TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61

(1)

TERAPAN TURUNAN

Departemen Matematika FMIPA IPB

Bogor, 2012

(2)

Topik Bahasan

1 Nilai Maksimum dan Minimum

2 Teorema Nilai Rataan (TNR)

3 Turunan dan Bentuk Gra…k Kemonotonan Fungsi Kecekungan Fungsi

4 Asimtot

5 Sketsa Kurva

6 Masalah Pengoptimuman

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 2 / 61

(3)

Beberapa Aplikasi Turunan

Ukuran kaleng yang meminimumkan biaya produksi Formasi, lokasi, dan warna pelangi

Percepatan maksimum pesawat angkasa ulang-alik

Sudut optimal pencabangan pembuluh darah yang meminimumkan energi dari jantung

(4)

Nilai Ekstrim Fungsi

(5)

Nilai Maksimum dan Minimum

De…nisi (Maksimum Mutlak, Minimum Mutlak) Misalkan fungsi f terde…nisi pada daerah asal D_f.

f memiliki maksimum mutlak (global) di c2^Df jika f(c) f(x) untuk setiap x2 ^Df

f(c) disebut nilai maksimumf pada D_f. f memiliki minimum mutlak di c2^Df jika

f(c) f(x) untuk setiap x2 ^Df

f(c) disebut nilai minimumf pada D_f.

(6)

Ilustrasi Nilai Ekstrim

(7)

Contoh (Ekstrim Mutlak)

1 f(x) = j^xjmemiliki nilai minimum mutlak f(0) =0 karena f(0) =0 f(x), x2^Df.

2 f(x) =cos x memiliki nilai maksimum mutlak cos(2nπ) =1 untuk bilangan bulat n karena f(2nπ) =1 f(x), x2^Df. Nilai minimum mutlaknya adalah 1.

3 f(x) =x³ tidak memiliki ekstrim mutlak.

(8)

(9)

Syarat Cukup Nilai Ekstrim

Teorema (Nilai Ekstrim)

Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], maka f mencapai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada [a, b].

Jika f kontinu pada[a, b], maka f memiliki minimum mutlak dan maksimum mutlak.

Jika f tidak kontinu pada[a, b], maka tidak ada kesimpulan apakah f memiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak.

(10)

Ilustrasi Nilai Ekstrim pada Fungsi yang Kontinu

(11)

Maksimum, Minimum Lokal

De…nisi (Maksimum Lokal, Minimum Lokal)

Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal (maksimum relatif) di c2 ^Df jika terdapat interval terbuka (a, b)yang memuatc sehingga f(c) f(x)untuk setiap x2 (^{a, b})\^Df.

Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal (minimum relatif) di c2 ^Df jika terdapat interval terbuka (a, b)yang memuatc sehingga f(c) f(x)untuk setiap x2 (^{a, b})\^Df.

Nilai maksimum/nilai minimum lokal f disebut nilai ekstrim lokal f .

(12)

Ilustrasi Ekstrim Lokal

(13)

Contoh (Ekstrim Lokal)

1 f(x) = j^xjmemiliki nilai minimum lokal f(0) =0 karena pada interval buka I yang memuat 0, f(0) f(x), x2^I.

2 f(x) =cos x memiliki nilai maksimum lokal cos(2nπ) =1 untuk bilangan bulat n karena pada interval terbuka I yang memuat 2nπ, f(2nπ) f(x), x2I. Nilai minimum lokalnya adalah

cos((2n+1)π) = 1.

3 f(x) =x³ tidak memiliki ekstrim lokal.

(14)

Bilangan Kritis

De…nisi (Bilangan Kritis)

Titikc2^Df sehinggaf⁰(c) =0 disebut titik stasioner.

Titikc2^Df sehinggaf⁰(c)tidak ada disebut titik singular.

Titikc2^Df yang termasuk salah satu dari titik ujung, titik stasioner, dan titik singular disebut bilangan (titik) kritis fungsif .

(15)

Contoh

Tentukan bilangan kritis fungsi f berikut

1 f(x) =p

x(1 x).

2 f(x) = 8>

<

>:

x² , 1 x<0

x² 2x , 0 x 2

.

