TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

(1)

muhammadsihabudin@yahoo.co.id

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

 Fungsi 𝑓 dikatakan mencapai maksimum mutlak di 𝑐 jika 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼.

Di sini 𝑓 𝑐 dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan 𝑐, 𝑓 𝑐 dinamakan titik maksimum mutlak dari fungsi 𝑓 pada selang 𝐼.

 Fungsi 𝑓 dikatakan mencapai minimum mutlak di 𝑐 jika 𝑓 𝑐 ≤ 𝑓 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼.

Di sini 𝑓 𝑐 dinamakan nilai minimum mutlak. Dan 𝑐, 𝑓 𝑐 dinamakan titik minimum mutlak dari fungsi 𝑓 pada selang 𝐼.

 Fungsi 𝑓 dikatakan mencapai maksimum lokal di 𝑐 jika terdapat suatu 𝛿 > 0 sehingga pada selang 𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿 berlaku 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥 . Di sini 𝑓 𝑐 dinamakan nilai maksimum lokal. Dan 𝑐, 𝑓 𝑐 dinamakan titik maksimum lokal dari fungsi 𝑓 pada selang 𝐼.

 Fungsi 𝑓 dikatakan mencapai minimum lokal di 𝑐 jika terdapat suatu 𝛿 > 0 sehingga pada selang 𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿 berlaku 𝑓 𝑐 ≤ 𝑓 𝑥 . Di sini 𝑓 𝑐 dinamakan nilai minimum lokal. Dan 𝑐, 𝑓 𝑐 dinamakan titik minimum lokal dari fungsi 𝑓 pada selang 𝐼.

Teorema : turunan di titik ekstrim lokal

Misal fungsi 𝑓 kontinu pada selang terbuka 𝐼 yang memuat 𝑐. Jika fungsi 𝑓 mencapai ekstrim lokal di 𝑐 dan fungsi 𝑓 terdiferensialkan di 𝑐, maka 𝑓’(𝑐) = 0

Teorema : titik kritis

 Titik ujung selang 𝐼, bila 𝐼 adalah selang tertutup

 Titik 𝑐 di dalam selang 𝐼, yang memenuhi 𝑓^′ 𝑐 = 0 atau 𝑓^′ 𝑐 tidak ada 𝑓^′ 𝑐 = 0, titik 𝑐 dinamakan titik stasioner dari fungsi 𝑓

𝑓^′ 𝑐 tidak ada, titik 𝑐 dinamakan titik singular dari fungsi 𝑓

Jangan dibuat sulit!

Kalau ada 2 nilai maksimum, katakan saja bahwa yang paling besar adalah maksimum global dan yang satunya (yang lebih kecil) adalah maksimum lokal. Kalau ada 1 nilai maksimum. Ya itu lah maksimum global.

Sudah sangat jelas. Pada suatu fungsi 𝑓 yang terdiferensiasi dimana-mana, maka turunan di titik-titik ekstrimnya adalah nol. Bayangkan saja gambarnya. Garis singgungnya pasti sejajar dengan sumbu x (memiliki kemiringan 0)

(2)

Teorema : uji turunan pertama untuk kemonotonan fungsi

Misalkan fungsi 𝑓 terdiferensialkan pada selang 𝐼. Jika 𝑓^′ 𝑥 > 0 pada selang 𝐼, maka fungsi 𝑓 monoton naik pada 𝐼. Dan jika 𝑓^′ 𝑥 < 0 pada selang 𝐼, maka fungsi 𝑓 monoton turun pada 𝐼.

Teorema : uji turunan pertama untuk maksimum dan minimum

Misal fungsi 𝑓 kontinu pada selang terbuka 𝐼 yang memuat titik kritis 𝑐

 Jika terdapat 𝑟 > 0 sehingga 𝑓^′ 𝑥 > 0 pada selang (𝑐 − 𝑟, 𝑐) ⊆ 𝐼 dan 𝑓^′ 𝑥 < 0 pada selang (𝑐, 𝑐 + 𝑟) ⊆ 𝐼, maka fungsi 𝑓 mencapai maksimum di 𝑐

 Jika terdapat 𝑟 > 0 sehingga 𝑓^′ 𝑥 < 0 pada selang (𝑐 − 𝑟, 𝑐) ⊆ 𝐼 dan 𝑓^′ 𝑥 > 0 pada selang (𝑐, 𝑐 + 𝑟) ⊆ 𝐼, maka fungsi 𝑓 mencapai maksimum di 𝑐

Teorema : uji turunan kedua untuk maksimum dan minimum

Misal fungsi 𝑓 terdiferensialkan pada selang terbuka 𝐼 yang memuat 𝑐

 Jika 𝑓^′ 𝑐 = 0 dan 𝑓^′′ 𝑐 < 0, maka fungsi 𝑓 mencapai maksimum local di 𝑐

 Jika 𝑓^′ 𝑐 = 0 dan 𝑓^′′ 𝑐 > 0, maka fungsi 𝑓 mencapai minimum local di 𝑐

Ini akan digunakan terus pada penerapan turunan ini. Harus dikuasai. Karena titik-titik kritis ini adalah calon-calon dari maksimum dan minimum.

