Teorema Pemetaan Buka

Outline Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Teorema Pemetaan Buka

J.M. Tuwankotta

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Teorema Pemetaan Buka

Peta dari sebuah himpunan buka terhadap pemetaan analitik yang tidak konstan senantiasa buka.

Misalkan f : C −→ C suatu fungsi analitik yang tidak konstan. Misalkan pula bahwa U ⊂ C adalah sebuah himpunan buka. Maka himpunan:

V = f (U) = {f (z)|z ∈ U} juga merupakan himpunan buka.

Lemma Schwarz

Misalkan f analitik di cakram satuan, dan f  1 di sana dengan f (0) = 0. Maka:

1. |f (z)| ≤ |z|

2. |f0_{(0)| ≤ 1.}

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Bukti Lemma Schwarz

Pandang fungsi: g (z) =  f (z) z 0 < |z| < 1 f0(0) z = 0 Perhatikan bahwa |g (z)| =     f (z) z     ≤ 1 r. pada lingkaran berjari-jari r .

Pemetaan Bilinear

Fungsi analitik di cakram satuan dan terbatas oleh satu di sana dapat dinyatakan oleh pemetaan bilinear:

Bα(z) = z − α 1 − αz, dengan |α| < 1. Misalkan B = {B_α(z) | |α| < 1}.

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

I Perhatikan bahwa |α| < 1 berakibat |1/α| > 1 ≥ |z|. Jadi 1 − αz 6= 0. Jadi Bα analitik di seluruh |z| ≤ 1

I Perhatikan pula bahwa:

|B_α|2 ₌ z − α 1 − αz   z − α 1 − αz  = 1, jika |z| = 1.

I Perhatikan bahwa |α| < 1 berakibat |1/α| > 1 ≥ |z|. Jadi 1 − αz 6= 0. Jadi Bα analitik di seluruh |z| ≤ 1

I Perhatikan pula bahwa:

|B_α|2 ₌ z − α 1 − αz   z − α 1 − αz  = 1, jika |z| = 1.

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Contoh 1

Misalkan f adalah fungsi analitik yang terbatas oleh 1 di cakram satuan dengan f (1₂) = 0. Kita ingin mencari batas untuk |f (3₄)|. Pandang: h(z) = f (z)(1 −1₂z). Misalkan g (z) =      h(z) − h(1₂) z −1₂ z 6= 1 2 h0(1₂) z = 1₂ Misalkan pula: B1 2 = z −1₂ 1 −1₂z.

Dalam f : g (z) =      f (z) B1 2(z) z 6= 1₂ 3 4f 0₍1 2) z = 1 2

Maka g analitik di |z| ≤ 1 dan |g | ≤ 1. Jadi

|f (z)| ≤      z −1₂ 1 −1₂z      . Jadi:     f  3 4     ≤ 2 5.

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Contoh 2:

Misalkan f adalah fungsi yang analitik dan terbatas oleh satu di cakram satuan. Maka nilai

max

f ∈B|f 0

(1₃)| dicapai oleh f yang memenuhi: f (1₃) = 0.

Jawab

Andaikan f (1₃) 6= 0. Pandang: g (z) = f (z) − f ( 1 3) 1 − f (1₃)f (z) . Jika |ω| = 1, maka      ω − f (1₃) 1 − f (1₃)ω      = v u u t ω − f (1₃) 1 − f (1₃)ω· ω − f (1₃) 1 − f (1₃)ω = 1.

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

I Perhatikan bahwa jika |z| < 1 maka |f | < 1, sehingga: baik f dan g keduanya fungsi analitik yang terbatas oleh satu pada cakram satuan.

I Jika kita turunkan

g0 1 3  = f 0₍1 3) 1 − |f (1₃)|2 sehingga dipenuhi: |g0(1₃)| > |f0(1₃)|.

I Jadi kita telah menemukan sebuah fungsi lain yaitu g yang

modulus turunannya lebih besar dari modulus turunan f di 1₃. Kontradiksi, haruslah f (1₃) = 0.

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

I Perhatikan bahwa jika |z| < 1 maka |f | < 1, sehingga: baik f dan g keduanya fungsi analitik yang terbatas oleh satu pada cakram satuan.

I Jika kita turunkan

g0 1 3  = f 0₍1 3) 1 − |f (1₃)|2 sehingga dipenuhi: |g0(1₃)| > |f0(1₃)|. Kontradiksi, haruslah f (1₃) = 0.

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

I Perhatikan bahwa jika |z| < 1 maka |f | < 1, sehingga: baik f dan g keduanya fungsi analitik yang terbatas oleh satu pada cakram satuan.

I Jika kita turunkan

g0 1 3  = f 0₍1 3) 1 − |f (1₃)|2 sehingga dipenuhi: |g0(1₃)| > |f0(1₃)|.

I Jadi kita telah menemukan sebuah fungsi lain yaitu g yang

modulus turunannya lebih besar dari modulus turunan f di 1₃. Kontradiksi, haruslah f (1₃) = 0.

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Contoh 3:

I Dari Contoh 2 tadi, kita tahu bahwa: nilai max

f ∈B |f 0_(α)|

dicapai oleh f yang memenuhi: f (α) = 0.

|f (z)| ≤ |Bα(z)| I Tunjukkan bahwa f0(α)  B0(α). I Jadi max f ∈B |f 0 (α)| = B_α0(α).

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Contoh 3:

I Dari Contoh 2 tadi, kita tahu bahwa: nilai max

f ∈B |f 0_(α)|

dicapai oleh f yang memenuhi: f (α) = 0.

I Dari Contoh 1 kita tahu bahwa f yang seperti itu memenuhi:

|f (z)| ≤ |Bα(z)| I Tunjukkan bahwa f0(α)  B0(α). I Jadi max f ∈B |f 0 (α)| = B_α0(α).

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Contoh 3:

I Dari Contoh 2 tadi, kita tahu bahwa: nilai max

f ∈B |f 0_(α)|

dicapai oleh f yang memenuhi: f (α) = 0.

I Dari Contoh 1 kita tahu bahwa f yang seperti itu memenuhi:

|f (z)| ≤ |Bα(z)|

I Tunjukkan bahwa

f0(α)  B0(α).

Outline

Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Contoh 3:

I Dari Contoh 2 tadi, kita tahu bahwa: nilai max

f ∈B |f 0_(α)|

dicapai oleh f yang memenuhi: f (α) = 0.

I Dari Contoh 1 kita tahu bahwa f yang seperti itu memenuhi:

|f (z)| ≤ |Bα(z)|

I Tunjukkan bahwa

f0(α)  B0(α).

I Jadi

Teorema Morera

Theorem

Misalkan f fungsi kontinu pada sebuah himpunan buka D. Jika Z

Γ

f (z)dz = 0,

dengan Γ adalah himpunan batas dari sebarang daerah persegi panjang tutup di D, maka f analitik di D.

Outline Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Definition

Misalkan {fn} barisan fungsi yang terdefinisi pada D dan f adalah

fungsi yang terdefinisi pada D. fndikatakan konvergen secara

uniform pada kompakta jika fn→ f secara uniform pada setiap

himpunan kompak K ⊂ D. Theorem

Jika fn konvergen secara uniform pada kompakta dan fn analitik,