BAB 4 LIMIT DAN TURUNAN

A

B C

h

LIMIT DAN TURUNAN

DISUSUN OLEH :

Febriantoni, dkk

NAMA SISWA

: ………

KELAS

: ………

STANDAR KOMPETENSI 1

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Standar Kompetensi : Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi disuatu titik dan di tak hingga

Limit x mendekati c dari suatu fungsi f(x) dapat ditulis lim

xcf(x) dibaca “limit x mendekati c dari f(x)”.

Latihan:

1. Tentukan nilai dari

3

 x Lim

5x+6 _{2. Tentukan nilai dari}

3  x Lim 2 4 1 5   x x

3. Tentukan nilai dari

2  x Lim 1 6 3   x x

4. Tentukan nilai dari

1   x Lim 1 1 2   x x

5. Tentukan nilai dari

5   x Lim 5 9 2 5

2 _{ }

 x x

x

6. Tentukan nilai dari

3  x Lim

12

7

6

2 2









x

x

x

x

7. Tentukan nilai dari

5   x Lim

15

17

4

5

9

2

2 2









x

x

x

x

8. Tentukan nilai dari Lim

x0

2

3

2

2 2 3







x

x

x

9. Tentukan nilai dari

6

5

9

lim

₂

2 3









x

x

x

x = … 10. Tentukan nilai dari

2

3

18

3

lim

₂

2

3











x

x

x

x

Jika pada

  x Lim

f(x) menjumpai bentuk  

pada substitusi x dengan



, maka diselesaikan dengan

membagi dengan variabel pangkat yang tertinggi.

Latihan: 1.   x Lim x x x 3 4 1 2 2_  2.   x Lim x x x x   2 3 3 2 4 3.   x Lim 1 2 5 2 5 2 3 3     x x x x 4. .   x Lim 3 2 2 3 2 6 3 7 4 x x x x     5.   x Lim 2 2 7 3 2 5 x x x    6.   x Lim 3 3

3

2

7

2

6

x

x

x

x









7. 5 3x -6x 1) (2x 2 2

lim

 _

  x

adalah …. 8.

3 -5x -2x 2 2x 4x 2 2 2

lim

x x     adalah … 9. . ... 2 x x 8 x 2 2x 2 2

lim

_ _ 

  x _10. . ... 3 x 4 15 x 8 x2

lim

 _ 

Limit xc Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c) =

0 0

maka f(x) harus difaktorkan

pembilang atau penyebutnya, kemudian disederhanakan sehingga menghasilkan bentuk bukan

0 0

jika x

diganti dengan c

1. Nilai 3 9 lim 2 3    x x

x = … 2. Nilai 3

3 4 lim 2 3     x x x

x = …

3. Nilai 1 5 4 lim 2 1     x x x x

= … 4.

1 4 5 lim 2 1     x x x x = … 5. Nilai 4 8 6 lim 2 4     x x x

x = … 6. Nilai

4

12

8

lim

2 2 2









x

x

x

x = …

7. Nilaidari _

           3 15 2 lim 2 3 x x x x

= … 8. Nilai

3 2 18 3 lim 2 2

3  

 



 _{x x} x x x = … 9. 2  x Lim 2 8 2 2    x x x

= …. _10. .

Standar Kompetensi : Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

Sifat–sifat limit trigonometri :

0  x Lim x x sin = 0  x Lim x x sin = 1 0  x Lim



tgx

x

0  x Lim  x tgx 1 Latihan:

1. Tentukan limit dari

0  x Lim x x 3 5 sin

2. Tentukan limit dari

0  x Lim x x 4 sin

3. Tentukan limit dari

0  x Lim x x tg 4 cos 3

4. Tentukan limit dari

0  x Lim x x 4 3 sin 2

5. Tentukan limit dari

0  x Lim

x

tg

x

4

5

sin

6. Tentukan limit dari

0  x Lim 2 2 sin x x

7. Tentukan limit dari

0  x Lim x x sin cos 1

8. Tentukan limit dari

Standar Kompetensi : Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

Turunan y = f(x) didefinisikan dengan    dx dy x f

y' '( ) lim

h0

f x h f x

h

(  ) ( )

Jika

y



ax

n maka

y

'



anx

n1

Latihan :

1. Tentukan turunan dari y = 4x + 3

2. Tentukan turunan dari y = 1

2 7 1

2

x  x

3. Tentukan turunan dari

y = 1

2 4

3 6 5 7

4 3 2

x  x  x  x

4. Tentukan turunan dari y =

5

x

3



7

x

2

5. Tentukan turunan dari y =

4

x

2



10

6. Tentukan turunan dari Turunan pertama dari

= 2 − 4 + 2adalah y’ = …

7. Turunan pertama dari ( ) = 3 − 6 + 3

adalah …

8. Turunan pertama dari ( ) = 2 − 5 +

adalah …

9. Diketahui f(x) = x6 + 12x4 + 2x2– 6x + 8 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai

Latihan

1. Turunan pertama dari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 adalah f’(x). Nilai f’(1) = …

2. Diketahui f(x) = x6 + 12x4 + 2x2 – 6x + 8 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) = …

3. Diketahui f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(2) = …

4. Turunan pertama dari

f(x) = 3 4 1

3 2 4 2

1 _{  }

x x

x adalah f’(x) nilai dari

f’(3) = …

5. Diketahui ( ) = − + 3 + 1. Turunan pertama dari f(x) adalah f’(x), nilai dari f’(2) adalah….

6. Turunan pertama dari ( ) = 2 − 5 +

adalah f1(x), nilai dari f’(3) adalah

7. Turunan pertama dari ( ) = 2 − 4 + 2

adalahf(x)1 nilai darif’(2) adalah….

