Nama : Aisyah Pramudita NIM : K1321005
BAHAN PROYEK NILAI MINIMUM DAN MAKSIMUM
Definisi :
Misalkan S, daerah asal f, yang di dalamnya terdapat titik c. Akan dikatakan bahwa : 1. 𝑓(𝑐)adalah nilai maksimum f pada S jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk setiap x pada S.
2. 𝑓(𝑐)adalah nilai minimum f pada S jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk setiap x pada S.
3. 𝑓(𝑐)adalah nilai ekstrim f pada S jika 𝑓(𝑐) merupakan nilai maksimum atau minimum f pada S.
4. f merupakan fungsi objektif.
Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim
Jika f kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], maka f pasti mencapai nilai maksimum dan minimum di [𝑎, 𝑏].
Teorema Titik Kritis
Jika f terdefinisi pada interval I yang memuat titik c dan 𝑓(𝑐)adalah nilai ekstrim maka c merupakan titik kritis; dengan kata lain c merupakan salah satu dari :
1. Titik ujung dari interval I,
2. Titik stasioner dari f, yaitu titik di mana 𝑓′(𝑐) = 0, atau 3. Titik singular dari f, yaitu titik di mana 𝑓′(𝑐) tidak ada.
Langkah-Langkah Menentukan Nilai Ekstrim Suatu Fungsi pada I
• Mencari titik kritis f pada I, berarti mencari nilai x yang merupakan ujung-ujung I, nilai x yang menyebabkan 𝑓′(𝑥) = 0, atau nilai x yang menyebabkan 𝑓′(𝑥) tidak ada. Secara tidak langsung pada langkah ini diminta untuk mencari turunan pertama f.
• Mencari nilai f untuk setiap titik kritis yang didapatkan.
• Memeriksa nilai f. Jika nilai f dari suatu titik kritis merupakan nilai yang terbesar maka nilai f pada titik tersebut merupakan nilai maksimum. Sedangkan, jika nilai f dari suatu titik kritis merupakan nilai yang terkecil maka nilai f pada titik tersebut merupakan nilai minimum.
Ekstrim Lokal Definisi :
Misalkan S, daerah asal f, yang terdapat titik c. Akan dikatakan bahwa :
1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal f, jika terdapat interval (𝑎, 𝑏) yang memuat c sehingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk setiap x pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆.
2. 𝑓(𝑐) nilai minimum lokal f, jika terdapat interval (𝑎, 𝑏) yang memuat c sehingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk setiap x pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆.
3. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim lokal f, jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal atau minimum lokal.
Uji Turunan Pertama
Misalkan f kontinu pada interval (𝑎, 𝑏) yang memuat titik c.
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal f pada (𝑎, 𝑏).
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal f pada (𝑎, 𝑏).
3. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏) atau Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐)bukan nilai ektrim lokal f pada (𝑎, 𝑏).
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.
Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah … cm3 PEMBAHASAN
Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah x cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar kotak menjadi (30 - 2x) cm. perhatikan juga bahwa interval nilai x yang mungkin adalah 0 < x < 15.
Nyatakan volume kotak (V) sebagai fungsi terhadap variable x.
V(x) = plt
= (30 – 2x)(30 – 2x)x
= 4x3 – 120x2 + 900x
Volume kotak akan maksimum apabila V’(x) = 0 V’(x) = 0
12x3 – 240x + 900 = 0 x2 – 20x + 75 = 0 (x – 15)(x – 5) = 0
Diperoleh x = 15 (tidak memenuhi) atau x = 5 Untuk x = 5, diperoleh
V(5) = 4(5)3 – 120(5)2 + 900(5)
= 500 – 3000 + 4500
= 2000
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah 2000 cm3
