1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i

D

D

D

D

AFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

DAFTAR ISI ... iii

SOAL - SOAL ... 2 UTS Genap 2009/2010 ... 3 UTS Ganjil 2009/2010... 4 UTS Genap 2008/2009 ... 5 UTS Pendek 2008/2009 ... 6 UTS 2007/2008 ... 8 UTS 2006/2007 ... 9 UTS 2005/2006 ... 10 UTS 2004/2005 ... 11 UTS 2003/2004 ... 12 UTS 2002/2003 ... 13 UTS 2001/2002 ... 14 UTS 2000/2001 ... 15 UTS 1999/2000 ... 17 PEMBAHASAN ... 19 UTS Genap 2009/2010 ... 20 UTS Ganjil 2009/2010... 24 UTS Genap 2008/2009 ... 27 UTS Pendek 2008/2009 ... 32 UTS 2007/2008 ... 39 UTS 2006/2007 ... 43 UTS 2005/2006 ... 49 UTS 2004/2005 ... 56 UTS 2003/2004 ... 60 UTS 2002/2003 ... 65 UTS 2001/2002 ... 69 UTS 2000/2001 ... 71 UTS 1999/2000 ... 76

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010

Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Jum’at, 9 April 2010

UTS Genap 2009/2010

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. 1 4 2 2 + ≤ − x x x b. x− x5 ≥2

2. Diketahui f

( )

x =sin2xdan g

( )

x = x−2 a. Tentukan D_f,R_f,D_g, danR_g

b. Periksa apakah g o f dan f o terdefinisi ? g

c. Bila ya, tentukan Dgof dan Dfog

3. Diketahui

( )

     > − ≤ < = 1 , 1 0 , 2 _{x x} bx x x a x f

Tentukan konstanta a dan b, agar f

( )

x terdiferensialkan di x=1. 4. Diketahui f

( )

x =5x3 −3x5

a. Tentukan selang kemonotonan

b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada) c. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya

d. Gambarkan grafiknya

No 1 2 3 4 Jumlah Nilai Maks 10 7 8 10 35

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010

Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Close Book dan tanpa kalkulator

UTS Ganjil 2009/2010

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x2 −1<3 2. Tentukan nilai a agar fungsi

( )

( )

    ≥ + < = 0 , 1 0 , sin x x x x ax x f mempunyai limit di x=0 3. Periksa apakah fungsi

( )

     ≥ + < − − = 1 , 1 1 , 1 1 2 x x x x x x f kontinu di x=1 4. Diketahui kurva xy2 +x2 +y2 =3 a. Tentukan rumus 'y

b. Tentukan persamaan garis singgung di titik (1,1)

5. Diketahui f

( )

4 =4,f'

( )

4 =2,g

( )

4 =4,g'

( )

4 =4,h

( )

x =f

(

g

( )

x

)

,hitungh'

( )

4 6. Diketahui

( )

1 − = x x x f

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009

Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114 Tanggal : Jum’at, 17 April 2009

UTS Genap 2008/2009

1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 1 2 1+ − ≤ − x x

2. Tentukan persamaan garis singgung dari xy−2x2 +3x=3 yang tegak lurus dengan x− y+1 =0

3. Diberikan fungsi

( )

1 3 2 − + = x x x f . Tentukan : a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada) b. Selang kecekungan dan titik belok ( bila ada ) c. Asymtot

d. Grafik fungsi

4. Sebuah segiempat alasnya berimpit pada salah satu sisi sebuah segitiga siku-siku dengan alas = 5 cm dan tinggi 6 cm, seperti terlihat pada gambar di bawah. Berapa luas maksimal dari segiempat tersebut.?

6 cm

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM

UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114

Tanggal : Senin 27 Juli 2009

UTS Pendek 2008/2009

1. Cari himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut a. 2 3 1 1 − ≥ + x x b. 4 1 2 3 ≤ + − x x

2. Diketahui fungsi f

( )

x = x−2 dan g

( )

x = 3−x a. Cari Df, Rf, Dg, Rg

b. Periksa apakah gof terdefinisi c. Bila ya, cari Dgof

3. a. Hitung 8 6 5 3

lim

− + +∞ → x x x bila ada b. Tentukan nilai k supaya

( )

     ≥ + < = 0 , 2 3 0 , tan 2 _x k x x x kx x f kontinu di x = 0 4. Diketahui

( )

    > + ≤ + = 4 , 16 7 4 , 3 2 x x x x x f

Periksa apakah f

( )

x punya turunan di x = 4

5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi siny+cosx=1 a. Cari nilai 'y

b. Cari persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik       4 , 2 π π

6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh f

( )

x =x5 +5x4 a. Cari selang kemonotonan dan nilai ekstrik

b. Cari selang kecekungan dan titik belok bila ada c. Gambar grafik f

( )

x

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008

Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114 29 Oktober 2007

UTS 2007/2008

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan : a. 2 1 3 − ≤ + + x x x x b. 1−2 >1 x 2. Diketahui f(x)=2+x2, g(x)=1 a. Tentukan ܦ௙, ܴ௙, ܦ௚, ܴ௚

b. Periksa apakah gof terdefinisi, jika ya tentukan ( gof )(x) c. Tentukan Dgof

3. Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 1

(

)

    = ≠       − − = 1 ; 1 1 ; 1 1 sin 1 ) ( 2 x x x x x f 4. Diketahui x x x x f( ) 6 9 2 + − =

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (jika ada)

c. Tentukan semua asimtotnya dan titik potong terhadap sumbu x & y (bila ada)

d. Gambarkan grafik f(x)

Soal 1 2 3 4 Nilai 10 10 8 12

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007

Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 13 November 2006

UTS 2006/2007

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ;

a. 5 1 2 1 1 < − < − x b. 4 ≥ x−3 x 2. Diketahui f(x)= x dan g(x)=1−x2 a. Periksa apakah fog ada ?

b. Jika fog ada, tentukan fog dan Dfog !

3. Tentukan nilai a agar _lim 9 2− −7+3 =1 −∞ → x ax x x 4. Diketahui ₂ 4 2 ) ( x x x f − = , tentukan :

a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada ) b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada )

c. Asimtot ( jika ada ) d. Sketsa grafiknya

5. Sebuah persegi panjang dibuat dalam lingkaran dengan jari-jari 4 dengan keempat titik sudutnya terleta pada lingkaran.

a. Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi suatu peubah ! b. Tentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum !

-o0o-

Selamat mengerjakan -o0o-

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006

Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 17 Oktober 2005

UTS 2005/2006

1. Tentukan persamaan garis singgung di dua titik potong kurva 16

2 2_{−xy+y =}

x dengan sumbu x.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan

(

1

)

4 1 2x+ +xx+ ≤ 3. a. Tentukan a agar 3 1 3 4 9 lim 2+ + + = −∞ → x ax x x

b. Tentukan a dan b sehingga lim cos(₂ ) 2 0 − = + → x bx a x 4. Diketahui ⋅ + = 1 ) ( 2 x x x f Tentukan :

a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada) b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada )

c. Asimtot ( jika ada ) d. Sketsakan grafiknya

5. Sebuah kotak tertutup dibuat dari selembar papan segi-empat berukuran 5 meter kali 8 meter . Ini dilakukan dengan memotong daerah yang diarsir dari gambar di bawah dan kemudian melipat pada garis titik-titik . berapakah ukuran x, y , dan z yang memaksimumkan volume kotak tertutup tersebut.

x y

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2004/2005

Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114 Tanggal : Senin 25 November 2004

UTS 2004/2005

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan

x x−3 <4

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 4

3 )

( 2 + 2 = +Cos xy x

y di titik potong kurva dengan sumbu x.

