BAB 13 TURUNAN FUNGSI
Pada bab ini akan dipelajari mengenai turunan fungsi aljabar, turunan fungsi trigonometri, serta aplikasi turunan.
A. DEFINISI TURUNAN Basic concept :
Rumus turunan fungsi f(x) secara umum adalah :
I
x 0
f x h f x f x lim
h
�
. Dengan f xI
adalah turunan pertama dari f(x).B. TURUNAN FUNGSI ALJABAR
1. Turunan fungsi aljabar sederhana Basic concept :
Secara umum turunan pertama fungsi aljabar dari f x
axn adalah
I n 1
f x an.x Contoh :
Diketahui f(x) = 4x2 + 6, maka turunan pertama dari f(x) adalah… Jawab :
I 2 1
f x 4.2x 8x
Misalkan f(x) = k, maka turunan dari f(x) adalah f xI
0 Contoh :Diketahui f(x) = 5, maka turunan pertama dari f(x) adalah… Jawab :
I
f x 0
2. Bentuk perkalian fungsi aljabar
Jika diketahui f(x) = u.v, maka turunan pertama dari f(x) adalah
I I I
f x u v uv
Contoh :
Diketahui f x
2x 3 4x 1
, maka turunan pertama dari f(x) adalah…Misalkan u = 2x + 3 maka uI = 2 dan v = 4x – 1 maka vI = 4.
3. Bentuk pembagian fungsi aljabar Basic concept :
Jika diketahui
, maka turunan pertama dari f(x) adalah… Jawab :
Metode supertrik :
Diketahui
, maka turunan pertama dari f(x) adalah…
4. Bentuk yang memuat fungsi suku banyak Basic concept :
Jika diketahui f(x) = un maka turunan pertama dari f(x) adalah
C. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI 1. Bentuk fungsi trigonometri sederhana
Basic concept :
2. Bentuk yang memuat suku banyak fungsi trigonometri
D. APLIKASI TURUNAN
Gradien disimbolkan dengan huruf m sama artinya dengan turunan pertama dari suatu fungsi.
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung f(x) = 2x2 – 3x di titik (1,2) ! Jawab :
Mencari turunan pertama = m = 4x – 3 = 4.1 – 3 = 1
Persamaan garis singgung di titik (1,2) dan gradien ( m) = 1 adalah Basic concept :
2. Fungsi naik dan fungsi turun
Syarat fungsi naik adalah f ’ > 0 Metode supertrik : mencari fungsi naik - Turunkan fungsi, kemudian faktorkan ! - Pilih kata ATAU
Contoh :
Syarat fungsi turun adalah f ‘ < 0
Contoh :
maka koordinatti tik stasioner : 0,7 dan 2,3
3. Nilai maksimum, nilai stasioner, dan nilai minimum Contoh :
Nilai balik minimum dari fungsi f(x)= x3 – 3x2+ 7 adalah… Jawab :
Cari turunan fungsi :
I 2 ke fungsi awal)
f (2) = 23 – 3.22 + 7 = 8 – 12 + 7 = 3 f (0) = 03 – 3.02 + 7 = 7
jadi, nilai balik minimum dicapai pada saat x = 2 dan nilainya 7
4. Titik balik maksimum dan minimum Contoh :
Titik balik maksimum untuk fungsi
titik balik maksimum 1,3 titik balik minimu
5. Aplikasi turunan pada bangun ruang Metode supertrik :
Luas permukaan balok tanpa tutup, panjangnya =
L 3
Luas permukaan balok dengan tutup, panjangnya = L 6
Luas permukaan balok tanpa tutup = pl + 2pt + 2lt
6. Metode supertrik aplikasi turunan yang lain
Laba (untung) maksimum perusahaan = H.J(x) – H.P(x). Dengan H.J = Harga jual dan H.P = Harga /biaya produksi
Luas maksimum arsiran =
1xy 4
PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN 1. UN 2010
Jarak tempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi
4 3 2
1tt 3 6t 5t
A. 6 detik D. 2 detik
turunan kedua 0 3t 9t 12 0 tersebut habis dijual dengan harga Rp 5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah… A. Rp 149.000,00
B. Rp 249.000,00 C. Rp 391.000,00 D. Rp 609.000,00 E. Rp 757.000,00
Pembahasan :
2 2
2
Laba pendapatan biaya produksi
Laba F(x) 5000x 9000 1000x 10x 10x 4000x 9000 Laba maksimum diperoleh pada nilai x untuk F'(x) 0
F'(x) 0 20x 4000 0 x 200
Laba F(x) 10 200 4000 200 9000 Rp 391.000,00
A. Rp 16.000,00 B. Rp 32.000,00 C. Rp 48.000,00 D. Rp 52.000,00 E. Rp 64.000,00
Pembahasan :
subtitusi x 2 ke untung: untung 4 2 8 2 16 2
32 32 32 32 jadi,keuntungan Rp 32.000,00
dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah . . .
