TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI

(1)

Created By Ita Yuliana 33

LA - WB

(Lembar Aktivitas Warga Belajar)

TURUNAN FUNGSI

Oleh:

Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd

MATEMATIKA PAKET C

TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2

SETARA KELAS XI

(2)

Turunan Fungsi

Kompetensi Dasar

1. Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar

2. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah

3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar 4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

aljabar dan penafsirannya Kasus

Jika suatu usaha tidak rugi, berarti usaha tersebut akan mendapatkan keuntungan atau impas. Keuntungan atau kerugian yang akan dialami suatu perusahaan tergantung pada penjualan barang yang diproduksi. Keuntungan maksimum dapat dicapai jika banyak barang yang diproduksi sesuai dengan alokasi biaya produksi. Jika fungsi biaya produksi dan fungsi penjualan diketahui, banyak barang yang harus diproduksi dapat ditentukan agar perusahaan memperoleh keuntungan maksimum. Banyak barang yang diproduksi dapat dihitung dengan menggunakan turunan fungsi.

Bagaimana cara menggunakan turunan fungsi untuk permasalahan ini? Kamu akan mengetahui caranya setelah mempelajari bab ini.

Ringkasan Materi

A. Turunan Fungsi Aljabar

1. Turunan fungsi

Turunan fungsi f terhadap x didefinisikan sebagai f ′(x) = ( ) ( ). f ′(x) dibaca f aksen x, f ′(x) disebut turuan (derivatif) pertama dari f(x), dan f ′(a) = ( ) ( ) disebut perubahan sesaat atau laju perubahan f(x) di x = a atau turunan f di x = a

Penulisan turunan y = f(x) dengan notasi Leibniz adalah y′ = atau f ′(x) = ( ) . Dua notasi lain untuk turunan fungsi adalah ( ) dan Dx (f(x)). Turunan dari f(x)

= cxn dengan c konstan adalah f ′(x) = ncxn-1 atau ( ) = ncxn-1. 2. Sifat-sifat turunan fungsi

Misal u dan v adalah fungsi-fungsi dalalm variabel x maka sifat-sifat turunan fungsi sbb.

a. Jika y = c maka y′ = 0 atau = 0 dengan c merupakan konstan b. Jika y = u v maka y′ = u′ v′ atau

(3)

c. Jika y = k.u maka y′ = k.u′ atau dengan k merupakan konstan d. Jika y = uv maka y′ = vu′ + uv′ atau

e. Jika y = un maka y′ = n. un-1. u′ atau f. Jika y = maka y′ = atau

_{, dengan v}

3. Aturan rantai

Misalkan y = f(u(x)) dengan f dan u adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan. Turunan dari y adalah y′ = f ′(u(x)) . u′(x) atau

Contoh:

Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut a. f(x) = 3x3 – 6x b. f(x) = (2x2 – 3)(3x – 2) c. f(x) = d. f(x) = (x2 – 5x + 6)9 Jawab a. f(x) = 3x3 – 6x maka f ′(x) = 3. 3x3-1 – 6x1-1 = 9x2 – 6x0 = 9x2 – 6 b. f(x) = (2x2 – 3)(3x – 2) maka f ′(x) = (4x)(3x – 2) + (2x2 – 3)(3) = 12x2 – 8x + 6x2 – 9 = 18x2 – 8x – 9 c. f(x) = maka maka f ′(x) = ( )( ) ( _{( )} )( ) = _{( )} = ( )

d. f(x) = (x2 – 5x + 6)9 misalkan u(x) = x2 – 5x + 6 maka u′(x) = 2x – 5 dan f(x) = {u(x)}9 sehingga f ′(x) = 9 {u(x)}9-1 . u′(x)

= 9 (x2 – 5x + 6)9-1 . (2x – 5 ) = 9 (2x – 5) (x2 – 5x + 6)8

(4)

Aktivitas 1

Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut 1. f(x) = 2x 2. f(x) = 2x2 – 3x + 5 3. f(x) = √ 4. f(x) = 5. f(x) = (x2 – 2)(x – 1)2 6. f(x) = (3x2 + 4)5 B. Penggunaan Turunan

1. Persamaan garis singgung

Turunan fungsi f(x) di x = a atau f ′(a) secara geometri ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva di titik (a, f(a)). Dengan demikian, gradien garis singgung pada kurva y = f(x) di titik P (a, f(a) adalah m = f ′(a). Jika di titik (a, b) pada kurva y = f(x), persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (a, b) adalah y – b = f ′(a)(x – a).

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x3 – 5x – 1 di titik (-2, 1) Jawab:

Gardien garis, m = f ′(x) = 3x2 – 5

f ′ (-2) = 3 (-2)2 – 5 = 12 – 5 = 7

maka persamaan garis yang melalui (-2, 1) dan bergrradien 7 adalah y – 1 = 7 (x + 2)

y – 1 = 7x + 14 y = 7x + 15

2. Menggambar grafik fungsi aljabar

(5)

1) Jika x1 dan x2 dalam fungsi f(x) memenuhi a < x1 < x2 < b didapat f(x1) <

f(x2), fungsi dikatakan naik.