3. Hitung 2 2 2 1 lim 3 1 + − − → _x x x 4. Diketahui 1 ) ( 2 ₊ = x x x

f tentukan semua nilai ekstrim fungsi beserta jenisnya pada selang [-½,2]

5. Tentukan luas maksimum dari segitiga yang terletak di dalam parabola seperti gambar berikut ini

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004

Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Tanggal : Senin 6 Oktober 2003

UTS 2003/2004

1. Tentukan daerah asal dari fungsi a. f(x)= 2x−2 − x −5 b. 3 6 ) ( 2 3 + − − = x x x x x f 2. Hitung a. x x x x sin cos 1 lim +₂ →π

b. tentukan a agar lim 4 2+ +2 =5 −∞ → x ax x x

3. Periksa apakah fungsi

1 1 , 2 2 , 3 2 ) ( ₂ 2 < ≥    + − + − = x x x x x x x f

terdiferensialkan di x = 1, jika ya tentukan f ‘(1) 4. Diketahui 1 1 ) ( 2 − − + = x x x x f

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi beserta jenisnya

b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot

d. Gambarkan grafik fungsi f(x)

5. Diketahui daerah D di kwadran pertama yang dibatasi oleh , 3 , 2x y x2 y= = − dan sumbu y. a. Hitung luas D

b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2002/2003

Mata kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Tanggal : Senin/ 11 April 2003

UTS 2002/2003

Kerjakan dengan singkat dan jelas!

Jangan lupa berdoa, sebelum mengerjakan!

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

a. x x x < + − 1 1 b. 5−1 <2 x 2. Diketahui fungsi 9 ) ( ₂ − = x x x f , tentukan : a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim b. Selang kecekungan dan titik belok c. Asimtot

d. Sketsa grafik f(x)

3. Diketahui fungsi implisit xy2−5x2y=−6 a. Tentukan y’

b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di x = 1. 4. Diketahui daerah D dibatasi oleh y= x,x=4,y=0. tentukan :

a. Luas daerah D

b. Volume benda putar jika D diputae terhadap x = -1

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2001/2002

Mata Kuliah : Kalkulus 1 /MA-1314 Waktu :120 Menit

UTS 2001/2002

Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan. Kemudian kerjakan dengan da tepat !.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut

a. 3 2 7 < x b. −2< x−4<3 2. Diketahui b x jika b x jika x x x f > ≤     − + = 1 2 3 7 ) (

a. Tentukan b agar f(x) kontinu !

b. Periksa apakah f differensiabel (punya turunan ) pada x = b yang diproleh di atas !

3. Tentukan persamaan garis singgung grafik f(x)=1+ 3−4x yang sejajar dengan garis 2x− y3 =3.

4. Diketahui suatu daerah D dibatasi oleh y = x, y = 2, dan sumbu y. Hitung :

a. luas D

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2000/2001

Mata Kuliah : Kalkulus 1 (DA-1314) Senin 23 Oktober 2000

UTS 2000/2001

1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : a. 1−3x ≤3x+5 b. x x−1 < 2 2. Diberikan fungsi 1 1 , , ) ( 2 ≥ <    + = x x q px x x f

a. Tentukan hubungan antara p dan q agar fungsi f kontinu di 1

=

x

b. Tentukan nilai p dan q agar f'

( )

1 ada !

3. Diberikan persamaan kurva _x23_{+ y}23 ₌2 a. Tentukan

dx dy

di titik (1,-1)

b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva tersebut yang melalui titik (1,-1).

4. Hitunglah a. x dt t x x x sin lim 2 0 ∫ → b. ∫ − 1 1 dx x x

KERJAKANLAH SOAL NO 5 ATAU 6 (salah satu saja ) 5. Diberikan fungsi ₂ 2 ) 1 ( 1 ) ( + − = x x x f

a. Tetukan selang kemonotonan dan titik ekstrimnya (jika ada) b. Tentukan selang kecekungan dan titik beloknya

c. Carilah semua asimtotnya d. Sketsalah grafiknya

6. Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y= x( −4)2, garis 4

=

y , sumbu x dan sumbu y.

a. Gambarkan (arsir) daerah R dan hitunglah luasnya

b. Hitunglah volume bennda putar bila R diputar mengelilingi sumbu x.

Selamat Mengerjakan

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 1999/2000

Mata Kuliah : Kalkulus 1 /DA-1314 Tanggal : Senin 1 November 1999

UTS 1999/2000

1. Tentukan himpunan jawab : +2 ≤3

x x 2. a. Hitung 5 2 5 2 lim 2 + + − −∞ → x x x x

b. Diketahui g(x)−3 ≤x2−10x+25, tentukan lim ( ) 5 x g x→ 3. Diketahui f(x)= x2−1 dan g(x)= 1+x a. Buktikan gof terdefinisi !

b. Tentukan persamaan dan asal daerah fungsi gof !

4. Diketahui      ≤ + − > − − + = 3 1 7 3 3 15 2 ) ( 2 2 x x qx x x px x x f

tentukan konstanta p dan q supaya f(x) kontinu di x = 3 5. Diketahui kurva (x−3)2+y2 =2

a. Tentukan y’

b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva, dimana garis singgung tersebut tegak lurus pada garis y = x

6. f(x) adalah fungsi kontinu , dan f(0) = f(2) = 0. Jika grafik

( )

x

f

a. Tentukan selang kemonotonan f(x) b. Tentukan selang kecekungan f(x) c. Buat sketsa grafik f(x)

Selamat Bekerja Ebs-tza-jdn-mhd-rmi-wdt

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114

Jum’at, 9 April 2010

UTS Genap 2009/2010

1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. 1 4 2 2 + ≤ − x x x 0 4 2 1 2 ≥ − − + x x x

(

)(

)

(

1

)

0 4 2 1 4 2 ≥ + − + − x x x x

(

)

(

1

)

0 4 2 4 2 2 ≥ + − − − x x x x

(

1

)

0 4 2 3 2 ≥ + + + x x x

Karena 3x2+ x+2 definit positif, maka jelas bahwa pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika

0 1 > +

x yaitu x>−1. Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah

{

xx>−1

}

.

b. x−5 ≥x 2....

