BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN

(1)

1

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN

Materi:

• Hampiran linier menggunakan turunan • Gerak benda sepanjang garis lurus • Laju yang berkaitan

• Deret Taylor

• Maksimum dan minimum global dan lokal • Kemonotonan dan kecekungan

• Menggambar grafik canggih

• Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan • Menghitung limit bentuk tak tentu

Hampiran linier menggunakan turunan

h

a

f

h

a

f

a

f

h

)

(

)

(

lim

)

(

:

turunan

definisi

kembali

Ingat

0

−

+

=

′

→

(2)

2 Definisi tersebut menyatakan bahwa untuk nilai h yang cukup kecil, maka

)

(

)

(

)

(

Akibatnya

)

(

)

(

)

(

atau

)

(

)

(

)

(

a

f

h

a

f

h

a

f

a

f

h

a

f

h

a

f

h

a

f

h

a

f

a

f

′

+

≈

+

′

≈

−

+

−

+

≈

′

101 nilai

hampirilah

n turunan,

menggunaka

Dengan

1. Contoh

. 05 , 10 20 1 10 100 2 1 . 1 100 101 yaitu , ) ( ) ( ) ( diperoleh maka turunan hampiran n Menggunaka . 2 1 ) ( dan , 101 ) ( maka 1 Jika . 10 100 ) ( maka , 100 dan ) ( Misalkan : Jawab = + = + ≈ ′ + ≈ + = ′ = + = = = = = a f h a f h a f x x f h a f h a f a x x f

(3)

3

Gerak Benda Sepanjang Garis Lurus

Bila posisi suatu benda yang bergerak sepanjang garis lurus setiap saat dinyatakan oleh

Jelaskan bagaimana gerak benda tersebut .

t

s

(

)

=

3

−

9

2

+

24

Contoh 2: Hampirilah nilai sin 280

.

47 ,

0

866 ,

0 .

035 ,

0

5 ,

0

6 cos

90

6 sin

28 sin

)

(

)

(

)

(

.

90

180

2

2 ,

6

30 ,

sin

)

(

Berarti

.

)

2

30 (

8

2 :

Jawab

o o o o o

=

−

=

π

−

π

≈

′

+

≈

+

π

−

=

π

⋅

−

=

−

=

π

=

−

=

a

f

h

a

f

h

a

f

h

a

x

f

(4)

4

saat.

setiap

kecepatan

perubahan

yaitu

,

percepatan

menyatakan

18

6 )

(

sedangkan

saat,

setiap

benda

gerak

kecepatan

menyatakan

24

18

3 )

(

2 2 2

−

=

+

−

=

t

dt

s

d

dt

dv

t

a

t

dt

ds

t

v

Benda bergerak ke kanan bila v(t) > 0 dan bergerak ke kiri bila v(t) < 0.

)

4 )(

2 (

3 )

8

6 (

3

24

18

3 )

(

=

t

2

−

t

+

=

t

2

−

t

+

=

t

−

t

−

dt

ds

t

v

2 4 + + + + + + + + + + + + - - - + + + + + + + + +

Jadi, sebelum t = 2 dan sesudah t = 4 benda bergerak ke kanan,

sedangkan di antara t = 2 dan t = 4 benda bergerak ke kiri. Pada

saat t = 2 dan t = 4 benda berhenti (tidak bergerak)

(5)

5

Kecepatan benda berkurang bila a(t) < 0, yaitu bila t < 3.

Kecepatan benda bertambah setelah t = 3.

a

(t)

v

(t)

s

(t)

t

24

45

70

7

18

24

36

6

12

9

20

5

6

0

16

4

0 -3

18

3 -6

0

20

2 -12

9

16

1 -18

24

0

0 -24

45 -34

-1

(6)

6 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 s t = 0 _t _{= 1} _t _{= 2} t = 3 t = 4 t = 5 t = 6

Laju yang berkaitan

Contoh 1. Udara dipompakan ke dalam balon bundar sehingga volumenya bertambah dengan laju 100 cm3_{/detik. Seberapa cepat jari-jari}

balon bertambah ketika garis tengah balon 50 cm?

Jawab: Misalkan V(t) = volume balon pada saat t

dan r(t) = jari-jari balon pada saat t.

cm

r

dt

dr

cm

dt

dV

25 ketika

,

:

Ditanyakan

detik.

/

100 :

Diketahui

3

=

(7)

7 m. 50 balon tengah garis ketika m/detik 25 1 laju dengan bertambah balon jari -jari Jadi . 25 1 25 . 4 100 25 . 4 100 25 4 4 3 . 3 4 dengan , : rantai aturan Gunakan . 3 4 ) ( : ) ( dan ) ( Hubungkan 2 2 2 2 2 3

π

= = = ⇒ = = ∴ = = = = dt dr dt dr r dt dr r dt dV r r dr dV dt dr dr dV dt dV r t V t r t V

Contoh 2. Sebuah tangga yang panjangnya 6 m bersandar pada dinding tegak. Jika ujung bawah tangga bergeser menjauhi dinding dengan laju 1 m/detik, seberapa cepat ujung atas tangga bergeser ke bawah pada saat ujung bawah tangga berjarak 3 m dari dinding?

(8)

8 3 untuk , : Ditanyakan 1 : Diketahui tangga atas ujung dan lantai antara jarak ) ( dan ga bawah tang ujung dan dinding antara jarak ) ( Misalkan = = = = x dt dy dt dx t y t x m. 3 dinding dengan ga bawah tang ujung antara jarak ketika m/detik 3 1 laju dengan bawah ke bergeser tangga atas ujung Jadi 3 1 sehingga , 0 3 3 . 2 2.3.1 kan substitusi 3 3 3 36 3 , 0 2 2 : erhadap Turunkan t . 36 : ) ( dan ) ( Hubungkan 2 2 2 − = = + = − = ⇒ = = + = + dt dy dt dy y x dt dy y dt dx x t y x t y t x y x 0 m/detik 1 = dt dx 6

(9)

9

Strategi menyelesaikan masalah laju yang berkaitan :

Baca masalah dengan cermat

Bila memungkinkan gambarkan situasi yang dihadapi dengan diagram

Kenali besaran-besaran yang berubah terhadap waktu, berilah lambang (notasi)

Nyatakan informasi yang telah diketahui dan apa yang ditanyakan

Tentukan hubungan antara besaran yang diketahui dan besaran yang akan dihitung

Diferensialkan hubungan yang diperoleh terhadap waktu Substitusikan informasi yang diketahui dan tentukan laju

yang tidak diketahui.

Contoh 3. Air dipompakan dengan laju 2 m3 _{ke dalam suatu tangki yang}

berbentuk kerucut terbalik dengan alas berbentuk lingkaran. Jika jari-jari alas kerucut 2 m dan tinggi kerucut 4 m, tentukan laju bertambahnya tinggi permukaan air, pada saat kedalaman air 3 m.

(10)

10 4

h r

2

Misalkan pada saat t

V(t) = volume air di tangki r(t) = jari-jari permukaan air h(t) = tinggi permukaan air maka

h

r

V

2

3

1 π

=

3 h bila , : Ditanyakan 2 : Diketahui = = dt dh dt dV

Dengan memanfaatkan kesebangunan segitiga diperoleh

4

2 =

h

r

sehingga

2 h

r =

dan 3 2

12

2

3

1 h

h

V

π



=

π











=

Akibatnya . 28 , 0 9 8 3 4 2 3 4 2 2 = = ⇒ = ⇒ = = = π π π dt dh dt dh h dt dh h dt dh dh dV dt dV

(11)

11 Contoh 4. Mobil A meluncur ke barat dengan laju 50 km/jam, dan mobil B

meluncur ke utara dengan laju 60 km/jam. Keduanya bergerak lurus menuju ke persimpangan kedua jalan yang mereka lalui. Dengan laju berapakah kedua mobil tersebut saling mendekat ketika mobil A berada pada posisi 0,3 km sebelum persimpangan dan mobil B berada pada posisi 0,4 km sebelum persimpangan? B A C x y z

(12)

12

.

