Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab

(1)

Kuliah Pengantar

Kontrol Optimum dan

Metode Numeriknya

dalam

Scilab

Effendi Syahril

Agah D. Garnadi

(2)

Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan

Metode Numeriknya dalam

Scilab

Effendi Syahril

Agah D. Garnadi

e-version : https://dx.doi.org/10.17605/OSF.IO/KH4U2

(3)

Chapter 1 Pendahuluan

1.1 Masalah Optimisasi Dinamis

Masalah pengalokasian optimum dari sumber daya yang terbatas yang memiliki alternatif penggunaannya, baik pada suatu titik waktu maupun pada jangka waktu tertentu, dapat melibatkan optimisasi statis maupun optimisasi dinamis. Pilihan antara mengurangi kon-sumsi masa kini dan konkon-sumsi yang cukup untuk masa depan, merupakan masalah optimisasi dinamis. Suatu alat yang sangat penting dalam optimisasi dinamis adalah Kalkulus Vari-asi. Teknik kalkulus variasi ini telah diterapkan dalam masalah ekonomi sejak tahun 1924. Namun demikian, teknik kalkulus variasi memiliki keterbatasan, yang berarti tidak semua masalah dapat diselesaikan dengan teknik kalkulus variasi. Teknik kontrol optimum, mampu mengatasi keterbatasan yang dimiliki oleh teknik kalkulus variasi. Teknik kontrol optimum berkembang pesat sejak ditemukannya teknik program dynamis oleh Richard Bellman pada tahun 1957 dan prinsip maksimum oleh Pontryagin pada tahun 1962. Dengan penemuan tersebut, teknik kontrol optimum yang berkembang mempunyai 2 pendekatan, yaitu pen-dekatan program dinamis dan penpen-dekatan prinsip maksimum. Dalam kuliah ini, digunakan pendekatan prinsip maksimum, karena lebih mudah dipahami. Pendekatan prinsip mak-simum menggunakan teknik yang dikembangkan dalam kalkulus variasi. Oleh karena itu, pembahasan kuliah dimulai dengan pembahasan topik teknik kalkulus variasi. Dengan bekal teknik kalkulus variasi, pembahasan difokuskan pada teknik-teknik kontrol optimum.

Secara sederhana, masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol u(t) diantara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal x(t0) pada waktu t0 kepada state terminal x(T ) pada waktu terminal T, demikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsional objektif yang juga disebut sebagai indeks performance.

(6)

1.2 State Sistem Dinamis

State atau keadaan sistem dinamis adalah koleksi dari bilangan x(t) ≡ (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) yang apabila diberikan suatu nilai pada waktu t = t0, maka nilainya akan dapat ditentukan pada t ≥ t0 melalui pilihan vektor kontrol u(t) = (u1(t), u2(t), ..., xr(t)). Bilangan xi(t) untuk (1 ≤ i ≤ n, t0 ≤ t ≤ T ) disebut sebagai peubah keadaan atau peubah state, dan ruang keadaan adalah ruang dimensi n yang memuat koordinat xi(t) (1 ≤ i ≤ n). Dengan cara yang sama, bilangan ui(t) untuk (1 ≤ i ≤ r t0 ≤ t ≤ T ) disebut sebagai peubah kontrol atau peubah kendali. Misalnya, x(t) dapat melambangkan peubah ekonomi, seperti GNP, konsumsi, investasi dan kondisi perekonomian lainnya, serta u(t) mewakili peubah kontrol, seperti kebijakan suku bunga, pengeluaran pemerintah, suplai uang dan instrumen ekonomi lainnya yang dapat dikendalikan.