( )

i

Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk x−5 , kita peroleh untuk x≥5 pertaksamaan (i) secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut

(

x−5

)

x≥2 2 5 2 _{− x≥} x

(

) ( )

2 ₂5 2 2 2 5 _{− ≥} − x

(

)

2 33₄ 2 5 _≥ − x 33 2 1 2 5 _≥ − x 33 33 ₂1 2 5 2 1 2 5_{≥ − ≤−} − atau x x

33 33 1₂ 2 5 2 1 2 5_{+ ∪ ≤ −} ≥ x x

yang memberikan penyelesaian

(

)

{

33 33 5

}

{

₂1 33

}

. 2 5 2 1 2 5 2 1 2 5 1 = x x≥ + ∪ x≤ − ∩x≥ = xx≥ + Hp

Sedangkan untuk x<5, pertaksamaan (i) secara berturut turut menjadi

(

−5

)

≥2 − x x 2 5 2 _{+ ≥} −x x 2 5 2 _{− ≤−} x x

(

)

2

( )

₂5 2 2 2 5 _{− ≤−} − x

(

)

2 17₄ 2 5 _≤ − x 17 2 1 2 5 _≤ − x 17 17 1₂ 2 5 2 1 _{≤ − ≤} − x 17 17 ₂1 2 5 2 1 2 5_{− ≤x≤ +}

yang memberikan penyelesaian

{

17 17 5

}

{

17 ₂1 17

}

2 5 2 1 2 5 2 1 2 5 2 1 2 5 2= x − ≤x≤ + ∩x< = x − ≤x≤ + Hp

Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (i) secara keseluruhan adalah 2 1 Hp Hp Hp= ∪

{

(

17 17

)

₂1 33

}

2 5 2 1 2 5 2 1 2 5 _{− ≤ ≤ + ∪ ≥ +} = x x x .

2. Diberikan f

( )

x =sin2xdan g

( )

x = x−2 a. Menentukan D_f,R_f,D_g, danR_g ) , 0 [ dan ), , 2 [ ], 1 , 1 [ , = − = ∞ = ∞ ℜ = _{f g g} f R D R D

b. Memeriksa apakah g o f dan f o terdefinisi g

Harus kita selidiki masing masing secara berturut turut apakah

{ }

≠ ∩ _g

f D

R dan R_g ∩D_f ≠

{ }

.

Dengan menggunakan hasil pada poin sebelumnya diperoleh

{ }

= ∩ _g

f D

R yang menunjukkan bahwa g o f tidak terdefinisi, sedangkan Rg ∩Df =[0,∞)≠

{ }

yang menandakan bahwa

g

c. Menetukan D_gof dan D_fog

Karena g o f tidak terdefinisi, maka Dgof tidak dapat

ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh

( )

{

g f

}

g f x D g x D D _o = ∈ ∈ =

{

x∈[2,∞) x−2∈R

}

=

{

x≥2x−2≥0

}

=

{

xx≥2

}

3. Diberikan

( )

     > − ≤ < = 1 , 1 0 , 2 _{x x} bx x x a x f

Syarat perlu agar f terdiferensialkan di x = 1 adalah f harus kontinu di titik tersebut. Kekontinuan ini dijabarkan dan memberikan hasil

( )

lim

( )

( )

1 lim 1 1 f x f x f x x = = + − → → , yaitu a= b−1atau b= a+1

( )

*

Kemudian dengan mempertimbangkan syarat cukup agar f terdiferensialkan di x = 1 dan dengan menggunakan (*), secara berturut turut kita peroleh

( )

1 '

( )

1 ' + − = f f

( )

( )

( )

( )

1 1 lim 1 1 lim 1 1 − − = − − + − → → x f x f x f x f x x 1 lim 1 lim 2 1 1 − − − = − − + − → → x a x bx x a x x a x

(

)

(

)

(

)

1 1 lim 1 1 lim 2 1 1 − − − + = − − + − _→ → x a x x a x x x a x x

(

)

(

)(

)

1 1 1 lim lim 1 1 − − + + = − + − _→ → x x a x a x a x x

(

)

(

a x a

)

a x + + = − + → 1 lim 1 1 2 + = −a a 3 1 − = a Dengan demikian _{b= 3}2

Jadi agar f terdiferensialkan di x = 1 maka haruslah _a=−31_dan 3

2 =

4. Diberikan f

( )

x =5x3 −3x5

a. Menentukan selang kemonotonan

( )

x x x x

(

x

)(

x

)

f' =15 2 −15 4 =15 2 1− 1+

- f monoton naik jika f'

( )

x >0yaitu pada selang

(

−1,0

) ( )

∪ 0,1 - f monoton turun jika f'

( )

x <0yaitu pada (−∞,−1

) (

∪ 1,∞

)

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok

( )

x x x x

(

x

)

x

(

x

)(

x

)

f" =30 −60 3 =30 1−2 2 =30 1− 2 1+ 2

- f cekung ke atas jika f"

( )

x >0yaitu pada

(

) (

)

2 1 2 1 _0, ,− ∪ ∞ −

- f cekung ke bawah jika f"

( )

x <0yaitu pada

(

,0

) (

,0

)

2 1 2

1 _∪

− - karena pada pada , ,dan 0

2 1 2 1 _{=− =} = x x x terjadi

perubahan kecekungan serta

( ) ( )

, ,dan

( )

0 2

1 2

1 _{f f}

f − masing

masing ada, maka ketiga titik

(

)

2 4 7 2 1 _{, ,}

(

)

2 4 7 2 1 _,− − , dan (0,0) adalah titik belok.

c. Menentukan nilai ekstrim dan jenisnya

Titik (-1,-2) merupakan titik minimum lokal karena

( )

1 0 ' − =

f dan f"

( )

−1 >0, sedangkan titik (1,2) merupakan titik maksimum lokal karena f'

( )

1 =0dan

( )

1 0 " <

f

d. Grafik f

( )

x =5x3 −3x5 ditunjukkan pada gambar di samping 0 1 1 − − − − − + + + + + + − − − − 0 2 1 2 1 − − − − + + + − − − + + + + _{• • •}

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114

UTS Ganjil 2009/2010

1. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x2 −1<3. Pertaksamaan tersebut setara dengan −3<x2 −1<3. Kasus

3 1 2 − > −

x disederhanakan menjadi x2 >−2 yang akan selalu terpenuhi untuk setiap x∈ ℝ. Sedangkan kasus x2−1<3secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut

3 1 2 < − x 4 2 _< x 2 < x 2 2< < − x

Jadi himpunan penyelesaian bagi pertaksamaan di atas adalah

{

xx∈ℜ∩−2<x<2

} {

= x−2<x<2

}

2. Diberikan

( )

( )

    ≥ + < = 0 , 1 0 , sin x x x x ax x f

Agar f memiliki limit di x = 0 maka haruslah lim

( )

lim

( )

* 0 0 x f x f x x→ − → + = Ekspresi pada ruas kiri (*) memberikan

( )

( )

x ax x f x x sin lim lim 0 0− → − →

= _lim sin

( )

_lim sin

( )

; 0 0 0 ≠ = = = → → − a a ax ax a ax ax a ax x ,

sedangkan dari ruas kanan (*) diperoleh

( )

lim

(

1

)

1 lim 0 0 = + = + + → → x x f x x .

Kesimpulannya a harus bernilai 1 agar f memiliki limit di x = 0. 3. Memeriksa apakah fungsi di bawah berikut kontinu di x = 1.

