka harus dibuat 𝑓′(𝑥) = 0 𝑓′(𝑥) = 0
(2)(90−3𝑥)(−3) 16 + 1
4√3(2)𝑥 = 0
18𝑥−540 16 + 2
4√3𝑥 = 0 9𝑥 − 270 + 4√3𝑥 = 0 9𝑥 + 4√3𝑥 = 270 𝑥 = 270
9+4√3 cm
Jadi, agar luasnya maksimum, nilai x yang tepat adalah 𝑥 = 270
9+4√3 cm.
