BAHAN PROYEK APLIKASI TURUNAN
“MAKSIMUM DAN MINIMUM”
DISUSUN OLEH :
INTAN AQILAH FADIA HAYYA KELAS A / K1321047
PENDIDIKAN MATEMATIKA
2021
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI...
BAB 1 PENDAHULUAN ...
Latar Belakang ...
Rumusan Masalah ...
Tujuan ...
BAB 2 PEMBAHASAN ...
Pembahasan...
Nilai Maksimum dan Minimum...
BAB 3 PENUTUP ...
Kesimpulan ...
DAFTAR PUSTAKA ...
BAB I PENDAHULUAN
Latar Belakang
Nilai maksimum dan minimum adalah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi, baik dalam kisaran tertentu (ekstrem lokal atau relatif) atau di seluruh domain dari fungsi (ekstrem global atau absolut). Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita bertemu dengan masalah- masalah seperti seorang pengusaha tentunya ingin meminimumkan biaya produksi dan memaksimumkan laba. Masalah tersebut biasanya dirumuskan sebagai masalah menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Kalkulus menyediakan alat yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Rumusan Masalah
1. Apa definisi dari nilai maksimum dan minimum
2. Apa saja teorema yang terdapat dalam nilai maksimum dan minimum Tujuan
1. Mengetahui definisi dari nilai maksimum dan minimum
2. Mengetahui teorema yang terdapat pada nilai maksimum dan minimum
BAB II PEMBAHASAN
Definisi Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai maksimum dan nilai minimum merupakan aplikasi dari suatu turunan. Nilai terbesar disebut dengan nilai maksimum sedangkan nilai terkecil disebut dengan nilai minimum.
Beberapa jenis fungsi memiliki nilai maksimum atau minimum pada suatu interval.
• DEFINISI | Nilai Maksimum dan Minimum
Misalkan S adalah daerah asal f, mengandung titik c, kita dapat mengatakan bahwa:
a. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S b. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S c. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.
d. fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif
• TEOREMA A | keberadaan nilai maksimum dan minimum
Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada selang waktu tersebut.
Pada teorema ini, f disyaratkan harus kontinu dan himpunan S harus berupa interval tertutup.
Gambar diatas merupakan ilustrasi yang menunjukkan tempat dimana suatu fungsi mungkin mencapai nilai maksimum dan minimum.
Kemudian, titik di mana fungsinya bernilai nol dinamakan titik stasioner, sedangkan titik di mana fungsinya tidak dapat diturunkan dinamakan titik singular, dan titik ujung selang yaitu titik stasioner dan titik singular dinamakan titik-titik kritis. Titik- titik kritis memegang peran penting dalam menentukan nilai maksimum dan minimum, seperti yang ditunjukkan dalam teorema berikut :
• TEOREMA B | titik kritis
Misalkan 𝑓 didefinisikan pada interval 𝐼 yang memuat titik 𝑐. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim, maka 𝑐 haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain, 𝑐 adalah salah satu dari
1. Titik ujung dari I
2. Titik stationer dari 𝑓, yakni 𝑓 ′ (𝑐) = 0 3. Titik singular dari 𝑓, yakni 𝑓 ′ (𝑐) tidak ada
• Kemonotonan dan Kecekungan
Jika mengamati grafik diatas, kita akan mengatakan bahwa f turun di kiri c dan naik di kanan c.
• TEOREMA | teorema kemonotonan
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada titik dalam selang I.
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 naik pada I.
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 turun pada I.
Dari teorema diatas, kita dapat menentukan dimana suatu fungsi naik dan dimana fungsi tersebut turun.
Pada grafik yang cekung keatas garis singgung bergerak searah jarum jam (kemiringan bertambah) dan pada grafik yang cekung ke bawah garis singgung bergerak berlawanan jarum jam (kemiringan
berkurang).
• DEFINISI | Kecekungan
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang – selang buka I. Jika 𝑓′ naik pada I dikatakan 𝑓 cekung ke atas di I dan jika 𝑓′ turun pada I dikatakan 𝑓 cekung ke bawah di I.
