BAB VII
APLIKASI TURUNAN FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS
A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR SATU VARIABEL
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
𝑛𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛−1 Keterangan:𝑓′(𝑥) = turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥)
𝑎 dan 𝑛 adalah suatu konstanta
Sifat-sifat yang sering digunakan untuk turanan fungsi dalam ekonomi dan bisnis: 1. 𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝑔(𝑥) maka 𝑓’(𝑥) = 𝑐. 𝑔’(𝑥), di mana 𝑐 adalah konstanta. 2. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ± ℎ(𝑥) maka 𝑓’(𝑥) = 𝑔’(𝑥) ± ℎ(𝑥)
Keterangan:
𝑓’(𝑥), 𝑔’(𝑥), dan ℎ’(𝑥) berturut-turut adalah turunan dari fungsi 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), dan ℎ(𝑥)
B. ANALISIS BIAYA MARGINAL / MARGINAL COST (MC)
Biaya marginal dapat juga dikatakan sebagai biaya pertambahan (incremental cost). Biaya marginal merupakan besarnya tambahan biaya produksi yang dikeluarkan untuk menambah produksi sebanyak satu unit produksi tambahan. Secara matematis, MC adalah turunan pertama dari fungsi Biaya Total (TC) atau C. Biaya marginal dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
𝑇𝐶 = 𝑎𝑄𝑛 𝑀𝐶 = 𝑇𝐶′ =𝑑𝑇𝐶
𝑑𝑄 = 𝑎𝑛𝑄𝑛−1
Maka, 𝑇𝐶 minimum tercapai pada saat 𝑀𝐶 = 0. LATIHAN SOAL:
1. Total biata produksi suatu komoditi untuk Q unit dinyatakan oleh
𝑇𝐶 = 4 + 3𝑄 + 𝑄2
Jika TC dalam satuan ribu rupiah, tentukan: a. Fungsi Biaya Marginal.
b. Fungsi Biaya Rata-Rata (AC)
c. TC, MC, dan AC pada saat memproduksi 10 unit. Jawab :
a. 𝑀𝐶 = 𝑇𝐶’
= 𝑑(4 + 3𝑄 + 𝑄2) 𝑑𝑄
b. 𝐴𝐶 =4+3𝑄+ 𝑄
Jadi TC pada saat memproduksi 10 unit adalah Rp134.000. MC = 2 + 3(10)
= 32
Artinya perkiraan biaya tambahan yang diperlukan untuk memproduksi unit yang ke 11 adalah Rp32.000 rupiah.
AC = 4
10+ 3 + 10
AC = 13,4
Artinya bahwa jika diproduksi 10 unit, maka rata-rata biaya perunit adalah Rp13.400.
2. Total biaya produksi motor ABC dinyatakan oleh
𝑇𝐶 = 4 + 3𝑄 + 𝑄2 juta rupiah
Tentukan: tentukan:
a. Fungsi Biaya Marginal. b. Fungsi Biaya Rata-Rata (AC)
3. TC, MC, dan AC pada saat memproduksi 30 unit motor. Biaya total dinyatakan dengan TC = 5Q2 - 1000Q + 85000 Tentukan:
a. Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan total biaya minimum? b. Berapakah total biaya minimum tersebut?
Jawab:
Jadi total biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 100 unit. b. Total biaya minimumnya sebesar:
C = 5Q2 - 1000Q + 85000
C = 5(100)2 - 1000(100) + 85000 C = 35000
Jadi total biaya minimumnya sebesar: Rp35000
4. Biaya total dinyatakan dengan TC = Q3 -90Q2 + 2800Q + 56500 Tentukan:
C. ANALISIS PENDAPATAN MARGINAL / MARGINAL REVENUE (MR)
Marginal Revenue adalah pendapatan/penerimaan tambahan yang diperoleh berkaitan dengan satu unit hasil yang terjual atau diproduksi. Secara matematis, fungsi MR adalah turunan pertama dari fungsi Total Revenue (TR).
