Slide CIV 101 Kalkulus CIV 101 P9

(1)

Respect,

Professionalism, & Entrepreneurship

Integral

Pertemuan - 9

(2)

Respect,

•

Kemampuan Akhir yang Diharapkan

Mahasiswa mampu:

•

mencari anti turunan fungsi

•

menghitung integral tak tentu

(3)

Respect,

• Sub Pokok Bahasan :

 Integral Tak Tentu

 Integral Tentu

 Teorema Dasar Kalkulus

(4)

Respect,

Definisi

F

adalah anti turunan dari fungsi

f

pada interval

I

, jika

D

_x

(F(x))

=

f

(

x

) pada

I

,



F’ x =

f(x)

untuk semua

x

dalam

I

.

Contoh

:

x

4

adalah anti turunan dari

4 x

3

sebab

D

x

(x

4

)=

4 x

3

untuk semua

x

pada

(-



,



)

.

Note

:

x

4

+

c

adalah solusi umum anti turunan dari

4 x

3

sebab

D

_x

(x

4

+c)=

4 x

3

untuk tiap nilai

x

pada (-



,



) untuk tiap

konstan

c

.

Notasi

: Anti turunan dari

F(x)





F(x)dx





tanda integral

F(x)



integran

(5)

Respect,



Teorema Dasar Integral

(6)

Respect,



Contoh :

Temukan anti turunan dari fungsi berikut :

Problem Set 3.8 No. 1

–

42

(7)

Respect,



Integral Tentu

Definisi :

menyatakan luas bertanda daerah

yang terkurung di antara kurva

y

=

f

(

x

) dan

sumbu-

x

dalam interval [a,b]

bawah atas

b

a

A

dx

x

f







(

)



b a

dx x f ( )

A_atas

(8)

Respect,



Integral Tentu

• Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi sinus dan kosinus, fungsi rasional, asalkan interval [a,b] tidak memuat titik yang

mengakibatkan penyebut nol.

Teorema Keintegrasian

Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu di sana kecuali pada sejumlah titik yang

berhingga, maka f terintegrasikan pada [a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh interval [a,b], maka f terintegrasikan pada [a,b]

Teorema Sifat Tambahan Pada Interval

Jika f terintegrasikan pada sebuah interval yang memuat titik a, b, dan c, maka









c

b c

a

b

a

dx x f dx

x f dx

x

(9)

Respect,



Teorema Dasar Kalkulus Pertama

Anggaplah f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan anggaplah x sebagai sebuah titik (perubah) pada (a,b). Maka

)

(

)

(

x

dx

f

x

f

dx

d

x

a

















Contoh : Selesaikan dengan Teorema Dasar Kalkulus Pertama

   

 

    

 



x x

dt t

t dx

d

dt t dx

d

1 2

2 / 3 0

3

7 .

(10)

Respect,



Teorema Dasar Kalkulus Pertama

Kelinearan Integral

Andaikan bahwa

f

dan

g

terintegrasikan pada [a,b] dan

bahwa

k

konstanta. Maka

kf

dan

f

+

g

terintegrasikan

dan :







 





b

a b

a

b

a b

a

dx x g dx

x f dx

g f

dx x f k dx x kf

) ( )

( .

2

) ( )

( .

(11)

Respect,



Teorema Dasar Kalkulus Kedua

Anggaplah f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan anggaplah F sembarang anti turunan f pada [a,b], maka

 

x dx F

   

b F a f

b

a

 



Contoh :











 



x

x tdt

D

dx x

x

dx x

x

0 8

1

3 / 4 3

/ 1 2

1

2

sin 3 .

3 . 2

6 4

(12)

Respect,



Aturan Substitusi untuk Integral Tak Tentu

Jika g adalah fungsi yang terdiferensiasi and anggap F adalah anti turunan dari f, maka :

 



g x

  

g x dx F



g

 

x



C

f  



/





dx x

x

xdx x

dx x x

dx x

x x dx

x





 

11 .

3

2 cos 2

sin . 5 sin

. 2

1 2 .

4 3

sin . 1

4 3

4 /

0 3 2

4

0 2



(13)

Respect,



Aturan Substitusi untuk Integral Tentu

Jika g mempunyai turunan kontinu pada [a,b], dan f kontinu pada range g, maka :

 



  



 





) (

) ( /

b g

a g b

a

du u f dx

x g x g f





dx x

x

dx x

x x



_  _

4 /

9 / 1

0

2 2

2

cos .

2

6 2

1 .

1

