SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI
DENGAN PENDEKATAN EKUIVALENSI
LEITMANN DALAM KALKULUS VARIASI
Linda H. Lokra ITS 29 Juli 2010
PENDAHULUAN Latar Belakang
Latar Belakang
PENDAHULUAN Permasalahan
PERMASALAHAN
Bagaimana menentukan masalah syarat cukup dengan menggunakan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi.
TUJUAN PENELITIAN
Memperoleh syarat cukup dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi.
BATASAN MASALAH
Penyelesaian masalah optimasi dalam bentuk fixed end point. MANFAAT PENELITIAN
a. Mengetahui masalah ekuivalensi Leitmann yang berhubungan dengan kalkulus variasi.
Kajian Pustaka Dan Dasar Teori Transformasi Leitmann
Leitmann (2008), membahas tentang penggunaan metode langsung Leitmann untuk menyelesaikan syarat cukup pada kalkulus variasi klasik. Hasil yang diperoleh adalah dalam bentuk penyelesaian masalah syarat cukup dengan metode langsung Leitmann.
Wagener (2009a), menunjukkan pendekatan ekuivalensi Leitmann untuk menyelesaikan masalah kalkulus variasi dan memperluasnya pada teori Weierstrass.
Hasil yang diperoleh yaitu suatu ekuivalensi dalam bentuk sederhana pada saat transformasi koordinatnya dilengkapi dengan medan ektermal.
Kajian Pustaka Dan Dasar Teori Transformasi Leitmann
Wagener (2009b), membahas tentang perluasan metode ekuivalensi Leitmann terhadap suatu kelas masalah titik konjuget. Kelas
dikarakteristikan dengan syarat bahwa himpunan dari titik-titik yang tidak berbeda dari masalah yang dibenarkan membentuk suatu tingkatan yang terbatas.
Berdasarkan hasil-hasil penelitian yang telah digambarkan diatas dan latar belakang yang telah disebutkan sebelumnya, maka dalam penelitian ini penulis mengambil judul syarat cukup masalah optimasi dengan menggunakan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi.
Kajian Pustaka Dan Dasar Teori Kalkulus Variasi
Kalkulus Variasi
Kalkulus variasi digunakan untuk menentukan kurva-kurva yang
menyebabkan suatu fungsi bernilai maksimum atau minimum. Beberapa permasalahan atau kasus yang biasanya dicari yaitu:
a. Kondisi batas tetap (titik awal dan titik akhir)
b. Kondisi batas bebas (free)
c. Dengan konstrain (constrainet)
Masalah yang paling sederhana yang dapat dicari pada kurva yang bergabung pada fixed end point dengan persamaan kurva yang meminimalkan fungsi tertentu yaitu mengambil fungsi minimum J(x ) =Rtot1f (t, x , ˙x )dt
Kajian Pustaka Dan Dasar Teori Medan Ekstremal
Medan Ekstremal
Semua kurva yang melingkupi kurva yang ekstremal disebut medan ekstremal.
medan ekstremal merupakan kemiringan dan kemiringannya harus memenuhi persamaan Euler-Lagrange:
∂f (t, x , ˙x ) ∂x − d dt ∂f (t, x, ˙x) ∂ ˙x = 0
Solusi umum dari persamaan Euler-Lagrange untuk suatu fungsi yang diberikan bergantung pada dua parameter dari kurva tersebut.
METODA PENELITIAN Tahapan Penelitian
Tahapan Penelitian
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai tahapan-tahapan yang akan dikerjakan dalam penyelesaian penelitian ini yaitu:
a. Kajian Pustaka
b. Hubungan syarat cukup kalkulus variasi klasik dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann
HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi LeitmannHubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan
Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik
Pada kalkulus variasi untuk mencari minimum dari suatu variabel untuk fungsi f (x ) yaitu mencari titik balik minimum pada turunan kedua dengan melibatkan tanda dari variasional pertama yaitu V1 dan variasional kedua yaitu V2, dimana variasional pertama mengarah pada kondisi kurva yang meminimalkan sebuah solusi untuk persamaan Euler-Lagrange dan variasional kedua mengarah pada V2 > 0 dimana V2 adalah koefisien dari ε2 dan untuk membuktikan bahwa ekstremal yang diperoleh adalah kurva yang meminimumkan maka J (x ) > J (x∗).
HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi LeitmannHubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan
Ekuivalensi Leitmann
Pengertian ekuivalensi leitmann menggeneralisasi pengertian dari masalah varasional ekuivalensi yang diperkenalkan oleh Caratheodory.
