1001-soal-pembahasan-uts-kalkulus-i.pdf

(1)

KATA

KATA PENGANTAR PENGANTAR ... ... ii DAFTAR

DAFTAR ISI ISI ... iii.... iii SOAL

SOAL - - SOAL ...SOAL ... 2... 2

UTS Genap

UTS Genap 2009/2010 2009/2010 ... ... 33 UTS

UTS Ganjil Ganjil 2009/2010... 2009/2010... 44 UTS Genap

UTS Genap 2008/2009 2008/2009 ... ... 55 UTS

UTS Pendek Pendek 2008/2009 2008/2009 ... ... 66 UTS UTS 2007/2008 ...2007/2008 ... ... 88 UTS UTS 2006/2007 ...2006/2007 ... ... 99 UTS UTS 2005/2006 ...2005/2006 ... ... ... 1010 UTS UTS 2004/2005 ...2004/2005 ... ... ... 1111 UTS UTS 2003/2004 ...2003/2004 ... ... ... 1212 UTS UTS 2002/2003 ...2002/2003 ... ... ... 1313 UTS UTS 2001/2002 ...2001/2002 ... ... ... 1414 UTS UTS 2000/2001 ...2000/2001 ... ... ... 1515 UTS UTS 1999/2000 ...1999/2000 ... ... ... 1717 PEMBAHASAN PEMBAHASAN ... ... 1919 UTS Genap UTS Genap 2009/2010 2009/2010 ... ... 2020 UTS

UTS Ganjil Ganjil 2009/2010... 2009/2010... 2424 UTS Genap

UTS Genap 2008/2009 2008/2009 ... ... 2727 UTS

UTS Pendek Pendek 2008/2009 2008/2009 ... ... 3232 UTS UTS 2007/2008 ...2007/2008 ... ... ... 3939 UTS UTS 2006/2007 ...2006/2007 ... ... ... 4343 UTS UTS 2005/2006 ...2005/2006 ... ... ... 4949 UTS UTS 2004/2005 ...2004/2005 ... ... ... 5656 UTS UTS 2003/2004 ...2003/2004 ... ... ... 6060 UTS UTS 2002/2003 ...2002/2003 ... ... ... 6565 UTS UTS 2001/2002 ...2001/2002 ... ... ... 6969 UTS UTS 2000/2001 ...2000/2001 ... ... ... 7171 UTS UTS 1999/2000 ...1999/2000 ... ... ... 7676

(2)

��

(3)

��

(4)

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010

Mata Kuliah : Kalkulus 1

Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114MA 1114 Jum’at, 9 April 2010

Jum’at, 9 April 2010 UTS

UTS Genap Genap 2009/20102009/2010

1.

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaanTentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. a. 1 1 4 4 2 2 22 + + ≤ ≤ − − _xx x x b. b. _x_x −−55 _xx≥≥ 22 2.

2. DiketahuiDiketahui f f

( ( ))

x x == sinsin 22xx _dan_dan _g_g

( ( ))

_x_x == _xx −− ₂₂

a.

a. TentukanTentukan D D_f_f,, R R_f_f,, D D_g_g,, dandan RR_g_g

b.

b. Periksa apakahPeriksa apakah gg oo f f dan dan f f oo gg terdefinisi ? terdefinisi ?

c.

c. Bila ya, tentukanBila ya, tentukan D D_g_g_o_o_f_fdandan D D_f_f_o_o_g_g

3. 3. DiketahuiDiketahui

( ( ))











> > − − ≤ ≤ < < = = 1 1 ,, 1 1 0 0 ,, 2 2 x x x x bx bx x x x x a a x x f f Tentukan konstanta

Tentukan konstanta aa dan dan bb, agar, agar f f

( ( ))

x x terdiferensialkan di terdiferensialkan di _x_x ==11_.. 4.

( ( ))

x x ==55 x x33 −−33xx55

a.

a. Tentukan selang kemonotonanTentukan selang kemonotonan b.

b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada)Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada) c.

c. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnyaTentukan nilai ekstrim dan jenisnya d.

d. Gambarkan grafiknyaGambarkan grafiknya

No

No 1 1 2 2 3 3 4 4 JumlahJumlah Nilai

(5)

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010

Mata Kuliah : Kalkulus 1

Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114MA 1114 Close Book dan tanpa kalkulator Close Book dan tanpa kalkulator

UTS

UTS Ganjil Ganjil 2009/20102009/2010

1.

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaanTentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan _x_x22 −−11 << 33 2.

2. Tentukan nilaiTentukan nilai aa agar fungsi agar fungsi

( ( ))









≥ ≥ + + < < = = 0 0 ,, 1 1 0 0 ,, sin sin x x x x x x x x ax ax x x f f mempunyai limit di mempunyai limit di _x_x == 00 3.

3. Periksa apakah fungsiPeriksa apakah fungsi

( ( ))











≥ ≥ + + < < − − − − = = 1 1 ,, 1 1 1 1 ,, 1 1 1 1 2 2 x x x x x x x x x x x x f f kontinu di kontinu di _x_x ==11 4.

4. Diketahui kurvaDiketahui kurva _xy_xy22 ++_x_x22 ++ _yy22 ==33

a.

a. Tentukan rumusTentukan rumus y y'' b.

b. Tentukan persamaan garis singgung di titik (1,1)Tentukan persamaan garis singgung di titik (1,1) 5.

(

( )

44

)

==44,, f f ''

(

( )

44

)

==22,,gg

(

( )

44

)

==44,,gg''

(

( )

44

)

==44,,hh

(

( )

x x

)

== f f

( )

(

gg

(

( ))

x x

)

,,hitunghitunghh''

(

( ))

44 6. 6. DiketahuiDiketahui

( ( ))

1 1 − − = = x x x x x x f f a.

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsiTentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b.

b. Tentukan selang kecekungan dan titik belokTentukan selang kecekungan dan titik belok c.

c. Tentukan semua asimtotTentukan semua asimtot d.

(6)

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114

Tanggal : Jum’at, 17 April 2009 UTS Genap 2008/2009

1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

2 1 2 1 + − ≤ − _x x

2. Tentukan persamaan garis singgung dari _xy−2_x2 +3_x =3_yang

tegak lurus dengan _x−_y +1= 0 3. Diberikan fungsi

( )

1 3 2 − + = x x f . Tentukan :

a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada) b. Selang kecekungan dan titik belok ( bila ada ) c. Asymtot

d. Grafik fungsi

4. Sebuah segiempat alasnya berimpit pada salah satu sisi sebuah segitiga siku-siku dengan alas = 5 cm dan tinggi 6 cm, seperti terlihat pada gambar di bawah. Berapa luas maksimal dari segiempat tersebut.?

