KISI-KISI PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN

(1)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 1

KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X

MATEMATIKA PEMINATAN

Soal 1

Diberikan dua vektor sebagai berikut:

b



Gambarkan vektor a)2ab b) ab

Jawab:

a) Untuk menggambar vektor 2ab, gambar dahulu vektor 2 , lalu disambung dengan a

vektor b



. Vektor 2 adalah vektor yang panjangnya 2 kali vektor a a dan arahnya sama dengan arah vektor a. Gambar dulu yuk vektor 2 : a

Kemudian, dilanjutkan dengan menggambar vektor b. Letakkan pangkal vektor b pada ujung vektor 2 : a

Lalu mana vektor 2ab ?

Buat garis berarah (vektor) dari pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor 2 ) ke a

ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b). Itulah vektor 2ab. Gambarnye:

a



a



2

(2)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 2 b) Untuk menggambar vektor ab, gambar dahulu vektor a, lalu disambung dengan

vektor b. Pertama, gambar vektor a:

Selanjutnya, vektor b adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor

b, tapi arahnya berlawanan dengan arah vektor b.

Kalau vektor barahnya ke kanan atas:

Maka vektor b arahnya ke kiri bawah:

Geser vektor b ini ke vektor a, pangkal vektor b ditempelkan ke ujung vektor a.

a



2 b



2 a





b



a



b



b





a



(3)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 3 Nah, hubungin pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a) ke

ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b), jadi deh vektor ab.

Soal 2a

Diketahui a 4, ab  61, sudut apit antara vektor a dan b adalah 60o. Maka b ....

Jawab:

Untuk soal ini, gunakan rumus menawan berikut:

 

 

b a2 b 2 2a b cos

a

  

 



dengan  adalah sudut apit antara vektor

a



dan

b



.

Masukkan nilai-nilai yang ada,

 

 

b a2 b 2 2a b cos

a     

 

   

 4 2 4 cos60

61 2 b2 b

2 1 4

2 16

61  b2    b 

kuadratkan

6116 b2 4b

0 b2 4b 1661 



0 b2 4b 45

a



b





b

a







Hafalin rumus

(4)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 4

  

9 5

(Ternyata, memecahkan soal vektor tidak sesulit memecahkan batu karang dengan

gergaji!!)

Soal 2b

Diketahui persamaan a b c 

Kita mulai dari persamaan:

c

(5)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 5 Soal 3a

Titik D(4, 7), E(5, –1) dan F(p, 6) terletak pada satu garis lurus. Maka nilai 30p –1 = …

Jawab:

Jika titik D, E dan F segaris, maka berlaku:

 

mDE DF

) (e d m d

f   



 



_

  

 

            

 

            

7 4 1 5 7

4

6 m

p

     

     

 

 

8 1 1

4 m p

Dari sini,

1 4 

 m

p dan 18m  m

8 1

1 8 1 4  



p

4

8 1_



p

8 1 4



p

8 33



p

Maka nilai dari

4 3 122 4

491 8

982 8

8 8 990 1

8 33 . 30 1

(6)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 6 Soal 3b

Apakah syarat dua vektor sejajar? Jelaskan!

Nah, jika vektor

  

 

  

  

q p

s 2

12 

sejajar dengan vektor

  

 

  

 

 

2 1 3 t



.maka nilai p2 q2 ....

Jawab:

Dua vektor sejajar jika vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang lain.

Jika vektor ssejajar dengan vektor t, maka dapat ditulis t

m s 

(dengan m suatu bilangan riil)

Masukkan nilai vektor sdan tpada soal, didapatkan:

  

 

  

 

    

 

  

 

2 1 3 2

12 m q

p

Dari komponen pertama,

12 = m . 3  m = 4

Dari komponen kedua,

2pm1 2p41

 p = 2

Dari komponen ketiga,

) 2 (

 m q

) 2 ( 4 



q

8

 

q

Maka nilai p2 q2 22(8)2 46468.

Soal 3c

Jika p 2i j dan qi j k maka p3q ....

(7)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 7 k

Diberikan

 (ii) vektor satuan searah vektor b (iii) panjang proyeksi vektor a pada b

Kalau mau dirasionalkan penyebutnya juga boleh!!

(8)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 8 (iv) Proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah b

Kalau bilangan 19

4



dimasukin ke dalam komponen-komponen vektor juga boleh, nggak

dimarahin kok!

(ii) Jika  adalah sudut yang dibentuk antara vektor



PQ, kemudian hitung panjangnya (yaitu PQ).

