MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI: APLIKASI DALAM EKONOMI

A. PENDAHULUAN

Salah satu permasalahan yang banyak dijumpai dan harus dipecahkan dalam bidang ekonomi dan bisnis adalah permasalahan optimisasi baik berupa maksimisasi (memaksimumkan nilai) ataupun minimisasi (meminimumkan nilai). Persoalan maksimisasi dan minimisasi tersebut berkaitan dengan penggunaan fungsi turunan serta nilai maksimum dan nilai minimum fungsi turunan.

Dua bentuk persoalan optimisasi dalam bidang ekonomi dan bisnis adalah dalam bidang produksi dan laba (keuntungan). Pada aspek produksi, seorang produsen dengan sumber daya tertentu selalu berusaha untuk memaksimumkan output yang dihasilkan.

Demikian pula pada aspek laba, seorang produsen selalu berusaha untuk mencapai laba yang paling maksimum.

B. OPTIMALISASI PADA FUNGSI LABA (LABA MAKSIMUM)

Laba atau keuntungan (π) merupakan selisih antara penerimaan total (TR) yang diterima terhadap biaya total (TC) yang dikeluarkan seorang produsen. Secara matematis fungsi laba dinyatakan dengan:

Π = TR – TC

Apabila TR = TC maka produsen berada pada titik impas atau Break Event Poin (BEP), Apabila TR > TC maka prdusen berada dalam keadaan untung, sedangkan jika TR < TC maka produsen berada dalam keadaan mengalami kerugian. Laba/rugi produsen akan mencapai maksimum pada saat turunan pertama dari fungsi laba sama dengan nol atau:

π’ = ∂π / ∂Q = 0

Karena π = TR – TC, dan turunan pertama dari TR adalah MR dan turunan pertama dari TC adalah MC, maka persamaan di atas dapat ditulis:

π’ = TR’ – TC’ = 0 π’ = MR – MC = 0

Dengan demikian laba/rugi produsen akan tercapai pada saat penerimaan marjinal sama dengan biaya marjinal atau MR = MC. Hal ini merupakan syarat perlu (necessary condition) agar laba/rugi produsen mencapai maksimum. Untuk mengetahui apakah turunan pertama fungsi laba (π’) produsen memberikan keuntungan maksimum ataukah

menghasilkan kerugian maksimum, maka perlu diuji dengan menggunakan turunan kedua dari fungsi laba (π”), dengan ketentuan sebagai berikut:

Jika π” < 0 → keuntungan maksimum Jika π” > 0 → kerugian maksimum

Dengan demikian, syarat perlu (necessary condition) dan syarat cukup (sufficient condition) agar diperoleh keuntungan maksimum adalah:

π’ = 0 atau MR = MC (syarat perlu) π” < 0 atau MR’ < MC’ (syarat cukup)

Contoh Kasus 1: Apabila diketahui fungsi penerimaan total produsen adalah TR = – 2Q² + 1000 Q, sedangkan fungsi biaya total adalah TC = Q³ – 59Q² + 1315Q + 2000.

Tentukan tingkat produksi pada saat keuntungan mencapai maksimum dan tentukan besarnya keuntungan maksimumnya!

Penyelesaian:

π = TR – TC

π = (-2Q² + 1000Q) – (Q³ – 59Q² + 1315Q + 2000) π = -2Q² + 1000Q – Q³ + 59Q² – 1315Q – 2000 π = -Q³ + 57Q² – 315Q – 2000

Syarat perlu agar keuntungan maksimum adalah turunan pertama fungsi laba (π’) sama dengan nol sehingga:

π’ = ∂π / ∂Q = 0

π’ = -3Q² + 114Q – 315 = 0  Syarat perlu

Nilai Q dapat ditentukan dengan menghitung akar-akar persamaan di atas dengan cara faktorisasi atau dengan menggunakan rumus abc. Dengan menggunakan metode faktorisasi penyelesaiannya sebagai berikut:

-3(Q² – 38Q + 105) = 0 (Q – 3) (Q – 35) = 0 Q – 3 = 0 atau Q – 35 = 0 Q1 = 3 atau Q2 = 35

Syarat cukup agar keuntungan maksimum tercapai adalah turunan kedua fungsi laba (π”) harus lebih kecil dari nol sehingga:

π” = -6Q + 114 < 0  Syarat cukup

▪ Jika Q = 3 maka  π” = -6(3) + 114 = -18 + 114 = 96 > 0

▪ Jika Q = 35 maka  π” = -6(35) + 114 = -210 + 114 = -96 < 0

Karena π” < 0 pada tingkat output Q = 35, maka produksi optimum yaitu tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum bagi produsen adalah sebanyak 35 unit. Jumlah keuntungan pada tingkat produksi optimum tersebut adalah:

π = -Q³ + 57Q² - 315Q - 2000

π = (-35)³ + 57(35)² - 315(35) - 2000 π = 13925

Contoh Kasus 2: Bila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh persamaan TR = 200Q – 5Q² sedngkan biaya totalnya ditunjukkan oleh persamaan TC = 40 + 20Q.

Tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar produsen memperoleh keuntungan maksimum.

Penyelesaian:

 = TR – TC

 = (200Q – 5Q²) – (40 + 20Q)

 = 200Q – 5Q² – 40 – 20Q

 = 180Q – 5Q² – 40

Laba () maksimum apabila:

π’ = ∂π / ∂Q = 0

π’ = 180 - 10Q = 0  Syarat perlu

Dengan demikian jumlah produksi optimum adalah:

180 - 10Q = 0 10Q =180 Q = 18

Syarat cukup agar keuntungan maksimum tercapai adalah:

π” < 0

π” = -10 < 0  Syarat cukup

Karena turunan kedua lebih kecil dari nol, maka jumlah produksi optimum (produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum) adalah 18 unit. Dapat juga diselesaikan dengan cara menyamakan penerimaan marjinal (MR) dengan biaya marjinal (MR) sebagai berikut:

TR = 200Q – 5Q²  MR = ∂TR / ∂Q = 200 – 10Q TC = 40 + 20Q  MC = ∂TC / ∂Q = 20

MR = MC 200 - 10Q = 20 200 - 20 = 10Q Q = 18

Syarat cukup agar keuntungan maksimum adalah turunan pertama fungsi penerimaan marjinal (MR’) lebih kecil dari turunan pertama fungsi biaya marjinal (MC’) atau:

MR’ < MC’

∂MR / ∂Q < ∂MC / ∂Q -10 < 0

Karena -10 < 0 maka syarat kedua ini terpenuhi. Jadi keuntungan maksimum akan tercapai bila Q = 18

1. Laba Produsen Pada Pasar Persaingan Sempurna

Pasar persaingan sempurna merupakan salah satu bentuk ekstrim (disamping pasar monopoli) kondisi perusahaan dalam pasar. Dalam pasar persaingan sempurna produsen berlaku sebagai penerima harga (price taker), produsen sama sekali tidak memiliki kemampuan untuk menentukan harga (harga ditentukan oleh mekanisme pasar).

Penerimaan total (TR) perusahaan sama dengan harga jual (P) dikalikan dengan jumlah output (Q). Kurva penerimaan total perusahaan berbentuk garis lurus dengan sudut kemiringan yang positif (artinya semakin besar output maka semakin besar total penerimaan). Karena harga ditentukan oleh pasar dan dianggap konstan, maka dalam pasar persaingan sempurna berlaku suatu kondisi penerimaan rata-rata (AR) sama dengan penerimaan marjinal (MR) sama dengan harga (AR = MC = P).

Rp

Kurva TR, AR, MR Pasar Persaingan Sempurna

Keuntungan akan maksimum jika produsen berproduksi pada saat kurva biaya marjinal berpotongan dengan kurva penerimaan marjinal atau MR = MC. Gambar berikut menunjukkan perpotongan kurva MR dan MC tercapai pada output sebesar Q^*. Pada output yang lebih kecil dari Q^* misalnya pada Q1, penerimaan marjinal lebih besar dari biaya marjinal (MR > MC) sehingga lebih menguntungkan bagi produsen untuk menambah output karena hal ini akan meningkatkan laba. Sebaliknya pada output diatas Q^* misalnya Q2 penerimaan marjinal lebih kecil dari biaya marjinal (MR < MC) sehingga peningkatan output akan mengurangi laba. Oleh karena itu laba maksimum akan tercapai hanya jika MR = MC dengan output sebesar Q^*. Pada output Q* syarat cukup bagi laba maksimum yaitu π” < 0 atau ∂MR/∂Q < ∂MC/∂Q terpenuhi

TR = P*Q

P = AR = MR P

0 Q

Kondisi impas terjadi bila biaya rata-rata (AC) sama dengan harga (P) dimana laba per unit sama dengan nol seperti terlihat pada gambar berikut.

