NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

(1)

Nama : Fakhrudin Nur Afif NIM : K1321035

A. Definisi Maksimum dan Minimum Fungsi

Misalkan S adalah daerah asal f, mengandung titik c, kita katakana bahwa:

1. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika () ≥ () untuk semua x di S 2. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika () ≤ () untuk semua x di S

3. f(c) adalah nilai ekstrik f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum 4. fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif

B. Teorema Keberadaan Maksimum dan Minimum

Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum di sana.

C. Teorema Titik Kritis

Misal 𝑓 didefinisikan pada interval I yang memuat c. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim, maka 𝑐 haruslah titik kritis, yakni :

1. Titik ujung dari I

2. Titik stationer dari 𝑓, yakni 𝑓 ′ (𝑐) = 0

3. Titik singular dari 𝑓, yakni 𝑓 ′ (𝑐) 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎

Langkah – langkah mencari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi di selang tutup :

1. Cari titik – titik kritis dari 𝑓 pada selang tutup yang diberikan.

2. Cari nilai 𝑓 pada titik – titik kritis.

3. Nilai yang paling besar pada langkah ke 2 menjadi nilai maksimum dan yang paling kecil menjadi nilai minimum.

D. Definisi Kemonotonan

Misal 𝑓 didefinisikan pada interval I (buka, tutup, atau bukan keduanya). Dikatakan bahwa :

1. 𝑓 naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I x1 < x2 → 𝑓(x1) < 𝑓(x2)

2. 𝑓 turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I x1 < x2 → 𝑓(x1) > 𝑓(x2)

3. 𝑓 monoton murni pada I jika 𝑓 naik pada I atau turun pada I

E. Teorema Kemonotonan

Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada titik dalam selang I.

1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titk dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 naik pada I.

2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titk dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 turun pada I.

(2)

F. Definisi Kecekungan

Misal f terdiferensial pada selang buka I

1. Jika f’ naik pada I dikatakan f cekung ke atas pada I 2. Jika f’ turun pada I dikatakan f cekung ke bawah pada I

G. Teorema Kecekungan

Misal 𝑓 dapat didiferensialkan dua kali pada selang buka I

1. Jika 𝑓′′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung ke atas pada I.

2. Jika 𝑓′′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung ke bawah pada I.

H. Definisi Uji Ekstrim Lokal

Misal 𝑆 adalah daerah asal 𝑓 dan 𝑐 ∈ 𝑆. Dapat dikatakan bahwa :

1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum local 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆

2. 𝑓(𝑐) nilai minimum local 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆

3. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim local 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) nilai maksimum local atau nilai minimum local

I. Teorema Uji Pertama Ekstrim Lokal

Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c :

1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum local.

2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum local.

3. Jika 𝑓′(𝑥) bertanda sama untuk kedua belah pihak, maka Jika 𝑓(𝑐) bukan nilai ekstrim

J. Teorema Uji Kedua Ekstrim Lokal

Misal 𝑓 dan 𝑓′ dapat diferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik c dengan 𝑓 ′ (𝑐) = 0

1. Jika 𝑓(𝑐) > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum local 2. Jika 𝑓(𝑐) < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum local

(3)

Contoh Soal Penerapan Nilai Maksimum dan Minimum

Sebuah tabung dimasukan ke dalam sebuah kerucut yang memiliki jari-jari 6 cm dan tinggi 12 cm. Jika diharapkan tabung yang terbentuk memiliki volume maksimum maka berapa jari-jari dan tinggi dari tabung tersebut?

Pembahasan:

Perhatikan gambar tabung dalam kerucut di bawah ini!

Dari gambar diperoleh ∆ABC ≅ ∆ATD maka :

Substitusikan persamaan (1) ke volume tabung yang ada didalam kerucut sehingga diperoleh :

(4)

Untuk mendapat volume tabung maksimum maka hitung V'(r) = 0 :

Diperoleh r maksimum yang memenuhi adalah 40 cm. Maka tinggi tabung akan maksimum jika :

t = 2(6 - r) = 2(6 - 4) = 4 cm

Jadi, jari-jari tabung seharusnya 4 cm dan tingginya 4 cm.