PROGRAM LINEAR. Dasar Matematis

(1)

PROGRAM LINEAR

Dasar Matematis

PROGRAM LINIER adalah suatu teknik optimalisasi dimana variabel-variabelnya

linier. Metode ini dipakai pada saat kita dihadapkan pada beberapa pilihan dengan batasan-batasan tertentu, sedangkan di lain pihak kita menghendaki keputusan yang optimum (maksimum/minimum).

DASAR MATEMATIS

Persamaan linier ax + by = c (x,y variabel ; a,b,c konstanta) membagi bidang atas 3 bagian :

1. Titik-titik yang memenuhi persamaan ax + by = c 2. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by < c 3. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by > c Ket :

→ grafik ax + by = c merupakan garis lurus yang berfungsi sebagai garis batas

→ Titik-titik yang memenuhi ax + by > c atau ax + by < c merupakan suatu daerah.

contoh :

1. Gambarkan tempat kedudukan (daerah) 2x-3y ≤ -6 Langkah :

-gambarkan terlebih dahulu garis 2x- 3y = -6

-titik potong dengan sumbu x → y = 0 dan x = -3 (-3,0) -titik potong dengan sumbu y → x =0 dan y = 2 (0,2) Hubungkan kedua titik potong tersebut

→ pilih sembarang titik yang tidak terletak pada garis, misalkan titik (0,0) Kemudian uji apakah titik tersebut memenuhi syarat

2x - 3y = 2(0) - 3(0) = 0 < -6 (salah)

Ternyata tidak memenuhi syarat . Berarti titik -titik yang memenuhi syarat (yang dimaksud) adalah di pihak lain dari titik (0,0) berada (seperti terlihat pada gambar berikut)

Ket :

1.

daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian

atau menggunakan tanda anak panah (persetujuan)

2.

bila pertidaksamaan berbentuk 2x - 3y < -6 (tanpa

=), maka garis 2x - 3y = -6 dibuat putus-putus, untuk menunjukkan bahwa titik titik pada garis bukan

merupakan daerah penyelesaian.

(2)

x + 3y

≤

₁₂

3x + y

≤

₁₂

x

≥

_{0 ; y}

≥

₀

Langkah :

→

_{gambarkan garis x + 3y = 12 dan tentukan daerah x + 3y}

≤

_12...(1)

gambarkan garis 3x + y = 12 dan tentukan daerah 3x + y

≤

_12...(2)

syarat x

≥

_{0 ; y}

≥

_{0 menunjukkan bahwa daerah yang dimaksud terletak di}

kuadran I (x dan y positif)

→

_{penyelesaiannya adalah daerah yang memenuhi keempat syarat di atas}

(merupakan irisan dari penyelesaian persyaratan diatas).

daerah yang memenuhi adalah daerah yang diarsir

Poligonal dan Titik Ekstrim

POLIGONAL DAN TITIK EKSTRIM

Irisan dari sejumlah berhingga penyelesaian pertidaksamaan, membentuk suatu Poligonal.

Titik P disebut Titik Ekstrim dari poligonal, jika P adalah titik potong garis garis yang membatasi poligonal tersebut.

Contoh : Gambarkan TK x + 2y ≤ 4 (1) x - y ≤4 (2) x ≥ 1 (3) y ≥ -1 (4) Langkah:

→ Gambarkan terlebih dahulu keempat garis batasnya dan masing- masing

tentukan daerahnya.

→ Cari irisannya yang merupakan suatu poligonal.

(3)

- A adalah titik potong antara garis x = 1 dan y = -1

- B adalah titik potong antara garis y = -1 dan garis x-y =4 - C adalah titik potong antara garis x + 2y = 4 dan garis x-y=4 C (4, 0)

- D adalah titik potong antara x = 1 dan x + 2y = 4. D (1, 3/2i )

Terbentuk poligonal ABCD dengan 4 titik ekstrimnya, yaitu : A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4 , 0) ; D(1,3/2)

Fungsi Linier Pada Poligonal

Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier

f (x, y) = px + qy

dimana (x,y)', memenuhi syarat-syarat sebagai berikut ax + by ≤ c

dx + ey ≤ f px + qy ≤ r

Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.

DALIL

Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas,

maka nilai maksimum /

minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di

sekitar titik ekstrimnya).

