TINJAUAN PUSTAKA. i dari yang terkecil ke yang terbesar. Tebaran titik-titik yang membentuk garis lurus menunjukkan kesesuaian pola

(1)

TINJAUAN PUSTAKA

Analisis Diskriminan

Analisis diskriminan (Discriminant Analysis) adalah salah satu metode analisis multivariat yang bertujuan untuk memisahkan beberapa kelompok data yang sudah terkelompokkan dengan cara membentuk fungsi diskriminan (Johnson

& Wichern 1998). Untuk melakukan analisis diskriminan ada dua asumsi yang harus diperhatikan (Dillon dan Goldstein 1984) yaitu :

1. Sejumlah 𝑝 peubah bebas menyebar mengikuti sebaran normal ganda.

2. Matriks peragam berdimensi 𝑝 × 𝑝 dari peubah-peubah bebas dalam setiap kelompok harus homogen.

Uji sebaran normal ganda dapat dilakukan dengan plot khi-kuadrat (Johnson

& Winchern 1998). Setiap vektor pengamatan dihitung jarak Mahalanobisnya dengan persamaan:

𝑑_𝑖² = 𝑥_𝑖− 𝑥 _𝑖 𝑆_𝑖⁻¹ 𝑥_𝑖 − 𝑥 _𝑖

dimana setiap 𝑑_𝑖² akan menyebar khi-kuadrat dengan p derajat bebas, bila p menyatakan jumlah peubah.

Plot khi kuadrat akan memeriksa apakah statistik 𝑑_𝑖² mengikuti sebaran khi kuadrat, yaitu dengan mengurutkan 𝑑_𝑖² dari yang terkecil ke yang terbesar 𝑑₁² ≤ 𝑑₂² ≤ ⋯ ≤ 𝑑_𝑛² , kemudian memplotkan 𝑑_𝑖² dengan 𝜒_𝑝² 𝑖 − 0.5 /𝑛 . Tebaran titik-titik yang membentuk garis lurus menunjukkan kesesuaian pola sebaran 𝑑_𝑖² terhadap sebaran khi-kuadrat yang berati data berasal dari sebaran normal. Jika asumsi normal ganda tidak terpenuhi maka dapat digunakan analisis diskriminan logistik sebagai solusinya (Cacoullos 1973).

Rencher (2002) menyatakan bahwa uji kehomogenan matriks peragam dilakukan menggunakan uji Box’ M, statistik uji yang digunakan adalah :

𝑀 = 𝑆_𝑖

𝑆_𝑤

𝑔 𝑖=1

𝑣_𝑖/2

dengan : 𝑣_𝑖 = 𝑛_𝑖− 1 𝑆_𝑖 = ¹

𝑛𝑖−1 ^𝑛_{𝑗 =1}^𝑖 𝑥_𝑖𝑗 − 𝑥 _𝑖 ^𝑡 𝑥_𝑖𝑗 − 𝑥 _𝑖 𝑆_𝑤 = ^𝑣^𝑖^𝑆^𝑖

𝑔 𝑖=1

𝑣_𝑖 𝑔 𝑖=1

(2)

Statistik 𝑀 bernilai antara 0 dan 1, jika nilainya mendekati 0, maka telah cukup bukti untuk menolak Ho pada taraf 𝛼 atau berarti ada matriks peragam populasi normal ganda yang berbeda sedangkan jika nilainya mendekati 1 berarti belum cukup bukti untuk menolak Ho pada taraf 𝛼.

Sebaran statistik uji 𝑀 dapat di dekati dengan sebaran 𝐹 tahapan pengujiannya (Rencher 2002) adalah:

menghitung, 𝑐₁ = ¹

𝑣_𝑖− ¹_𝑣

𝑔 𝑖 𝑖=1 𝑔

𝑖=1 ^2𝑝

2 + 3𝑝 −1

6 (𝑝+1)(𝑔−1) dan 𝑐₂ =^{𝑝−1 𝑝−2}

6 𝑔−1 ¹

𝑣_𝑖² − ¹

^𝑔_𝑖=1𝑣_𝑖 ² 𝑔

𝑖=1 ,

serta 𝑎₁ = ¹

2 𝑔 − 1 𝑝 𝑝 − 1 , 𝑎₂ = ^𝑎¹⁺²

𝑐2−𝑐₁² 𝑏₁ =^1−𝑐¹^−𝑎¹ ^𝑎²

𝑎1 , 𝑏₂ =^1−𝑐¹^{−2 𝑎}²

𝑎2

Jika 𝑐₂ > 𝑐₁², 𝐹 = −2𝑏₁ln 𝑀 mendekati sebaran 𝐹_{𝛼 𝑎}₁_,𝑎₂ dan

Jika 𝑐₂ < 𝑐₁², 𝐹 = −2𝑎₂𝑏₂ln 𝑀 𝑎₂ 1 + 2𝑏₂ln 𝑀 mendekati sebaran 𝐹_{𝛼 𝑎}₁_,𝑎₂ . Untuk kedua kasus tersebut, tolak 𝐻₀ jika 𝐹 > 𝐹_{𝛼 𝑎}₁_,𝑎₂ . Jika asumsi kehomogenan matriks peragam yang tidak terpenuhi maka analisis yang dapat digunakan adalah analisis diskriminan kuadratik ( Gnanadesikan, R. 1977).

Pembentukan Fungsi Diskriminan

Fungsi diskriminan, menurut Johnson dan Winchern (1998) misalkan terdapat 𝑔 kelompok populasi dengan masing-masing ukuran contoh 𝑛_𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑔, vektor peubah acak populasi ke-𝑖 adalah 𝑋_𝑖 = 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑝 , dan baris ke-𝑗 adalah 𝑥_𝑖𝑗 maka vektor rataan populasi ke-𝑖 dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝑥 = 1

𝑛_𝑖 𝑥_𝑖𝑗

𝑛_𝑖

𝑗 =1

dan vektor rataan populasi adalah 𝑥 = ^𝑔_𝑖=1𝑛_𝑖𝑥 _𝑖

𝑛_𝑖

𝑔 𝑖=1

= ^𝑔_𝑖=1 ^𝑛_{𝑗 =1}^𝑖 𝑥_𝑖𝑗 𝑛_𝑖

𝑔 𝑖=1

Misalkan 𝑩 matriks peragam antar kelompok, 𝑾 matriks peragam dalam kelompok, dengan matriks keragaman total 𝑻 = 𝑾 + 𝑩. Fungsi diskriminan

(3)

disusun dengan memaksimalkan rasio antara ragam antar kelompok dengan ragam antar kelompok. Jika fungsi diskriminan dinyatakan dengan 𝑦 = 𝒂^′𝒙 maka yang ingin dicari adalah 𝒂_𝒊 sehingga 𝜆 = ^𝒂^′^𝑩𝒂

𝒂^′𝑾𝒂 maksimum. Nilai 𝜆 yang maksimum merupakan akar ciri terbesar dari matriks 𝑾⁻¹𝑩 dan 𝒂 merupakan vektor ciri yang sepadan (Sharma 1996).

Menurut Dillon dan Goldstein (1984), bila didefinisikan 𝑛 adalah banyaknya objek dari 𝑔 kelompok, maka matriks 𝑾 berukuran 𝑝 × 𝑝 berasal dari peubah acak 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑝 yang bebas linear dengan 𝑛 − 𝑔 ≥ 𝑝. Sedangkan pangkat matriks 𝑩 sama dengan minimum 𝑝 dan 𝑔 − 1, maka matriks 𝑾⁻¹𝑩 juga berpangkat min(𝑝, 𝑔 − 1). Hal ini berarti banyaknya akar ciri yang mungkin diperoleh oleh matriks 𝑾⁻¹𝑩 adalah min(𝑝, 𝑔 − 1), sehingga banyaknya fungsi diskriminan yang dapat dibangun tergantung pada besaran min(𝑝, 𝑔 − 1).

Peranan relatif suatu fungsi diskriminan ke-𝑟 dalam memisahkan anggota- anggota kelompok diukur dari persentase relatif akar ciri yang berhubungan dengan fungsi diskriminan berikut :

𝑌_𝑟 = 𝜆_𝑟 𝜆_𝑚

𝑠𝑚 =1

× 100%, 𝑟 = 1,2, … , 𝑠 dengan 𝑠 = min 𝑝, 𝑔 − 1 .