Keadaan atau state suatu sistem pada waktu t, yang disebut dengan sistem dinamis, direpresentasikan oleh sistem persamaan diferensial dalam hal masalah kontinyu, atau sistem persamaan beda untuk masalah diskret. Misalnya,

˙x(t) = f [x(t), u(t), t] (1.1)

atau

x(k + 1) = f [x(k), u(k), k]. (1.2)

Sistem dinamis dapat berbentuk linier dan dapat pula berbentuk tak-linier, juga dapat berbentuk sistem ’autonomous’ (sistem tidak memuat t atau k) atau berbentuk sistem ’non-autonomous’, dapat pula memiliki koefisien konstanta atau koefisien peubah pada persamaan diferensial atau persamaan beda. Sistem juga dapat berbentuk deterministik dan juga dapat berbentuk stokastik. Dalam kuliah ini hanya akan dibahas sistem deterministik.

1.3 Peubah Kontrol

Sistem dinamis dikontrol atau dikendalikan oleh instrumen atau kontrol yang sesuai. Hanya kontrol yang ’admissible’ ( yaitu kontrol yang memenuhi persyaratan yang diberikan) saja yang perlu diperhatikan. Misalnya, jika ui(t) menyatakan proporsi pendapatan nasional yang ditabung untuk membentuk kapital di sektor i, (i = 1, 2, ..., r) maka 0 ≤ ui(t) ≤ 1, ∀i, t dan 0 ≤Pr

1ui(t) ≤ 1. Secara umum, kendala fisik ini dinyatakan dengan persyaratan bahwa peubah kontrol harus dipilih dari kumpulan kontrol-kontrol yang admissible, yang dilambangkan dengan Ω(u(t)), artinya, kontrol u(t) ∈ Ω(u(t)). Untuk ilustrasi di atas,

Ω(u(t)) ≡ {ui(t) : 0 ≤ ui(t) ≤ 1, 0 ≤ r

X

1

ui(t) ≤ 1}

Apabila u(t) hanya fungsi dari t, maka disebut kontrol ’open-loop,’ misalnya mengatur mesin cuci untuk berfungsi dalam jangka waktu tertentu. Apabila kontrol u(t) juga meru-pakan fungsi dari peubah state x(t), yaitu u(t) = u[x(t), t], maka disebut kontrol

(7)

’closed-loop,’ misalnya pengeluaran pemerintah, u(t), merupakan fungsi dari GNP/PDB, x(t), dan waktu pemilu, t.

1.4 Reachability, Controllability dan Observability

Suatu keadaan x1 dikatakan dapat dicapai (reachable) dari sebarang keadaan x0 pada waktu t0 jika kontrol u1(T ) ∈ Ω(u(t)) dapat ditemukan demikian rupa sehingga x(u1, x0, t1) = x1 untuk waktu t1 ≥ t0. Koleksi dari semua x1 tersebut disebut reachable states pada waktu t. Istilah controllability merujuk pada kenyataan bahwa beberapa state terminal x1 _dapat dicapai dari state awal x0 _{dengan pilihan kontrol u(t)yang tepat, u(t) ∈ Ω(u). Jadi,} control-lability merupakan syarat perlu untuk adanya suatu solusi.

Observability adalah kemampuan untuk menentukan state awal x0 dari observasi data dan output. Output menyatakan hubungan antara peubah state dengan [eubah kontrol, misalnya y(t) = g[x(t), u(t), t]. Masalah observability hanya muncul jika output tidak dapat diukur secara eksplisit.

1.5 Fungsional Objektif

Peubah kontrol u(t) harus dipilih dalam rangka memaksimumkan atau meminimumkan fung-sional objektif J [u(t)], (fungfung-sional objektif ini merupakan ukuran performance, makanya kadang-kadang juga disebut indeks performance) :

J [u(t)] =

Z T

t0

f0(x(t), u(t), t)dt (1.3)

dengan f0 adalah fungsi bernilai riel. Jika fungsi

f0(x, u, t) = π(x, p)e−rt, atau f0 = u(c)e−rt,

maka fungsional J merupakan nilai kini (present value) dari profit π atau utilitas konsumsi yang terdiskon pada tingkat diskon r.