6 cm

(7)

UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114

Tanggal : Senin 27 Juli 2009 UTS Pendek 2008/2009

1. Cari himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut a. 2 3 1 1 − ≥ + _x x b. 4 1 2 3 ≤ + − x x

2. Diketahui fungsi _f

( )

_x = _x − 2 _dan _g

( )

_x = ₃− _x

a. Cari Df , Rf , Dg, Rg

b. Periksa apakah go f terdefinisi

c. Bila ya, cari Dgof

3. a. Hitung 8 6 5 3

lim

+₋ +∞ → x x x bila ada b. Tentukan nilai k supaya

( )











≥ + < = 0 , 2 3 0 , tan 2 x k x x x kx x f kontinu di x = 0 4. Diketahui

( )









> + ≤ + = 4 , 16 7 4 , 3 2 x x x x x f

Periksa apakah f

( )

x punya turunan di x = 4

5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi sin_y + cos_x =1 a. Cari nilai ' y

(8)

b. Cari persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik













4 , 2 π π

6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh f

( )

x = x5 + 5 x4

a. Cari selang kemonotonan dan nilai ekstrik

b. Cari selang kecekungan dan titik belok bila ada c. Gambar grafik f

( )

x

(9)

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114

29 Oktober 2007 UTS 2007/2008

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan : a. 2 1 3 − ≤ + + x x x x b. 1 − 2 >1 x 2. Diketahui f ( x) = 2+ x2, _g₍_x₎ =₁ a. Tentukan _� _� _� _

b. Periksa apakah go f terdefinisi, jika ya tentukan ( go f )( x)

c. Tentukan Dgof

3. Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 1

(

)









= ≠













− − = 1 ; 1 1 ; 1 1 sin 1 ) ( 2 x x x x x f 4. Diketahui x x x x f ( ) 6 9 2 ₋ ₊ =

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (jika ada)

c. Tentukan semua asimtotnya dan titik potong terhadap sumbu x & y (bila ada)

d. Gambarkan grafik f ( x)

Soal 1 2 3 4

(10)

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007

Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 13 November 2006

UTS 2006/2007

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ;

a. 5 1 2 1 1 < − < − x b. 4 ≥_x −3 x 2. Diketahui f ₍ x₎ = x _dan _g₍_x₎ =₁− _x2

a. Periksa apakah fog ada ?

b. Jika f og ada, tentukan f og dan D_fog !

3. Tentukan nilai a agar _lim 9 2 − −7 + 3 =1

−∞ → x ax x x 4. Diketahui ₂ 4 2 ) ( x x x f − = _{, tentukan :}

a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada ) b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada )

c. Asimtot ( jika ada ) d. Sketsa grafiknya

5. Sebuah persegi panjang dibuat dalam lingkaran dengan jari-jari 4 dengan keempat titik sudutnya terleta pada lingkaran.

a. Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi suatu peubah ! b. Tentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum !

-o0o-Selamat mengerjakan

(11)

-o0o-SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006

Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 17 Oktober 2005

UTS 2005/2006

1. Tentukan persamaan garis singgung di dua titik potong kurva

16 2 2 ₋ ₊ ₌ y xy x dengan sumbu x.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan

(

1

)

4 1

2_x + +_x _x+ ≤

3. a. Tentukan a agar

3 1 3 4 9 lim 2 + + + = −∞ → x ax x x

b. Tentukan a dan b sehingga _lim cos(₂ ) 2 0 − = + → x bx a x 4. Diketahui ⋅ + = 1 ) ( ₂ x x x f Tentukan :

a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada) b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada )

c. Asimtot ( jika ada ) d. Sketsakan grafiknya

5. Sebuah kotak tertutup dibuat dari selembar papan segi-empat berukuran 5 meter kali 8 meter . Ini dilakukan dengan memotong daerah yang diarsir dari gambar di bawah dan kemudian melipat pada garis titik-titik . berapakah ukuran x, y , dan z yang memaksimumkan volume kotak tertutup tersebut.

x y

(12)

Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114 Tanggal : Senin 25 November 2004

UTS 2004/2005

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan

x x −3 < 4

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva

4 3

)

( 2 + 2 =

+_Cos_xy _x

y di titik potong kurva dengan sumbu x.

3. Hitung 2 2 2 1 lim 3 1 + − − → x x x 4. Diketahui 1 ) ( 2 ₊ = x x x

f tentukan semua nilai ekstrim fungsi beserta jenisnya pada selang [-½,2]

5. Tentukan luas maksimum dari segitiga yang terletak di dalam parabola seperti gambar berikut ini

(13)

Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Tanggal : Senin 6 Oktober 2003

UTS 2003/2004 1. Tentukan daerah asal dari fungsi

a. _f(_x) = 2_x − 2 − _x −5 b. 3 6 ) ( 2 3 + − − = x x x x x f 2. Hitung a. x x x x sin cos 1 lim ₂ + →π

b. tentukan a agar _lim 4 2 + + 2 = 5

−∞ → x ax x x

3. Periksa apakah fungsi

1 1 , 2 2 , 3 2 ) ( ₂ 2 < ≥







+ − + − = x x x x x x x f

terdiferensialkan di x = 1, jika ya tentukan f ‘(1)

4. Diketahui 1 1 ) ( 2 − − + = x x x f

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi beserta jenisnya

b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot

d. Gambarkan grafik fungsi f ( x)

5. Diketahui daerah D di kwadran pertama yang dibatasi oleh

, 3

,

2 x y x2

y = = − _{dan sumbu y.}

a. Hitung luas D

b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap y = -1

(14)

Mata kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Tanggal : Senin/ 11 April 2003

UTS 2002/2003 Kerjakan dengan singkat dan jelas!

Jangan lupa berdoa, sebelum mengerjakan!

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

a. x x x < + − 1 1 b. 5− 1 < 2 x 2. Diketahui fungsi 9 ) ( ₂ − = x x x f , tentukan : a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim b. Selang kecekungan dan titik belok c. Asimtot

d. Sketsa grafik f ( x)

3. Diketahui fungsi implisit _xy2 −5_x2_y = −6

a. Tentukan y’

b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di x = 1.

4. Diketahui daerah D dibatasi oleh _y = _x,_x = 4, _y = 0._{tentukan :}

a. Luas daerah D

b. Volume benda putar jika D diputae terhadap x = -1

(15)

-o0o-o0o-SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2001/2002

Mata Kuliah : Kalkulus 1 /MA-1314 Waktu :120 Menit

UTS 2001/2002 Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan. Kemudian kerjakan dengan da tepat !.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut

a. 3 2 7 _< x b. −2< _x−4 <3 2. Diketahui b x jika b x jika x x x f > ≤









− + = 1 2 3 7 ) (

a. Tentukan b agar f ( x) kontinu !

b. Periksa apakah f differensiabel (punya turunan ) pada x = b yang diproleh di atas !

3. Tentukan persamaan garis singgung grafik f ( x) =1+ 3−4 x _yang

sejajar dengan garis 2_x−3_y = 3_�

4. Diketahui suatu daerah D dibatasi oleh y = x, y = 2, dan sumbu y. Hitung :

a. luas D

(16)

Mata Kuliah : Kalkulus 1 (DA-1314) Senin 23 Oktober 2000

UTS 2000/2001

1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : a. 1−3_x ≤ 3_x+5 b. x x−1< 2 2. Diberikan fungsi 1 1 , , ) ( 2 ≥ <







+ = x x q px x x f

a. Tentukan hubungan antara p dan q agar fungsi f kontinu di

1

=

x

b. Tentukan nilai p dan q agar f '

( )

1 ada !

3. Diberikan persamaan kurva _x23 ₊_y23 ₌ 2 a. Tentukan

dx dy

di titik (1,-1)

b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva tersebut yang melalui titik (1,-1).

4. Hitunglah a. x dt t x x xlim sin 2 0

∫

→ b.

∫

− 1 1 dx x x

(17)

KERJAKANLAH SOAL NO 5 ATAU 6 (salah satu saja ) 5. Diberikan fungsi ₂ 2 ) 1 ( 1 ) ( + − = x x x f

a. Tetukan selang kemonotonan dan titik ekstrimnya (jika ada) b. Tentukan selang kecekungan dan titik beloknya

c. Carilah semua asimtotnya d. Sketsalah grafiknya

6. Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva _y =(_x−4)2_{, garis}

4 =

y , sumbu x dan sumbu y.

a. Gambarkan (arsir) daerah R dan hitunglah luasnya

b. Hitunglah volume bennda putar bila R diputar mengelilingi sumbu x.