Metode Leitmann mentransformasikan suatu masalah kalkulus variasi kedalam bentuk ekuivalen pada konteks meminimumkan suatu fungsi
J (x ) = b Z
a
HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi LeitmannHubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan
Definisi Misalkan:
A =nx ∈ PC1([a, b] , Rm) |x (t) ∈ Rt untuksemua t ∈ (a, b) , x (a) = α , x (b) = β
o
A∗=ny ∈ PC1([a, b] , Rm) |y (t) ∈ Rt∗untuksemua t ∈ (a, b) , y (a) = α∗, y (b) = β∗
o
dan
Ξ (t, x ) = (t, ξ (t, x )) dengan Fungsi J : A → R dan J∗: A∗→ R dimana
J (x ) = b Z a L (t, x , ˙x ) dt dan J∗(y ) = b Z a L∗(t, y , ˙y ) dt
adalah ekuivalensi Leitman jika ada fungsi S∗: O∗→ R di C1sedemikian sehingga
HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi LeitmannHubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan
Teorema
Jika J dan J∗adalah ekuivalensi Leitmann, maka minimum ¯y dari J∗mengakibatkan minimum untuk ¯x dari J dengan aturan ¯x (t) = ξ (t, ¯y (y ))
Bukti
Misalkan fungsi ¯y minimum J∗terhadap A∗dan y = X−1x , ¯x = X ¯y maka akan ditunjukkan ¯x minimum J terhadap A untuk setiap x ∈ A
J(x ) = Z b a L(t, x , ˙x )dt = Z b a (L∗(t, y , ˙y ) + d dtS ∗ (t, y ))dt = J∗(y ) + S∗(t, y )ba = J∗(y ) + S∗(t(b), y (b)) − S∗(t(a), y (a)) = J∗(y ) + S∗(b, β∗) − S∗(a, α∗) ≥ J∗(˜y ) + S∗(b, β∗) − S∗(a, α∗) = Z b a (L∗(t, ˜y , ˙˜y ) + d dtS ∗ (t, ˜y ))dt = J(˜x )
HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan Ekuivalensi LeitmannHubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan
Jika diambil sembarang x maka J(x ) ≥ J(˜x ) untuk semua x ∈ A. Dari penjelasan diatas maka dapat disimpulkan bahwa:
a. Pada syarat cukup kalkulus variasi klasik, jika ∆J ≥ 0 maka x∗(t) adalah kurva yang meminimumkan J(x ).
b. Pada pendekatan ekuivalensi Leitmann, jika J(y ) ≥ 0 maka ˜y adalah kurva yang meminimumkan J(˜x )
HASIL DAN PEMBAHASAN Royal Road Leitmann
Royal Road Leitmann
Pendekatan Leitmann menyederhanakan masalah variasi dengan
mengambil transformasi ξ sebagai invers dari transformasi perbaikan yang ada pada medan ekstremal dari masalah meminimumkan, dengan
persamaan Leitmann:
HASIL DAN PEMBAHASAN Studi Kasus Kalkulus Variasi Klasik dengan Studi Kasus Leitmann
Langkah-langkah penyelesaian syarat cukup klasik dan
metode ekuivalensi Leitmann
Syarat cukup klasik:
a. Gunakan Euler-Lagrange (dapatkan x∗(t))
b. Masukkan syarat batas (dapatkan nilai c)
c. Substitusikan nilai c ke x∗(t)
d. Cari ∆J. Metode Leitmann
a. Gunakan Euler-Lagrange (dapatkan x∗(t))
b. Masukkan syarat batas (dapatkan nilai c)
c. Substitusikan nilai c ke x∗(t)
d. Tentukan nilai y (t)
HASIL DAN PEMBAHASAN Studi Kasus Kalkulus Variasi Klasik dengan Studi Kasus Leitmann
Studi Kasus Syarat Cukup Klasik dengan Studi Kasus
Leitmann
Dari proses penyelesaian kedua studi kasus ini, menunjukkan bahwa proses penyelesaian studi kasus kalkulus variasi klasik lebih cepat dan sederhana jika dibandingkan dengan studi kasus Leitmann.
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan
Kesimpulan
1. Untuk mengetahui suatu kurva bernilai minimum dilihat dari nilai J (x ) > J∗(x ) untuk syarat cukup klasik dan J (x ) > J(˜x ) untuk ekuivalensi Leitmann.
2. Bentuk penyelesaian dari syarat cukup klasik lebih cepat dan sederhana jika dibandingkan dengan bentuk penyelesaian dari Leitmann.
3. Tidak semua bentuk soal dalam kalkulus variasi dapat diselesaikan dengan menggunakan syarat cukup klasik namun dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ekuivalensi Leitmann.
KESIMPULAN DAN SARAN Saran
Saran
Akhir dari penulisan tesis ini disarankan, penyelesaian masalah optimasi dapat dikembangkan dalam bentuk free dan constrainet.
KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR PUSTAKA
Dacorogna, B., (2004), Introduction To The Calculus Of Variation, Ecole Polytechnique Federale, Switzerland.
Leitmann, S. (2008), “Fields Of Extremals and Sufficient Conditions For The Simplest Problem Of The Calculus Of Variation“, J Glob Optim, Vol 10,No 41-50
Pinch, E.R., (1993), Optimal Control and the Calculus of Variations, Oxford University Press, Oxford New York Tokyo.
Wagener, F.O.O., (2009a), “On Conjugate Points and the Leitmann Equivalent Problem Approach”.
KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA
