Latihan Soal OSK OSP Matematika SMA 2016

KOMBINATORIKA

1. How many integers are there from 1 through 9999 that have distinct digits ?

2. Determine the coefficient of 𝑥5𝑦5𝑧5 in (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧)20.

3. A juggling bag contains 5 yellow, 4 orange, and 5 white juggling balls. A juggler

selects 1, 3, or 5 yellow balls; 2, 3, or 4 orange balls; and 1, 4, or 5 white balls.

Assuming that balls of the same color are identical,in how many ways can 10 balls

be selected ?

4. Berapakah banyaknya pembagi dari 302003 yang tidak dapat dibagi dengan 202000 ? 5. What is the value of the constant term in the expansion of (𝑥2+_𝑥1₂− 2)10

6. In how many ways can a committee of k persons with a chairman be from a set of n

people?

7. Determine the number of ordered pairs of positive integers (𝑎, 𝑏) such that the least common multiple of 𝑎 and 𝑏 is 23571113.

8. Tentukan banyaknya kombinasi 50-digit yang dibentuk dari {0, 1, 2, …., 9} dimana setiap digit muncul paling sedikit dua kali.

9. Tentukan 𝑥, 𝑦 sedemikian sehingga

(100₀ ) + 2(100₁ ) + 4(100₂ ) + ⋯ + 2100₍100

100) = 𝑥𝑦

10. Claudia has cans of paint in eight different colors. She wants to paint the four unit

squares of a 2 𝑥 2 board in such a way that neighboring unit squares are painted in different colors. Determine the number of distinct coloring schemes Claudia can

make. Two coloring schemes are considered the same if one can be obtained from

the other by rotation.

12. The PEA mathematics department is to hold a meeting to discuss pedagogy. After a

long conversation among 23 members of the department, they decide to split into 5

groups of three and 2 groups of four to continue their discussion. In how many

ways can this be done?

13. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4×64×6 dengan beberapa ruas garis,

Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang

tanpa sudut siku-siku pada gambar tersebut.

14. Sebanyak (𝑛 + 1) bilangan dipilih dari himpunan (1, 2, 3, 4, 5, … , 2𝑛). Buktikan bahwa pasti terdapat 2 bilangan dengan sesilih n.

15. Diberikan 𝐻 ⊂ {1, 2, 3, 4, … , 100} dengan |𝐻| = 10. Tunjukkan bahwa selalu ada dua himpunan bagian tak kosong dari H yang saling asing, dimana jumlah semua

bilangan anggota dari kedua himpunan bagian tersebut sama.

16. Misalkan subset A memiliki 84 anggota dari { 1, 2, 3, 4, ..., 169} sehingga tidak ada

dua elemen yang memiliki jumlah 169. Buktikan bahwa A mengandung sebuah

bilangan kuadrat.

17. Diberikan 2012 titik berbeda A1, A2, ... , A2012 di bidang Cartesius.

Untuk sebarang permutasi B1, B2, ..., B2012 dari A1, A2, ..., A2012, didefinisikan

bayangan dari titik P terhadap permutasi tersebut sebagai berikut :

Titik P dirotasikan 180° dengan pusat B1 menghasilkan titik P1,

titik P1 dirotasikan 180° dengan pusat B2 menghasilkan titik P2,

titik P2011 dirotasikan 180° dengan pusat B2012 menghasilkan titik P2012.

Selanjutnya, titik P2012 dikatakan sebagai bayangan dari titik P terhadap permutasi

B1, B2, . . . , B2012. Misalkan N adalah banyak bayangan titik P yang berbeda terhadap

semua permutasi dari A1, A2, ... , A2012.

Tentukanlah nilai terbesar yang mungkin bagi N.

18. Suppose the ppositive integer n is odd. First Al writes the numbers 1, 2, 3, ..., 2n on

the blackboard. Then he picks any two numbers a,b erases them, and writes instead,

|a-b|. Prove that an odd number will remain at the end.

19. Sekumpulan n orang duduk pada n buah kursi yang telah ditentukan dalam suatu

acara. Kemudian orang-orang tersebut diharuskan untuk berpindah tempat duduk

1 kali. Berapa banyaknya kemungkinan ?