)

(

)

(

)

(

)

)(

(

)

(

)

(

diperoleh

maka

,

)

(

)

(

lim

)

(

:

limit

definisi

digunakan

linier

hampiran

dalam

Jika

1

(x)

P

c

mx

a

f

a

f

x

a

f

a

x

a

f

a

f

x

f

a

x

a

f

x

f

a

f

a x

=

+

=

′

−

+

′

=

−

′

+

≈

−

=

′

→

Hampiran fungsi menggunakan POLINOM TAYLOR

Perbaiki dengan hampiran kuadrat :

2 2( )

Misalkan P x = A+ Bx +Cx

Dengan demikian nilai f(x) di sekitar a dapat dihampiri oleh garis singgung f(x) di a. Hampiran ini cukup baik untuk nilai x yang dekat dengan a. Namun tidak demikian untuk nilai x yang jauh dari a. Perhatikan bahwa ) ( ) ( dan ) ( ) ( ₁ 1 a f a P a f a P = ′ = ′

Akan ditentukan A, B, dan C sehingga P₂(x) merupakan hampiran yang baik untuk f(x), dengan syarat

) ( ) ( dan ) ( ) ( ), ( ) ( ₂ ₂ 2 a f a P a f a P a f a P = ′ = ′ ′′ = ′′

(13)

13 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 a f C a P x P a f Ca B a P Cx B x P a f Ca Ba A a P Cx Bx A x P ′′ = = ′′ = ′′ ′ = + = ′ ⇒ + = ′ = + + = ⇒ + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( ) )( ( ) ( ) 2 ( 2 ) ( ) )( ( ) ( 2 ) ( ) ) ( ) ( ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( P Jadi 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( a x a f a x a f a f a ax x a f a x a f a f x a f x a a f a f a a f a a f a f x a a f a a f a f a a f a a a f a f a f Ca Ba a f A a a f a f Ca a f B − ′′ + − ′ + = + − ′′ + − ′ + = ′′ + ′′ − ′ + ′′ + ′ − = ′′ + ′ − = ′′ − ′′ − ′ − = − − = ′′ − ′ = − ′ =

Bila hampiran kuadrat masih kurang baik, dapat diperbaiki dengan hampiran kubik, yaitu

3 2 3(x) A Bx Cx Dx P = + + + ) ( ) ( dan ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( : syarat dengan 2 2 3 3 a f a P a f a P a f a P a f a P = ′ = ′ ′′ = ′′ ′′′ = ′′′

(14)

14 dst ... ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( 3 2 ) ( , 2 ) ( ) ( 2 . 2 . 3 ) ( 2 . 3 ) ( ) ( ) ( 2 . 3 ) ( ) ( . 2 . 3 2 ) ( . 2 . 3 2 ) ( ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 = − − − =       ′′′ + ′′ − ′ =       ′′′ − ′′ ′ − ′′ − ′ = − − ′ = ′′ ′ − ′′ = − ′′ = ′′ ′ = ⇒ ′′ = ′′ ′ = = ′′ ′ ′′ = + = ′′ ⇒ + = ′′ ′ = + + = ′ ⇒ + + = ′ = + + + = ⇒ + + + = Da Ca Ba a f A a a P a a f a f a a P a a a P a f a f Da Ca a f B a a P a f Da a f C a P D a f a P D x P a f Da C a P Dx C x P a f Da Ca B a P Dx Cx B x P a f Da Ca Ba A a P Dx Cx Bx A x P 3 2 1 0 3 2 3 ) ( ! 3 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ! 1 ) ( ) ( ! 0 ) ( ) ( 2 . 3 ) ( ) ( 2 ) ( ) )( ( ) ( ) ( P Diperoleh a x a f a x a f a x a f a x a f a x a f a x a f a x a f a f x − ′′ ′ + − ′′ + − ′ + − = − ′′ ′ + − ′′ + − ′ + =

(15)

15 Secara umum, bila perbaikan hampiran dilanjutkan, akan diperoleh

K K+ − + + − + − ′′ ′ + − ′′ + − ′ + ≈ n n iv a x n a f a x a f a x a f a x a f a x a f a f f(x) ) ( ! ) ( ) ( ! 4 ) ( ) ( ! 3 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) )( ( ) ( ) ( 4 3 2 Bentuk K K₊ ₋ ₊ + − ′′ + − ′ + = − =