( )

     ≥ + < − − = 1 , 1 1 , 1 1 2 x x x x x x f

Jangan terkecoh dengan kerumitan dari penampakan fungsi f. Perhatikan bahwa untuk x<1berlaku

(

)(

)

1 1 1 1 1 1 2 + = − + − = − − x x x x x x

(“pencoretan” x−1pada langkah di atas adalah benar karena x≠1). Dengan demikian sebenarnya kita telah menunjukkan bahwa

( )

x = x+1

f untuk setiap x, dan telah kita ketahui bersama bahwa fungsi ini kontinu pada ℝ, khususnya pada x = 1.

4. Diketahui kurva xy2 +x2 + y2 =3 a. Menentukan rumus 'y

Dengan menurunkan kedua ruas persamaan kurva yang diberikan secara implisit terhadap x, kemudian menyelesaikannya untuk

, '

y maka secara berturut turut diperoleh hasil berikut 0 ' 2 2 ' 2 2 = + + + xyy x yy y 2 2 ' 2 ' 2xyy+ yy=− x−y

(

)

2 2 ' 2 2xy+ y y=− x−y y xy y x y 2 2 2 ' 2 + + − =

b. Menentukan persamaan garis singgung di titik (1,1)

Dengan melakukan subtitusi pada hasil dari bagian sebelumnya diperoleh kemiringan garis singgung di titik (1,1) yaitu ₋₄3_. Sehingga persamaan garis singgungnya adalah _y−1₌₋₄3

(

_x−1

)

atau ₄7 4 3 ₊ − = x y

5. Mengevaluasi h'

( )

4 jika diketahui f

( )

4 =4, f'

( )

4 =2, g

( )

4 =4,

( )

4 4,

' =

g danh

( )

x =f

(

g

( )

x

)

Penerapan aturan rantai pada h

( )

x menghasilkan h'

( )

x = f'

(

g

( )

x

) ( )

g' x. Dengan demikian h'

( )

4 = f'

(

g

( )

4

) ( )

.g' 4 = f'

( ) ( )

4.g' 4 =2.4=8 6.

( )

(

)

; 1 1 1 1 1 1 1 1 − = + − ≠ + − = − = x x x x x x x f

( )

(

)

2 1 1 ' − − = x x f

Karena f'

( )

x <0 untuk setiap x≠1, maka f selalu turun pada (-∞,∞)/{1}. Ini juga menegaskan bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim.

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok

( )

(

)

3 1 2 " − = x x f

f cekung ke atas jika f"

( )

x >0yaitu untuk x>1, dan cekung ke bawah jikaf"

( )

x <0yaitu untukx<1.f tidak memiliki titik belok. c. Menentukan asimtot

- Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b)

x x f a x ) ( lim ∞ → = 0 1 1 1 1 lim =      − + = ∞ → x x x ax x f b x − = ∞ → ) (

lim

1 1 1 1 lim =      − + = ∞ → x x

jadi f memiliki asimtot datar yaitu y=1 - Asimtot tegak (berbentuk x = c)

Karena

( )

=∞ → x f x lim 1

maka x = 1 merupakan asimtot tegak. d. Sketsa grafik f

( )

x

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114

Jum’at, 17 April 2009

UTS Genap 2008/2009

1. Menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

( )

i x x−1+ 2 −1≤2... Menurut definisinya

(

)

   < − − ≥ − = − 1 ; 1 1 ; 1 1 x x x x x

(

)

   < − − ≥ − = − 2 1 ; 1 2 2 1 ; 1 2 1 2 x x x x x Sehingga :

- untuk x<1 2 (i) menjadi

(

−1

) (

− 2 −1

)

≤2 − x x 0 3 ≤ − x 0 ≥ x

Jadi untuk x<1 2 pertidaksamaan (i) memiliki himpunan penyelesaian Hp1 =

{

(

x≥0

) (

∩ x<12

)

} {

= 0≤x<1 2

}

- untuk 12≤ x<1 (i) menjadi

(

−1

) (

+ 2 −1

)

≤2 − x x 2 ≤ x

(

) (

)

{

2 1 2 1

} {

12 1

}

2 = x≤ ∩ ≤x< = ≤x< Hp

- untuk x≥1 (i) menjadi

(

x−1

) (

+ 2x−1

)

≤2 4 3 ≤x 3 4 ≤ x

(

) (

)

{

4 3 1

} {

1 4 3

}

3 = x≤ ∩ x≥ = ≤ x≤ Hp

Dengan demikian himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah

{

0 4 3

}

3 2 1∪ ∪ = ≤ ≤ =Hp Hp Hp x Hp (ans)

2. Menentukan persamaan garis singgung dari xy−2x2+3x=3 yang tegak lurus dengan garis x–y+1 = 0.

Kita tahu bahwa y’ merupakan gradient dari garis yang menyinggung kurva. Karena garis singgung yang dimaksud tegak lurus dengan garis x− y+1 =0 yang memiliki kemiringan 1, maka gradient garis singgung yang kita cari haruslah y’= -1/1 = -1.

Kemudian dengan menurunkan persamaan kurva yang diberikan secara implisit terhadap x dan menyelesaikannya untuk y’ diperoleh secara berturut turut hasil berikut

(

2 2 3

)

_x

( )

3 x xy x x D D − + = 0 3 4 '− + = +xy x y 3 4 '= x−y− xy x y x y'=4 − −3

Karena garis singgung yang akan dicari memiliki kemiringan -1, maka kita memperoleh

1 3 4 − = − − x y x x y x− −3=− 4 3 5 − = x y

Substitusikan ke persamaan kurva awal memberikan 3 3 2 ) 3 5 ( x− − x2 + x= x 3 3x2 = 1 ± = x

untuk x=1 diperoleh y=2 dan untuk x=−1 diperoleh y=−8. Jadi kita memiliki 2 buah titik singgung yakni (1,2) dan (-1,-8). - Di titik (1,2) persamaan garis singgungnya adalah

(

1

)

2=− −

− x

y atau y= x− +3 (ans)

- Di titik (-1,-8) persamaan garis singgungnya adalah

(

1

)

8=− +

+ x

( )x f" 1o + + + + + + + + − − − − − − − − − 3. Diberikan fungsi

( )

1 3 2 − + = x x x f .

a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 2 1 3 2 2 1 3 1 2 ' − + − = − − − = − − − − = − + − − = x x x x x x x x x x x x x x x f

- f(x) monoton naik jika f'

( )

x >0 yaitu pada (-∞,-1) dan (3,∞) - f(x) monoton turun jika f'

( )

x <0 yaitu pada (-1,1) dan (1,3) - Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -1 (+
_{-) dan}

f(-1) ada maka titik (-1,f(-1)) = ( -1,-2) merupakan titik maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan kemonotonan pada x = 3 (-
+) dan f(3) ada sehingga (3,f(3)) = (3,6) merupakan titik minimum lokal.