Contoh :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy dengan syarat : x + 2y ≤ 4

x- y≤ 4 x ≥ 1 y ≥ -1 Langkah :

(4)

→ Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya. Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )

→Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya

f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3 f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1 f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8

f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2

Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai - Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2). - Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).

Model Matematika

Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ; yang secara garis besar dibagi 2 bagian :

- constraint ( Persyaratan )

- objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran) Langkah

- Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....)

- Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan - Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya

- Tentukan titik esktrim daerah tersebut

- Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan - Bandingkan nilai yang didapat

- Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)

contoh :

MASALAH MAKSIMUM

1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00 dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

Tabel

Kue A Kue B Tersedia

Tepung Mentega 150 50 75 75 2250 1750 KEUNTUNGAN 100 125

(5)

_{Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat y buah,}

maka persoalan menjadi : Maksimumkan :

f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan) dengan syarat (ds):

150x + 75y ≤ 2250 → 2x + y ≤ 30 ...(1) 50 x + 75y ≤ 1750 → 2x + 3y ≤ 70 ...(2) x,y ≥ 0

catatan : bentuk persyaratan ≤

Titik Ekstrim

A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20) f(x,y) = 100x + 125y

f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875 (dalam hal ini roti tidak pecahan) f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500 f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000

Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan

membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.

2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m, sutera 11 m dan wool 15 m.

Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m

katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.

Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?

Tabel

Model I Model II Tersedia

Katun Sutera Wool 2 1 1 1 2 3 16 11 15

(6)

KEUNTUNGAN 3000 5000

Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x model II yang dibuat = y

Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y ds : 2x + y ≤ 16 (1)

x + 2y ≤ 11 (2) x + 3y ≤ 15 (3) x;y ≥ 0

Titik Ekstrim

A(8,0) → TP antara garis (1) dengan sb-x B(7,2) → TP antara garis (1) dengan (2) C(3,4) → TP antara garis (2) dengan (3) D(0,5) → TP antara garis (3) dengan sb-y f (x,y) = 3000x + 5000y

f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000

f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000

f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000 f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000

Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.

MASALAH MINIMUM

3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan

terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00 ?

(7)

Tabel A B Kebutuhan Protein Karbohidrat Lemak 4 12 2 2 2 6 16 24 15 HARGA 1700 800

Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y

ds : 4x + 2y ≥ 16 → 2x + y ≥ 8 (1) 12x + 2y ≥ 24 → 6x + y ≥ 12 (2

2x + 6y ≥ 18   → x + 3y ≥ 9 (3) (Catatan : Bentuk persyaratan ≥ )

Titik Ekstrim

A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y. B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2). C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3). D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y. f (x,y) = 1700x + 800y

f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600 f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500 f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700 f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300

Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B.

(8)

Garis Selidik

Untuk menentukan nilai maksimum / minimum dari suatu fungsi dengan syarat tertentu dapat juga dicari tanpa menguji nilai fungsi dari titik-titik ekstrimnya. Cara lain ini adalah dengan menggunakan Garis Selidik. Garis Selidik yang dimaksud adalah garis yang merupakan fungsi objektifnya.

Andaikan fungsi objektifnya f(x,y) = ax + by

Garis Selidik ax + by = k

Untuk suatu (x,y) tertentu, k adalah nilai dari fungsi objektif tersebut. Kemungkinan-kemungkinan

1) k=0 → ax +by=0

Garis melalui titik pangkal (0,0) memberikan nilai minimum = 0.

2)Garis tersebut digeser sejajar ke kanan (masalah maksimum) / ke kiri (masalah minimum) sehingga menyentuh titik ekstrim terakhir dari poligon yang terbentuk. Pada titik itulah, nilai maksimum / minimum dari fungsi didapat.

contoh :

Maksimumkan f(x,y) = x + 2y ds : x + 3y ≤ 9...(1)

2x + y ≤ 8...(2) x ; y ≥ 0

Garis putus-putus menunjukkan garis selidik x + 2y = 0 yang bergeser ke kanan dan terakhir mencapai titik ekstrim E.

(9)

Keterangan :

Cara ini baik dilakukan, bila poligonal yang terbentuk banyak terdapat titik

ekstrimnya. Tetapi diperlukan ketelitian pada saat menggeser garis fungsi tujuan, terutama jika terdapat titik-titik ekstrim yang saling berdekatan.