1.3 Teorema Limit

1.3 TEOREMA-TEOREMA LIMIT

Teorema A

Misalkan 𝑛 ∈ ℤ⁺, 𝑘 konstanta, serta 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi yang memiliki limit di 𝑐.

𝑥→𝑐 𝑥→𝑐

1. _𝑥→𝑐^{lim𝑘 = 𝑘} 2. _𝑥→𝑐lim𝑥 = 𝑐

3. lim𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘lim𝑓(𝑥)

4. _𝑥→𝑐lim 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)

5. lim 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑐

= lim𝑓 𝑥_𝑥→𝑐

= lim𝑓 𝑥

𝑥→𝑐

± lim𝑔(𝑥)_𝑥→𝑐

∙ lim𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥 𝑥→𝑐 )

lim𝑓 𝑥

𝑥 →𝑐 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)

lim𝑔(𝑥)

𝑥→𝑐

6. ^{lim = 𝑥→𝑐 ; asalkan lim𝑔(𝑥) ≠}

0 lim𝑓

𝑥→𝑐𝑥

7. lim 𝑓(𝑥) ^𝑛 𝑛

= 𝑥→𝑐

8. lim ^𝑛 𝑓 𝑥

𝑥→𝑐=

𝑛 lim𝑓(𝑥); asalkan lim𝑓 𝑥

𝑥→𝑐 𝑥→𝑐

2

> 0, 𝑛 genap

Contoh

1. Carilah nilai limit berikut jika diketahui lim𝑓 𝑥 = 3 dan lim𝑔 𝑥 =

𝑥→𝑎−1 𝑥→𝑎

𝑓2

a) ^{lim 𝑥 + 𝑔2}

𝑥 𝑥→𝑎

c) 𝑥→𝑎^lim 𝑥→𝑎

b) ^{lim 2𝑓 𝑥}

−3𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥)

𝑓 𝑥 + 3𝑔 𝑥

Teorema B: Teorema Subsitusi

Jika 𝑓 fungsi polinomial atau fungsi rasional,

maka lim𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)

Asalkan 𝑓(𝑐) terdefinisi.𝑥→𝑐

𝑥→𝑐𝑥→c

Teorema C:

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) untuk ∀𝑥 dalam interval buka yang memuat 𝑐 dan jika lim𝑔(𝑥) ada, maka lim𝑔(𝑥) ada dan

lim𝑓𝑥

𝑥→𝑐

4

= lim𝑔(𝑥).

𝑥→𝑐

Contoh

•

Contoh

•

Teorema D: Teorema Apit

Misalkan 𝑓, 𝑔, dan h adalah fungsi yang memenuhi 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ h(𝑥)

untuk ∀𝑥 dekat 𝑐.

Jika lim𝑓

𝑥→𝑐𝑥

= limh 𝑥 = 𝐿

maka lim𝑔 𝑥

= 𝐿𝑥→𝑐 𝑥→𝑐

Contoh

•

Latihan

Carilah masing-masing limit berikut atau nyatakan bila tak ada limitnya.

a)lim^𝑥→−3₊

3+𝑥

b)lim^𝑥→−3₊

𝑥 𝑥−3

c)lim^𝑥→1_4+4𝑥⁻

𝑥²− 9

21+𝑥

d) ^{lim 𝑥}

+𝑥−2𝑥→

1 𝑥²− 1