Lihat interval. Apakah selang buka atau tutup. Kemudian cari stasionernya, perhatikan apakah stasionernya ada di dalam selang atau di luar selang. Cari titik singularnya. Titik ini hanya ditemukan pada suatu fungsi yang mengandung mutlak.

Gampangannya

Jika ada sebuah titik kritis. Jika disebelah kiri titik tersebut turunannya positif dan di sebelah kanan titik tersebut turunannya negatif, maka fungsi tersebut mencapai maksimum di titik c.

Jika disebelah kiri titik tersebut turunannya negatif dan di sebelah kanan titik tersebut turunannya positif, maka fungsi tersebut mencapai maksimum di titik c.

Teorema ini tidak dapat digunakan ketika 𝑓^′ 𝑐 tidak ada atau 𝑓^′′ 𝑐 = 0

(3)

Teorema : uji turunan kedua untuk kecekungan fungsi Misal fungsi 𝑓 terdiferensial dua kali pada selang terbuka 𝐼 Jika 𝑓^′′ 𝑥 > 0 pada 𝐼, maka fungsi 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼 Jika 𝑓^′′ 𝑥 < 0 pada 𝐼, maka fungsi 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼 Penyelesaian soal

Halaman 172, nomor 20

Ambil 𝑝 sebagai panjang dan 𝑙 sebagai lebar.

Diperoleh, 𝐾 (keliling) = 2𝑝 + 2𝑙 ↔ 𝑙 =^𝐾₂ − 𝑝 𝐿 = 𝑝 𝑙

𝐿 = 𝑝 ^𝐾₂− 𝑝 𝐿 =^𝐾₂𝑝 − 𝑝²

𝐿^′ =^𝐾₂ − 2𝑝 , stasioner untuk 𝐿^′ = 0

0 = ^𝐾₂− 2𝑝 ↔ 2𝑝 =^𝐾₂, maka diperoleh 𝑝 =^𝐾₄ Dan akhirnya diperoleh 𝑙 =^𝐾₄

Karena 𝑝 = 𝑙, maka segi empat itu merupakan bujur sangkar

Misalkan ukuran kebunnya × 𝑦 , maka panjang kawat durinya adalah 𝑥 + 𝑦 + (𝑦 − 40) + (𝑥 − 20)

Karena kita mempunyai kawat 80 meter, maka 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 − 40 + 𝑥 − 20 = 80

Kecekungan dan titik belok

Jika di suatu titik pada grafik fungsi kontinu terjadi perubahan kecekungan dan di titik itu terdapat garis singgung, maka titik itu merupakan titik belok dari fungsinya.

 Garis singgung di titik belok sejajar sumbu 𝑥

Misalnya, 𝑓 𝑥 = 𝑥³. 𝑓^′ 𝑥 = 3𝑥². 𝑓^′′ 𝑥 = 6𝑥. Perhatikan saja bahwa untuk 𝑥 < 0 → 𝑓^′′ 𝑥 < 0, cekung ke bawah. Dan untuk 𝑥 > 0 → 𝑓^′′ 𝑥 > 0, cekung ke atas. TERJADI PERUBAHAN KECEKUNGAN. Sehingga mempunyai titik belok, yaitu di 𝑥 = 0.

𝑓^′ 0 = 3(0)² ↔ 𝑓^′ 0 = 0, yang artinya garis singgungnya sejajar sumbu x

 Garis singgung di titik belok sejajar sumbu y

Contohnya yaitu 𝑔 𝑥 = 𝑥³ . Anda bisa membayangkan sendiri. Karena fungsi ini merupakan invers dari fungsi sebelumnya

 Turunan kedua dari fungsinya di titik belok tidak ada

Fungsi 𝑕 𝑥 = 𝑥 𝑥 . Berdasarkan rumus _𝑑𝑥^𝑑 𝑥 =_𝑥^𝑥 , maka turunan pertama dan kedua dari fungsi 𝑕 adalah

𝑕^′ 𝑥 = 2 𝑥 , 𝑕^′′ 𝑥 = 2_𝑥^𝑥

Karena 𝑕^′′ 𝑥 < 0 untuk 𝑥 < 0 dan 𝑕’’(𝑥) > 0 untuk 𝑥 > 0, maka di 𝑥 = 0 terjadi perubahan kecekungan dari fungsi 𝑕. Kemudian, karena 𝑕’ 0 = 2 0 = 0, maka garis singgung pada fungsi

𝑕 di (0,0) adalah sumbu 𝑥. karena itu fungsi 𝑕 mencapai titik belok di 𝑥 = 0. Dalam kasus ini turunan kedua fungsi 𝑕 di 0 adalah

(4)

Akibatnya 𝑥 + 𝑦 = 70 atau 𝑦 = 70 − 𝑥

Karena ukuran terkecil dari 𝑥 adalah 20 meter (perhatikan gambar pada soal), maka 𝑥 ≥ 20.