∑

∞ = n n k k k a) (x n! (a) f a x a f a x a f a) f a x k a f T(x) 2 0 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) )( ( ( ) ( ! ) (

disebut uraian (ekspansi) Taylor dari f(x) di sekitar x = a. Bila a = 0, diperoleh uraian Mac Laurin dari f(x), yaitu

K K₊ ₊ + ′′ + ′ + = =

∑

∞ = n n k k k x n! ) ( f x f x f ) f k x f L(x) 0 ! 2 ) 0 ( ) 0 ( 0 ( ! ) 0 ( ₂ 0 ) (

(16)

16 1 cos x 5 0 sin x 4 -1 -cos x 3 0 -sin x 2 1 cos x 1 0 sin x 0 f(n)₍₀₎ f(n)_(x) n

Contoh:

Bila

f

(

x

)

=

sin

x

,

tentukan uraian Mac Laurin dari f(x).

K K₊ ₊ + ′′ + ′ + ≈ n n x n! ) ( f x f x f ) f f(x) 0 ! 2 ) 0 ( ) 0 ( 0 ( 2

∑

∞ = + + − = + − + − + − = + − + + + − + + ≈ 0 1 2 11 11 9 7 5 3 7 6 5 4 3 2 )! 1 2 ( ) 1 ( ! 11 ! 9 ! 7 ! 5 ! 3 ! 7 . 1 ! 6 . 0 ! 5 . 1 ! 4 . 0 ! 3 . 1 ! 2 . 0 . 1 0 sin k k k x k x x x x x x x x x x x x x x x K K

(17)

(18)

18

∑

∞ = − = ο + − + − + − = + + − + + + − + ≈ 0 2 12 10 8 6 4 2 7 6 5 4 3 2 ! 2 ) 1 ( ) ( ! 10 ! 8 ! 6 ! 4 ! 2 1 ! 7 . 0 ! 6 . 1 ! 5 . 0 ! 4 . 1 ! 3 . 0 ! 2 . 1 . 0 1 cos k k k x k x x x x x x x x x x x x x x K

Nilai Maksimum dan Minimum Global (Lokal)

Definisi: Fungsi f dikatakan mencapai maksimum (minimum) global

di titik (c, f(c)) jika

)

(

)

(

c

f

x

f

≥

(

f

(

c

)

≤

f

(

x

)

,

∀

x

di daerah asal f.

Bila f mencapai maksimum atau minimum global di titik (c, f(c)) maka f(c) disebut nilai ekstrim dari f, sedangkan titik (c, f(c)) disebut titik ekstrim

dari f.

Definisi: Fungsi f dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal di titik (c, f(c)) jika

)

(

)

(

c

f

x

f

≥

(

f

(

c

)

≤

f

(

x

)

,

x

(19)

19

x

f

(

)

sin

Fungsi

1. =

mencapai maksimum global dan lokal di titik-titik

(

₂

_,

₁

)

_,

₀

_,

₁

_,

₂

_,

₃

_,

K

2

+

π

=

π

_n

dan mencapai minimum global dan lokal di titik-titik

(

₂

_,

_-

₁

)

_,

₀

_,

₁

_,

₂

_,

₃

_,

K

2 3π

₊

_n

_π

_n

₌

Contoh-contoh: 2

)

(

Fungsi

2. f

x

=

x

Mencapai minimum global di titik (0,0) namun tidak memiliki titik maksimum global. Bila x pada selang [1,6] maka f(x) memiliki titik minimum lokal di (1,1) dan maksimum lokal di titik (6,36).

3

)

(

Fungsi

3. f

x

=

x

Tidak memiliki titik minimum maupun maksimum global. Bila x pada selang [-1,5] maka f(x) memiliki titik minimum lokal di (-1,-1) dan maksimum lokal di titik (5,125).

(20)

20 TEOREMA KEUJUDAN TITIK EKSTRIM

Jika f(x) kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f(x) memiliki titil ekstrim maksimum dan titik ekstrim minimum.