𝑀𝑅 = 𝑇𝑅’ =
𝑑𝑀𝑅
𝑑𝑄
LATIHAN SOAL
1. Fungsi permintaan suatu perusahaan dinyatakan oleh 𝑃 = 𝑄2+ 2𝑄 + 1 ribu rupiah. Tentukan:
a. Fungsi TR b. Fungsi MR
c. Fungsi Pendapatan Rata-rata
d. TR, MR, AR pada saat produk yang terjual 10 unit. Jawab:
a. TR = P × Q
= (𝑄2+ 2𝑄 + 1) × 𝑄 = 𝑄3+ 2𝑄2+ 𝑄 b. MR = TR’
= 2𝑄2 + 4𝑄 + 1 c. AR = 𝑇𝑅
𝑄
= 𝑄
3+2𝑄2+𝑄
𝑄
= 𝑄2+ 2𝑄 + 1 d. TR = 1210 (Rp1.210.000)
MR = 241 (Rp241.000) AR = 121 (Rp121.000)
2. Fungsi permintaan suatu perusahaan dinyatakan oleh 𝑃 = 5 + 6𝑄 + 𝑄2 ratus ribu rupiah. Tentukan:
a. Fungsi TR b. Fungsi MR
c. Fungsi Pendapatan Rata-rata
d. TR, MR, AR pada saat produk yang terjual 30 unit. Serta jelaskan maknanya. 3. Harga jual Q puluh unit barang dinyatakan P = - 2Q + 16 juta rupiah, tentukan berapa
output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum. Jawab:
Fungsi total pendapatan: P = - 2Q + 16
Langkah pertama mencari turunan pertama fungsi TR, kemudian menentukan Q untuk
TR’= 0
TR’ = - 4Q + 16 = 0 4Q = 16
Q = 4
Agar dijamin bahwa jika menjual sebanyak Q = 40 unit maka akan diperoleh total pendapatan maksimum, maka lakukanlah langkah kedua yaitu mencari turunan kedua fungsi total pendapatan:
R” = - 4
Ternyata R” = - 4 < 0 sehingga diperoleh nilai maksimum Keterangan:
Turunan kedua untuk menentukan kelengkungan kurva.
Jika turunan kedua < 0 maka kurva melengkung ke atas, atau membuka ke bawah Jika turunan kedua > 0 maka kurva melengkung ke bawah, atau membuka ke atas Jika turunan kedua = 0 maka kurva tidak melengkung ke atas maupun ke bawah (titik stasioner)
Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum yaitu sebanyak 40 unit.
Total pendapatan maksimumnya: R = - 2Q2 + 16Q
R = - 2(4)2 + 16(4) R = 32
Jadi ketika menjual produk sebanyak 40 unit, maka akan diperoleh total pendapatan maksimum sebesar 32 juta.
D. Analisis Laba Marginal
Laba Marginal adalah tambahan keuntungan yang diperoleh berkaitan dengan satu unit hasil yang terjual atau diproduksi. Secara matematis, fungsi Laba Marginal adalah turunan pertama dari fungsi Laba.
Latihan Soal
1. Seorang manajer perusahaan mengetahui bahwa jika Q ribu unit diprosuksi, maka laba perusahaan adalah 𝑃 = 10 + 20𝑄 + 𝑄2 ribu rupiah.
Tentukan:
a. Fungsi laba marginal
b. Laba marginal jika diproduksi Q = 8, Q = 9. Jelaskan.
2. Di berikan fungsi permintaan dan fungsi biaya masing-masing sebagai berikut: P = 1000 - 2Q Dan C = Q3 - 59Q2 + 1315Q + 2000
Tentukan:
a. Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di peroleh laba yang maksimum ?
Jawab:
a. Fungsi pendapatan: TR = P.Q TR = (1000 - 2Q).Q
TR = 1000 Q - 2 Q2
Fungsi biaya: C = Q3 - 59Q2 +1315Q + 2000 Fungsi laba: Laba = Pendapatan – biaya
Laba = (1000Q - 2Q2) - (Q3 - 59Q2 + 1315Q + 2000) Laba = - Q3 + 57Q2 - 315Q - 2000
Turunan pertama: Laba = -3Q2 + 114Q - 315 0 = Q2 - 38Q + 105 0 = (Q - 3) (Q - 35)
Q1 = 3 atau Q2 = 35
Turunan kedua: Laba” = - 6Q + 114
Untuk Q1 = 3, maka turunan ke dua = - 6(3) + 114 = 96 > 0
Berarti jika di produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum. Untuk Q2 = 35, maka turunan ke dua = - 6(35) + 114 = - 96 < 0
Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akan maksimum. b. Laba maksimum nya sebesar :
Laba = - Q3 + 57Q2 - 315Q - 2000 = - (35)3 + 57(35)2 - 315(35) - 2000
= 13925
Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan di peroleh laba maksimum sebanyak : 13925
E. MEMAKSIMALKAN LABA SETELAH DIKENAKAN PAJAK
Salah satu sumber penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak penjualan yang di kenakan pemerintah terhadap setiap unit yang diproduksi dan dijual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. Untuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan di berlakukannya sehingga akan di peroleh pajak maksimum.