Contoh Kasus 3: Sebuah perusahaan beroperasi pada pasar persaingan sempurna dengan fungsi biaya produksi total TC = 100 + Q². Apabila harga jual adalah 60, berapakah jumlah yang harus diproduksi untuk mencapai laba maksimum dan berapa laba maksimunya? Pada output berapa unit produsen mencapai titik impas?

Penyelesaian:

Diketahui:

Biaya Total  TC = 100 + Q²

Biaya Rata-Rata  AC = TC / Q = 100/Q + Q Biaya Marjinal  TC’ = MC = 2Q

Penerimaan Total  TR = P*Q = 60Q

Penerimaan Rata-Rata  AR = TR / Q = 60Q / Q = 60 Penerimaan Marjinal  TR’ = MR = 60

▪ Output (Q) optimum tercapai pada saat:

MR = MC 60 = 2Q Q = 30

Jadi jumlah barang yang harus diproduksi agar produsen memperoleh laba maksimum adalah sebanyak 30 unit.

▪ Jumlah laba maksimum adalah:

 = TR – TC

 = 60Q - (100 + Q²)

 = 60Q - 100 - Q²

 = 60(30) - 100 - 30²

 = 1800 - 100 - 900

 = 800

Dapat juga dihitung dengan cara berikut:

 = Q(P – AC)

 = Q(P – 100/Q + Q)

 = 30(60 – 100/30 + 30)

 = 30(60 – 100/3)

 = 1800 – 1000

 = 800

▪ Titik impas ( = 0)

Titik impas akan tercapai pada saat TC = TR 100 + Q² = 60Q

Q² - 60Q + 100 = 0

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh nilai-nilai akar persamaan kuadrat:

Q1 = 1,715 dan Q2 = 58,285

Pada Q sebesar 1,715 maka TR = 3497,1 dan TC = 3497,1. Pada Q sebesar 1,715 maka TR = 102,9 dan TC = 102,9.

Contoh Kasus 4: Pada persaingan sempurna biaya rata-rata yang dikeluarkan produsen ditunjukkan oleh persamaan: AC = 1/3Q² + Q – 15 + 20/Q. Berapakah keuntungan maksimum yang diperoleh produsen bila harga barang per unit P = 20.

Penyelesaian:

Biaya rata-rata  AC = 1/3Q² + Q - 15 + 20/Q

Biaya total  TC = AC*Q = (1/3Q² + Q - 15 + 20/Q)Q = 1/3Q³ + Q² - 15Q + 20 Biaya marjinal  MC = Q² + 2Q – 15

Penerimaan Marjinal  MR = P = 20 Penerimaan Total  TR = P^*Q = 20Q Keuntungan maksimum:

MR = MC

20 = Q² + 2Q - 15 Q² + 2Q – 35 = 0 (Q + 7)(Q – 5) = 0 Q + 7 = 0 atau Q – 5 = 0

Q1 = -7 dan Q2 = 5

Syarat laba maksimum adalah MR’ < MC’ atau ∂MR/∂Q < ∂MC/∂Q:

MR = 20  MR’ = ∂MR / ∂Q = 0

MC = Q² + 2Q – 15  MC’ = ∂MC / ∂Q = 2Q + 2 Untuk Q = 5, maka  MC’ = 2(5) +2 = 12

Jadi MR’ < MC’ terpenuhi pada tingkat output (Q) sebanyak 5 unit karena 0 < 12.