8. Turunan pertama dari ( ) = 2 − 5 +

adalahf(x)1 nilai darif’(3) adalah….

9. Diketahui ( ) = 2 − 2 − 4 + 1. Turunan pertama dari f(x) adalah f’(x) nilai darif’(3) adalah….

Standar Kompetensi : Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi

dan memecahkan masalah

Turunan bentuk u.v dan u v

Jika y = uv maka y ’ = u ’v + uv ’

Jika y = u

v maka y ’ =

u v uv v

'  '

2

Latihan:

1. Tentukan turunan dari y = (4x+2)(2x+5) 2. Tentukan turunan dari y = (-x+1)(3-x)

3. Turunan pertama dari ( ) = adalah … 4. Turunan pertama fungsi ( ) = ,

5. Diketahui fungsi ( ) = . Turunan pertama fungsif(x) adalahf’(x). Nilai darif’(1) = …

6. Diketahui ( ) = , ≠ − 3. Turunan pertama fungsif(x) adalahf’(x). Nilaif’(2) =

7. Turunan pertama dari ( ) = , ≠ 1

adalahf’(x), maka nilaif’(2) = …

8. Diketahui ( ) = dan f’(x) adalah turunan pertama darif(x). Nilai darif’(1) = …

9. Diketahui ( ) = dan f’(x) adalah turunan pertama darif(x). Nilaif’(1) = …

Standar Kompetensi : Menyelsaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

ekstrim fungsi dan penafsarinnya

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:

1) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0

2) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0

3) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0

Latihan:

1. Jika sebuah mesin foto Copy digunakan selama x hari, maka biaya perawatan perhari yang dikeluarkan adalah (3 + − 72) ribu rupiah. Biaya perawatan minimum selama x hari adalah … ribu rupiah

2. Untuk memproduksi x unit barang diperlukan biaya ( − 500 + 6.000.000) rupiah. Jumlah barang yang diproduksi agar biaya produksi minimum adalah …

3. Diketahui total biaya produksi adalah (10 + + ) untuk x unit barang, total biaya produksi minimum adalah …

4. Sebuah perusahaan mampu menjual produknya sebanyak (2.000 – 10x) unit tiap bulannya dengan harga jual setiap unitnya adalah x rupiah. Biaya produksi yang dikeluarkan sebesar (25.000 + 400x) rupiah. Harga jual setiap unit produk tersebut agar diperoleh keuntungan maksimum adalah …

5. Suatu perusahaan menghasilkan x unit barang dengan biaya total sebesar (450 + 2x + 0,5x2) rupiah. Jika semua produk perusahaan tersebut terjual dengan harga Rp60,00 untuk setiap unitnya, laba maksimal yang diperoleh adalah …

6. Sebuah home industry memproduksi x unit barang dengan biaya yang dinyatakan

(x2 – 30x + 125) ribu rupiah, dan pendapatan setelah barang tersebut habis terjual adalah (60x) ribu rupiah. Keuntungan maksimalhome industrytersebut adalah …

7. Biaya produksi x barang dinyatakan dengan fungsi f(x) = (x2 – 100x + 4500) ribu rupiah. Biaya minimum untuk memproduksi barang tersebut adalah …

9. Untuk memproduksi x unit barang per hari

diperlukan biaya



2x32.100x2 600.000x



rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimum jika produksi maksimal perhari sebanyak ….

10. Untuk memproduksi x unit barang perhari diperlukan biaya (x3 – 5.000x2 + 3.000.000x) rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimal jika produksi maksimal perhari sebanyak ….

Latihan :

1. Nilai maksimum dari f(x) = –2x2 – 2x + 13 adalah …

2. Grafik fungsi f(x) = x3+ 6x2– 36x + 20 turun pada interval …

3. Grafik fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 15x + 3 naik pada interval …

4. Nilai minimum fungsi f(x) = –x3 + 12x + 3 pada interval–1≤ x ≤ 3 adalah …

5. Tentukan nilai maksimum

f x

( )



x

2

 

x

6

untuk   6 x 5

6. Tentukan nilai maksimum

f x

( )



3

x



x

2 untuk1 x 5

7. Tentukan nilai minimum

f x

( )



x

3



3

x

2



2

untuk   1 x 5

8. Tentukan nilai minimum

f x

( )



4

x

3



15

x

2



12

x



5

untuk