Secara umum, terdapat 3 alternatif untuk menyajikan formulasi fungsional objektif ( 1.3), yaitu :

1. (Formulasi Bolza) Formulasi fungsional objektif bentuk Bolza merupakan formulasi yang lebih umum.

J [u(t)] = S[x(T ), T ] +

Z T

t0

f0(x(t), u(t), t)dt (1.4)

dengan f0 dan S adalah fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan. Fungsi S[x(T ), T ] dikenal dengan fungsi ’scrap value’ pada waktu terminal T.

(8)

2. (Formulasi Lagrange ) Formulasi Lagrange merupakan bentuk khusus dari ( 1.4), den-gan S[x(T ), T ] = 0, yaitu J [u(t)] = Z T t0 f (x(t), u(t), t)dt (1.5)

3. (Formulasi Mayer) Formulasi Mayer ini juga merupakan bentuk khusus dari ( 1.4), dengan f (x(t), u(t), t) = 0, yaitu

J [u(t)] = S[x(T ), T ] (1.6)

Dengan pendefinisian kembali peubah-peubahnya, maka ke-3 alternatif di atas ekivalen. Mis-alnya, formulasi Bolza dapat dikonversikan menjadi formulasi Mayer dengan mendefinisikan peubah tambahan xn+1(t) sebagai

xn+1(t) =

Z t

t0

f (x, u, τ )dτ, xn+1(t0) = 0 akan menghasilkan J = xn+1(t) + S[x(T ), T ].

1.6 Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum

Dalam masalah kalkulus variasi dalam bentuk baku, tujuannya adalah untuk memaksi-mumkan atau meminimemaksi-mumkan fungsional objektif

J [x(t)] =

Z T

0

f0(x(t), ˙x(t), t)dt

dengan fungsi kendala atau tanpa kendala; fungsi kendala dapat berupa persamaan diferen-sial atau persamaan aljabar. Misalnya, ˙x = f (x(t), ˙x(t), t).

Dalam bentuk baku, kontrol optimum mempunyai tujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsional objektif

J [u(t)] =

Z T

0

f0(x(t), u(t), t)dt

dengan kendala persamaan diferensial ˙x = f (x(t), u(t), t). Apabila ˙x(t) = u(t), maka masalah kalkulus variasi sama saja dengan masalah kontrol optimum. Kenyataannya, masalah kontrol optimum dapat diselesaikan dengan teknik kalkulus variasi (persamaan Euler) dan sebaliknya prinsip Maksimum Pontryagin yang merupakan syarat perlu untuk adanya kontrol optimum dapat diperlakukan sebagai pengembangan dari kalkulus variasi.

(9)

Chapter 2 Kalkulus Variasi

2.1 Pendahuluan

Kalkulus variasi merupakan cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan pengoptimu-man fungsional. Cabang ilmu ini telah mulai berkembang sejak ditemukannya masalah isoperimetris untuk pertamakalinya sekitar tahun 850 B.C. Akan tetapi, progres yang sig-nifikan dalam cabang ilmu ini baru terjadi sekitar penghujung abad 17 melalui penemuan masalah brachitoschrone, yang solusinya diberikan oleh Newton, de l’Hospital, John dan Jacob Bernoulli pada tahun 1696.

Dalam bidang ekonomi, penggunaan kalkulus variasi sudah ada sejak tahun 1920an, melalui karya Evans (1924 dan 1930), Ramsey (1928) dan Hotelling (1931). Evans dan Roos berupaya untuk menemukan harga optimum untuk keseluruhan periode perencanaan, seperti memaksimumkan fungsional keuntungan dari monopolist. Sedangkan Ramsey ingin men-emukan program penghematan yang meminimumkan perbedaan tingkat utilitas. Masalah penghematan optimum ini, yang memuat sumber inspirasi dalam teori pertumbuhan ekonomi yang optimum, diselesaikan dengan kalkulus variasi. Sementara itu Hotelling menggunakan kalkulus variasi dalam masalah penambangan optimum dari sumber daya alam.