Semua fungsi diskriminan yang terbentuk perlu diuji untuk mengetahui banyaknya fungsi yang dapat menjelaskan perbedaan peubah-peubah penjelas di antara g kelompok (Dillon & Goldstein 1984). Adapun pengujian fungsi diskriminan dapat dilakukan dengan menggunakan statistik V-Barlett melalui pendekatan khi-kuadrat, sebagai berikut :

a). Uji fungsi diskriminan pertama Statistik uji :

𝑉₁ = 𝑣_𝐸−1

2 𝑝 − 𝑣_𝐻+ 1 ln Λ₁ dengan : Λ₁ = ¹

1+𝜆𝑚 𝑠𝑚 =1

𝑣_𝐸 = 𝑁 − 𝑔 = ^𝑔_𝑖=1𝑛_𝑖− 𝑔 𝑣_𝐻 = 𝑔 − 1

(4)

atau dapat ditulis :

𝑉₁ = 𝑁 − 1 −1

2 𝑝 + 𝑔 ln 1 + 𝜆_𝑚

𝑠

𝑚 =1

Jadi bila 𝑉₁ < 𝜒²_{𝛼,𝑝(𝑔−1)} artinya persentase relatif yang diterangkan oleh fungsi diskriminan pertama bersifat nyata secara statistik.

b). Uji fungsi diskriminan ke-𝑟 Statistik uji :

𝑉_𝑟 = 𝑁 − 1 −1

2 𝑝 + 𝑔 ln 1 + 𝜆_𝑚

𝑠

𝑚 =𝑟

Jadi bila 𝑉_𝑟 < 𝜒²𝛼, 𝑝−𝑟+1 𝑔−2 artinya fungsi diskriminan ke-𝑟 masih diperlukan untuk menerangkan perbedaan 𝑝-peubah diantara 𝑔-kelompok. Kriteria masuknya individu kedalam kelompok ke-𝑖 (Gaspersz 1992) bila:

𝑦_𝑚 − 𝑦 _𝑖𝑚 ² = 𝑎_𝑚^′ 𝑥_𝑖𝑗 − 𝑥 _𝑘 ² ≤ 𝑎_𝑚^′ 𝑥 − 𝑥 _𝑘 ²

𝑟

𝑚 =1 𝑟

𝑚 =1

dengan :

𝑦_𝑚 = Vektor skor diskriminan ke-m dari obyek

𝑦 _𝑖𝑚 = Nilai tengah skor diskriminan ke-m dari kelompok ke-i 𝑎_𝑚^𝑡 = Vektor koefisien fungsi diskriminan

𝑥_𝑖𝑗 = Vektor pengamatan dari objek yang akan dikelompokkan 𝑥 _𝑘 = Vektor nilai tengah peubah pembeda dari kelompok ke-i 𝑟 = Banyaknya fungsi diskriminan penggolongan

Dari analisis diskriminan ini dapat pula digunakan untuk mencari peubah-peubah asal yang dianggap dominan untuk digunakan dalam membedakan antar kelompok.

𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠 𝑄 merupakan tes statistik untuk mengukur kekuatan dari pengklasifikasian fungsi diskriminan (Hair et al. 1995), statistik 𝑄 dihitung dengan :

𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠 𝑄 = 𝑁 − 𝑛 ∗ 𝑔 ² 𝑁 𝑔 − 1 dengan : 𝑁 = Jumlah contoh total

𝑛 = Jumlah klasifikasi yang benar 𝑔 = Jumlah grup/kelompok

(5)

Statistik 𝑄 kemudian dibandingkan dengan nilai kritis (nilai khi-kuadrat untuk derajat bebas 1 pada taraf 𝛼 tertentu). Jika statistik 𝑄 lebih besar dari nilai kritis berarti persentase hasil klasifikasi yang dihasilkan memiliki kekuatan dalam mengklasifikasikan objek.

Dillon dan Goldstein (1984) menyatakan bahwa dalam menentukan peubah- peubah yang dimasukkan kedalam fungsi diskriminan dapat digunakan analisis diskriminan bertahap (stepwise discriminant). Pada analisis ini diawali dengan fungsi tanpa peubah, fungsi yang terbentuk pada setiap tahap diuji nilai F-parsial untuk setiap peubahnya. Peubah yang memilki nilai F terbesar dimasukkan ke dalam fungsi sedangkan peubah yang memiliki nilai F yang kurang dari 1 tidak akan dimasukkan dalam pembentukan fungsi. Proses akan berhenti bila tidak ada lagi peubah yang dimasukkan atau dikeluarkan.

Regresi Logistik Multinomial

Regresi logistik multinomial merupakan perluasan dari regresi logistik dengan respon biner yang dapat menangani peubah respon dengan kategori lebih dari dua. Hosmer dan Lemeshow (2000) menjelaskan, untuk model regresi dengan peubah respon berskala nominal tiga kategori digunakan kategori peubah hasil Y yang dikode 0, 1, dan 2. Peubah Y terparameterisasi menjadi dua fungsi logit.