Selamat Mengerjakan

(18)

Mata Kuliah : Kalkulus 1 /DA-1314 Tanggal : Senin 1 November 1999

UTS 1999/2000

1. Tentukan himpunan jawab : + 2 ≤ 3

x x 2. a. Hitung 5 2 5 2 lim 2 + + − −∞ → x x x x

b. Diketahui _g(_x)−3 ≤_x2 −10_x + 25, _tentukan_lim ₍ ₎

5 x g x→ 3. Diketahui _f(_x) =_x2 −1_dan _g₍_x₎ = ₁+_x a. Buktikan go f terdefinisi !

b. Tentukan persamaan dan asal daerah fungsi go f !

4. Diketahui











≤ + − > − − + = 3 1 7 3 3 15 2 ) ( 2 2 x x qx x x px x x f

tentukan konstanta p dan q supaya f ( x) kontinu di x = 3

5. Diketahui kurva (_x −3)2 + _y2 =2

a. Tentukan y’

b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva, dimana garis singgung tersebut tegak lurus pada garis y = x

6. f ( x) adalah fungsi kontinu , dan f (0) = f(2) = 0. Jika grafik

( )

x

f

(19)

a. Tentukan selang kemonotonan f ( x) b. Tentukan selang kecekungan f ( x) c. Buat sketsa grafik f ( x)

Selamat Bekerja

(20)

(21)

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114

Jum’at, 9 April 2010 UTS Genap 2009/2010

1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. 1 4 2 2 + ≤ − _x x 0 4 2 1 2 ≥ − − + x x x

( )(

)

(

1

)

0 4 2 1 4 2 _≥ + − + − x x x x

(

)

(

1

)

0 4 2 4 2 2 ≥ + − − − x x x x

(

1

)

0 4 2 3 2 _≥ + + + x x x

Karena 3_x2 +_x + 2_{definit positif, maka jelas bahwa} pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika

0 1> +

x yaitu _x > −1_{. Jadi himpunan penyelesaian yang} dimaksud adalah

{

_x_x > −1

}

_.

b. x −5 x ≥ 2....

( )

i

Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk _x−5 _{, kita} peroleh untuk _x ≥5_{pertaksamaan (i) secara berturut turut} diselesaikan sebagai berikut

(

_x −5

)

_x ≥ 2 2 5 2 ₋ _≥ x x

( ) ( )

_x − ₂5 2 − ₂5 2 ≥

2 (

)

2 33₄ 2 5 _≥ − x

33

2 1 2 5 _≥ − x

33

₂5 ₂1 2 1 2 5 _≥ ₋ _≤₋ −

_atau

_x

x

(22)

33

₂5 ₂1 2 1 2 5 ₊ _∪ _≤ ₋ ≥

_x

x

yang memberikan penyelesaian

(

)

{

₂5 ₂1 33 ₂5 ₂1 33 5

}

5₂ ₂1 33.

1 = x x ≥ + ∪ x ≤ − ∩ x ≥ = x x≥ +

Hp

Sedangkan untuk _x < 5, _{pertaksamaan (i) secara berturut turut}

menjadi

(

−5

)

≥ 2 − _x _x 2 5 2 ₊ _≥ −_x _x 2 5 2 ₋ _≤ ₋ x x

( ) ( )

_x − ₂5 2 − ₂5 2 ≤ −2

(

)

2 17₄ 2 5 _≤ − x 17 2 1 2 5 _≤ − x 17 17 ₂5 ₂1 2 1 _≤ ₋ _≤ − _x 17 17 ₂1 2 5 2 1 2 5 ₋ _≤ _x _≤ ₊

yang memberikan penyelesaian

{

₂5 1₂ 17 5₂ 1₂ 17 5

}

₂5 1₂ 17 5₂ 1₂ 17

2= x − ≤ x≤ + ∩ x< = x − ≤x≤ +

Hp

Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi ( i) secara keseluruhan adalah 2 1 Hp Hp Hp= ∪

(

₁₇ ₁₇

)

₃₃ 2 1 2 5 2 1 2 5 2 1 2 5 ₋ _≤ _≤ ₊ _∪ _≥ ₊ = _x _x _x _.

2. Diberikan f

( )

x = sin 2x _dan _g

( )

_x = _x − ₂

a. Menentukan D_f, R_f, D_g, dan R_g ) , 0 [ dan ), , 2 [ ], 1 , 1 [ , = − = ∞ = ∞ ℜ = g g f f R D R D

b. Memeriksa apakah g o f dan f o g terdefinisi

Harus kita selidiki masing masing secara berturut turut apakah

{ }

≠ ∩ g f D R dan ∩ ≠

{ }

f g D R .

Dengan menggunakan hasil pada poin sebelumnya diperoleh

{ }

= ∩

g f D

R yang menunjukkan bahwa g o f tidak terdefinisi, sedangkan ∩ =_[₀_,∞₎ ≠

{ }

f

g D

R yang menandakan bahwa

g

(23)

c. Menetukan D_g_o_f dan D_f_o_g

Karena g o f tidak terdefinisi, maka D_g _f

o tidak dapat

ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh

( )

_f g g f x D g x D D = ∈ ∈ o x x R ∈ − ∞ ∈ = _[₂_, ₎ ₂

{

≥ 2 −2 ≥0

}

= _x _x =

{

_x _x ≥₂

}

3. Diberikan

( )











> − ≤ < = 1 , 1 0 , 2 x x bx x x a x f

Syarat perlu agar f terdiferensialkan di x = 1 adalah f harus kontinu di titik tersebut. Kekontinuan ini dijabarkan dan memberikan hasil

( )

_lim

( ) ( )

1 lim 1 1 f x f x f x x = = + − → →

, yaitu _a =_b −1 _atau _b =_a +₁

( )

_*

Kemudian dengan mempertimbangkan syarat cukup agar f terdiferensialkan di x = 1 dan dengan menggunakan (*), secara berturut turut kita peroleh

( )

1 '

( )

1 ' + − = f f

( ) ( )

1 1 lim 1 1 lim 1 1 − − = − − + − → → x f x f x f x f x x 1 lim 1 lim 2 1 1 − − − = − − + − → → x a x bx x a x x a x

(

)

(

)

(

)

1 1 lim 1 1 lim 2 1 1 − − − + = − − + − → → x a x x a x x x a x x

(

)

(

)( )

1 1 1 lim lim 1 1 − − + + = − + − → → x x a x a x a x x

(

)

(

a x a

)

a x + + = − + → 1 lim 1 1 2 + = − _a _a 3 1 − = a Dengan demikian _b = ₃2

Jadi agar f terdiferensialkan di x = 1 maka haruslah _a = − ₃1 _dan 2

= b

(24)

4. Diberikan f

( )

x =5 x3 −3x5

a. Menentukan selang kemonotonan

(

x

)

x x x

( )( )

x x f _' =₁₅ 2 −₁₅ 4 =₁₅ 2 ₁− ₁+

- f monoton naik jika _f'

( )

_x > 0_{yaitu pada selang}

( ) ( )

−₁_,₀ ∪ ₀_,₁ - f monoton turun jika _f'

( )

_x < 0 _{yaitu pada}

(

− ∞_,−₁

) ( )

∪ ₁_,∞ b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok

( )

x x x x

(

x

)

x x x

f " =30 −60 3 =30 1− 2 2 =30 1− 2 1+ 2

- f cekung ke atas jika _f"

( )

_x > 0_{yaitu pada}

2 1 2 1 ₀_, ,− ∪ ∞ −

- f cekung ke bawah jika _f"

( )

_x < 0 _{yaitu pada} _,₀ _,₀ 2 1 2

1 _∪

−

- karena pada pada , ,dan 0

2 1 2 1 ₌ ₋ ₌ = _x _x x terjadi

perubahan kecekungan serta , ,dan

( )