Jumlah total penerimaan (TR) dan total biaya (TC) pada output 5 unit adalah:

TR = P^*Q = 20 x 5 = 100 TC = 1/3Q³ + Q² - 15Q + 20 = 1/3(5)³ + (5)² - 15(5) + 20 = 1/3(125) + 25 - 75 + 20 = 41,67 - 30 = 11,67

Dengan demikian jumlah laba maksimum adalah:

π = TR – TC = 100 - 11,67 = 88,33

2. Laba Produsen Pada Pasar Monopoli

Pasar monopoli adalah pasar yang hanya terdiri atas satu perusahaan. Oleh karena itu output perusahaan merupakan output industri, dan permintaan terhadap output perusahaan juga merupakan permintaan pasar. Posisi perusahaan monopoli dalam pasar adalah sebagai penentu harga (price maker).Pada pasar persaingan sempurna penerimaan marjinal perusahaan sama dengan harga jual, dan sama dengan penerimaan rata-rata (MR = AR = P). Pada pasar monopoli, penerimaan marjinal perusahaan monopoli akan lebih rendah dari harga jual (MR < P).

Jika pada pasar persaingan sempurna kurva TR berbentuk garis lurus (linier), maka dalam pasar monopoli besarnya TR tergantung pada elastisitas harga (elastisitas permintaan), dimana:

▪ Jika permintaan elastis (E > 1), maka untuk meningkatkan penjualan sebesar 1%, harga harus diturunkan lebih kecil dari 1%. Akibatnya TR meningkat yang berarti MR positif.

▪ Jika permintaan uniter elastis (E = 1), untuk menambah penjualan sebesar 1% maka harga juga harus diturunkan sebesar 1%. Akibatnya TR tidak bertambah yang berarti MR = 0. Pada saat ini TR mencapai nilai maksimum dengan output Q^*.

▪ Jika permintaan inelastis (E < 1), untuk menambah penjualan sebesar 1%, maka harga harus diturunkan lebih dari 1%. Akibatnya TR akan turun yang berarti MR adalah negatif (MR < 0).

Kurva TR dan MR Perusahaan Monopoli

Seperti pada pasar persaingan sempurna, laba maksimum pada perusahaan monopoli juga tercapai pada saat biaya marjinal sama dengan pendapatan marjinal (MC

= MR). Pada gambar berikut laba maksimum perusahaan monopoli akan tercapai pada output sebesar Q^*, dimana MR = MC. Besar laba adalah seluas wilayah segiempat APBC. Pada output dibawah Q^* laba belum maksimum karena MR > MC. Sebaliknya pada output di atas Q^* laba akan berkurang karena MR < MC.

Keseimbangan Jangka Pendek Perusahaan Monopoli Rp

Rp

0 Q* Q

TR E > 1

E = 1

E > 1 MR

Q* Q

0

D = AR

Rp

p _MC

AC

MR D

0 Q* Q

P B

A C

Contoh Kasus 5: Seorang monopolis menghadapi fungsi permintaan P = 30 - 2Q - 2Q². Fungsi biaya rata-rata ditunjukkan oleh persamaan AC = Q - 6. Berapa tingkat harga yang ditetapkan oleh monopolis tersebut dan berapakah keuntungan yang diperolehnya?

Penyelesaian:

Permintaan  P = 30 - 2Q - 2Q²

Penerimaan total  TR = P^*Q = (30 - 2Q - 2Q²)Q = 30Q - 2Q² - 2Q³ Biaya rata-rata  AC = Q – 6

Biaya total  TC = AC^*Q = (Q - 6)Q = Q² - 6Q Keuntungan:

 = TR - TC

 = 30Q - 2Q² - 2Q³ - (Q² - 6Q) = 30Q - 2Q² - 2Q³ - Q² + 6Q = 36Q - 3Q² - 2Q³

Keuntungan akan maksimal jika:

’ = ∂ / ∂Q = 0

’ = 36 - 6Q - 6Q² = 0

Dengan faktorisasi diperoleh akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut:

6Q² + 6Q - 36= 0 6(Q² + Q - 6) = 0 (Q + 3)(Q - 2) = 0 Q + 3 = 0 atau Q - 2 = 0 Diperoleh Q1 = -3 dan Q2 = 2

Karena jumlah yang bertanda minus (Q1) tidak mempunyai arti pada masalah ini.

Dilanjutkan syarat kedua, digunakan untuk membuktikan bahwa pada jumlah Q = 2, keuntungan memang maksimum.