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok ( bila ada )

( )

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

4 2 2 1 3 2 1 2 1 2 2 " − − − − − − − = x x x x x x x f

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

3

(

)

3 2 2 3 2 2 1 8 1 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 − = − − − − + − = − − − − − = x x x x x x x x x x

- f(x) cekung ke atas jika f"

( )

x >0 yaitu pada selang (1,∞) - f(x) cekung ke bawah jika f"

( )

x <0 yaitu pada selang (-∞,1) - f tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan kecekungan di titik x = 1 , tetapi f(1) tidak ada, sehingga x =1 bukanlah titik belok..

o 1 − 1 f'( )x − − − +++ o o 3 − − − + + +

c. Menentukan Asimtot

- Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b)

x x f a x ) ( lim ∞ → = x x x x ( 1) 3 lim 2 − + = ∞ → _{x x} x x − + = ∞ → 2 2 3 lim 1 1 1 3 1 lim 1 1 3 1 lim 2 2 2 2 =       −       + =       −       + = ∞ → ∞ → x x x x x x x x ax x f b x − = ∞ → ) (

lim

x x x x − − + = ∞ → 1 3 lim 2

₍

₎

1 1 3 lim 2 − − − + = ∞ → x x x x x 1 3 lim − + = ∞ → x x x 1 1 4 1 lim = − + = ∞ → x x

jadi f memiliki asimtot miring

(

a ≠0

)

yaitu y= x+1 (ans) - Asimtot tegak (berbentuk x = c)

Karena

( )

=∞ − + = → → 1 3 lim lim 2 1 1 x x x f x x maka x = 1 merupakan asimtot tegak. (ans)

6 5 x y P x y l

4. Menentukan luas maksimal segi empat seperti pada gambar di samping.

perhatikan gambar di samping !

Titik P dapat bergerak sepanjang garis l . persamaan garis l adalah

5 0 5 0 6 0 − − = − − x y 6 5 6 + − = ⇒ y x

Luas segi empat yang diarsir adalah

( )

x alas tinggi L = .

( )

6 ;0 5 5 6 6 5 6 . =− 2 + ≤ ≤      + − = =xy x x x x x x L

Nilai maksimum L

( )

x terletak pada titik kritisnya, yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval domain L

( )

x . Titik stasioner terjadi ketika L'

( )

x =0 yakni

2 5 5

12 _{+6=0⇒ =}

− x x

Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis, yaitu x= ₂5yang berasal dari titik stasioner dan x = 0, x = 5 yang berasal dari ujung interval domain L(x) . untuk mengetahui nilai maksimum dari L(x), kita evaluasi nilai L(x) pada titik - titik kritis tersebut, yakni

( )

15₂ 2 5 ₌

L , L

( )

0 =0 , L

( )

5 =0 .

jadi L(x) mencapai nilai maksimum pada _{x= 2}5_{dengan luas} 2 15 _.

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114

Tanggal : Senin 27 Juli 2009

UTS Pendek 2008/2009

1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. 2 3 1 1 − ≥ + x x 0 2 3 1 1 ≥ − − + x x 0 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( 3 2 ≥ − + + − − x x x x 0 ) 2 )( 1 ( 5 2 ≥ − + − − x x x

(

ans

)

2 1 2 5       < < − ∪ − ≤ = xx x Hp b.

( )

i x x ... ... 4 1 2 3 ≤ + −

Alternatif -1 (Menggunakan definisi )

Menurut definisinya       < + − + − − ≥ + − + − = + − 0 1 2 3 ; 1 2 3 0 1 2 3 ; 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x atau      > ∪ − < + − − ≤ < − + − = + − 2 3 2 3 1 ; 1 2 3 1 ; 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x • o o 2 5 − −1 2 + + + + + + + + −−−− −−−− • o 2 3 1 − + + + + + + − − − − − x x + − 1 2 3 − − − − −

- Untuk −1<x≤₂3 pertidaksamaan (i) di atas menjadi 4 1 2 3 ≤ + − x x 0 4 1 2 3 ≤ − + − x x 0 1 ) 1 ( 4 2 3 ≤ + + − − x x x 0 1 1 6 ≤ + − − x x

pertidaksamaan terakhir ini terpenuhi jika x<−1∪x≥−₆1 , sehingga untuk −1<x≤ ₂3 himpunan penyelesaian (i) adalah

(

) (

)

{

₂3

}

6 1 1= x x<−1∪x≥− ∩−1<x≤ Hp =

{

x−₆1 ≤x≤ ₂3

}

.

- Untuk x<−1∪x> ₂3 pertidaksamaan (i) menjadi 4 1 2 3 ≤ + − − x x 0 4 1 2 3 ≤ − + − − x x 0 1 ) 1 ( 4 2 3 ≤ + + + − − x x x 0 1 7 2 ≥ + + x x

pertidaksamaan

terakhir

ini

terpenuhi

jika

1 2 7_{∪ >−} − ≤ x x

sehingga

(

) (

)

{

₂3

}

2 7 2= x x≤− ∪x>−1∩x<−1∪x> Hp

{

₂3

}

2 7_{∪ >} − ≤ = xx x

Jadi himpunan penyelesaian dari (i) yang dimaksud adalah 2 1 Hp Hp Hp= ∪

{

₆1

}

(

ans

)

6 7_{∪ ≥−} − ≤ = xx x • o 6 1 − 1 − + + + + + + − − − − − x x + − − 1 1 6 − − − − − • o 2 7 − −1 + + + + + x x + + 1 7 2 − − − − − + + + + +

Aternatif -2 (Menggunakan sifat) 4 1 2 3 ≤ + − x x 2 2 4 1 2 3 ≤ + − x x 0 4 1 2 3 2 2 ≤ −       + − x x 0 4 1 2 3 4 1 2 3 ≤       + + −       − + − x x x x 0 1 ) 1 ( 4 2 3 1 ) 1 ( 4 2 3 ≤       + + + −       + + − − x x x x x x 0 ) 1 ( ) 7 2 )( 1 6 ( 2 ⋅≤ + + − − x x x

Jadi himpunan penyelesaian bagi (i) adalah

{

₆1

}

(

ans

)

2 7_{∪ ≥−} − ≤ = xx x Hp

Alternative -3 (menggunakan sifat lain)

4 1 2 3 ≤ + − x x 4 1 2 3 4 ≤ + − ≤ − x x

pertaksamaan ini setara dengan 4 1 2 3 − ≥ + − x x dan 4 1 2 3 ≤ + − x x ………...(iii) pertaksamaan sebelah kiri (iii) menjadi

0 4 1 2 3 ≥ + + − x x 0 1 ) 1 ( 4 2 3 ≥ + + + − x x x • o 2 7 − −1 −16 + + + + + + + + − − − − _•−−−−

0 1 7 2 ≥ + + x x

{

7₂ 1

}

1 = x≤− ∪x>− Hp

Sedangkan pertaksamaan sebelah kanan (iii) menjadi 4 1 2 3 ≤ + − x x

0 4 1 2 3 ≤ − + − x x

0 1 ) 1 ( 4 2 3 ≤ + + − − x x x

0 1 1 6 ≤ + − − x x

{

₆1

}

2 = x<−1∪x≥− Hp

Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah 2 1 Hp Hp Hp= ∩

{

₆1

}

(

ans

)

2 7_{∪ ≥−} − ≤ = x x

2. Diberikan fungsi f

( )

x = x−2 dan g

( )

x = 3−x a. Menentukan Df, Rf, Dg, Rg ) , 2 [ ∞ = f D , R_f =[ ∞0, ) ] 3 , (−∞ = g D , R_g =[ ∞0, ) b. Memeriksa apakah gof terdefinisi

Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah R_f ∩D_g ≠

{ }

. Berdasarkan hasil pada poin sebelumnya kita memiliki

{ }

≠ = −∞ ∩ ∞ = ∩ _g [0, ) ( ,3] [0,3] f D R yang menunjukkan

bahwa gof terdefinisi. (ans)

• o 2 7 − −1 + + + + + x x + + 1 7 2 − − − − − + + + + + • o 6 1 − 1 − + + + + + + − − − − − x x + − − 1 1 6 − − − − −

c. Menentukan Dgof Menurut definisinya

( )

{

f g

}

gof x R f x D D = ∈ ∈ =

{

x∈[0,∞) x−2∈(−∞,3]

}

{

≥0 −2≤3

}

=

{

≥0 −2≤9

}

= x x x x

{

≥0 ≤11

}

= x x =

{

0≤ x≤11

} (

ans

)

3. a. Menghitung 3 8 6 5 3 lim − + +∞ → x x x 3 8 6 5 3 lim − + +∞ → x x x

(

)

(

)

3 8 5 6 3 lim x x x x x − + = +∞ →

(

)

(

)

3 8 5 6 3 lim x x x − + = +∞ → 3 2 1 = (ans) b. Menentukan k agar

( )

    ≥ + < = 0 ; 2 3 0 ; tan 2 _x k x x x kx x f kontinu di x = 0 Agar f kontinu di x = 0 maka harus berlaku

( )

lim

( )

( )

0 lim 0 0 f x f x f x x = = − + − → →

Kekontinuan kiri f di x = 0 dijabarkan sebagai berikut

( )

( )

0 lim 0 f x f x = − → 2 0 2 tan lim k x kx x = − → 2 2k k = 0 2k2 − k=

(

2k−1

)

=0 k 2 1 atau 0 = = k k

Jadi agar f kontinu di x = 0 maka haruslah _k∈

{ }

_0,21 _(ans) 4. Memeriksa apakah fungsi berikut memiliki turunan di x = 4

( )

    > + ≤ + = 4 , 16 7 4 , 3 2 x x x x x f

Untuk mengetahuinya harus kita periksa apakah f₋'

( )

4 = f₊'

( )

4 _. Sekarang

( )

( )

( )

4 4 lim 4 4 ' − − = − → − x f x f f x 2 4 ) 4 ( 2 lim 4 8 2 lim 4 11 3 2 lim 4 4 4 = − − = − − = − − + = − − − _{→ →} → x x x x x x x x x Sedangkan

( )

( )

( )

4 4 lim 4 4 ' − − = + → + x f x f f x 4 4 16 lim 4 4 16 lim 4 11 16 7 lim 4 4 4 −       − = − − = − − + = + + + → → → x x x x x x x x x x

(

)

(

4

)

1 4 4 lim 4 − = − − − = + → x x x x

Karena f₋'

( )

4 ≠ f₊'

( )

4 maka f tidak tidak memiliki turunan di x = 4 5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi siny+cosx=1

a. Menentukan nilai 'y

(

sin cos

)

_x

( )

1 x y x D D + = 0 sin cos ' y− x= y x y y'cos =sin

(

ans

)

cos sin ' y x y =

b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik

(

π₂,π₄

)

Di titik

(

π₂ ,π₄

)

2 2 1 ' 2 1 = = y

Sehingga persamaan garis singgung di titik

(

π₂,π₄

)

adalah

(

₂

)

4 2 π π _{= −} − x y atau 2

(

1₂ 2

)

π 4 1₋ + = x y . (ans)

Sedangkan persamaan garis normal di titik

(

π₂,π₄

)

adalah

(

₂

)

2 1 4 π π _{=− −} − x y atau

(

)

π

4 2 1 2 1 _{2 +} + − = x y .(ans) 6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh f

( )

x =x5 +5x4

a. Menentukan selang kemonotonan dan nilai ekstrim

( )

5 20 5

(

4

)

' x = x4 + x3= x3 x+

f

- f(x) monoton naik jika f'

( )

x >0 yaitu pada selang (-∞,-4) dan (0,∞)

- f(x) monoton turun jika f'

( )

x <0 yaitu pada selang (-4,0)

- karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -4 (+
-) dan f(-4) ada maka titik (-4,f(-4)) = ( -4,256) merupakan titik maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan kemonotonan pada x = 0 (-
+) dan f(0) ada sehingga (0,f(0)) = (0,0) merupakan titik minimum lokal.

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok bila ada

( )

20 60 20 ( 3)

" x = x3 + x2 = x2 x+

f

- f(x) cekung ke atas jika f"

( )

x >0 yaitu pada selang (-3,0) dan (0,∞)

- f(x) cekung ke bawah jika

( )

0 "x <

f yaitu pada selang (-∞,3)

- Karena terjadi perubahan

kecekungan pada x = -3 dan f(-3) ada maka titik (-3,f(-3))=(-3,162) merupakan titik belok. c. Grafik f

( )

x diperagakan di samping

o 4 − 0 + + + + + ( )x f' − − − − − + + + + + o o 3 − 0 + + + + + ( )x f" − − − − − +++++ o

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114

Tanggal : 29 Oktober 2007

UTS 2007/2008

1. Menentukan Himpunan Pertidaksamaan : a. 2 1 3 − ≤ + + x x x x 0 2 1 3 ≤ − − + + x x x x 0 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( ) 2 )( 3 ( ≤ − + + − − + x x x x x x 0 ) 2 )( 1 ( 6 3 2 2 2 ≤ − + − − − + − x x x x x x x 0 ) 2 )( 1 ( 6 ≤ − + − x x

{

<−1∪ >2

}

= xx x Hp b. 1−2>1 x 2 2 1 2 1 > − x 0 1 2 1 2 2 > −       − x 0 1 2 1 1 2 1 >       + −       − − x x 0 1 1 3 1 >       −       − x x 0 ) 1 )( 3 1 ( 2 > − − x x x

{

( _<0)_∪(0_{< <3}1)_{∪ >}1

}

= x x x x Hp

•

•

1 + + + + + + + - - - + + + 3 / 1

•

0

•

•

-1 2 - - - + + + + + + - - - -

2. Diketahui f(x)=2+x2, g(x)=1

a. Menentukan ܦ_௙, ܴ_௙, ܦ_௚, ܴ_௚ - D_f =R(ans)

- Untuk setiap x ∈R berlaku 0 2 ≥ x 2 2+ x2 ≥ 2 ) (x ≥ f Sehingga R_f =

[

2 ∞,

)

(ans) - D_g =R(ans) - R_g =

{ }

1(ans)

b. Memeriksa apakah gof terdefinisi dan menentukan gof jika terdefinisi.

Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah R_f ∩D_g ≠

{ }

. Dari hasil pada poin sebelumnya kita memiliki

[

∞

)

∩ =

[

∞

) { }

≠ =

∩D 2, R 2,

R_{f g} yang menunjukkan bahwa

gof terdefinisi (ans).