0 2

1 2

1 _f _f

f − _masing

masing ada, maka ketiga titik

2 4 7 2 1 _, _, 2 4 7 2 1 _,₋ − _{, dan}

(0,0) adalah titik belok. c. Menentukan nilai ekstrim

dan jenisnya

Titik (-1,-2) merupakan titik minimum lokal karena

( )

1 0

' − =

f dan _f"

( )

−1 > 0_, sedangkan titik (1,2) merupakan titik maksimum lokal karena _f'

( )

1 = 0 _dan

( )

1 0 " <

f

d. Grafik f

( )

x =5 x3 −3x5

ditunjukkan pada gambar di samping 0 1 1 − − − − − + + + + + + − − − − 0 2 1 2 1 − − − − + + + − − − + + + + • • •

(25)

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114

UTS Ganjil 2009/2010

1. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan _x2 −1 < 3. Pertaksamaan tersebut setara dengan − 3< _x2 −1< 3_{. Kasus}

3 1

2 ₋ _> ₋

x disederhanakan menjadi _x2 > −2 _{yang akan selalu} terpenuhi untuk setiap _x∈ _{ℝ. Sedangkan kasus} _x2 −₁< ₃_secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut

3 1 2 ₋ _< x 4 2 _< x 2 < x 2 2 < < − _x

Jadi himpunan penyelesaian bagi pertaksamaan di atas adalah

{

_x_x∈ℜ ∩ −2<_x < 2

}

=

{

_x− 2 < _x < 2

}

2. Diberikan

( )









≥ + < = 0 , 1 0 , sin x x x x ax x f

Agar f memiliki limit di x = 0 maka haruslah _lim

( )

_lim

( )

* 0 0 x f x f x x→ − → + = Ekspresi pada ruas kiri (*) memberikan

( )

x ax x f x x sin lim lim 0 0− → − →

= _lim sin

( )

_lim sin

( )

_; ₀

0 0 ≠ = = = → → − a a ax ax a ax ax a ax x �

sedangkan dari ruas kanan (*) diperoleh

( )

_lim

( )

1 1 lim 0 0 = + = + + _→ → x x f x x �

Kesimpulannya a harus bernilai 1 agar f memiliki limit di x = 0. 3. Memeriksa apakah fungsi di bawah berikut kontinu di x = 1.

( )











≥ + < − − = 1 , 1 1 , 1 1 2 x x x x x x f

(26)

Jangan terkecoh dengan kerumitan dari penampakan fungsi f . Perhatikan bahwa untuk _x <1_berlaku

( )( )

1 1 1 1 1 1 2 + = − + − = − − x x x x x

(“pencoretan” _x −1_{pada langkah di atas adalah benar karena} _x ≠₁_).

Dengan demikian sebenarnya kita telah menunjukkan bahwa

( )

_x =_x +1

f untuk setiap x, dan telah kita ketahui bersama bahwa fungsi ini kontinu pada ℝ� khususnya pada x = 1.

4. Diketahui kurva _xy2 +_x2 + _y2 =3

a. Menentukan rumus ' y

Dengan menurunkan kedua ruas persamaan kurva yang diberikan secara implisit terhadap x, kemudian menyelesaikannya untuk

, '

y maka secara berturut turut diperoleh hasil berikut

0 ' 2 2 ' 2 2 ₊ ₊ ₊ ₌ yy x xyy y 2 2 ' 2 ' 2 xyy+ yy =− x − y

(

)

2 2 ' 2

2 xy + y y =− x − y y xy y x y 2 2 2 ' 2 + + − =

b. Menentukan persamaan garis singgung di titik (1,1)

Dengan melakukan subtitusi pada hasil dari bagian sebelumnya diperoleh kemiringan garis singgung di titik (1,1) yaitu − ₄3 _. Sehingga persamaan garis singgungnya adalah _y −1= − ₄3

(

_x −1

)

atau _y = − ₄3 _x + ₄7

5. Mengevaluasi h'

( )

4 jika diketahui _f

( )

4 = 4, _f_'

( )

₄ = ₂_, _g

( )

₄ = ₄_,

( )

4 4, ' =

g _danh

( )

x = f

(

g

( )

x

)

Penerapan aturan rantai pada h

( )

x menghasilkan h'

( )

x = f '

( ) ( )

g

( )

x g' x . Dengan demikian h'

( )

4 = f '

( ) ( )

g

( )

4 .g' 4 =_f_'

( ) ( )

₄ _._g_' ₄ = ₂_.₄= ₈ 6.

( )

(

)

; 1 1 1 1 1 1 1 1 ≠ − + = − + − = − = _x x x x x x x f

(27)

( )

(

)

2 1 1 ' − − = x x f

Karena _f'

( )

_x < 0 _{untuk setiap} _x ≠₁_{, maka f selalu turun pada}

(-∞_,∞_{)/{1}. Ini juga menegaskan bahwa f tidak memiliki nilai}

ekstrim.

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok

( )

(

)

3 1 2 " − = x x f

f cekung ke atas jika _f"

( )

_x > 0 _{yaitu untuk} _x >₁_{, dan cekung ke}

bawah jika_f"

( )

_x < 0 _{yaitu untuk}_x <₁_{. f tidak memiliki titik belok.}

c. Menentukan asimtot

- Asimtot datar/miring (berbentuk y = a x +b)

x x f a x ) ( lim ∞ → = ₀ 1 1 1 1 lim



=











− + = ∞ → x x x ax x f b x − = ∞ → ) (

lim

1 1 1 1 lim



=











− + = ∞ → x x

jadi f memiliki asimtot datar yaitu _y =1 - Asimtot tegak (berbentuk x = c)

Karena

( )

=∞

→

x f

xlim1

maka x = 1 merupakan asimtot tegak. d. Sketsa grafik f

( )

x

(28)

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114

Jum’at, 17 April 2009 UTS Genap 2008/2009

1. Menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

( )

i x x−1 + 2 −1 ≤ 2... Menurut definisinya

(

)







< − − ≥ − = − 1 ; 1 1 ; 1 1 x x x x x

(

)







< − − ≥ − = − 2 1 ; 1 2 2 1 ; 1 2 1 2 x x x x x Sehingga :

- untuk _x <1 2 _{(i) menjadi}

( ) (

−1 − 2 −1

)

≤ 2 − _x _x 0 3 ≤ − _x 0 ≥ x

Jadi untuk _x <1 2 _{pertidaksamaan (i)} _{memiliki himpunan} penyelesaian_Hp₁ =

{

( ) (

_x ≥ 0 ∩ _x <1 2

)

}

=

{

0 ≤ _x <1 2

}

- untuk 1 2≤_x <1 _{(i) menjadi}

( ) (

−1 + 2 −1

)

≤ 2 − _x _x 2 ≤ x

( ) (

)

{

2 1 2 1

}

{

1 2 1

}

2 = x ≤ ∩ ≤ x < = ≤ x < Hp

- untuk _x ≥1 _{(i) menjadi}

( ) (

_x −1 + 2_x −1

)

≤ 2 4 3_x ≤ 3 4 ≤ x

(

) ( )

{

4 3 1

}

{

1 4 3

}

3 = x ≤ ∩ x ≥ = ≤ x ≤ Hp

Dengan demikian himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah

{

0 4 3

}

3 2 1 ∪ ∪ = ≤ ≤ =_Hp _Hp _Hp _x Hp (ans)

(29)

2. Menentukan persamaan garis singgung dari _xy−2_x2 +3_x =3_yang

tegak lurus dengan garis x–y+1 = 0.

Kita tahu bahwa y’ merupakan gradient dari garis yang menyinggung kurva. Karena garis singgung yang dimaksud tegak lurus dengan garis _x−_y +1= 0_{yang memiliki kemiringan 1, maka} gradient garis singgung yang kita cari haruslah y’= -1/1 = -1.