Sebelumnya perlu ditentukan kategori respon yang digunakan sebagai kategori pembanding terlebih dahulu. Pada umumnya digunakan Y=0 sebagai pembanding.

Untuk membentuk fungsi logit, akan dibandingkan Y=1 dan Y=2 terhadap Y=0.

Bentuk model regresi yang berupa fungsi peluang dengan p peubah bebas seperti pada persamaan berikut ini:

𝜋 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 𝛽₀+ 𝛽₁𝑥₁+ 𝛽₂𝑥₂+ ⋯ + 𝛽_𝑝𝑥_𝑝 1 + 𝑒𝑥𝑝 𝛽₀+ 𝛽₁𝑥₁+ 𝛽₂𝑥₂ + ⋯ + 𝛽_𝑝𝑥_𝑝

Transformasi logit akan menghasilkan dua fungsi logit sebagai berikut, dengan menetapkan 𝑥₀ = 1.

𝑔₁ 𝑥 = ln 𝑃 𝑌 = 1 𝑥

𝑃 𝑌 = 0 𝑥 = 𝛽₁₀ + 𝛽₁₁𝑥₁+ 𝛽₁₂𝑥₂+ ⋯ + 𝛽_1𝑝𝑥_𝑝 = 𝑥^′𝛽₁ 𝑔₂ 𝑥 = ln 𝑃 𝑌 = 2 𝑥

𝑃 𝑌 = 0 𝑥 = 𝛽₂₀+ 𝛽₂₁𝑥₁+ 𝛽₂₂𝑥₂+ ⋯ + 𝛽_2𝑝𝑥_𝑝 = 𝑥^′𝛽₂

(6)

Berdasarkan kedua fungsi logit tersebut maka didapatkan probabilitas respon atau model regresi logistik multinomial dengan peubah respon berskala nominal tiga kategori sebagai berikut (Hosmer dan Lemeshow, 2000).

𝜋₀ 𝑥 = 1

1 + 𝑒𝑥𝑝^𝑔¹^𝑥+ 𝑒𝑥𝑝^𝑔²^𝑥 𝜋₁ 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝^𝑔¹^𝑥

1 + 𝑒𝑥𝑝^𝑔¹^𝑥+ 𝑒𝑥𝑝^𝑔²^𝑥 𝜋₂ 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝^𝑔²^𝑥

1 + 𝑒𝑥𝑝^𝑔¹^𝑥+ 𝑒𝑥𝑝^𝑔²^𝑥

Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000), dalam menduga model logit dengan peubah responnya berskala kualitatif, teknik pendugaan parameter yang layak digunakan adalah metode kemungkinan maksimum. Prinsip dari metode kemungkinan maksimum memberikan nilai dugaan parameter suatu fungsi kemungkinan. Fungsi kemungkinan yang ingin dimaksimalkan adalah :

𝐿 𝛽 = 𝑓(𝑌 =

𝑛

𝑖=1

𝑦_𝑖|𝑥_𝑖) dengan 𝑛 = banyaknya pengamatan

Pengujian Kesesuaian Model

Pengujian Kesesuaian model dilakukan untuk memeriksa pengaruh peubah- peubah penjelas dalam model. Pengujian dilakukan untuk masing-masing parameter model (𝛽). Pengujian secara simultan dilakukan dengan menggunakan uji 𝐺 yaitu uji nisbah kemungkinan (likelihood ratio test).

Uji 𝐺 untuk pengujian parameter 𝛽_𝑖 dengan hipotesis : 𝐻₀: 𝛽₁ = 𝛽₂ = ⋯ = 𝛽_𝑝 = 0

𝐻₁: 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑠𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝛽_𝑖 ≠ 0

Statistik uji yang digunakan adalah statistik uji : 𝐺 = −2 𝑙𝑛 𝐿₀

𝐿₁ dengan : 𝐿₀ = likelihood tanpa peubah bebas

𝐿₁ = likelihood dengan peubah bebas

(7)

Jika H0 benar, statistik 𝐺 ini mengikuti sebaran 𝜒² dengan derajat bebas p, Kriteria keputusan yang diambil adalah menolak 𝐻₀ jika 𝐺_{𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} ≥ 𝜒_{𝛼 (𝑝)}² (Hosmer

& Lemeshow 2000). Seandainya 𝐻₀ ditolak, maka selanjutnya dilakukan uji Wald untuk menguji parameter 𝛽_𝑖 secara parsial. Hipotesis yang diujikan adalah :

𝐻₀: 𝛽_𝑖 = 0

𝐻₁: 𝛽_𝑖 ≠ 0, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑝

Sedangkan statistik uji Wald sebagai berikut : 𝑊 = 𝛽 _𝑖

𝑆 𝐸 𝛽 _𝑖

Statistik uji Wald mengikuti sebaran normal baku, dengan 𝛽_𝑖 sebagai penduga dan 𝑆 𝐸 𝛽 _𝑖 sebagai penduga galat baku 𝛽_𝑖. Kriteria keputusan adalah menolak 𝐻₀ jika 𝑊 ≥ 𝑍^𝛼

2 atau nilai 𝑃 ≤ 𝛼 (Hosmer & Lemeshow 2000).