(16)

Soal (Bilangan Kritis)

Bila ada, tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi-fungsi berikut:

1 f(x) =2x³+3x²+6x+1 (jawab: tidak ada bil. kritis)

2 g(x) = j^2x ⁵j (x=5/2)

3 h(x) =x^1/3 x ^2/3 (x= 2)

4 f(x) =p³

x² x (x=0, 1/2, 1)

5 g(θ) =θ+sin(θ) (θ = (2n+1)π, n : bil. bulat)

(17)

Teorema (Teorema Fermat)

Jika f(c)merupakan nilai ekstrim lokal, maka c adalah bilangan kritis f .

Teorema Fermat menyatakan bahwa syarat perlu agarf(c)merupakan nilai ekstrim lokal adalah c merupakan bilangan kritis dari fungsi f . Untuk memperoleh nilai ekstrim lokal f(c), terlebih dahulu tentukan bilangan kritis c karena jika c bukan bilangan kritis, maka f(c)bukan nilai ekstrim lokal.

Perhatikan bahwa jikac bilangan kritis, belum tentu f(c)merupakan nilai ekstrim lokal.

Berdasarkan de…nisi, ekstrim lokal terjadi pada titik ujung, titik stasioner, atau titik singular.

(18)

Contoh

1 f(x) =x²)^f(0)nilai minimum lokal,

f⁰(x) =2x)^f⁰(0) =0)0 adalah bilangan kritis.

2 f(x) = j^xj )^f(0) nilai minimum lokal,f⁰(0)tidak ada )^{0 adalah} bilangan kritis.

3 f(x) =x³)^f⁰(0) =0)0 adalah bilangan kritis, tetapi f(0) bukanlah ekstrim lokal.

(19)

Di mana Ekstrim Mutlak Terjadi?

(20)

Menentukan Ekstrim Mutlak

Metode Selang Tutup

Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b]. Nilai maksimum/minimum mutlak fungsi f dapat ditentukan dengan cara:

Tetapkan bilangan-bilangan kritis f pada[a, b](titik ujung, titik stasioner, titik singular)

Evaluasif pada setiap bilangan kritis. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum mutlak, nilai terkecil merupakan nilai minimum mutlak fungsi f .

(21)

Soal (Ekstrim Mutlak)

Tentukan nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak fungsi f pada selang yang diberikan.

1 f(x) =x³ 3x+1, [0, 3]

(jawab: f(1) = 1 min, f(3) =19 maks)

2 f(x) = ^x

x+1, [1, 2] (f(1) =1/2 min, f (2) =2/3 maks)

3 f(x) = 8>

>>

<

>>

>:

1 2x ; 2 x< 1

x² ; 1 x 1

x ; 1<x 3

(f( 2) =f(3) =3 maks, f(0) =0 min)

4 f(x) =sin x+cos x, [0, π/3] p

(22)

Identi…kasi Nilai Ekstrim

Soal (Identi…kasi Nilai Ekstrim)

Berdasarkan gra…k fungsi f berikut, tentukanlah: i) titik ujung, ii) titik stasioner, iii) titik singular, iv) nilai maksimum/minimum mutlak, v) nilai maksimum/minimum lokal.

(23)

Teorema (Teorema Nilai Rataan)

Misalkan fungsi f memenuhi hipotesis berikut: i) kontinu pada interval tertutup [a, b], ii) terturunkan pada interval terbuka (a, b), maka ada sedikitnya satu bilanganc2 (^{a, b})sehingga

f⁰(c) = ^f(b) f(a)

b a (1)

(24)

Contoh (TNR)

Periksa apakah TNR dapat diterapkan untuk fungsi f(x) =x³+x 1 pada selang [0, 2]. Jika ya, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).

(25)

Soal (Teorema Nilai Rataan 1)

1 Diberikanf(x) =x^1/3. Tunjukkan bahwa fungsi f memenuhi hipotesis TNR pada interval[0, 1], kemudian tentukan nilaic yang dimaksud pada(1).

jawab: c=

p3 9

2 Diketahui fungsif dengan f(x) =^pj^xj. Periksa apakah fungsi f memenuhi hipotesis TNR pada interval i)[0, 4], ii)[ 1, 4]. Jika memenuhi, tentukan nilaic yang dimaksud pada (1).

3 Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 156 km selama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sampai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatan yang diizinkan di jalan tol (maksimum 100 km/jam). Gunakan TNR untuk menunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam.