Kemudian dengan menurunkan persamaan kurva yang diberikan secara implisit terhadap x dan menyelesaikannya untuk y’ diperoleh secara berturut turut hasil berikut

(

2 2 3

)

_x

( )

3 x xy x x D D − + = 0 3 4 '− + = +_xy _x y 3 4 '= _x − _y − xy x y x y'= 4 − − 3

Karena garis singgung yang akan dicari memiliki kemiringan -1, maka kita memperoleh

1 3 4 − = − − x y x x y x− −₃= − 4 3 5 − = _x y

Substitusikan ke persamaan kurva awal memberikan

3 3 2 ) 3 5 ( _x− − _x2 + _x = x 3 3_x2 = 1 ± = x

untuk _x =1_diperoleh _y = ₂ _{dan untuk} _x = −₁ _diperoleh _y = −₈_. Jadi kita memiliki 2 buah titik singgung yakni (1,2) dan (-1,-8).

- Di titik (1,2) persamaan garis singgungnya adalah

(

1

)

2= − −

− _x

y atau _y = −_x +3_(ans)

- Di titik (-1,-8) persamaan garis singgungnya adalah

(

1

)

8= − +

+ _x

(30)

( ) x f " 1 o + ++ + + ++ + − − − − − − − − − 3. Diberikan fungsi

( )

1 3 2 − + = x x x f .

a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)( )

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 2 1 3 2 2 1 3 1 2 ' − + − = − − − = − − − − = − + − − = x x x x x x x x x x x x x x x f

- f ( x) monoton naik jika _f'

( )

_x > 0_{yaitu pada (-}∞_{,-1) dan (3,}∞₎

- f ( x) monoton turun jika _f'

( )

_x <0 _{yaitu pada (-1,1) dan (1,3)} - Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -1 (+  -) dan

f (-1) ada maka titik (-1, f (-1)) = ( -1,-2) merupakan titik maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan kemonotonan pada x = 3 (-  +) dan f (3) ada sehingga (3, f (3)) = (3,6) merupakan titik minimum lokal.

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok ( bila ada )

( )

(

)( ) ( )

(

)

(

)

4 2 2 1 3 2 1 2 1 2 2 " − − − − − − − = x x x x x x x f

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

3

(

)

3 2 2 3 2 2 1 8 1 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 − = − − − − + − = − − − − − = x x x x x x x x x x

- f ( x) cekung ke atas jika _f"

( )

_x > 0 _{yaitu pada selang (1,}_∞₎ - f ( x) cekung ke bawah jika _f"

( )

_x < 0 _{yaitu pada selang (-}∞_,1)

- f tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan kecekungan di titik x = 1 , tetapi f(1) tidak ada, sehingga x =1 bukanlah titik belok..

o 1 − ₁ f '( ) x − − − + ++ o o 3 − − − + + +

(31)

c. Menentukan Asimtot

x x f a x ) ( lim ∞ → = x x x x ( 1) 3 lim 2 − + = ∞ → x x x x − + = ∞ → 2 2 3 lim 1 1 1 3 1 lim 1 1 3 1 lim 2 2 2 2 =













−













+ =













−













+ = ∞ → ∞ → x x x x x x x x ax x f b x − = ∞ → ) (

lim

x x x x − − + = ∞ → 1 3 lim 2

₍

₎

1 1 3 lim 2 − − − + = ∞ → x x x x x 1 3 lim ₋ + = ∞ → x x x 1 1 4 1 lim = − + = ∞ → x x

jadi f memiliki asimtot miring

(

_a ≠ 0

)

_yaitu_y =_x +₁_(ans) - Asimtot tegak (berbentuk x = c)

Karena

( )

=∞ − + = → → 1 3 lim lim 2 1 1 x x x f x x maka x = 1 merupakan asimtot tegak. (ans)

(32)

6 5 x y P x y l

4. Menentukan luas maksimal segi empat seperti pada gambar di samping.

perhatikan gambar di samping !

Titik P dapat bergerak sepanjang garis l . persamaan garis l adalah

5 0 5 0 6 0 − − = − − _x y 6 5 6 ₊ − =

⇒

y x

Luas segi empat yang diarsir adalah

( )

x alas tinggi L = .

( )

6 ;0 5 5 6 6 5 6 .



= − 2 + ≤ ≤











+ − = =_x_y _x _x _x _x _x x L

Nilai maksimum L

( )

x terletak pada titik kritisnya, yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval domain L

( )

x . Titik stasioner terjadi ketika _L'

( )

_x = 0_yakni

2 5 5

12 ₊₆ ₌ ₀

⇒

₌

− _x _x

Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis, yaitu x = 5₂ yang berasal dari titik stasioner dan x = 0, x = 5 yang berasal dari ujung interval domain L( x) . untuk mengetahui nilai maksimum dari L( x), kita evaluasi nilai L( x) pada titik - titik kritis tersebut, yakni

( )

15₂ 2

5 ₌

L ,_L

( )

0 =0_,_L

( )

₅ =₀_.

(33)

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114

Tanggal : Senin 27 Juli 2009 UTS Pendek 2008/2009

1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. 2 3 1 1 − ≥ + _x x 0 2 3 1 1 _≥ − − + _x x 0 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( 3 2 ≥ − + + − − x x x x 0 ) 2 )( 1 ( 5 2 ≥ − + − − x x x

( )

ans 2 1 2 5













< < − ∪ − ≤ = _x_x _x Hp b.

( )

i x x ... ... 4 1 2 3 ≤ + −

Alternatif -1 (Menggunakan definisi ) Menurut definisinya











< + − + − − ≥ + − + − = + − 0 1 2 3 ; 1 2 3 0 1 2 3 ; 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x atau











> ∪ − < + − − ≤ < − + − = + − 2 3 2 3 1 ; 1 2 3 1 ; 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x • o o 2 5 − −1 2 + + + + + + + + ₋₋₋₋ ₋₋₋₋ • o 2 3 1 − + + + + + + − − − − − x x + − 1 2 3 − − − − −

(34)

- Untuk −1< _x ≤ ₂3 _{pertidaksamaan (i) di atas menjadi} 4 1 2 3 _≤ + − x x 0 4 1 2 3 ₋ _≤ + − x x 0 1 ) 1 ( 4 2 3 _≤ + + − − x x x 0 1 1 6 _≤ + − − x x

pertidaksamaan terakhir ini terpenuhi jika _x< −1∪ _x≥ −₆1 _,

sehingga untuk −1< _x ≤ ₂3 _{himpunan penyelesaian (i) adalah}

(

)

(

)

{

₂3

}

6 1 1 = x x < −1∪ x ≥ − ∩ −1< x ≤ Hp =

{

_x − 1₆ ≤ _x ≤ ₂3

}

_.