Selanjutnya gof(x)=g(f(x)) =g(2+x2)=1,(ans) c. Menentukan Dgof Menurut definisinya,

{

f g

}

gof xx D f x D D = ∈ , ( )∈ =

{

xx∈R,x2 +2∈R

}

{

xx∈R x∈R

}

= , =

{

x ∈x R

}

(ans) 3. Memeriksa apakah

(

)

    = ≠       − − = 1 ; 1 1 ; 1 1 sin 1 ) ( 2 x x x x x f kontinu di x = 1.

Untuk mengetahuinya harus diperiksa

apakah lim ( ) (1) 1 f x f x = → . Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai x kecuali x =1 berlaku

•

•

3 + + + + - - - - - - + + + +

•

0

-

3 1 1 1 sin 1 ≤      − ≤ − x

(

)

2

(

)

2

(

)

2 1 1 1 sin 1 1 ≤ −      − − ≤ − − x x x x

(

)

2

( ) (

)

2 1 1 ≤ ≤ − − − x f x x Selanjutnya lim

(

1

)

2 0 1 = − − → x x

dan

lim

(

1

)

2 0 1 = − → x x

, sehingga

menurut teorema apit lim

( )

0

1 = → x f x

. Jadi karena lim ( ) 0

( ),

1 1 f x f x ≠ = →

maka f tidak kontinu di x = 1. 4. Diketahui x x x x f( ) 6 9 2 + − =

a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim

2 2 ) 9 6 ( ) 6 2 ( ) ( ' x x x x x x f = − − − + 2 2 2 ) 9 6 6 2 x x x x x − − + − = 2 2 ₉ x x − = 2 ) 3 )( 3 ( x x x− + =

- f monoton naik jika f'

( )

x > 0, yaitu pada selang

(

−∞,−3

) (

∪ 3,∞

)

- f monoton turun jika f'

( )

x < 0, yaitu pada selang

(

−3,0

) ( )

∪ 0,3

- Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -3(+
-) dan

f(-3) ada , maka titik (-3,f(-3)) = (-3,-12) merupakan titik maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di

x =3 (+
-), maka titik (3,f(3)) = (3,0) merupakan titik minimum lokal.

b. Menentukan selang kecekungan 2 2 2 9 1 9 ) ( ' x x x x f = − = − 3 18 ) ( ' ' x x f =

- f cekung ke atas jika f"

( )

x >0, yaitu untuk x>0

- f cekung ke bawah jika f"

( )

x <0, yaitu pada selang

(

−∞,0

)

- f tidak memiliki titik belok.

c. Menentukan Asimtot

- Asimtot datar / miring (berbentuk y = ax + b)

1 9 6 1 lim 9 6 lim ) ( lim _{2 2} 2 =       + − = + − = = ∞ → ∞ → ∞ → _x x _x x x x x f a x x x x x x x x x x x ax x f b x x x 2 2 2 9 6 lim 9 6 lim ) ( lim − = − + − = − + − = ∞ → ∞ → ∞ → 6 9 6 9 6 lim lim− + = − + =− = ∞ → ∞ → x x x x x

Jadi f memiliki asimtot miring yaitu y = x – 6 - Asimtot tegak ( berbentuk x = c)

Karena = − + =∞ → → 2 2 0 0 9 6 lim ) ( lim x x x x f x x , maka x=0 merupakan asimtot tegak dari f.

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007 Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114

Senin 13 November 2006

UTS 2006/2007

1. Menentukan himpunan penyelesaian dari :

a. 5 1 2 1 1 < − < − x

Pertaksamaan ini setara dengan 1 1 2 1 − > − x dan 2 1 5 1 < − x ……....(i)

pertidaksamaan sebelah kiri pada (i) menjadi 0 1 2 ) 1 2 ( 1 > − − + x x 0 1 2 2 > − x x

{

0 1/2

}

1 = xx< ∪x> Hp

pertidaksamaan sebelah kanan pada (i) menjadi 0 1 2 ) 1 2 ( 5 1 < − − − x x 0 1 2 10 6 < − − x x

{

1/2 3/5

}

2 = xx< ∪x> Hp

Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah 2 1 Hp Hp Hp= ∩ =

{

xx<0∪x>3/5

}

(ans) b. 4 ≥ x−3 x ………..(ii) Menurut definisinya    < − ≥ = 0 ; 0 ; x x x x x 1/2 o o 0 + + + + + - - - + + + + 3/5

o

o

1/2

- - - + + + + + - - -

sehingga :

- untuk x≥0 (ii) menjadi 3 4 − ≥ x x

(

)

0 3 4 ≥ − − x x x

(

)

0 4 3 2 ≥ − − − x x x

(

)(

)

0 1 4 ≤ + − x x x

Pertaksamaan terakhir ini terpenuhi untuk 4

0 1∪ < ≤ −

≤ x

x , sehingga himpunan penyelesaian bagi (ii) untuk x≥0 _adalah

(

)

{

1 0 4 0

}

{

(

0 4

)

}

1 = x x≤− ∪ <x≤ ∩x≥ = x <x≤

Hp

- untuk x<0 (ii) menjadi 3 4 − ≥ −x x

(

)

0 3 4 ≥ − − − x x x

(

)

0 4 3 2 ≤ + − x x x

Karena x2− x3 +4 definit positif maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika x<0 . Sehingga himpunan penyelesaian untuk (ii) adalah

{

0 0

} {

0

}

2 = xx< ∩x< = xx<

Hp

Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir untuk (ii) adalah

{

4; 0

}

2 1∪ = ≤ ≠ =Hp Hp xx x Hp (ans) 2. Diberikan f(x)= x dan g(x)=1−x2 a. Memeriksa apakah fog terdefinisi

Untuk memeriksanya kita selidiki apakah R_g ∩D_f ≠

{ }

.

• • • 1 − 0 4 + + + − − − − − + + + − − −

[

∞

)

=

[

∞

)

= 0, , f 0,

f R

D , D_g =R

Sekarang perhatikan bahwa untuk setiap x ∈R berlaku 0 2 ≥ x 0 2 _≤ − x 1 1− x2 ≤ , 1 ) (x ≤ g

Dengan demikian R_g =

(

−∞,1

]

. Kemudian karena

(

−∞

] [

∩ ∞

)

=

∩ _f ,1 0,

g D

R =

[ ]

0,1 ≠

{ }

, maka fog terdefinisi/ada.

b. Menentukan fog dan Dfog

)) ( ( ) (x f g x g fo = = f(1−x2)= 1−x2 Menurut definisinya

{

g f

}

fog x Rx D g x D D = ∈ ∈ , ( )∈

[

)

{

∈ ∈ − ∈ ∞

}

= x Rx R,1 x2 0,

{

∈ 1− 2 ≥0

}

= x R x

{

∈ 2 ≤1

}

= x Rx

{

∈ ≤1

}

= x R x

{

∈ −1≤ ≤1

}

= x R x

3. Menentukan a agar_lim 9 2− −7+3 =1

−∞ → x ax x x 1 3 7 9 lim 2− − + = −∞ → x ax x x 1 3 7 9 3 7 9 3 7 9 lim 2 2 2 ₌ − − − − − −       _{− − +} −∞ → _{x ax x} x ax x x ax x x 1 3 7 9 9 7 9 lim 2 2 2 = − − − − − − −∞ → _{x ax x} x ax x x 1 3 7 9 7 lim 2 = − − − − − −∞ → x x x a x ax x