4 Jikaf(0) =5 dan f⁰(x) 3 untuk x2 [^{0, 2}], seberapa kecilkah nilai f(2) yang mungkin? (jawab: 11)

5 Perlihatkan bahwa bila f(x) =px²+qx+r, p6=0, maka ada bilangan c2 [^{a, b}]dari TNR yang selalu merupakan titik tengah dari interval[a, b].

(26)

Fungsi Naik dan Turun

De…nisi

Andaikan f terde…nisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun).

f naik pada I, x₁<x₂)^f(x₁) <f(x₂),8^x1, x₂2^I f turun pada I, x1<x2 )^f(x1) >f(x2),8^x1, x2 2^I

(27)

Turunan I dan Fungsi Naik/Turun

Teorema (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)

Andaikan f kontinu pada interval I dan terturunkan pada setiap titik-dalam dari I.

Jika f⁰(x) >0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f naik pada I.

Jika f⁰(x) <0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f turun pada I.

(28)

Soal (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)

1 Tentukan interval-interval di manaf naik/turun bagi fungsi:

i) f(x) =x³ ii) f(x) =x^2/3 iii) f(x) =x^1/3(x 4)

2 Gunakan Teorema Nilai Rataan untuk membuktikan teorema tentang turunan I dan fungsi naik/turun.

(29)

Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal

Teorema (Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal)

Misalkan c adalah bilangan kritis fungsi kontinu f , dan f terturunkan pada setiap titik pada interval yang memuat c, kecuali mungkin di c. Bergerak melewati c dari kiri ke kanan:

1 Jika f⁰ berubah tanda dari negatif ke positif, maka f(c)merupakan nilai minimum lokal.

2 Jika f⁰ berubah tanda dari positif ke negatif, maka f(c)merupakan nilai maksimum lokal.

3 Jika f⁰ tidak berubah tanda, maka f(c)bukan nilai ekstrim lokal.

(30)

Ilustrasi Geometris Ekstrim Lokal dgn Uji Turunan I

(31)

Contoh

Gunakan uji turunan I untuk menentukan ekstrim lokal fungsi f dengan f(x) =x^1/3(x 4).

(32)

Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal

Teorema (Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal)

Andaikan fungsi f⁰⁰ kontinu pada interval terbuka yang memuat c.

1 Jika f⁰(c) =0 dan f⁰⁰(c) >0, maka f (c)merupakan nilai minimum lokal.

2 Jikaf⁰(c) =0 dan f⁰⁰(c) <0, maka f (c)merupakan nilai maksimum lokal.

3 Jika f⁰(c) =0 dan f⁰⁰(c) =0, uji turunan II gagal. Fungsi f mungkin memiliki ekstrim lokal, mungkin tidak.

(33)

Ilustrasi Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal

(34)

Ilustrasi Kecekungan Fungsi

(35)

Kecekungan Fungsi

De…nisi (Kecekungan) Fungsi f dikatakan

cekung ke atas pada intervalI jika gra…k f terletak di atas garis singgung pada interval I,

cekung ke bawah pada intervalI jika gra…k f terletak di bawah garis singgung pada interval I.

Cara lain melihat kecekungan:

cekung ke atas pada interval terbuka I jika f⁰ naik pada I, cekung ke bawah pada interval terbuka I jika f⁰ turun pada I.

(36)

Uji Turunan II Bagi Kecekungan

Teorema (Uji Turunan II bagi Kecekungan)

Misalkan fungsi f memiliki turunan kedua pada interval terbuka I.

Jikaf⁰⁰(x) >0 untuk setiap x2^{I, maka f}⁰ ^{naik pada} I dan f cekung ke atas pada I,

Jika f⁰⁰(x) <0 untuk setiap x2^{I, maka f}⁰ ^{turun pada} ^{I dan f} cekung ke bawah pada I.

De…nisi (Titik Belok)

Titik P(c, f (c)) disebut titik belok jikaf kontinu di x=c, dan f mengalami perubahan kecekungan di P.

(37)

Teorema (Titik Belok)

Jika titik (c, f(c))merupakan titik belok, maka

f⁰⁰(c) =0 ataukah f⁰⁰(c) tidak ada

Menentukan Titik Belok

Untuk menentukan titik belok pada kurva y=f(x), hitung f⁰⁰(x),

cari bilanganc sehingga f⁰⁰(c) =0 atau f⁰⁰(c) tidak ada,

selidiki perubahan tanda f⁰⁰(x)di c. Titik (c, f(c)) merupakan titik belok jika dan hanya jika terjadi perubahan tanda f⁰⁰(x)di c.