- Untuk _x < −1∪_x > ₂3 _{pertidaksamaan (i) menjadi}

4 1 2 3 _≤ + − − x x 0 4 1 2 3 ₋ _≤ + − − x x 0 1 ) 1 ( 4 2 3 _≤ + + + − − x x x 0 1 7 2 _≥ + + x x

pertidaksamaan

terakhir

ini

terpenuhi

jika

1 2 7 _∪ _> ₋ − ≤ _x x

sehingga

(

)

(

)

{

₂3

}

2 7 2 = x x≤− ∪ x>−1 ∩ x<−1∪x> Hp

{

₂3

}

2 7 _∪ _> − ≤ = _x_x _x

Jadi himpunan penyelesaian dari (i) yang dimaksud adalah

2 1 Hp Hp Hp = ∪

{

}

( )

_ans 6 1 6 7 _∪ _≥ ₋ − ≤ = _x_x _x • o 6 1 − 1 − + + + + + + − − − − − x x + − − 1 1 6 − − − − − • o 2 7 − −1 + + + + + x x + + 1 7 2 − − − − − + + + + +

(35)

Aternatif -2 (Menggunakan sifat) 4 1 2 3 ≤ + − x x 2 2 4 1 2 3 ≤ + − x x 0 4 1 2 3 2 ₂ ≤ −













+ − x x 0 4 1 2 3 4 1 2 3 ≤













+ + −













− + − x x x x 0 1 ) 1 ( 4 2 3 1 ) 1 ( 4 2 3 ≤













+ + + −













+ + − − x x x x x x 0 ) 1 ( ) 7 2 )( 1 6 ( 2 ⋅≤ + + − − x x x

Jadi himpunan penyelesaian bagi (i) adalah

{

≤ − ₂7 ∪ ≥ − ₆1

}

( )

ans

= _x_x _x

Hp

Alternative -3 (menggunakan sifat lain)

4 1 2 3 ≤ + − x x 4 1 2 3 4 ≤ + − ≤ − x x

pertaksamaan ini setara dengan 4 1 2 3 − ≥ + − x x dan 4 1 2 3 ≤ + − x x ………...(iii) pertaksamaan sebelah kiri (iii) menjadi

0 4 1 2 3 ₊ _≥ + − x x 0 1 ) 1 ( 4 2 3 ≥ + + + − x x x • o 2 7 − −1 − 16 + + + + + + + + − − − − _•−−−−

(36)

0 1 7 2 ≥ + + x x

{

₂7 1

}

1 = x ≤ − ∪ x > − Hp

Sedangkan pertaksamaan sebelah kanan ( iii) menjadi 4 1 2 3 _≤ + − x x 0 4 1 2 3 ₋ _≤ + − x x 0 1 ) 1 ( 4 2 3 ≤ + + − − x x x 0 1 1 6 _≤ + − − x x

{

₆1

}

2 = x < −1∪ x ≥ − Hp

Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah

2 1 Hp Hp Hp = ∩

{

≤ −₂7 ∪ ≥ −₆1

}

( )

ans = _x _x

2. Diberikan fungsi _f

( )

_x = _x − 2 _dan _g

( )

_x = ₃− _x

a. Menentukan Df , Rf , Dg, Rg ) , 2 [ ∞ = f D , =[0,∞) f R ] 3 , (−∞ = g D , =[0,∞) g R

b. Memeriksa apakah go f terdefinisi

Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah R_f ∩D_g ≠

{ }

. Berdasarkan hasil pada poin sebelumnya kita memiliki

{ }

≠ = −∞ ∩ ∞ = ∩ _[₀_, ₎ ₍ _,₃_] _[₀_,₃_] g f D R yang menunjukkan

bahwa go f terdefinisi. (ans)

• o 2 7 − −1 + + + + + x x + + 1 7 2 − − − − − + + + + + • o 6 1 − 1 − + + + + + + − − − − − x x + − − 1 1 6 − − − − −

(37)

c. Menentukan Dgof Menurut definisinya

( )

_g f gof x R f x D D = ∈ ∈ = _x∈_[₀_,∞₎ _x − ₂ ∈₍−∞_,₃_]

{

0 2 9

}

3 2 0 − ≤ = ≥ − ≤ ≥ = _x _x _x _x

{

≥0 ≤11

}

= _x _x ₌

_{

₀ _≤ _x _≤₁₁

_{} ( )}

_ans 3. a. Menghitung 3 8 6 5 3 lim − + +∞ → x x x 3 8 6 5 3 lim − + +∞ → x x x

(

)

(

)

3 8 5 6 3 lim x x x x x − + = +∞ →

(

)

(

)

3 8 5 6 3 lim x x x − + = +∞ → 3 2 1 = _(ans) b. Menentukan k agar

( )









≥ + < = 0 ; 2 3 0 ; tan 2 x k x x x kx x f kontinu di x = 0

Agar f kontinu di x = 0 maka harus berlaku

( )

_lim

( ) ( )

0 lim 0 0 f x f x f x x = = − + − → →

Kekontinuan kiri f di x = 0 dijabarkan sebagai berikut

( ) ( )

0 lim 0 f x f x = − → 2 0 2 tan lim k x kx x = − → 2 2k k = 0 2_k2 − _k=

(

2_k−1

)

=0 k 2 1 atau 0 = = _k k

Jadi agar f kontinu di x = 0 maka haruslah _k∈

{ }

0, ₂1 _(ans)

4. Memeriksa apakah fungsi berikut memiliki turunan di x = 4

( )









> + ≤ + = 4 , 16 7 4 , 3 2 x x x x f

(38)

Untuk mengetahuinya harus kita periksa apakah f −'

( )

4 = f +'

( )

4 _. Sekarang

( )

( ) ( )

4 4 lim 4 4 ' − − = − → − x f x f f x 2 4 ) 4 ( 2 lim 4 8 2 lim 4 11 3 2 lim 4 4 4 = − − = − − = − − + = − − − → → → x x x x x x x x x Sedangkan

( )

( ) ( )

4 4 lim 4 4 ' − − = + → + x f x f f x 4 4 16 lim 4 4 16 lim 4 11 16 7 lim 4 4 4 −













− = − − = − − + = + + + _→ _→ → x x x x x x x x x x

(

)

(

4

)

1 4 4 lim 4 − = − − − = + → x x x x

Karena f −'

( )

4 ≠ f +'

( )

4 maka f tidak tidak memiliki turunan di x = 4

5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi sin_y + cos _x =1 a. Menentukan nilai y'

(

sin cos

) (

_x 1

)

x y x D D + = 0 sin cos ' _y − _x = y x y

y'cos = sin

( )

ans cos sin ' y x y =

b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik

(

π ₂ , π ₄

)

Di titik

(

π ₂ , π ₄

)

2 2 1 ' 2 1 = = y

Sehingga persamaan garis singgung di titik

(

π ₂ , π ₄

)

adalah

(

₂

)

4 2 π π − = − _x y atau 2 2 π 2 1 4 1 ₋ + = _x y � (ans)

(39)

Sedangkan persamaan garis normal di titik

(

π ₂ , π ₄

)

adalah

(

₂

)

2 1 4 π π ₌ ₋ ₋ − _x y atau

(

)

π 4 2 1 2 1 ₂ ₊ + − = _x y .(ans)

6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh f

( )

x = x5 +5 x4

a. Menentukan selang kemonotonan dan nilai ekstrim

(

)

5 20 5

(

4

)

'_x = _x4 + _x3 = _x3 _x +

f

- f ( x) monoton naik jika _f'

( )

_x > 0_{yaitu pada selang (-∞,-4)} dan (0,∞)

- f ( x) monoton turun jika _f'

( )

_x <0 _{yaitu pada selang (-4,0)} - karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -4 (+  -) dan

f (-4) ada maka titik (-4, f (-4)) = ( -4,256) merupakan titik maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan kemonotonan pada x = 0 (-  +) dan f (0) ada sehingga (0, f (0)) = (0,0) merupakan titik minimum lokal.

