PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X MATEMATIKA PEMINATAN

(1)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 1

PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X

MATEMATIKA PEMINATAN

Soal 1

Diberikan dua vektor sebagai berikut:

b



Gambarkan vektor a)2ab b) ab Jawab:

a) Untuk menggambar vektor 2ab, gambar dahulu vektor a2 , lalu disambung dengan  vektor b



. Vektor a2 adalah vektor yang panjangnya 2 kali vektor a  dan arahnya sama dengan arah vektor a. Gambar dulu yuk vektor 2 : a

Kemudian, dilanjutkan dengan menggambar vektor b. Letakkan pangkal vektor b pada ujung vektor 2 : a

Lalu mana vektor 2ab ?

Buat garis berarah (vektor) dari pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a2 ) ke  ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b). Itulah vektor 2ab. Gambarnye:

a



a



2 a



2 b



(2)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 2 b) Untuk menggambar vektor ab, gambar dahulu vektor a, lalu disambung dengan

vektor b. Pertama, gambar vektor a:

Selanjutnya, vektor b adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor b, tapi arahnya berlawanan dengan arah vektor b.

Kalau vektor barahnya ke kanan atas:

Maka vektor b arahnya ke kiri bawah:

Geser vektor b ini ke vektor a, pangkal vektor b ditempelkan ke ujung vektor

a.

a



2 b



2 a





b



a



b



b





a



b





(3)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 3 Nah, hubungin pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a) ke

ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b), jadi deh vektor ab.

Soal 2

Diketahui a 4, ab  61, sudut apit antara vektor a dan b adalah 60o. Maka b .... Jawab:

Untuk soal ini, gunakan rumus menawan berikut:

    b a2 b 2 2a b cos a      

dengan  adalah sudut apit antara vektor

a



dan

b



.

Masukkan nilai-nilai yang ada,

    b a2 b 2 2a b cos a             4 2 4 cos60 61 2 b2 b 2 1 4 2 16 61  b2    b  kuadratkan 6116 b2 4b 0 b2 4b 1661   0 b2 4b 45

a



b





b

a







Hafalin rumus

ini yuuuk…!!

(4)

  

9 5 0 b  b  0 9  b atau b 50 9   b  atau b 5 

Solusinya adalah b 5 sebab panjang vektor diasumsikan positif. Jadi, b 5.

(Ternyata, memecahkan soal vektor tidak sesulit memecahkan batu karang dengan gergaji!!) Soal 3 Diketahui persamaan a b c    3 2 dengan             2 1 5 a ,             3 9 m b dan             1 2 8 n k c . Maka nilai k + m + n = …. Jawab:

Kita mulai dari persamaan:

c b a 3

2 .

Masukkan nilai vektor a,b,dan c, sehingga menjadi:

                                   1 2 8 3 9 3 2 1 5 2 n k m                                    1 2 8 9 3 27 4 2 10 n k m                            1 2 9 8 3 27 4 2 10 n m k

Dari sini, kita peroleh:

k  27 10  k 17 8 3 2   m  m2 1 2 9 4  n  n7 Sehingga kmn172712.

(5)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 5 Soal 4

Titik D(4, 7), E(5, –1) dan F(p, 6) terletak pada satu garis lurus. Maka nilai 30p – 1 = …

Jawab:

Jika titik D, E dan F segaris, maka berlaku:

  mDE DF ) (e d m d f        _                                  7 4 1 5 7 4 6 m p                 8 1 1 4 m p Dari sini, 1 4   m p dan 18m  m 8 1 1 8 1 4    p 4 8 1   p 8 1 4  p 8 33  p

Maka nilai dari

4 3 122 4 491 8 982 8 8 8 990 1 8 33 . 30 1 30p        .

(6)

Apakah syarat dua vektor sejajar? Jelaskan!

Nah, jika vektor

           q p s 2 12 

sejajar dengan vektor

            2 1 3 t  .maka nilai p2 q2 .... Jawab:

Dua vektor sejajar jika vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang lain.

Jika vektor ssejajar dengan vektor t, maka dapat ditulis

t m s 

(dengan m suatu bilangan riil)

Masukkan nilai vektor sdan tpada soal, didapatkan:

                      2 1 3 2 12 m q p

Dari komponen pertama,

12 = m . 3  m = 4

Dari komponen kedua,

2pm1 2p41  p = 2

Dari komponen ketiga,

) 2 (  m q ) 2 ( 4   q 8   q Maka nilai p2 q2 22(8)2 46468. Soal 6

Jika p 2i j dan qi j k maka p3q .... Jawab:

(7)

k j i k j i j i k j i j i q p3(2 )3(  ) 2 333523. Maka p3q  52 2232  2549  38. Soal 7 Diberikan            0 2 6 a dan             2 5 3 b  .

Tentukan: (i) hasil kali skalar ab .... (ii) vektor satuan searah vektor b

(iii) panjang proyeksi vektor a pada b

(iv) proyeksi vektor orthogonal a pada b



Jawab:

(i) Hasil kali 18 10 0 8 2 5 3 0 2 6                              b a   .