20. Buktikan bahwa

∑𝑛𝑘=1(−1)_𝑘𝑘−1(𝑛_𝑘) = 1 +1₂+ ⋯ +_𝑛1

21. Diketahui suatu papan catur seperti pada gambar. Dapatkah suatu biji catur kuda

berangkat dari suatu petak melewati setiap petak yang lain hanya satu kali dan

kembali ke tempat semula ? Jelaskan jawab anda !

Penjelasan : Langkah catur kuda berbentuk L, yaitu dari kotak asal :

 2(dua) kotak ke kanan/kiri dan 1(satu) kotak ke depan/belakang; atau

ALJABAR

1. Untuk 0 < 𝑥 <𝜋₂, hitung jumlah deret tak hingga dari

cos 𝑥 + cos 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 sin2_{𝑥 + cos 𝑥 sin}3_{𝑥 + ⋯}

2. Misalkan 𝑓(𝑥) adalah polinomial berderajat 8, dan 𝑓(𝑚) =_𝑚1 untuk 𝑚 =

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tentukan 𝑓(10).

3. Diketahui 𝑓(1) = 1 dan 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1(𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + ⋯ + 𝑓(𝑥 − 1)).

Tentukan nilai dari 𝑓(1998).

4. Tentukan semua solusi bilangan bulat dari persamaan

𝑥 + 𝑦 = 𝑥2_{− 𝑥𝑦 + 𝑦}2_.

5. Selesaikan sistem persamaan berikut:

𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑥2 _{+ 𝑦}2 _{= 8}

6. Tentukan semua pasangan bilangan real (𝑥, 𝑦) yang memenuhi persamaan

𝑥2_{+ 30𝑥 + 250 =} 200 𝑦2_+10𝑦+33.

7. Diketahui 𝑎2+ 𝑏2 = 5, dan 𝑐2+ 𝑑2 = 5. Tentukan nilai maksimum dari 𝑎𝑐 +

𝑏𝑑.

8. Misalkan 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 adalah bilangan real positif dengan sifat 𝑥𝑦𝑧 = 1. Nilai terkecil dari (𝑥 + 2𝑦)(𝑦 + 2𝑧)(𝑥𝑧 + 1) tercapai saat 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 bernilai ...

9. Diberikan barisan bilangan rasional {𝑎_𝑘}, 𝑘 ∈ 𝑁 yang didefinisikan dengan 𝑎₁ = 2 dan 𝑎_𝑛+1 =𝑎_𝑎𝑛−1

𝑛+1, 𝑛 ∈ 𝑁. Nilai 𝑎2016 adalah ...

10. Misalkan a dan b bilangan yang memenuhi

11. Tentukan semua nilai 𝑘 yang mungkin sehingga tidak ada pasangan bilangan real

(𝑥, 𝑦) yang memenuhi sistem persamaan

𝑥2 _{+ 𝑦}2 _{= 0 (𝑥 − 𝑘)}2 _{+ 𝑦}2 _{= 1}

12. Banyaknya bilangan real 𝑥 yang memenuhi persamaan

𝑥4 − 2𝑥3 + 5𝑥2 − 176𝑥 + 2016 = 0 adalah ⋅⋅⋅ 13. Jika 𝑥1,𝑥2,⋅⋅⋅,𝑥2016bilangan real, maka nilai terkecil dari

TEORI BILANGAN

1. Berapa banyak pasangan bilangan bulat (𝑎, 𝑏) yang memenuhi 1_𝑎+1_𝑏=₃₆₀1

2. Jumlah 100 suku pertama dari suatu barisan aritmetika adalah -1. Jumlah suku

kedua, keempat, keenam, ..., dan keseratus adalah 1. Tentukan jumlah dari kuadrat

100 suku pertama barisan itu.

3. Misalkan A = 22225555 _{+ 5555}2222_{. Tentukan sisa pembagian A oleh 13.}

4. Find all integral solutions to the equation

(𝑥2_{+ 1)(𝑦}2_{+ 1) + 2(𝑥 − 𝑦)(1 − 𝑥𝑦) = 4(1 + 𝑥𝑦).}

5. For each positive integer 𝑛, let 𝑠(𝑛) denote the number of ordered pairs (𝑥, 𝑦) of positive integers for which 1

𝑥+

9. Diberikan s dan t bilangan bualt positif sehingga 7𝑠||400! dan 3𝑡||(((3!)!)!). Tentukan nilai dari 𝑠 + 𝑡 .

10. Tentukan semua solusi bilangan bulat 𝑥, 𝑦, 𝑧 yang memenuhi

𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 𝑧}2 _{= 2𝑥𝑦𝑧}

12. Diberikan bilangan asli 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 yang memenuhi 𝑎𝑐 = 𝑏𝑑. Buktikan bahwa bilangan

𝑎2_{+ 𝑏}2_{+ 𝑐}2_{+ 𝑑}2 _{bukan bilangan prima.}

13. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan 𝑛 = 𝐹𝑃𝐵(𝑎, 𝑏) +

𝐾𝑃𝐾(𝑎, 𝑏) − 𝑎 − 𝑏 adalah bilangan bulat genap tak negatif.

14. Buktikan bahwa 15𝑥2− 7𝑦2 = 9 tidak memiliki solusi bilangan bulat.

15. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥, buktikan bahwa 4𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) tidak memiliki solusi bilangan asli.

16. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 6|2𝑛3+ 4𝑛.

17. Let 𝑛 = 𝑝₁𝑎1𝑝₂𝑎2… 𝑝_𝑛𝑎𝑛_, 𝑝_{𝑖 be distict primes. Then n has} (𝑎1+ 1) … (𝑎_𝑛+ 1)

GEOMETRI

1. Diberikan segitiga ABC, dengan BC = a, AC = b dan ∠C = 60o. Jika 𝑎_𝑏= 2 + √3, maka besarnya sudut B adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

2. Diberikan segitiga ABC, dengan BC = 5, AC = 12, dan AB = 13. Titik D dan E

berturut-turut pada AB dan AC sedemikian rupa sehingga DE membagi segitiga ABC

menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum DE adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ 3. Diberikan segitiga ABC dengan tan ∠CAB = ₂₂7. Melalui titik sudut A ditarik garis

tinggi sedemikian rupa sehingga membagi sisi BC menjadi segmen-segmen dengan

panjang 3 dan 17. Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

4. Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB sedemikian rupa

sehingga 𝐴𝑀

6. Diberikan segitiga ABC dengan AD sebagai garis bagi dalam ∠BAC. Misalkan titik M dan N berturut-turut pada AB dan AC sehingga ∠MDA=∠ABC

dan ∠NDA=∠ACB. Jika P merupakan titik potong dari garis AD dan garis MN, buktikan bahwa AD3_=AB⋅_AC⋅_AP

7. Misalkan ABC suatu seitiga dan P titik di dalam segitiga. Misalkan D, E, F berturut -

lurus CA, dan PF tegak lurus AB. Jika segitiga DEF sama sisi dan ∠AP B = 70◦ , maka

∠ACB = ...

8. Lingkaran dalam dari segitiga ABC, menyinggung sisi-sisi BC, CA dan AB

berturut-turut di D, E, dan F. Melalui D, ditarik garis tegak lurus EF yang memotong EF di G.

Buktikan bahwa 𝐹𝐺

𝐸𝐺 =

𝐵𝐹 𝐶𝐸.

9. Segitiga ABC siku-siku di C. Garis bagi sudut BAC dan ABC memotong garis BC dan

CA di P dan Q berturut-turut. Dari titik P dan Q dibuat garis yang tegak lurus dengan

sisi AB dan berpotongan pada titik M dan N berturut-turut. Tentukan besar sudut

MCN.

10. Pada segitiga ABC besar sudut A sama dengan dua kali besar sudut B. Buktikan

bawa AC2 _{+ AB . AC = BC}

11. Pada segitiga ABC berlaku 3sin 𝐴 + 4cos 𝐵 = 6 dan 4sin 𝐵 + 3cos 𝐴 = 1 . Tentukan besar sudut C.

12. Diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c. Nilai a2 + b2 + c2 sama dengan 16

kali luas segitiga ABC. Besarnya nilai ctg A + ctg B + ctg C adalah ...

13. In scalene triangle ABC, D is the midpoint of BC, E is the midpoint of AC, and F

is the midpoint of AB. The area of triangle DEF is 6. Compute the area of triangle

ABC.

14. Cevian AQ is extended to meet the circumcircle of an equilateral