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok bila ada

( )

20 60 20 ( 3)

"_x = _x3 + _x2 = _x2 _x +

f

- f ( x) cekung ke atas jika _f"

( )

_x > 0 yaitu pada selang (-3,0) dan (0, ∞) - f ( x) cekung ke bawah jika

( )

0 "_x <

f yaitu pada selang (-∞,3) - Karena terjadi perubahan

kecekungan pada x = -3 dan f (-3) ada maka titik (-3, f (-3))=(-3,162) merupakan titik belok.

c. Grafik f

( )

x diperagakan di samping

o 4 − ₀ + + + + + ( ) x f ' − − − − − + + + + + o o 3 − ₀ + + + + + ( ) x f " − − − − − +++++ o

(40)

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114

Tanggal : 29 Oktober 2007 UTS 2007/2008

1. Menentukan Himpunan Pertidaksamaan : a. 2 1 3 − ≤ + + x x x x 0 2 1 3 ≤ − − + + x x x x 0 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( ) 2 )( 3 ( ≤ − + + − − + x x x x x x 0 ) 2 )( 1 ( 6 3 2 2 2 ≤ − + − − − + − x x x x x x x 0 ) 2 )( 1 ( 6 ≤ − + − x x

{

< −1∪ > 2

}

= _x_x _x Hp b. 1 −2 >1 x 2 2 1 2 1 > − x 0 1 2 1 2 2 > −       − x 0 1 2 1 1 2 1 >













+ −













− − x x 0 1 1 3 1 >













−













− x x 0 ) 1 )( 3 1 ( 2 > − − x x x

{

( < 0)∪(0 < < ₃1)∪ >1

}

= _x _x _x _x Hp

•

1 + + + + + + + - - - + + + 3 / 1

•

0 -1 2 - - -

(41)

-2. Diketahui f ( x) = 2+ x2, _g₍_x₎ =₁

a. Menentukan _� _� _� _ - D_f = R(ans)

- Untuk setiap x∈ R _berlaku

0 2 _≥ x 2 2 +_x2 ≥ 2 ) (_x ≥ f Sehingga =

[

2,∞

)

(ans) f R - D_g = R(ans) - =

{ }

1 (ans) g R

b. Memeriksa apakah go f terdefinisi dan menentukan go f jika

terdefinisi.

Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah ∩ ≠

{ }

g f D

R . Dari

hasil pada poin sebelumnya kita memiliki

[

∞

)

∩ =

[

∞

) { }

≠ =

∩_D ₂_, _R ₂_,

R_f _g yang menunjukkan bahwa

gof terdefinisi (ans).

Selanjutnya go f ( x) = g( f (x)) = _g(2+ _x2) =1,(ans) c. Menentukan Dgof Menurut definisinya, g f gof x x D f x D D = ∈ _, ₍ ₎∈ = _x_x∈_R_,_x2 + ₂∈_R

}

{

x x∈ R x∈ R

}

= _, =

{

_x_x∈_R

}

₍_ans₎ 3. Memeriksa apakah

(

)









= ≠













− − = 1 ; 1 1 ; 1 1 sin 1 ) ( 2 x x x x x f kontinu di x = 1.

Untuk mengetahuinya harus diperiksa

apakah _lim ( ) (1) 1 f x f x = → . Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai x kecuali x =1 berlaku

(42)

•

3 + + + + - - - - - - + + + +

•

0

-

3 1 1 1 sin 1



≤











− ≤ − x

( ) ( )

2 2

( )

2 1 1 1 sin 1 1



≤ −











− − ≤ − − _x x x x

( )

2

( ) ( )

2 1 1 ≤ ≤ − − − _x _f_x _x Selanjutnya _lim

(

1

)

2 0 1 = − − → x x

dan

_lim

(

1

)

2 0 1 = − → x x

, sehingga

menurut teorema apit _lim

( )

0

1 = → x f x

. Jadi karena _lim ( ) 0

( )

1 ,

1 f x f x ≠ = →

maka f tidak kontinu di x = 1.

4. Diketahui x x x x f ( ) 6 9 2 ₋ ₊ =

a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim

2 2 ) 9 6 ( ) 6 2 ( ) ( ' x x x x x x f = − − − + 2 2 2 ) 9 6 6 2 x x x x x − − + − = 2 2 9 x x − = 2 ) 3 )( 3 ( x− x+ =

- f monoton naik jika f '

( )

x > 0, yaitu pada selang

(

− ∞_,−₃

) ( )

∪ ₃_,∞

- f monoton turun jika f '

( )

x < 0, yaitu pada selang

( ) ( )

− 3,0 ∪ 0,3

- Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -3(+  -) dan f (-3) ada , maka titik (-3, f (-3)) = (-3,-12) merupakan titik maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di x =3 (+  -), maka titik (3, f (3)) = (3,0) merupakan titik

minimum lokal.

b. Menentukan selang kecekungan

2 2 2 9 1 9 ) ( ' x x x x f = − = − 3 18 ) ( ' ' x x f =

(43)

- f cekung ke atas jika _f"

( )

_x > 0_{, yaitu untuk} _x > ₀

- f cekung ke bawah jika _f"

( )

_x < 0 _{, yaitu pada selang}

(

− ∞_,₀

)

- f tidak memiliki titik belok.

c. Menentukan Asimtot

- Asimtot datar / miring (berbentuk y = a x + b)

1 9 6 1 lim 9 6 lim ) ( lim ₂ ₂ 2 =













+ − = + − = = ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x f a x x x x x x x x x x x ax x f b x x x 2 2 2 9 6 lim 9 6 lim ) ( lim − + − = − + − = − = ∞ → ∞ → ∞ → 6 9 6 9 6

lim

− + = − + = − = ∞ → ∞ → x x x x x

Jadi f memiliki asimtot miring yaitu y = x – 6 - Asimtot tegak ( berbentuk x = c)

Karena = − + = ∞ → → 2 2 0 0 9 6 lim ) ( lim x x x x f x x , maka _x = 0

merupakan asimtot tegak dari f . d. Grafik f ( x)

(44)

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007 Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114

Senin 13 November 2006 UTS 2006/2007

1. Menentukan himpunan penyelesaian dari :

a. 5 1 2 1 1 < − < − x

Pertaksamaan ini setara dengan 1 1 2 1 _> ₋ − x dan 2 1 5 1 _< − x ……....(i)

pertidaksamaan sebelah kiri pada (i) menjadi 0 1 2 ) 1 2 ( 1 > − − + x x 0 1 2 2 _> − x x

{

0 1 / 2

}

1 = x x < ∪ x > Hp

pertidaksamaan sebelah kanan pada (i) menjadi 0 1 2 ) 1 2 ( 5 1 _< − − − x x 0 1 2 10 6 _< − − x x

{

1 / 2 3 / 5

}

2 = x x < ∪ x > Hp

Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah 2 1 Hp Hp Hp = ∩ =

{

_x_x <₀ ∪ _x >₃_/₅

}

₍_ans₎ b. 4 ≥_x − 3 x ………..(ii) Menurut definisinya







< − ≥ = 0 ; 0 ; x x x x x 1/2 o o 0 -3/5o o 1/2 + + + + +

(45)

-sehingga :

- untuk _x≥ 0_{(ii) menjadi}

3 4 _≥ ₋ x x

(

)

0 3 4− − _≥ x x x

(

)

0 4 3 2 ≥ − − − x x x

(

)( )

0 1 4 + _≤ − x x x

Pertaksamaan terakhir ini terpenuhi untuk

4 0

1∪ < ≤ −

≤ _x

x , sehingga himpunan penyelesaian bagi (ii) untuk _x ≥0 _adalah

(

)

{

1 0 4 0

}

{

(

0 4

)

}

1 = x x ≤ − ∪ < x ≤ ∩ x ≥ = x < x ≤

Hp

- untuk _x < 0_{(ii) menjadi}

3 4 _≥ ₋ −_x x

(

)

0 3 4− − _≥ − x x x

(

)

0 4 3 2 ≤ + − x x x

Karena _x2 −3_x + 4 _{definit positif maka jelas pertaksamaan} terakhir akan terpenuhi jika _x < 0 _{. Sehingga himpunan}

penyelesaian untuk (ii) adalah

{

0 0

}

{

}

0

2 = x x < ∩ x < = x x <

Hp

Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir untuk (ii) adalah

{

4 ; 0

}

2 1 ∪ = ≤ ≠ =_Hp _Hp _x_x _x Hp (ans) 2. Diberikan f ₍ x₎ = x _dan _g₍_x₎ =₁− _x2

a. Memeriksa apakah f og terdefinisi

Untuk memeriksanya kita selidiki apakah ∩ ≠

{ }

.