PROSEDUR MENENTUKAN TITIK EKSTRIM

1. Kumpulkan semua titik kritis dari f(x) pada selang [a,b]

2. Hitung nilai f(x) pada setiap titik kritis tersebut. Nilai f(x) yang terbesar menjadi titik ekstrim maksimum, sedangkan yang terkecil menjadi titik ekstrim minimum

TEOREMA TITIK KRITIS

Misalkan f(x) terdefinisi pada selang tertutup [a,b] dan c terletak di selang [a,b]. Jika f(c) adalah nilai ekstrim maka (c,f(c)) haruslah suatu titik kritis, yaitu (c,f(c)) mungkin berupa salah satu dari yang berikut ini

• (c,f(c)) adalah titik ujung selang

• (c,f(c)) adalah titik stasioner dari f, yaitu

• (c,f(c)) adalah titik singular dari f, yaitu tidak ada

0 ) ( = ′ c f ) (c f ′

(21)

21 Contoh:

1. Tentukan semua titik ekstrim dari fungsi f(x) = -2x3 _{+ 3x}2 _{pada selang}

tertutup [-1/2,3].

Jawab:

Titik-titik kritis:

i. Titik-titik ujung: (-1/2,1) dan (3,-27). ii. Titik-titik stasioner:

Jadi titik stasioner: (0,0) dan (1,1).

iii. Titik-titik singular: tidak ada sebab selalu ada. Jadi titik-titik kritis: {(-1/2,1) , (3,-27), (0,0) , (1,1)}.

Titik ekstrim maksimum: (-1/2,1) dan (1,1). Titik ekstrim minimum: (3,-27).

1 0 0 ) 1 ( 6 0 6 6 ) ( 0 6 6 ) ( 2 2 = ∨ = ⇔ = − − ⇔ = + − = ′ = + − = ′ c c c c c c c f x x x f ) (c f ′

(22)

22

2. Tentukan semua titik ekstrim dari fungsi f(x) = x2/3 _{pada selang [-1,2].} Jawab:

Titik-titik kritis:

i. Titik-titik ujung: (-1,1) dan . ii. Titik-titik stasioner:

Tidak ada c yang memenuhi. Jadi titik stasioner tidak ada. iii. Titik-titik singular:

Jadi titik singular: (0,0).

Jadi titik-titik kritis: {(-1,1) , , (0,0) }. Titik ekstrim maksimum:

Titik ekstrim minimum: (0,0).

(

3

)

4 , 2 0 3 2 ) ( 3 2 3 2 ) ( 3 3 3 1 = = ′ = = ′ − c c f x x x f . 0 bila ada tidak 3 2 ) ( 3 _c c c f ′ = =

(

₂_,3 ₄

)

(

3

)

4 , 2

(23)

23

Prosedur menyelesaikan masalah maksimum-minimum:

1. Buatlah gambar / skema permasalahan

2. Buatlah rumus untuk besaran yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan, misalkan F

3. Manfaatkan kondisi-kondisi yang diketahui untuk membuat F menjadi fungsi yang hanya bergantung pada satu variabel saja, misalkan x

4. Tentukan selang untuk nilai-nilai x yang mungkin 5. Tentukan semua titik-titik kritis (calon titil ekstrim) 6. Di antara titik-titik kritis, tentukan titik ekstrim.

Contoh:

1. Sebuah kotak yang terbuka bagian atasnya akan dibuat dari selembar seng

berbentuk segiempat dengan lebar 20 cm dan panjang 32 cm. Pada keempat sudut seng dipotong bujursangkar-bujursangkar kecil berukuran sama. Kemudian sisa seng dilipat ke atas sehingga terbentuk kotak. Tentukan ukuran kotak tersebut agar kapasitasnya maksimal.

2. Tentukan ukuran sebuah tabung lingkaran tegak dengan volume sebesar mungkin, yang dapat dimasukkan ke dalam sebuah kerucut lingkaran tegak setinggi 10 cm dengan jari-jari alas 4 cm.