Syarat kedua:

2 0

2 

dQ d 

) 0 6 6 36

( − − ² 

dQ Q Q d

-6 –12Q < 0 Untuk Q = 2 maka:

-6 – 12(2) < 0 -30 < 0

Jadi Q = 2 akan memberikan  yang maksimum.

Pada Q = 2, harga yang ditetapkan:

P = 30 – 2Q – 2Q² = 30 – 2(2) – 2.(2)² = 30 – 4 – 2.4 = 18

Keuntungan yang akan didapat:

 = 36Q – 3Q² – 2Q³ = 36(2) – 3(2)² – 2(2)³ = 72 – 3. 4 – 2. 8 = 72 – 12 – 16 = 44

Contoh Kasus 6: Suatu perusahaan monopoli menghadapi permintaan terhadap barang yang dihasilkan ditunjukkan oleh persamaan P = 20 – 0,5Q. Tentukan persamaan penerimaan marjinal (MR) dan gambarkan kurva permintaan dan kurva penerimaan marjinal perusahaan monopoli tersebut.

Penyelesaian:

Penerimaan Marjinal:

P = 20 - 0,5Q TR = P^*Q

TR = (20 - 0,5Q)Q TR = 20Q - 0,5Q² MR = ∂TR/∂Q = 20 – Q

Gambar Kurva Permintaan (D) dan Kurva Penerimaan Marjinal (MR) perusahaan adalah sebagai berikut

Contoh Kasus 7:Sebuah perusahaan monopoli berproduksi dengan struktur biaya produksi yang ditunjukkan oleh persamaan TC = 250 + 200Q - 10Q² + Q³. Persamaan fungsi permintaan pasar terhadap produk perusahaan tersebut adalah P = 500 - 10Q.

Berdasarkan informasi tersebut, tentukan harga dan jumlah output optimum yang harus dihasilkan! Apakah pada output optimum tersebut perusahaan mengalami laba maksimum atau rugi minimum?

Penyelesaian:

Harga dan jumlah barang pada kondisi keseimbangan perusahaan monopoli tercapai pada saat MR = MC.

TR = P*Q = (500 – 10Q)Q = 500Q – 10Q² MR = ∂TR / ∂Q = 500 – 20Q

TC = 250 + 200Q – 10Q² + Q³ MC = ∂TC / ∂Q = 200 – 20Q + 3Q²

P, MR

MR

20 Q

0 20

D

40

MR = MC

500 – 20Q = 200 – 20Q + 3Q² 3Q² = 300

Q² = 100

Q1 = -10 dan Q2 = 10

Karena output tidak mungkin bernilai negatif, maka jumlah output keseimbangan (Qe) perusahaan monopoli adalah 10 unit. Harga keseimbangan (Pe) adalah:

P = 500 – 10Q

P = 500 – 10(10) = 400 Jadi Qe = 10 unit Pe = 400

Keuntungan perusahaan monopoli:

π = TR – TC

TR = P*Q = 400 (10) = 4000

TC = 250 + 200Q – 10 Q² + Q³ = 250 + 200(10) – 10(10)² + (10)³ = 2250 π = 4000 – 2250 = 1.750

Besarnya π adalah positif. Ini berarti perusahaan monopoli memperoleh keuntungan maksimum pada produksi sebanyak 10 unit dan harga barang sebesar 400.

C. OPTIMALISASI PADA FUNGSI PRODUKSI

Fungsi produksi adalah persamaan matematis yang menunjukkan hubungan antara jumlah output yang dihasilkan dan kombinasi jumlah input yang digunakan dalam kegiatan produksi. Secara umum fungsi produksi dapat ditulis dengan:

Dimana: P = jumlah produksi/output; L = tenaga kerja; K = modal; T = tanah; W = wirausaha/skill. Dengan demikian persamaan di atas menunjukkan fungsi produksi dengan 4 input variabel bebas.