f g D R • • • 1 − ₀ ₄ + + + − − − − − + + + − − −

(46)

[

∞

)

=

[

∞

)

= ₀_, _, ₀_,

f

f R

D , D_g = R

Sekarang perhatikan bahwa untuk setiap x∈ R _berlaku

0 2 _≥ x 0 2 _≤ −_x 1 1−_x2 ≤ , 1 ) (_x ≤ g Dengan demikian =

(

−∞,1

]

g R . Kemudian karena

(

−∞

] [

∩ ∞

)

= ∩ _,₁ ₀_, f g D R =

[ ]

₀_,₁ ≠

{ }

_{, maka f}_o_g _{terdefinisi/ada.} b. Menentukan f og dan D_fog

)) ( ( ) ( x f g x g f o = = f (1− x2) = 1− x2 Menurut definisinya f g fog x R x D g x D D = ∈ ∈ _, ₍ ₎∈

[

∞

)

}

∈ − ∈ ∈ = _x _R_x _R_,₁ _x2 ₀_,

}

0 1− 2 ≥ ∈ = _x _R _x 1 2 _≤ ∈ = _x _R _x

{

∈ ≤1

}

= _x _R _x

{

∈ −1≤ ≤1

}

= _x _R _x

3. Menentukan a agar _lim 9 2 − − 7 +3 =1

−∞ → x ax x x 1 3 7 9 lim 2 − − + = −∞ → x ax x x 1 3 7 9 3 7 9 3 7 9 lim 2 2 2 ₌ − − − − − −













₋ ₋ ₊ −∞ → x ax x x ax x x ax x x 1 3 7 9 9 7 9 lim 2 2 2 = − − − − − − −∞ → x ax x x ax x x 1 3 7 9 7 lim 2 = − − − − − −∞ → x x x a x ax x

(47)

1 3 7 9 7 lim 2 = − − − −













− − −∞ → x x x a x x a x x 1 3 7 9 7 lim 2 = − − − −













− − −∞ → x x a x a x 1 3 9 = − − −_a 6 =

⇒

a 4. Diberikan 2 4 2 ) ( x x x f − =

a. Menentukan selang kemonotonan

2 2 2 ) 4 ( 2 ) 2 ( ) 4 ( 2 ) ( ' x x x x x f − − − − = 2 2 2 2 ) 4 ( 4 2 8 x x x − + − = 2 2 2 ) 4 ( 8 2 x x − + = ) ( ' x

f selalu bernilai positif untuk setiap nilai x, ( x ≠_{± 2). Ini}

berarti f ( x) selalu naik pada interval (-∞_,∞_)/{�2}. Fakta ini juga

menunjukkan bahwa f ( x) tidak memiliki nilai ekstrim . b. Menentukan selang kecekungan

4 2 2 2 2 2 ) 4 ( ) 8 2 )( 2 )( 4 ( 2 ) 4 ( 4 ) ( '' x x x x x x x f − + − − − − = 3 2 2 2 ) 4 ( ) 8 2 ( 4 ) 4 ( 4 x x x x x − + + − = 3 2 3 3 ) 4 ( 32 8 4 16 x x x x x − + + − = 3 3 3 ) 2 ( ) 2 ( 48 4 x x x x + − + = 3 3 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 12 ( 4 x x x x + − + =

- f ( x) cekung ke atas jika _f''(_x) > 0 _{, yaitu pada interval}

2 − < x dan 0 <_x < 2 - - - --2 0 2 f “(x)

(48)

- f ( x) cekung ke bawah jika _f''(_x) < 0_{, yaitu pada interval}

0 2 < <

− _x _dan _x > ₂

- Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = 0 dan f (0) ada, maka titik (0, f (0)) = (0,0) adalah titik belok.

c. Menentukan asimtot

0 ) 4 ( 2 lim ) 4 ( 2 lim ) ( lim ₂ ₂ = − = − = = ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x f a x x x 0 1 0 1 4 2 lim ) 4 ( 2 lim ) ( lim 2 2 2 2 = ₋ =













₋ = − = − = ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x ax x f b x x x

Dengan demikian f ( x) memiliki asimtot datar yaitu berupa garis y = 0.

- Asimtot tegak ( berbentuk x = c )

Karena =∞ − ∞ = − →− →₂ 2 ₂ 4 2 2 lim dan , 4 2 lim x x x x x x maka f ( x) memiliki dua asimtot tegak yaitu x = 2 dan x = -2

d. Grafik f ( x) 2 4 2 ) ( grafik x x x f − = Q ( x, y) P O R 4 P R 4 Gambar 5

(49)

5. Perhatikan gambar 5 di atas !

a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah. Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan

2 2 2 16 16 y x y x + =

⇒

= −

Sehingga luas persegi panjang = L( x) = 4× luas persegi panjang OPQR. PQ OP x L₍ ₎ = ₄× × 4 0 16 4 − 2 ≤ ≤ = _x _x _x

b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum. Nilai maksimum L( x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi ketika L’( x) = 0 yakni 0 16 2 ) 2 ( . 4 16 4 2 2 ₌ − − + − x x x x 0 16 4 16 4 2 2 2 ₌ − − − x x x 0 4 16 4 2 2 2

_

₋ ₌











₋_x _x 2 2 4 4 64 − x = x 64 8_x2 = 8 ± = x

Karena 0 ≤_x ≤ 4 _{maka x yang mememuhi adalah} _x = ₈ _. Sehingga sekarang kita memiliki 3 buah titik kritis yaitu _x = 8

yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 4 yang berasal dari ujung interval domain L( x). Untuk mengetahui dimana L( x) mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L( x) pada titik-titik kritis tersebut yaitu _L( 8) =32_, _L₍₀₎ = ₀_, _L₍₄₎ = ₀_. Karena _L( 8) =32_{merupakan luas maksimum, maka ukuran}

persegi panjang agar luasnya maksimum adalah

8 2 8 2 . 2 . 2_OP× _PQ= × = ₄ ₂ ×₄ ₂

( )

_ans _.

(50)

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006 Mata Kuliah Kalkulus I (MA 1114)

Senin 17 Oktober 2005 UTS 2005/2006

1. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva

( )

i y

xy

x2 − + 2 =16... _{dengan sumbu x.}

Titik potong kurva dengan sumbu x berada pada y = 0. Sehingga dari (i) diperoleh

_x

2 =

16

_atau

_x

= ±

₄

Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu (4,0), dan (-4,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukan kemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut.

) 16 ( ) ( 2 2 _x x x xy y D D − + =

(

'

)

2 '

0

2 _x

−

_y

+

_xy

+

_yy

=

0 '

2 '

2

_x −_y −_xy + _yy =

0 '

)

2 (

)

2 (

_x −_y − _x − _y _y = ' ) 2 ( ) 2 ( x − y = x − y y y x y x y 2 2 ' − − = Di titik (4,0), _y'= 2 Di titik (-4,0), _y'= 2

Jadi persamaan garis singgung di titik(4,0) adalah _y − 0 = 2

(

_x − 4

)

atau _y = 2_x − 8

( )

ans _{, sedangkan Di titik (-4,0) persamaan garis} singgungnya adalah _y − 0 = 2

(

_x −

( )

− 4

)

_atau _y = ₂_x +₈

( )

_ans _.

2. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan

( )

x

( )

iii x x 1 1 4... 2 + + + ≤ Menurut definisinya







− < + − − ≥ + = + 1 ), 1 ( 1 , 1 1 x x x x x