3. Tentukan titik pada hiperbola y2 _{- x}2 _{= 4 yang jaraknya paling dekat dengan titik}

(24)

24

TEOREMA:

Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis (c,f(c))

1. Jika berubah dari negatif ke positif di titik c maka f(c) adalah nilai minimum lokal

2. Jika berubah dari negatif ke positif di titik c maka f(c) adalah nilai maksimum lokal

3. Jika tidak berubah tanda di titik c maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal

) (x f ′ ) (x f ′ ) (x f ′

TEOREMA: Uji ekstrim lokal untuk titik stasioner

Misalkan fungsi dan ada dan serta 1. Jika maka f(c) adalah nilai ekstrim maksimum lokal 2. Jika maka f(c) adalah nilai ekstrim minimum lokal

0 ) ( = ′ c f ) (x f ′ f ′′(x) _∀_{x ∈}_{( b}_a_, ₎ _{c ∈}_{( b}_a_, ₎ 0 ) ( < ′′ c f 0 ) ( > ′′ c f

(25)

25

KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN

Definisi kemonotonan : Misalkan f terdefinisi pada suatu selang, maka

1. f dikatakan monoton naik pada selang tersebut jika berlaku jika

2. f dikatakan monoton turun pada selang tersebut jika berlaku jika 2 1

, x

x

∀

)

(

)

(

x

₁

f

x

₂

f

<

x <

₁

x

₂ 2 1

, x

x

∀

)

(

)

(

x

₁

f

x

₂

f

>

x <

1

x

2

Definisi kecekungan : Misalkan ada , maka

1. grafik fungsi f cekung ke atas pada selang (a,b) jika monoton naik pada selang (a,b)

2. grafik fungsi f cekung ke bawah pada selang (a,b) jika monoton turun pada selang (a,b)

) (x f ′ _∀_{x ∈}_{( b}_a_, ₎ ) (x f ′ ) (x f ′

Titik tempat berubahnya kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya disebut TITIK BALIK atau TITIK BELOK

(26)

26

Teorema Kemonotan : Misalkan f kontinu pada selang (a,b) dan ada 1. Jika maka grafik fungsi f monoton naik pada selang (a,b)

2. Jika maka grafik fungsi f monoton turun pada selang (a,b)

) (x f ′ _∀_{x ∈}_{( b}_a_, ₎ 0 ) ( > ′ x f 0 ) ( < ′ x f

Teorema Kecekungan : Misalkan f kontinu pada selang (a,b) dan ada 1. Jika maka grafik fungsi f cekung ke atas pada selang (a,b)

2. Jika maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada selang (a,b)

) (x f ′′ _∀_{x ∈}_{( b}_a_, ₎ 0 ) ( > ′′ x f 0 ) ( < ′′ x f Contoh: 1. f(x) = x2 _{- 4} _dan ₍ ₎ ₂ ₀ 0 jika , 0 0 jika , 0 2 ) ( ′′ = >    < < > > = ′ f x x x x x f

Jadi f(x) monoton turun pada selang monoton naik pada selang dan cekung ke atas di mana-mana.

)

0 ,

(−∞

( ∞

0 ,

)

2. f(x) = 3x3 0 jika , 0 0 jika , 0 18 ) ( dan 0, x bila 0 9 ) ( 2    < < > > = ′′ ≠ > = ′ x x x x f x x f

Jadi f(x) monoton naik di mana-mana, cekung ke bawah pada selang cekung ke atas pada selang , dan (0,0) adalah titik belok.

)

0 ,

(−∞

)

,

0 ( ∞

(27)

27

SKETSA GRAFIK CANGGIH

Langkah-langkah:

1. Tentukan tanda dari f(x) untuk melihat di mana grafik f(x) berada di atas sumbu

x dan di mana grafik f(x) berada di bawah sumbu x.

2. Tentukan tanda dari untuk melihat kemonotonan grafik f(x) 3. Tentukan tanda dari untuk melihat kecekungan grafik f(x) 4. Periksa kesimetrian

5. Periksa semua asimtot yang ada

6. Daftarlah titik-titik penting sebagai titik-titik bantuan 7. Sketsa grafik

)

(x

f ′

)

(x

f ′′

Contoh: Sketsalah grafik fungsi

32 20 3 ) ( 3 5 x x x f y = = −

Langkah 1: Periksa tanda dari f(x)

(

)(

)

32 20 3 20 3 32 ) 20 3 ( 32 20 3 ) ( 2 2 3 2 3 3 5 ₊ ₋ = − = − = x x x x x x x x f

(28)

28

0

20 ₃

3

20 −

---+++++++++++++++ --- +++++++++++++

Langkah 2: Periksa tanda dari f ′( x)

3 20 atau 0 x 3 20 bila 0 ) ( dan 3 20 0 atau 3 20 bila 0 ) ( Jadi f x < x<− <x< f x > − < < x>

(

)(

)

32 2 2 15 32 ) 4 ( 15 32 60 15 ) ( 2 2 2 2 4 ₊ ₋ = − = − = ′ x x x x x x x x f

Jadi f(x) monoton naik bila x < -2 atau x > 2, dan monoton turun bila -2 < x < 2.