Apabila dalam kegiatan produksi diasumsikan hanya terdapat satu input variabel (input yang dapat diubah jumlahnya) misalnya tenaga kerja (L), sementara input lainnya dianggap tetap maka fungsi produksinya dapat ditulis dengan:

Seperti pada fungsi biaya dan penerimaan, pada fungsi produksi juga dikenal konsep produk total (TP), produk rata-rata (AP), dan produk marjinal (MP). Untuk kasus fungsi produksi dengan satu input variabel yaitu tenaga kerja di atas maka produk total (TP), produk rata-rata (AP), dan produk marjinal (MP) dari input tenaga kerja dapat dinyatakan sebagai berikut:

Q = f(L, K, T, W)

Q = f(L)

Secara grafik, hubungan antara kurva produk total (TP), kurva produk rata-rata (AP), dan produk marjinal (MP) adalah seperti pada gambar berikut. Kurva TP akan mencapai titik maksimum ketika kurva produk marjinal MP = 0. Sedangkan MP mencapai puncaknya pada posisi titik belok kurva TP. Selain itu kurva MP akan berpotongan dengan kurva AP pada saat AP mencapai titik maksimum.

Contoh Kasus 8: Sebuah produksi menggunakan satu input variable yaitu tenaga kerja (L). Andaikan fungsi produksi yang dihadapi produsen adalah TP = f(L) = 30L² – 2L³, maka: tentukan jumlah tenaga kerja yang digunakan pada saat total produksi maksimum; tentukan nilai AP maksimum; dan buktikan bahwa AP maksimum sama dengan MP (kurva AP berpotongan dengan kurva MP)!

Penyelesaian:

TP = 30L² – 2L³

AP = TP / L = (30L² – 2L³) / L = 30L – 2L² MP = TP’ = ∂TP / ∂L = 60L – 6L²

▪ Jumlah L pada TP maksimum:

Syarat perlu agar produk total (TP) mencapai maksimum yaitu pada saat produk marjinal sama dengan nol (TPmaks  MP = 0), sehingga:

MP = 60L – 6L² = 0 L1 = 0 dan L2 = 10 TP = f(L)

AP = TP / L

MP = TP’ = ∂TP / ∂L

Karena input tidak mungkin sama dengan nol, maka dalam hal ini yang berlaku adalah L2 = 10. Bukti bahwa TP maksimum pada saat L = 10 adalah sebagai berikut:

Syarat kedua:

TP’’ = MP’ = ∂MP / ∂L < 0 TP’’ = MP’ = 60 – 12L

Dengan L = 10, maka: 60 – 12(10) = -60 < 0  syarat terpenuhi.

▪ Produk rata-rata (AP) maksimum:

Syarat perlu agar produk rata-rata (AP) mencapai maksimum adalah pada saat turunan pertama fungsi biaya rata-rata tersebut sama dengan nol (APmaks  AP’ = 0).

Dengan demikian:

AP = 30L – 2L²

AP’ = ∂AP / ∂L = 30 – 4L= 0 L = 7.5

Bukti bahwa AP mencapai titik maksimum pada L = 7.5 adalah senagai berikut:

Syarat kedua:

AP’’ = ∂²AP / ∂L² < 0

AP’’ = -4 < 0  syarat terpenuhi

▪ Bukti AP maksimum sama dengan MP:

MP = 60L – 6L² dan AP = 30L – 2L² Pada saat APmaks L = 7.5, maka:

MP = AP

60L – 6L² = 30L – 2L²

60(7.5) – 6(7.5²) = 30(7.5) – 2(7.5²) 112.5 = 112.5  terbukti APmaks = MP

Contoh Kasus 9: Andaikan fungsi produksi total seorang produsen adalah TP = 9L² – L³. Tentukan fungsi produk rata-rata dan fungsi produk marjinalnya; hitung produk total dan produk rata-rata jika input L yang digunakan sebanyak 6 unit; hitung produk marjinalnya jika input L yang digunakan ditambah menjadi 7 unit.

Penyelesaian:

▪ Fungsi AP dan MP

AP = TP / L = (9L² – L³) / L = 9L – L² MP = TP’ = ∂TP / ∂L = 18L – 3L²

▪ TP dan AP pada L = 6:

TP = 9L² – L³ = 9(6²) – 6³ = 324 – 216 = 108 AP = 9L – L² = 9(6) – (6²) = 54 – 36 = 18

▪ MP pada L = 7:

TP = 9(7²) – 7³ = 441 – 343 = 98

MP = ∂TP / ∂L = (98 – 108) / (7 – 6) = -10

MP bernilai negatif, artinya tambahan input L akan mengurangi jumlah produksi.