Total pajak yang akan di terima perintah : T = t. Q Keterangan:
t = tarif pajak per unit yang di kenakan pemerintah dan
Q = Jumlah output yang di produksi dan di jual pengusaha sehingga di peroleh laba maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya pajak.
Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah: Laba = pendapatan – (biaya + pajak)
CONTOH SOAL
1. Fungsi penerimaan dan fungsi biaya suatu produk dinyatakan sebagai berikut: R = 360 Q – 10,5 Q2 Dan C = 100 Q – 4 Q2
Tentukan: a. Fungsi laba
b. Fungsi produksi agar laba maksimum
c. Jika pemerintah ingin memperoleh pajak penjualan yang maksimum, berapakah tarif pajak yang harus di kenakan pemerintah kepada perusahaan tersebut? d. Berapakah produk harus dibuat dan dijual perusahaan agar diperoleh laba
maksimum?
e. Berapakah total pajak maksimum yang didapat pemerintah?
f. Berapakah laba maksimum yang diterima perusahaan setelah dikenakan pajak ? Jawab:
a. Dari sudut pandang pengusaha: Laba = R – C – t Q
= 360 Q – 10,5 Q2– (100 Q – 4 Q2) – t Q = 360 Q – 10,5 Q2 – 100 Q + 4 Q2– t Q
= 260 Q – 6,5 Q2– t Q
b. Turunan pertama: Laba’ = 260 – 13 Q – t = 0 260 – t = 13 Q 𝑄 = 260−𝑡
13
𝑄 = 20 − 1
13𝑡
Turunan ke dua : Laba’’ = - 13 < 0 (kurva membuka ke bawah)
Jadi dengan memproduksi sebanyak 𝑄 = 20 − 1
13𝑡, pengusaha akan memperoleh
laba maksimum.
c. Dari sudut pandang pemerintah: Pajak: T = t Q
= t (20 − 1
13𝑡)
= 20𝑡 − 1
13𝑡2 Turunan pertama : T’ = 20 −131 𝑡 = 0
t = 130
Turunan ke dua : T’’ = - 2/13 (kurva membuka ke bawah)
d. Produk harus dibuat dan dijual perusahaan agar diperoleh laba maksimum terjadi ketika t = 130, maka
𝑄 = 20 −13 𝑡1
= 20 −131 (130) = 20 – 10
= 10
Jadi, perusahaan harus memproduksi sebanyak 10 unit barang agar memperoleh laba maksimum.
e. Total pajak maksimum: T = t . Q
= 130 . 10 = 1300
Jadi total pajak yang di terima pemerintah sebesar 1300. f. Laba maksimum yang di terima oleh perusahaan adalah:
Laba = 260 Q – 6,5Q2– t Q
= 260 (10) – 6,5(10)2– (130)(10)
= 2600 – 65 – 1300 = 1235
Jadi perusahaan menerima laba maksimum sebesar 1235
2. Total pendapatan dan total biaya di berikan dalam fungsi sebagai berikut : R = 15Q - 2Q2 Dan C = 3Q
Tentukan:
a. Berapakah tarif pajak yang sebaiknya di kenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum ?
b. Berapakah total pajak maksimum yang diperoleh ? Jawab:
a. Dari sudut pandang pengusaha: Laba = R – C – t . Q
= 15 Q – 2Q2– 3Q – t . Q = -2Q2 + 12Q – t Q
Turunan pertama: Laba’ = - 4Q + 12 – t = 0 12 – t = 4Q
𝑄 =12 − 𝑡4
𝑄 = 3 −14 𝑡
Turunan ke dua: Laba = - 4 < 0
Jadi dengan memproduksi sebanyak 𝑄 = 3 −1
4𝑡 , pengusaha akan memperoleh
Dari sudut pandang pemerintah: Pajak: T = t . Q
= t . (3 – ¼ t)
= 3𝑡 −14 𝑡2
Turunan pertama: T’ = 3 −1
2𝑡 = 0
t = 6
Turunan ke dua : T” = -½
Jadi tarif pajak (per unit) yang memberikan total pajak maksimum sebesar: 6 b. 𝑄 = 3 −1
4𝑡 = = 3 −14(6) = 3 – 1,5 = 1,5
Maka total pajak maksimum: T = t . Q = 1,5 = 9