1 3 7 9 7 lim 2 = − − − −       − − −∞ → x x x a x x a x x 1 3 7 9 7 lim 2 = − − − −       − − −∞ → x x a x a x 1 3 9 = − − − a 6 = ⇒ a 4. Diberikan 2 4 2 ) ( x x x f − = a. Menentukan selang kemonotonan

2 2 2 ) 4 ( 2 ) 2 ( ) 4 ( 2 ) ( ' x x x x x f − − − − = 2 2 2 2 ) 4 ( 4 2 8 x x x − + − = 2 2 2 ) 4 ( 8 2 x x − + = ) ( ' x

f selalu bernilai positif untuk setiap nilai x, (x ≠ ± 2). Ini berarti f(x) selalu naik pada interval (-∞,∞)/{±2}. Fakta ini juga menunjukkan bahwa f(x) tidak memiliki nilai ekstrim .

b. Menentukan selang kecekungan 4 2 2 2 2 2 ) 4 ( ) 8 2 )( 2 )( 4 ( 2 ) 4 ( 4 ) ( '' x x x x x x x f − + − − − − = 2 3 2 2 ) 4 ( ) 8 2 ( 4 ) 4 ( 4 x x x x x − + + − = 3 2 3 3 ) 4 ( 32 8 4 16 x x x x x − + + − = 3 3 3 ) 2 ( ) 2 ( 48 4 x x x x + − + = 3 3 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 12 ( 4 x x x x + − + =

- f(x) cekung ke atas jika f''(x)>0, yaitu pada interval 2 − < x dan 0< x<2 + + + + + - - - + + + + + - - - -2 0 2 f “(x)

- f(x) cekung ke bawah jika f''(x)<0, yaitu pada interval 0

2< <

− x dan x>2

- Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = 0 dan f(0) ada, maka titik (0,f(0)) = (0,0) adalah titik belok.

c. Menentukan asimtot

- Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b) 0 ) 4 ( 2 lim ) 4 ( 2 lim ) ( lim _{2 2} = − = − = = ∞ → ∞ → ∞ → _{x x x} x x x f a x x x

( )

0 1 0 1 4 2 lim ) 4 ( 2 lim ) ( lim 2 2 2 2 =₋ =       ₋ = − = − = ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x ax x f b x x x

Dengan demikian f(x) memiliki asimtot datar yaitu berupa garis y = 0.

- Asimtot tegak ( berbentuk x = c )

Karena =∞ − ∞ = − →− →2 2 2₄ 2 2 lim dan , 4 2 lim x x x x x x maka f(x) memiliki dua asimtot tegak yaitu x = 2 dan x = -2

d. Grafik f(x) 2 4 2 ) ( grafik x x x f − = Q (x,y) P O R 4 P R 4 Gambar 5

5. Perhatikan gambar 5 di atas !

a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah. Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan

2 2 2 16 16 y x y x + = ⇒ = −

Sehingga luas persegi panjang = L(x) = 4× luas persegi panjang

OPQR. PQ OP x L( )= 4× × 4 16 0 4 2 _{≤ ≤} − = x x x

b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum. Nilai maksimum L(x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi ketika L’(x) = 0 yakni 0 16 2 ) 2 ( . 4 16 4 2 2 = − − + − x x x x 0 16 4 16 4 2 2 2 ₌ − − − x x x 0 4 16 4 2 2 2 _{ − =}      _{−x x} 2 2 4 4 64− x = x 64 8x2 = 8 ± = x

Karena 0≤ x≤4maka x yang mememuhi adalah x= 8. Sehingga sekarang kita memiliki 3 buah titik kritis yaitu x= 8 yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 4 yang berasal dari ujung interval domain L(x). Untuk mengetahui dimana L(x) mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L(x) pada titik-titik kritis tersebut yaitu L( 8)=32 , L(0)=0 , L(4)=0 . Karena L( 8)=32 merupakan luas maksimum, maka ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum adalah

8 2 8 2 . 2 . 2OP× PQ= × =4 2×4 2

(

ans

)

.

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006 Mata Kuliah Kalkulus I (MA 1114)

Senin 17 Oktober 2005

UTS 2005/2006

1. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva

( )

i

y xy

x2 − + 2 =16... dengan sumbu x.

Titik potong kurva dengan sumbu x berada pada y = 0. Sehingga dari (i) diperoleh x2 =16 atau

x

=

±

4

Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu (4,0), dan (-4,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukan kemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut.

) 16 ( ) ( 2 2 _x x x xy y D D − + =

(

'

)

2 ' 0 2x− y+xy + yy= 0 ' 2 ' 2x− y−xy+ yy= 0 ' ) 2 ( ) 2 ( x− y − x− y y = ' ) 2 ( ) 2 ( x−y = x− y y y x y x y 2 2 ' − − = Di titik (4,0), y' =2 Di titik (-4,0), y' =2

Jadi persamaan garis singgung di titik(4,0) adalah y−0=2

(

x−4

)

atau y= x2 −8

(

ans

)

, sedangkan Di titik (-4,0) persamaan garis singgungnya adalah y−0=2

(

x−

(

−4

)

)

atau y= x2 +8

(

ans

)

. 2. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan

(

x

)

( )

iii x x 1 1 4... 2 + + + ≤ Menurut definisinya    − < + − − ≥ + = + 1 ), 1 ( 1 , 1 1 x x x x x

Sehingga

- untuk x ≥ -1 (iii) menjadi

(

1

)

(

1

)

4 2 x+ +x x+ ≤ 4 2 2x+ +x2 +x≤ 2 3 2 _{+ x≤} x

(

)

2

( )

₂3 2 2 2 3 _{− ≤} + x

(

)

2 17₄ 2 3 _≤ + x 17 2 1 2 3 _≤ + x 17 17 ₂1 2 3 2 1 _{≤ + ≤} − x 2 3 2 1 2 3 2 1 _{17− ≤ ≤ 17−} − x ] 17 , 17 [ ) , 1 [ ₂3 2 1 2 3 2 1 1= − ∞ ∩− − − Hp [ 1, 17 ₂3] 2 1 ₋ − =

- sedangkan untuk x < -1 (iii) menjadi

(

( 1)

)

(

1

)

4 2− x+ +x x+ ≤ 4 2 2 − + 2 + ≤ − x x x 0 6 2 ≤ − − x x 0 ) 2 )( 3 (x− x+ ≤

(

!

)

3 2≤x ≤ periksa − ] 3 , 2 [ ] 1 , ( 2 = −∞− ∩ − Hp =[−2,−1]

Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (iii) adalah 2 1

Hp

Hp

Hp

=

∪

[

1, 17 ₂3

]

[

2, 1

]

2 1 _{− ∪ − −} − =

[

2, 17 ₂3

]

(ans) 2 1 ₋ − = 3. a. Menentukan a agar 3 1 3 4 9 lim 2 + + + = −∞ → x ax x x 3 1 3 4 9 3 4 9 . 3 4 9 lim 2 2 2 ₌ − + + − + + + + + −∞ → _{x ax x} x ax x x ax x x 3 1 3 4 9 9 4 9 lim 2 2 2 = − + + − + + −∞ → _{x ax x} x ax x x