Pereduksian peubah

Pereduksian peubah dalam regresi logistik dikenal dengan analisis regresi logistik bertatar (stepwise logistic regression), dimana langkah yang dilakukan adalah menambah atau menghilangkan peubah penjelas satu persatu dari model sampai diperoleh peubah-peubah yang berpengaruh nyata terhadap model (Hosmer & Lemeshow 2000). Stepwise logistic regression terdiri dari seleksi langkag maju dan eliminasi langkah mundur.

Metode seleksi langkah maju prosedur dimulai dengan intersep, kemudian peubah penjelas dimasukkan satu persatu ke dalam model dan diuji dengan khi- kuadrat. Apabila peubah penjelas tidak signifikan atau tidak nyata pada nilai 𝛼 yang ditentukan, maka peubah tersebut dikeluarkan dari model dan sebaliknya peubah yang nyata atau signifikan akan dimasukkan ke dalam model. Sedangkan dalam metode eliminasi langkah mundur, prosedur dimulai dengan model penuh yaitu memasukkan seluruh peubah penjelas ke dalam model, kemudian diuji satu persatu. Jika ditemukan peubah penjelas yang tidak nyata pada nilai 𝛼 yang ditentukan maka peubah tersebut dikeluarkan dari model. Pada tiap prosesnya peubah yang memiliki nilai-p yang terbesar akan berakhir ketika peubah penjelas yang berada dalam model memiliki nilai-p kurang dari 0.05. Analisis akan selesai jika tidak ada lagi peubah yang dapat dieliminasi dari model (Garson 2010).

(8)

Teknik pereduksian peubah penjelas ini telah tersedia dalam paket pengolahan komputer. Dalam penelitian ini metode pereduksian yang digunakan adalah eliminasi langkah mundur.

Interpretasi Koefisien

Setelah diperoleh model terbaik, dilakukan interpretasi koefisien yang diperoleh. Rasio odds dapat juga dipergunakan untuk memudahkan interpretasi model. Rasio odds adalah ukuran asosiasi yang memperkirakan berapa besar kemungkinan peubah-peubah penjelas terhadap peubah respon (Hosmer dan Lemeshow 2000). Rasio odds untuk 𝑌 = 𝑗 terhadap 𝑌 = 𝑘 yang dihitung pada dua nilai (misal 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏) adalah :

𝛹 𝑎, 𝑏 = 𝑃 𝑌 = 𝑗 𝑥 = 𝑎)/𝑃 𝑌 = 𝑘 𝑥 = 𝑎)

𝑃 𝑌 = 𝑗 𝑥 = 𝑏)/𝑃 𝑌 = 𝑘 𝑥 = 𝑏) = 𝑒𝑥𝑝 𝛽_𝑖 𝑎 − 𝑏 Sehingga jika 𝑎 − 𝑏 = 1 maka 𝛹 = 𝑒𝑥𝑝⁡(𝛽𝑖).

Ukuran 𝛹 selalu positif dan umumnya digunakan sebagai pendekatan risiko nisbi (relative risk). Untuk 𝛹 = 1 berarti bahwa 𝑥 = 𝑎 memiliki risiko yang sama dengan 𝑥 = 𝑏 untuk menghasilkan 𝑌 = 𝑗. Bila 1 < 𝛹 < ∞ berarti 𝑥 = 𝑎 memiliki risiko lebih tinggi 𝛹 kali daripada 𝑥 = 𝑏, dan sebaliknya untuk 0 <

𝛹 < 1. Jika peubah penjelas kontinu maka interpretasi koefisien dugaan tergantung pada unit particular dari peubah penjelas. Untuk peubah penjelas kontinu diperlukan unit perubahan sebesar 𝑐, maka rasio odds diperoleh dengan 𝑒𝑥𝑝⁡(𝑐𝛽𝑖) (Hosmer dan Lemeshow 2000).