• TEOREMA | kecekungan
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan dua kali pada selang buka I.
1. Jika 𝑓′′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung ke atas pada I.
2. Jika 𝑓′′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung ke bawah pada I.
Misal 𝑓 kontinu pada c. titik (𝑐, (𝑐)) dikatakan titik belok dari grafik 𝑓 jika 𝑓 cekung ke atas di satu sisi dari c dan 𝑓 cekung ke bawah sisi lainnya.
Dengan mempertimbangkan teorema kecekungan dan gambar diatas, didapatkan bahwa titik – titik dimana 𝑓 ′′(𝑥) = 0 dan dimana 𝑓′′(𝑥) adalah titik dimana terjadi perubahan kecekungan.
• Uji Ekstrim Lokal
DEFINISI
Misalkan S, daerah asal f, yang terdapat titik c. Akan dikatakan bahwa:
1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal f, jika terdapat interval (𝑎, 𝑏) yang memuat c sehingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk setiap x pada
(𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆.
2. 𝑓(𝑐) nilai minimum lokal f, jika terdapat interval (𝑎, 𝑏) yang memuat c sehingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk setiap x pada
(𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆.
3. (𝑐) nilai ekstrim lokal f, jika (𝑐) adalah nilai maksimum lokal atau minimum lokal.
Teorema titik kritis berlaku dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal. Titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular) adalah calon untuk titik tempat kemungkinan terjadinya ekstrim lokal.
• TEOREMA| uji turunan pertama
misal 𝑓 kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c :
1. Jika 𝑓′ (𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka (𝑐) adalah nilai maksimum lokal f pada (𝑎, 𝑏).
2. Jika 𝑓′ (𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka (𝑐) adalah nilai minimum lokal f pada (𝑎, 𝑏).
3. Jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏) atau Jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐)bukan nilai ektrim lokal f pada (𝑎, 𝑏)
• TEOREMA | uji turunan kedua
➔ Misal 𝑓′ dan 𝑓′′ dapat diferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik c dengan 𝑓 ′ (𝑐) = 0, maka
1. Jika 𝑓′′ (𝑐) > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal 2. Jika 𝑓′′ (𝑐) < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum local
• Hubungan turunan kedua dengan kecekungan
Misalkan 𝑓 memiliki turunan kedua pada interval terbuka (a,b),
1. Jika 𝒇′′ 𝒙 > 𝟎 untuk setiap titik dalam (a,b), maka 𝒇 cekung ke atas pada (a,b) 2. Jika 𝒇′′ 𝒙 < 𝟎 untuk setiap titik dalam (a,b), maka 𝒇 cekung ke bawah pada (a,b)
• Contoh :
Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = 𝑥2− 6x + 5, pada (−∞,∞) Penyelesaian:
Fungsi polinom f kontinu di mana-mana, dan turunannya, f′(x) = 2x − 6, ada untuk semua x. Jadi, satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f′(x) = 0, yakni x = 3
Karena f′(x) = 2(x−3) < 0
untuk x < 3, f turun pada [−∞,3]; dan karena 2(x–3) > 0 untuk x > 3, f naik pada [3,∞]. Karena itu, menurut Uji Turunan Pertama, f(3) = −4 adalah nilai minimum lokal f. Karena 3 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. Grafik f diperlihatkan
dalam Gambar . Perhatikan bahwa dalam kasus ini f(3) sebenarnya adalah nilai minimum (global).
BAB III PENUTUP Kesimpulan
DEFINISI | Nilai Maksimum dan Minimum
Misalkan S adalah daerah asal f, mengandung titik c, kita dapat mengatakan bahwa:
e. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S f. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S
g. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.
fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif
Terdapat beberapa teorema antara lain keberadaan nilai maksimum dan minimum, titik kritis, kemonotonan dan kecekungan, teorema kemonotonan, teorema kecekungan, uji ekstrim lokal, uji turunan pertama, uji turunan kedua, hubungan turunan kedua dengan kecekungan.
Daftar Pustaka Buku KALKULUS Edisi Kesembilan Jilid 1
https://jagostat.com/kalkulus1/maksimum-dan-minimum-lokal
