Konsep Nilai Maksimum, Minimum, dan Ekstrim Fungsi dalam Matematika

Nama : Fatikha Nabila Az Zahra NIM : K1321039

BAHAN PROYEK NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

Definisi :

Misalkan S, daerah asalf, yang di dalamnya terdapat titikc. Akan dikatakan bahwa : 1. � � adalah nilai maksimumfpada S jika� � ≥ � � untuk setiapxpada S.

2. � � adalah nilai minimumfpada S jika� � ≤ � � untuk setiapxpada S.

3. � � adalah nilai ekstrimfpada S jika� � merupakan nilai maksimum atau minimum f pada S.

4. fmerupakan fungsi objektif.

Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim

Jika f kontinu pada interval tertutup �, � , maka f pasti mencapai nilai maksimum dan minimum di �, � .

Teorema Titik Kritis

Jika f terdefinisi pada interval I yang memuat titik c dan � � adalah nilai ekstrim maka c merupakan titik kritis; dengan kata laincmerupakan salah satu dari :

1. Titik ujung dari interval I,

2. Titik stasioner darif, yaitu titik di mana�^' � = 0, atau 3. Titik singular darif, yaitu titik di mana�'(�)tidak ada.

Langkah-Langkah Menentukan Nilai Ekstrim Suatu Fungsi pada I

 Mencari titik kritis f pada I, berarti mencari nilai x yang merupakan ujung-ujung I, nilaixyang menyebabkan �^' � = 0, atau nilaixyang menyebabkan�^' � tidak ada.

Secara tidak langsung pada langkah ini diminta untuk mencari turunan pertamaf.

 Mencari nilaifuntuk setiap titik kritis yang didapatkan.

 Memeriksa nilai f. Jika nilai f dari suatu titik kritis merupakan nilai yang terbesar maka nilai f pada titik tersebut merupakan nilai maksimum. Sedangkan, jika nilai f dari suatu titik kritis merupakan nilai yang terkecil maka nilai f pada titik tersebut merupakan nilai minimum.

Ekstrim Lokal Definisi :

Misalkan S, daerah asalf, yang terdapat titikc. Akan dikatakan bahwa :

1. � � nilai maksimum lokal f, jika terdapat interval �, � yang memuat c sehingga

� � ≥ � � untuk setiapxpada �, � ∩ �.

2. � � nilai minimum lokal f, jika terdapat interval �, � yang memuat c sehingga

� � ≤ � � untuk setiapxpada �, � ∩ �.

3. � � nilai ekstrim lokalf, jika� � adalah nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

Uji Turunan Pertama

Misalkanf kontinu pada interval �, � yang memuat titikc.

1. Jika �^' � > 0 untuk setiap x pada �, � dan �^' � < 0 untuk setiap x pada �, � , maka� � adalah nilai maksimum lokalf pada �, � .

2. Jika �^' � < 0 untuk setiap x pada �, � dan �^' � > 0 untuk setiap x pada �, � , maka� � adalah nilai minimum lokalf pada �, � .

3. Jika�^' � > 0untuk setiapxpada �, � dan�^' � > 0untuk setiapxpada �, � atau Jika �^' � < 0 untuk setiap x pada �, � dan �^' � < 0 untuk setiap x pada �, � , maka� � bukan nilai ektrim lokalf pada �, � .

Penerapan Nilai Maksimum dan Minimum Contoh Soal dan Pembahasan

Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang setiap bulan dengan biaya produksi B(x) = (25x²– 2.000x + 50.000) ribu rupiah. Setiap unit barang tersebut dijual dengan harga H(x) = (0,1x² – 20x + 4.000) ribu rupiah. Tentukan laba maksimum yang dapat diperoleh perusahan tersebut.

PEMBAHASAN

Biaya produksixproduk :25x²– 2.000x+ 50.000 Biaya penjualanxproduk :0,1x²– 20x+ 4.000 Laba = Biaya penjualan − Biaya produksi

L(x) =x(0,1x²– 20x+ 4.000)− (25x²– 2.000x+ 50.000) L(x) =0,1x³– 20x²+ 4.000x– 25x²– 2.000x+ 50.000 L(x) =0,1x³– 45x²+ 6.000x– 50.000

Laba akan maksimum, jika : L'(x) = 0 0,3x²– 90x+ 6.000= 0 x²– 300x+ 20.000 = 0 (x– 100) (x– 200) = 0

x= 100 x= 200

 Saatx= 100

L(x) =0,1x³– 45x²+ 6.000x– 50.000

L(100) = 0,1(100)³– 45(100)²+ 6.000(100) – 50.000 L(100) = 100.000 – 450.000 + 600.000 – 50.000

L(100) = 200.000, karena L(x) dalam ribu rupiah maka L(100) = 200.000.000 rupiah.

 Saatx= 200

L(x) =0,1x³– 45x²+ 6.000x– 50.000

L(200) = 0,1(200)³– 45(200)²+ 6.000(200) – 50.000 L(200) = 800.000 – 1.800.000 + 1.200.000 – 50.000

L(200) = 150.000, karena L(x) dalam ribu rupiah maka L(200) = 150.000.000 rupiah.

Jadi, laba akan maksimum jika perusahaan menghasilkan 100 produk, dengan laba maksimumnya adalah 200.000.000 rupiah.