(38)

Contoh

1 Diberikan fungsi f dengan f(x) =x⁴ 4x³+10. Tentukan: i) interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f .

2 Perlihatkan bahwa jikaf(x) =x⁴, maka f⁰⁰(0) =0, tetapi(0, 0) bukan titik belok dari gra…k f .

3 Perlihatkan bahwa fungsi g dengan g(x) =xj^xjmempunyai titik belok pada (0, 0) tetapig⁰⁰(0)tidak ada.

4 Andaikan fungsi f dan g keduanya cekung ke atas padaR. Berikan syarat bagi f , agar fungsi komposit h(x) =f(g(x))cekung ke atas.

(39)

Soal

Jika ada, tentukan: i) interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f ,

1 f(x) = (x 1)³

2 f(x) =x^1/3+1

3 f(x) =x/(1+x)²

(40)

Pengaruh Turunan terhadap Bentuk Gra…k

(41)

Soal

Berdasarkan gra…k f⁰ berikut, tentukanlah

1 interval f naik/turun dan ekstrim lokal,

2 interval f cekung ke atas/bawah dan titik belok.

(42)

Nilai Ekstrim vs Bilangan Kritis vs Titik Belok

Untuk fungsi f dengan y=f(x):

Nilai ekstrim (mutlak/lokal) f : f(a) !^{ordinat y} Bilangan kritisf : x=b! ^{absis x}

Titik belokf : (c, f(c))! ^koordinat (x, y)

(43)

Jenis Asimtot

1 Asimtot tegak

2 Asimtot datar

3 Asimtot miring

(44)

De…nisi (Asimtot Tegak)

Garis x=a disebut asimtot tegak bagi kurva y=f(x)jika

xlim!^a f(x) = ∞ (2)

(45)

De…nisi (Asimtot Datar)

Garis y=L disebut asimtot datar bagi kurva y=f(x) jika

x!lim∞f(x) =L (3)

(46)

De…nisi (Asimtot Miring)

Garis y=mx+b disebut asimtot miring bagi kurva y=f(x)jika

x!lim∞[f(x) (mx+b)] =0 (4)

(47)

Teorema

Misalkan r>0 adalah bilangan rasional, maka

x!lim∞

1

x^r =0 (5)

asalkan x^r terde…nisi.

(48)

Penentuan Asimtot Fungsi Rasional

Diberikan fungsi rasional

r(x) = ^p¹(x)

p₂(x) = ^cⁿ^x

n+c_{n 1}x^{n 1}+ +c₀ k_mx^m+k_{m 1}x^{m 1}+ +k₀

1 Garis x=a dengan p₂(a) =0 dan p1(a)6=0 merupakan asimtot tegak.

2 Kasus n<m) ^garis ^y=0 (sumbu-x) merupakan asimtot datar.

3 Kasus n=m) ^garis ^y=c_n/km merupakan asimtot datar.

4 Kasus n=m+1) ^r(x) = (mx+b) +sisa. Garis y=mx+b merupakan asimtot miring.

(49)

Soal (Asimtot)

Tentukan asimtot (tegak, datar, atau miring) bagi fungsi-fungsi (1 3) berikut:

1 f(x) = ^2x+3

x 1

2 f(x) = ^2x

3 x

x² x 6

3 f(x) =

p4x² 1

x 2

4 Carilah rumus bagi fungsi f yang memiliki asimtot tegak x= 1 dan x=2, serta asimtot datar y=3.

(50)

Sketsa Kurva

Langkah-langkah sketsa kurva fungsi y=f(x)

1 Identi…kasi daerah asal D_f, titik potong sumbu, serta kesimetrian fungsi.

2 Identi…kasi asimtot fungsi.

3 Tentukanf⁰(x)!

Identi…kasi bilangan kritis.

Identi…kasi interval fungsi naik/turun, ekstrim lokal.

4 Tentukanf⁰⁰(x)!

Identi…kasi interval kecekungan fungsi, titik belok.