2) Jika x1 dan x2 dalam fungsi f(x) memenuhi a < x1 < x2 < b didapat f(x1) >

f(x2), fungsi dikatakan turun.

b. Naik turunnya suatu fungsi kontinu f(x) dalam suatu interval tertentu dapat dilihat dari gradien garis singgungnya

1) Dalam interval x < a, fungsi f(x) merupakan fungsi naik jika gradien garis singgung bernilai positif atau f ′(x) > 0

2) Dalam interval x > a, fungsi f(x) merupakan fungsi turun jika gradien garis singgung bernilai negatif atau f ′(x) < 0

3) Fungsi f(x) tidak naik dan tidak turun di x = a jika gradien garis singgungnya nol atau f ′(x) = 0

Contoh :

Tentukan pada interval manakah fungsi f(x) = x2 – 4x + 3 merupakan fungsi naik atau turun

Jawab:

f ′(x) = 2x – 4

a. f merupakan fungsi naik jika 2x – 4 > 0 2x > 4 x > 2 b. f merupakan fungsi turun jika 2x – 4 < 0

2x < 4 x < 2

garis bilangan yang menunjukkan tanda dari f ′(x) adalah – – – – – – – + + + + + +

Tanda positif menunjukkan interval dimana fungsi naik(x > 2), sedangkan tanda negatif menunjukkan interval dimana fungsi turun (x < 2)

c. Titik stasioner dan nilai stasioner

Jenis titik stasioner dan nilai stasioner dapat ditentukan dengan uji turunan pertama

Misal f(x) mempunyai turunan di x = a dan f(a) merupakan nilai stasioner f(x) di x = a

1) Jika f ′(x) > 0 untuk x < a, f ′(a) = 0 dan f ′(x) < 0 untuk x > a maka (a, f(a)) merupakan titik balik maksimum dan f(a) merupakan nilai maksimum. 2) Jika f ′(x) < 0 untuk x < a, f ′(a) = 0 dan f ′(x) > 0 untuk x > a maka (a, f(a))

merupakan titik balik minimum dan f(a) merupakan nilai minimum.

(6)

3) Jika f ′(x) < 0 untuk x < a, f ′(a) = 0 dan f ′(x) < 0 untuk x > a maka (a, f(a)) merupakan titik belok.

4) Jika f ′(x) > 0 untuk x < a, f ′(a) = 0 dan f ′(x) > 0 untuk x > a maka (a, f(a)) merupakan titik belok.

(a) (b) (c) (d) x < a a >a x < a a >a x < a a >a x < a a >a f ′(x) + 0 – f ′(x) – 0 + f ′(x) – 0 – f ′(x) + 0 + Contoh:

Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = x2 – 8x + 1 dan jenisnya Jawab

f(x) = x2 – 8x + 1  f ′(x) = 2x – 8 fungsi f mencapai stasioner jika f ′(x) = 0 2x – 8 = 0

2x = 8 x = 4

nilai stasioner f(4) = 42 – 8 . 4 + 1 = 16 – 32 + 1 = –15 jenis stasioner dapat ditentukan dengan tanda garis bilangan

x < 4 4 >4 f ′(x) – 0 +

Jadi, jenis stasionernya adalah mempunyai nilai balik minimum d. Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup

Nilai maksimum atau minimum fungsi f dalam suatu interval tertutup belum tentu sama dengan nilai balik maksimum atau minimum.

Nilai maksimum atau minimum fungsi f dalam interval tertutup dapat diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu nilai-nilai stasioner fungsi f atau nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertutup itu.

Contoh:

Sebuah kertas berbentuk persegi yang mempunyai sisi 12 cm keempat pojoknya digunting untuk dijadikan kotak tanpa tutup. Berapa panjang guntingan tersebut agar volumenya mencapai maksimum

a

(7)

Jawab:

misalnya panjang guntingan pada keempat pojoknya adalah x cm maka volumenya V = (12 – 2x)2. X V = (144 – 48x + 4x2) . x V = 144x – 48x2 + 4x3 V′ = 144 – 96x + 12x2 Untuk V′ = 0 maka 144 – 96x + 12x2 = 0 12 – 8x + x2 = 0 (x – 2 )(x – 6) = 0 x = 2 atau x = 6 tanda pada garis bilangan

+ – Nilai x hanya berada pada interval 0  x  6

Maka volume maksimum yang terjadi jika x = 2 atau setiap pojik dipotong 2 cm e. Menggambar grafik fungsi aljabar

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi aljabar sbb.

1) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat (jika titik-titik itu mudah ditetapkan)

2) Menentukan titik stasioner dan jenisnya serta interval fungsi nai dan fungsi turun

3) Menentukan nilai y untuk x besar positif dan x besar negatif Contoh :

Gambarlah grafik fungsi y = -x2 + 2x + 8 Jawab:

a. Titik potong dengan sumbu X untuk y = 0 -x2 + 2x + 8 = 0

-(x – 4)(x + 2) = 0 x = 4 atau x = -2

Koordinat titik potong dengan sumbu X adalah (4, 0) dan (-2, 0) b. Titik potong dengan sumbu Y untuk x = 0

y = 0 + 0 + 8 atau y = 8

Koordinat titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 8) c. Titik stasioner

f ′(x) = -2x + 2, untuk f(x) = 0 maka 0 = -2 x + 2

x = 1

(8)

Created By Ita Yuliana 40 -2 0 1 4 X

Y 8

(1,9)

tanda garis bilangan

x < 1 1 >1 f ′(x) + 0 –

Untuk x = 1, maka y = – 12 + 2.1 + 8 = 9

Titik stasionernya adalah titik balik maksimum yaitu (1, 9) d. Sketsa grafik

Aktivitas 2

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x2 – 4x + 3 melalui titik (2, 3) 2. Tentukan pada interval manakah fungsi f(x) = 12 – 4x – x2 naik atau turun 3. Tentukan nilai dan jenis stasioner fungsi f(x) = x3 – 3x

4. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Setelah t detik mencapai ketinggian yang dinyatakan dengan rumus h(t) = 400t – 2t2 (dalam meter). Tentukan tinggi maksimum