(ii) Vektor satuan searah vektor b adalah

b b   .                                                          38 2 38 5 38 3 2 2 2 ₃₈ 2 5 3 4 25 9 2 5 3 2 5 ) 3 ( 2 5 3 b b   .

(iii) Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

b b a     . 38 8 38 0 10 18 2 5 ) 3 ( 2 5 3 0 2 6 2 2 2                                  b b a    .

Kalau mau dirasionalkan penyebutnya juga boleh!!

38 19 4 38 38 8 38 38 38 8 38 8         .

(8)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 8 (iv) Proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah b

b b a                2 .                  _ _ _                                   2 5 3 2 5 ) 3 ( 2 5 3 0 2 6 2 2 2 2 2 b b b a                       2 5 3 2 5 ) 3 ( 0 10 18 2 2 2              2 5 3 38 8              2 5 3 19 4 Kalau bilangan 19 4 

dimasukin ke dalam komponen-komponen vektor juga boleh, nggak

dimarahin kok!                                19 8 19 20 19 12 2 5 3 19 4 . Soal 8

Diberikan titik-titik P(3, 1, 2), Q(4, 1, –2) dan R(0, 2, 2). Tentukan: (i) Jarak PQ

(ii) Jika  adalah sudut yang dibentuk antara vektor



PQ dan



PR , tentukan nilai cos .  Jawab:

(i) Cari dulu vektor



PQ , kemudian hitung panjangnya (yaitu PQ).

                                      4 0 1 2 1 3 2 1 4 p q PQ   . Maka   12 02 (4)2  1016  17  PQ PQ .

(9)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 9 (ii) Gunakan rumus _ _

     PR PQ PR PQ cos

Dari soal (i) sudah didapatkan

             4 0 1 PQ dan  17 

PQ . Sekarang kita cari

 PR dan  PR .                                      0 1 3 2 1 3 2 2 0 p r PR   , sehingga  (3)2 12 02  910  10  PR . Maka 170 3 170 0 0 3 10 17 0 1 3 4 0 1 cos                                      PR PQ PR PQ .

Soal Matematika ada 2 macam:

1. Soal yang singkat, mudah dan simpel. 2. Soal yang mengasyikkan_…

Soal 9

Di suatu bidang terletak titik A(7, 0) dan titik B(–14, 7). Titik P terletak pada ruas garis AB sehingga AP : PB = 4 : 3. Sedangkan titik Q terletak pada perpanjangan AB sedemikian sehingga AB : BQ = 7 : 2. Tentukan koordinat titik P dan titik Q!

(10)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 10 Perhatikan gambar!

Titik P terletak di dalam ruas garis AB. Vektor posisi titik P dapat dicari dengan persamaan:

                                              4 5 7 28 35 7 0 21 28 56 7 0 7 3 7 14 4 3 4 3 4b a p    .

sehingga koordinat titik P adalah (–5, 4).

Untuk titik Q, perhatikan bahwa titik Q terletak di luar ruas garis AB.

Perhatikan gambar di atas! Karena AB : BQ = 7 : 2 , maka AQ : QB = 9 : –2 sehingga vektor

posisi titik Q dapat dinyatakan dengan persamaan

                                               9 20 7 63 140 7 0 14 63 126 7 0 7 2 7 14 9 2 9 2 9b a q   

Sehingga koordinat titik Q adalah (–20, 9).

Soal 10 Vektor             4 3 9

a tegak lurus vektor

            1 3 4 1 m b . Tentukan nilai m. Jawab:

(11)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 11 (Bukti: Jika vektor ategak lurus b maka sudut apitnya 90 , sehingga 

0 0 90 cos cos     b a b a b a b a        , terbukti) Jadi, ab 0 0 1 3 4 1 4 3 9                         m 9.13.44(3m1)0 91212m40 12m10 12m1 12 1   m Soal 11

Diberikan vektor a = –2i + j + xk dan vektor b = 4i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 8, maka x = ....

Jawab:

INGAT! Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

b

a



.

Dalam bentuk vektor kolom, vektor a dan b bisa juga ditulis:

a = –2i + j + xk             x 1 2 b = 4i – 2j + 6k             6 2 4

Karena panjang proyeksinya 8, maka:

b

a



= 8 8 6 ) 2 ( 4 6 2 4 1 2 2 2 2_ _ _                        x -8 36 4 16 6 2 8 _      x 8 56 6 10 _  x

(12)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 12 8 14 2 6 10 _  x 14 16 6 10   x 6x16 1410 6 10 14 16   x 3 5 14 8  

x (Pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 2)

Soal 12

Diketahui vektor-vektor satuan arah sumbu X, Y dan Z berturut-turut adalah i,j,dan k. Tentukan: (a) i (ii) k (iii) kk (d) ij

Jawab:

(a) i 1

(Alasan: Karena

i



adalah vektor satuan, panjangnya tentu 1 satuan dong!)