(9)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 9 (ii) Gunakan rumus



Dari soal (i) sudah didapatkan



Soal Matematika ada 2 macam:

1. Soal yang singkat, mudah dan simpel.

2. Soal yang mengasyikkan…

Soal 5

Di suatu bidang terletak titik A(7, 0) dan titik B(–14, 7). Titik P terletak pada ruas garis AB sehingga AP : PB = 4 : 3. Sedangkan titik Q terletak pada perpanjangan AB sedemikian sehingga AB : BQ = 7 : 2. Tentukan koordinat titik P dan titik Q!

(10)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 10 Perhatikan gambar!

Titik P terletak di dalam ruas garis AB. Vektor posisi titik P dapat dicari dengan persamaan:



sehingga koordinat titik P adalah (–5, 4).

Untuk titik Q, perhatikan bahwa titik Q terletak di luar_{ruas garis AB.}

Perhatikan gambar di atas! Karena AB : BQ = 7 : 2 , maka AQ : QB = 9 : –2 sehingga vektor posisi titik Q dapat dinyatakan dengan persamaan



Sehingga koordinat titik Q adalah (–20, 9).

Soal 6a

Vektor

(11)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 11 (Bukti: Jika vektor ategak lurus b maka sudut apitnya 90 , sehingga 

Dalam bentuk vektor kolom, vektor a dan b bisa juga ditulis:

a = –2i + j + xk

Karena panjang proyeksinya 8, maka:

(12)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 12 8

14 2

6

10 _

 x

14 16 6

10 

 x

6x16 1410

6 10 14

16 



x

3 5 14

8 



x (Pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 2)

Soal 7a

Diketahui vektor-vektor satuan arah sumbu X, Y dan Z berturut-turut adalah i,j,dan k. Tentukan: (a) i (ii) k (iii) kk (d) ij

Jawab:

(a) i 1

(Alasan: Karena

i



adalah vektor satuan, panjangnya tentu 1 satuan dong!)

(b)

k



1 

(Alasan:

k



juga vektor satuan)

(c)

k



k



k

cos

0 



1 .

1 

1 



(INGAT! Sudut antara vektor

k



dengan

k



adalah 0o

.

INGAT juga nilai cos01)

(d)

i



j



i

j

cos

90 



1 .

0 

0 



(INGAT! Sudut antara vektor

i



dan



j

adalah 90.

INGAT juga cos900)

Soal 7b

Diketahui a 8 dan b 2 3. Sudut apit antara vektor a dan b adalah 30o. Nilai dari ....

(13)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 13 Jawab:

Gunakan definisi perkalian skalar ab  a b cos    

. Maka:

. 24 3 8 3 2 1 3 16 30 cos 3 2 8

cos      

 b a b a   

Soal 8

Pada jajargenjang PQRS, vektor QPu



dan QR v



.

Titik X adalah titik tengah SR, sedangkan titik Y adalah titik tengah PS. Nyatakan vektor: (a)



QX (b)



XY dalam udan v!

Jawab:

(a) Perhatikan gambar!

.

(b) Perhatikan gambar!

(Lihat vektor



SY dan v berlawanan arah) 8

u v RX QR

QX  

2 1

  

  



v u SY XS

XY  

2 1 2

1 _

    

(14)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 14 Soal 9

Perhatikan skema vektor-vektor berikut ini! Tentukan hubungan antara vektor-vektor berikut ini:

(a)

(b)

Jawab:

(a) Perhatikan vektor w, y dan z!

(15)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 15 Hasilnya adalah vektor x ! Lihat gambar berikut:

Jadi, hubungannya dapat dinyatakan dengan persamaan:

w

+

y

+

z

=

_x

(b) Perhatikan gambar!

Jika vektor



, KL



, LM



, MP



, PQ



, QR dan



RK ditambah, ternyata posisinya balik lagi ke posisi semula. Karena balik ke posisi semula, maka vektor resultannya adalah vektor

.

0 Sehingga hubungannya dapat kita tulis sebagai:

0

    

     



RK QR PQ MP LM KL

Soal 10

Aku sebuah vektor dalam dua dimensi. Panjangku 170 satuan. Aku tegak lurus vektor

       

11 7

. Komponen x-ku lebih besar daripada komponen y-ku. Siapakah aku?

Jawab:

(16)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 16 Misalkan aku =

Karena aku tegak lurus vektor



Substitusi persamaan (**) ke persamaan (*),

170

(17)