A. Rp 10.000,00 B. Rp 20.000,00 C. Rp 30.000,00 D. Rp 40.000,00 E. Rp 50.000,00
subtitusi x 2 ke untung: untung 5 2 10 2 20 2
40 40 40 40 jadi,keuntungan Rp 40.000,0
sumbu Y di titik…
A. (0,8) D. (0,– 12)
turunanpertama gradien m: 2 x 2 .2x 4x x 2 4x 8x titik potong sb.y 0,3
E. x6 atau x1
naik pada interval:x 5 atau x 1 turun pada interval: 5 x 1
PAKET SOAL LATIHAN 1. Turunan pertama dari f(x) = (2x2 + 3)(x + 5) adalah…
2. Turunan pertama dari
3. Turunan pertama dari 2
4. Jumlah bilangan pertama dan tiga kali bilangan kedua adalah 12. Jika hasil kali kedua bilangan tersebut maksimum, maka jumlah kedua bilangan tersebut adalah…
A. 6 D. 9
B. 7 E. 10
C. 8
B.
3,1 dan
12,20
C.
3, 12 dan 1,20
D.
3,12 dan 1, 20
E.
3, 20 dan 1, 12
8. Grafik fungsi f (x) = 5+ 15x + 9x2 + x3 naik untuk x yang memenuhi…. A. x < 1 atau x > 5
B. 1 < x < 5 C. – 5 < x < - 1 D. x < - 5 atau x > - 1 E. – 5 < x < 1
9. Luas sebuah kotak dengan tutup yang alasnya persegi adalah 384 cm2. Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah….cm.
A. 6 D. 12
B. 8 E. 16
C. 10
10. Sebuah balok tanpa tutup dengan ukuran alas x dan 1x
2 . Tinggi balok adalah h, dan volume balok = 4,5 satuan volume, serta luas permukaan balok menjadi maksimum. Luas permukaan balok tersebut adalah…
A.
12satuan luas
2 D. 13 satuan luas
B.
13satuan luas
2 E.
1
13 satuan luas 2
C. 1
12 satuan luas 2
11. Persamaan garis singgung pada kurva y = - 2x2 + 6x + 7 yang tegak lurus terhadap garis x – 2y + 13 adalah….
X Y
6
10 O
12. Persamaan garis singgung kurva
2 y
1 x
yang tegak lurus dengan garis 2x + y = 6 pada absis negatif adalah…
A. x – 2y – 3 = 0 D. x – 2y + 1 = 0 B. x – 2y – 1 = 0 E. 2x + y + 1 = 0 C. x + 2y – 3 = 0
13. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (4x2 – 8x + 24) dalam ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 40.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah…
A. Rp 14.000,00 B. Rp 16.000,00 C. Rp 20.000,00 D. Rp 32.000,00 E. Rp 36.000,00
14. Sebuah kotak tanpa tutup mempunyai alas dengan panjang dua kali lebarnya. Jika volume kotak tersebut adalah 600 m3, dan luas permukaan kotak minimum, maka lebar alas kotak tersebut adalah…
A. 3300 m D. 3450 m
B. 3350 m E. 3500 m
C. 3400 m
15. Perhatikan gambar berikut !