(b)

k



1 

(Alasan:

k



juga vektor satuan)

(c)

k



k



k

cos

0 



1 .

1 

1 



(INGAT! Sudut antara vektor

k



dengan

k



adalah 0o

.

INGAT juga nilai cos01)

(d)

i



j



i

j

cos

90 



1 .

0 

0 



(INGAT! Sudut antara vektor

i



dan



j

adalah 90. INGAT juga cos900)

Soal 13

Diketahui a 8 dan b 2 3. Sudut apit antara vektor a dan b adalah 30o. Nilai dari ....

 b a 

(13)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 13 Jawab:

Gunakan definisi perkalian skalar ab  a b cos     . Maka: . 24 3 8 3 2 1 3 16 30 cos 3 2 8 cos        b a b a    Soal 14

Pada jajargenjang PQRS, vektor QPu



dan QR v



.

Titik X adalah titik tengah SR, sedangkan titik Y adalah titik tengah PS. Nyatakan vektor:

(a)  QX (b)  XY dalam udan v! Jawab:

(a) Perhatikan gambar!

.

(b) Perhatikan gambar!

(Lihat vektor



SY dan v berlawanan arah) 8 u v RX QR QX   2 1        v u SY XS XY   2 1 2 1 _      

(14)

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini:

(a) 0 ) 9 ( ) 1 )( 6 ( 3 2     x x x (b) x29  x2 3x2 Jawab: (a) Pertidaksamaan 0 ) 9 ( ) 1 )( 6 ( 3 2     x x x

Pertama, tentukan titik-titik batas, yaitu nilai-nilai x sehingga:

0 6  x (x1)2 0 (x9)3 0 x6 x10 x90 1  x x9

Lalu letakkan nilai-nilai batas ini pada garis bilangan:

Perhatikan bahwa pada angka –6 titiknya satu buah, angka 1 titiknya dua buah,

sedangkan pada angka 9 titiknya tiga buah, sesuai dengan pangkat pada soal

0 ) 9 ( ) 1 )( 6 ( 3 2     x x x .

Ingat aturan pengisian tanda:

Jika titiknya ganjil, maka daerah kanan dan kirinya berbeda tanda

(15)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 15 Cek tanda untuk daerah paling kanan. Ambil sembarang bilangan yang > 9, misalkan 10.

Masukkan x = 10 ke bentuk 3 2 ) 9 ( ) 1 )( 6 (    x x x . 0 1 9 16 ) 9 10 ( ) 1 10 )( 6 10 ( ) 9 ( ) 1 )( 6 ( 3 2 3 2 3 2           x x x hasilnya positif.

Jadi kita isi deh daerah paling kanan positif:

Karena angka 9 titiknya ada tiga (ganjil), maka daerah tepat di sebelah kiri 9 tandanya berbeda, yaitu negatif:

Dan karena angka 1 titiknya ada dua (genap), maka daerah tepat di kiri 1 tandanya sama, yaitu negatif:

Kemudian, karena angka –6 titiknya ada satu (ganjil), maka daerah tepat di kiri –6 tanda berbeda dengan di kanannya, yaitu bertanda positif:

Lengkaplah sudah pengisian tanda!

Pada soal , 0 ) 9 ( ) 1 )( 6 ( 3 2     x x x

berarti yang diminta adalah daerah yang bertanda

(16)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 16 Sehingga himpunan penyelesaian (HP)nya dapat ditulis sebagai:

} , 9 1 atau 1 6 {x x x x bilanganriil HP     

atau bisa juga ditulis:

} , 1 , 9 6 {x x x x bilanganriil HP    

(b) Cara menyelesaikan pertidaksamaan x2 9  x2 3x2 adalah dengan mengkuadratkannya menjadi:

x2 9x2 3x2 ……….. (I) dengan syarat bentuk di bawah tanda akar harus 0:

x2 90 ………..(II) dan x2 3x20 ……… (III)

Pertama, kita selesaikan dulu pertidaksamaan (I):

2 3 9 2 2 _ _ _x _ _x_ x 3x29 3x11 3 11  x ………(*) Bagannya:

(17)

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 17 Berikutnya, kita kerjakan pertidaksamaan (II):

0 9 2 _ _ x 0 ) 3 )( 3 (x x  3 atau 3    x x ………... (**)

(Catatan: Karena ada tanda = nya, bulatannya penuh)

Juga kita kerjakan pertidaksamaan (III):

0 2 3 2_ _ _ x x 0 ) 2 )( 1 (x x  x1 atau x2 ………... (***)

(Catatan: Karena ada tanda = nya, bulatannya penuh)

Nah, penyelesaian akhirnya adalah irisian dari ketiga daerah tersebut (daerah (*), (**), dan (***)). Irisan adalah bagian yang berada di bawah tiga garis. Yuuk kita iris:

Maka , bilangan riil} 3

11

{x x x

(18)