5 Gambar sketsa gra…kf .

(51)

Contoh

Lakukan analisis sketsa gra…k fungsi, lalu gambarkan gra…k fungsif denganf(x) = (x+1)²

1+x² .

(52)

Soal (Sketsa Gra…k Fungsi 1)

Lakukan tahapan-tahapan membuat sketsa gra…k, lalu gambarkan gra…k fungsi-fungsi berikut:

1 f (x) = x³ 3x²+ 5, f⁰(x) = 3x (x 2) , f⁰⁰(x) = 6 (x 1)

2 f (x) = x^1/3(x 4) , f⁰(x) = 4 (x 1)

3x²³ , f⁰⁰(x) = 4 (x + 2) 9x⁵³

3 f (x) = x

x² 4, f⁰(x) = 6x²

(x³+ 1)², f⁰⁰(x) = 12x 2x³ 1 (x³+ 1)³

4 f (x) = x³ 1

x³+ 1, f⁰(x) = 6x²

(x³+ 1)², f⁰⁰(x) = 12x 2x³ 1 (x³+ 1)³

5 xy = x²+ x + 1

6 f (x) = x + 1

px²+ 1, f⁰(x) = x 1 (x²+ 1)³²

, f⁰⁰(x) = 2x²+ 3x + 1 (x²+ 1)⁵²

7 f (x) = sin x x

(53)

Soal (Sketsa Gra…k Fungsi 2)

Sketsa gra…k fungsi g dengan sifat-sifat sebagai berikut:

i) g kontinu padaR f⁰g ii) g⁰⁰(x) >0 untuk x2R f⁰g iii) g( 2) =g(2) =3

iv) lim

x!∞g(x) =2, lim

x! ∞[g(x) x] =0 v) lim

x!⁰⁺g(x) = lim

x!⁰ g(x) =∞

(54)

Soal (Terapan Asimtot dan Sketsa Gra…k)

Sebuah tangki berisi 5 000 liter air murni. Air asin yang mengandung 30 gram garam tiap liter air dipompakan ke dalam tangki pada laju 25 liter / menit.

(a) Tunjukkan bahwa konsentrasi garam setelah t menit adalah C(t) = ^30t

t+200 (gram / liter).

(b) Buat sketsa gra…k fungsi konsentrasi garam.

(c) Tentukan konsentrasi garam dalam jangka waktu yang panjang (t!^∞).

(55)

Masalah Pengoptimuman

Membahas terapan turunan untuk menentukan solusi pemaksimuman atau peminimuman suatu permasalahan.

Langkah-langkah pemecahan masalah:

pahami permasalahan,

formulasikan masalah yang yang akan dimaksimumkan/diminimumkan ke dalam bentuk fungsi,

tentukan lokasi fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum mutlak.

(56)

Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak

Dalam hal fungsif hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f(c), dengan Uji Turunan I dapat disimpulkan bahwaf(c) juga merupakan nilai ekstrim mutlak.

Teorema berikut sangat bermanfaat dalam menyelesaikan masalah pengoptimuman.

Teorema

Andaikan c adalah bilangan kritis dari fungsi kontinu f yang terde…nisi pada suatu interval.

1 Jika f⁰(x) >0 untuk setiap x<c dan f⁰(x) <0 untuk setiap x>c, maka f(c)adalah nilai maksimum mutlak f .

2 Jika f⁰(x) <0 untuk setiap x<c dan f⁰(x) >0 untuk setiap x>c, maka f(c)adalah nilai minimum mutlak f .

(57)

Ilustrasi Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak/Lokal

(58)

Soal (Disain Kotak Terbuka)

Jawab: x= tinggi = 2 cm, alas 8 8 cm².

(59)

Soal (Disain Kaleng Minuman)

(60)

Soal (Pembangunan Jalan Tol)

Pemerintah propinsi "Suka Makmur" merencanakan membangun jalan tol yang menghubungkan dua kota A dan B yang dipisahkan oleh daerah berawa. Jika biaya pembangunan jalan tol 1 milyar/km sepanjang daerah rawa, dan setengahnya pada lahan kering (OB), tentukan lokasi jalan tol di antara O-B yang meminimumkan biaya. (satuan jarak: km).

Jawab: C=5/p

3 km dari O.

(61)

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: L^ATEX - BEAMER (PDF L^ATEX)