0

2

2 −

(29)

29

Langkah 3: Periksa tanda dari f ′′( x)

(

)(

)

32 2 2 60 32 ) 2 ( 60 32 120 60 ) ( 2 3 ₊ ₋ = − = − = ′′ x x x x x x x x f

0

2

2 −

---+++++++++++++++ --- +++++++++++++ 2 atau 0 x 2 bila atas ke cekung ) ( dan 2 0 atau 2 bila bawah ke cekung ) ( Jadi > < < − < < − < x x f x x x f

Langkah 4: Periksa kesimetrian

) ( 32 20 3 32 20 3 32 ) ( 20 ) ( 3 ) ( 3 5 3 5 3 5 x f x x x x x x x f − = − − − = − + = − − = −

Karena f(-x) = -f(x) maka f(x) adalah fungsi ganjil sehingga grafiknya simetris terhadap titik asal (0,0).

(30)

30

Langkah 5: Periksa asimtot: tidak ada asimtot. Langkah 6: daftarkan titik-titik bantuan

-2

2

0

2 -2

0

0 f

(x)

x

3 20 − 3 20

2 −

2

2 8 7 2 8 7 −

(31)

31

Langkah 7: sketsa grafik berdasarkan informasi yang diperoleh dari langkah-langkah sebelumnya.

Soal: Sketsalah grafik fungsi

].

8 ,

7 [

dengan

7

12

3

2 )

(

.

2 )

2 (

)

(

.

1

2 3 2

−

∈

+

−

=

+

=

x

f

y

x

f

y

Menghitung limit bentuk tak tentu 1. Bentuk tak tentu

0

Misalkan dan ada dan Jika

_{f ′}

_(a

₎

g′

(a

)

g

′ a

(

)

≠

0 .

lim

(

)

=

lim

(

)

=

0

→ →a

f

x

x a

g

x

x maka . ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f a x a x ′ ′ = → →

(32)

32 2. Bentuk tak tentu

∞

. ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim maka ) ( lim dan ) ( lim Jika x g x f x g x f x g x f a x a x a x a x ′ ′ = ±∞ = ±∞ = → → → →

Menghitung limit bentuk tak tentu dengan cara tersebut dikatakan menggunakan DALIL L’HOSPITAL Contoh: 2 3 48 72 lim 48 24 72 lim 8 24 24 36 lim 3 8 8 2 12 12 lim 7 3 4 2 1 2 4 3 lim . 3 4 ) 1 ( 0 0 ) 1 .( 1 . 4 ) 2 cos( 2 ) 2 sin( ) 3 cos( ) 4 sin( 3 ) 3 sin( ) 4 cos( 4 lim 2 sin ) 3 sin( ) 4 sin( lim . 2 1 1 cos lim sin lim . 1 2 2 3 2 3 2 4 3 4 2 2 0 0 = = + = − + = + − + + = − + − − + + = − + + − = + + = = = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

π

π π

(33)

33 Soal-soal: Bila ada, tentukan nilai limit berikut ini.

2 2 1 lim . 9 2 2 1 lim . 8 1 1 1 lim . 7 cos lim . 6 1 lim . 5 1 2 3 lim . 4 lim . 3 1 lim . 2 sin tan lim . 1 2 2 0 0 2 2 2 4 2 x 2 2 1 1 0 2 0 0 + − − + − − − − − + − − − − − − − − ∞ → → → → ∞ → → − → → → x x x x x x e x x x x x x x x x x x e x e x x x x x x x x x x x x x x x π π

(34)

34

TEOREMA NILAI RATA_RATA (untuk turunan)

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensialkan di selang terbuka (a,b) maka terdapat c, dengan a < c < b sehingga