Karena ukuran terkecil dari 𝑦 adalah 40 meter, maka 𝑦 ≥ 40 Akibatnya 70 − 𝑥 ≥ 40, sehingga 𝑥 ≤ 30

Dari sini diperoleh selang nilai 𝑥, yaitu : 20 ≤ 𝑥 ≤ 30

 Luas kebun adalah 𝐿 = 𝑥𝑦, dengan mengganti 𝑦 = 70 − 𝑥 Diperoleh 𝐿(𝑥) = 𝑥(70 − 𝑥)

Sekarang kita cari maksimum dari fungsi 𝐿 𝑥 = 𝑥 70 − 𝑥 , 20 ≤ 𝑥 ≤ 30

𝐿^′(𝑥) = 70 − 2𝑥, 20 ≤ 𝑥 ≤ 30

 Karena stasionernya 35. Untuk (𝐿^′ 𝑥 = 0, di peroleh 𝑥 = 35). Berada di luar selang, maka kita hiraukan.

Jadi titik kritisnya adalah 20 dan 30

Karena 𝐿^′ 𝑥 > 0 untuk nilai 𝑥 pada selang [20,30], maka fungsi 𝐿 monoton naik pada selang [20,30].

Akibatnya, maksimumnya tercapai pada 𝑥 = 30.

Diperoleh 𝑦 = 40

(a,b)

b a

Lebih mudah untuk mengingat.

Ingatlah bahwa turunan pertama adalah gradient. Jika gradient positif, jelas garisnya akan naik. Suatu garis dengan gradient positif kan gambarnya naik. Begitu juga dengan yang mempunyai gradient negative, garisnya kan turun.

Perhatikan gambar!

Pada soal kita diberi setengah lingkaran. Tetapi agar lebih memudahkan kita, kita akan hanya memandang pada seperempat lingkaran disamping. Anggap lingkaran berpusat di (0,0) dengan jari-hari 𝑟, sehingga

Persamaannya adalah 𝑥²+ 𝑦²= 𝑟² ↔ 𝑦 = 𝑟²− 𝑥²

Karena titik (a,b) berada pada kurva (lingkaran). Maka kita bias menuliskan 𝑏 = 𝑟²− 𝑎²

𝐿𝑢𝑎𝑠 = 𝑎𝑏 ↔ 𝐿 = 𝑎 𝑟²− 𝑎² 𝐿 = 𝑎²𝑟²− 𝑎⁴

𝐿^′=_{2 𝑎}^2𝑟²₂^𝑎−4𝑎_𝑟₂_−𝑎³₄ , stasioner runtuk 𝐿^′= 0 0 =_{2 𝑎}^2𝑟²₂^𝑎−4𝑎_𝑟₂_−𝑎³₄

2𝑟²𝑎 − 4𝑎³= 0 ↔ 2𝑟²𝑎 = 4𝑎³

𝑎²=¹₂𝑟² ↔ 𝑎 =¹₂𝑟 2. Diperoleh 𝑏 =¹₂𝑟 2 Sekarang kita kembali ke setengah lingkaran, sisi segi empatnya yaitu 2𝑎 × 𝑏

Sehingga ukuran segi empat agar luas maks yaitu 𝑟 2 ×¹₂𝑟 2

(5)

muhammadsihabudin@yahoo.co.id Halaman 184, nomor 28

𝑓^′ 𝑐 = 𝑓^′′ 𝑐 = 0 dan 𝑓^′′′ 𝑐 > 0 Perhatikan bahwa

𝑓^′′′ 𝑐 = lim_𝑥→𝑐^𝑓^′′^{𝑥 −𝑓}_𝑥−𝑐^′′^(𝑐), diketahui 𝑓^′′ 𝑐 = 0, sehingga diperoleh

𝑓^′′′ 𝑐 = lim_𝑥→𝑐^𝑓_𝑥−𝑐^′′^𝑥 > 0, berdasarkan sifat limit fungsi, kita mempunyai ^𝑓_𝑥−𝑐^′′^𝑥> 0 pada selang (𝑐 − 𝑟, 𝑐 + 𝑟)

𝑓^′′ 𝑥 𝑥−𝑐 > 0

Untuk 𝑥 < 𝑐 → 𝑥 − 𝑐 < 0 → 𝑓^′′ 𝑥 < 0 → 𝑓 cekung ke bawah Untuk 𝑥 > 𝑐 → 𝑥 − 𝑐 > 0 → 𝑓^′′ 𝑥 > 0 → 𝑓 cekung ke atas

 Perubahan kecekungan di 𝑐. Sehingga fungsi 𝒇 mencapai titik belok di 𝒄

Andaikan 𝑓^′′′ 𝑐 < 0. Apakah yang akan terjadi ?

Hal ini sama dengan untuk persoalan di atas. Bedanya yaitu hanya terletak pada

kecekungan di sebelah kanan dan di sebelah kiri titik 𝑐. Kalo yang di sebelah kiri cekung ke atas dan yang sebelah kanan cekung ke bawah.