2.2 Fungsional Dan Variasi

Fungsional memainkan peranan penting dalam kalkulus variasi. Fungsional, misalnya norm x = kxk, atau misalnya J (x) =Rb

ax(t)dt, adalah suatu aturan yang mengkaitkan tiap fungsi x ∈ R dengan suatu bilangan tunggal kxk atau J (x). Terdapat analogi antara fungsi den-gan fungsional. Argumen dari fungsi merupakan peubah, misalnya x = x(t), sedangkan argumen dari fungsional merupakan fungsi, misalnya J (x(t)) = Rb

ax(t)dt. Apabila fungsi secara lengkap dapat ditentukan manakala peubahnya diberikan nilai-nilai tertentu, maka

(10)

suatu fungsional secara lengkap ditentukan oleh pilihan fungsi tertentu dari sekumpulan fungsi yang admissible. Increment atau kenaikan dari argumen fungsi adalah dt = t − t∗, sementara increment dari argumen fungsional, yang kita sebut dengan variasi dan dengan notasi δx merupakan selisih δx = x(t)−x(t∗). Dalam mempelajari fungsi, kita tertarik untuk menemukan titik yang memberikan ekstremum untuk fungsi, sedangkan dalam pembahasan fungsional kita tertarik untuk menemukan fungsi yang memberikan ekstremum untuk fung-sional.

Variasi dari fungsional J (x) adalah 4J (x) = J (x+δx)−J (x). Dengan mengambil δx = h sebarang fungsi, maka dengan menggunakan perluasan deret Taylor, maka diperoleh

J (x + δx) = Z T 0 f (x + h, ˙x + ˙h, t)dt = Z T 0 f (x, h, t)dt + Z T 0 (hfx+ ˙hfx)dt˙ + Z T 0 (h2fxx+ 2h ˙hfx ˙x+ fx ˙˙x˙h2)dt + Ok h k 2 = J (x) + Z T 0 f (x, h, t)dt + Z T 0 (h2fxx+ 2h ˙hfx ˙x+ fx ˙˙x˙h2)dt + Ok h k2, sehingga diperoleh 4J(h) = J(x + h) − J(x) = φ(h) + Q(h) + Ok h k2 (2.1) = δJ (h) + δ2J (h) + Ok h k2

dengan φ(h) merupakan suku-suku linear dalam deret Taylor yang kita sebut dengan variasi pertama δJ (h) dan Q(h) adalah suku-suku kuadrat yang mengindikasikan variasi kedua δ2_{J (h) dan Ok h k}2 _{→ 0 untuk h → 0.}

Definisi 2.1 Fungsional J (x) dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal atau re-latif sepanjang x∗(t) apabila 4J (x∗) ≥ 0 (≤ 0), yaitu J (x∗) ≥ J (x) (J (x∗) ≤ J (x)) untuk semua fungsi-fungsi yang cukup dekat dengan x∗. Fungsional J (x) dikatakan men-capai maksimum (minimum) global sepanjang x∗(t) apabila 4J (x∗) ≥ 0 (≤ 0), yaitu J (x∗) ≥ J (x) (J (x∗) ≤ J (x)) untuk semua fungsi x(t) 6= x∗(t).

2.3 Syarat Perlu Untuk Optimum : Persamaan Euler

Misalkan C[0, T ] menyatakan kelas semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang [0, T ] dan Ci_{[0, T ] menyatakan semua fungsi yang didefinisikan di selang [0, T ] dan memiliki} tu-runan ke-i yang kontinu. Perhatikan masalah variasi dalam bentuk sederhana,

J (x) =

Z T

0

f (x, ˙x, t)dt (2.2)

(11)

dengan titik ujung A(0, x(0)) dan B(T, x(T )) adalah tetap, f (x, ˙x, t), x(t) ∈ C2[0, T ] dan ˙x ≡ dx/dt dan x adalah fungsi bernilai skalar. Permasalahan adalah memilih fungsi x∗(t) diantara fungsi-fungsi admissible, yaitu semua fungsi x(t) ∈ C2_{[0, T ] yang memiliki titik} awal di A dan titik akhir di B yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional J (x).

Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah δJ (x) = 0. Misalkan δJ (x) =

Z T

0

g(t)h(t)dt (2.3)

dengan g(t) ∈ C[0, T ] dan h(t) sebarang fungsi yang memenuhi h(0) = h(T ) = 0.

Lema 2.1 ( Lema Dasar ) Misal g(t) ∈ C[0, T ] dan S himpunan semua fungsi h(t) kontinu dan dapat diturunkan di [0, T ] dan h(0) = h(T ) = 0 dengan T adalah tetap. Jika

Z T

0

g(t)h(t)dt = 0 (2.4)

untuk semua h ∈ S, maka g(t) = 0 untuk semua t ∈ [0, T ].

Bukti : Misalkan g(t) 6= 0, yaitu g(t) > 0, pada [0, T ]. Dengan sifat kekontinuan, maka g(t) 6= 0 untuk suatu selang [a, b] ∈ [0, T ], dengan 0 < a < b < T. Misal h(t) ≡ (t − a)(b − t) untuk t ∈ [a, b] dan h(t) = 0, ∀t 3 [a, b]. Jelas bahwa h(t) memenuhi persyaratan lema. Tetapi, RT

0 g(t)(t − a)(b − t)dt 6= 0. Suatu kontradiksi. Dengan demikian, haruslah g(t) = 0.

Teorema 2.1 Misalkan J (x) = RT

0 f (x, ˙x, t)dt didefinisikan pada C0[0, T ] dan memenuhi syarat batas x(0) = x0, x(T ) = xT. Maka syarat perlu bagi J (x) untuk memiliki ekstremum adalah fungsi x(t) memenuhi persamaan Euler:

fx− d

dtfx˙ = 0, (2.5)

atau dituliskan dalam bentuk penuh, yang disebut persamaan Euler-Lagrange :

fx− fxt˙ − fx ˙x˙x − fx ˙˙xx = 0.¨ (2.6)

Bukti : Syarat perlu untuk ekstremum adalah δJ (x) = 0, yaitu δJ =

Z T

0

[fx(x, ˙x, t)h + fx˙(x, ˙x, t) ˙h]dt = 0, (2.7)

(12)

dengan fx ≡ ∂f (x, ˙x, t)/∂x, fx˙ ≡ ∂f (x, ˙x, t)/∂ ˙x dan h(t) adalah fungsi ’displacement’ meru-pakan fungsi kontinu sebarang dan bersifat h(0) = 0 = h(T ). Dengan melakukan integrasi bagian terhadap suku kedua, diperoleh

Z T 0 ˙hfx˙ = hfx|˙ T0 − Z T 0 (d dtf˙x)hdt = 0 − Z T 0 (d dtfx˙)hdt karena h(0) = 0 = h(T ). Sehingga diperoleh

δJ = Z T 0 (fx− d dtfx˙)hdt = 0, (2.8)

yang pada gilirannya dengan Lema Dasar memberikan persamaan Euler : fx− d

dtfx˙ = 0. Contoh 2.1 Tentukan ekstremum dari R1

0(a ˙x2+ bt)dt, diberikan x(0) = 0, x(1) = 2, a 6= 0.

Solusi :

Fungsi integran adalah dalam bentuk f ( ˙x) = a ˙x2+bt. Persamaan Euler memberikan d/dt(2a ˙x) = 0, atau ¨x = 0, karena a 6= 0. Lakukan integrasi, maka diperoleh ˙x(t) = c dan x(t) = ct + d, dengan c dan d merupakan konstanta yang akan ditentukan nilanya dari syarat batas x(0) = 0 dan x(1) = 2. Akhirnya diperoleh solusi yang merupakan garis lurus, yaitu x(t) = 2t.

Contoh 2.2 Tentukan ekstremum dari R10

0 f (x, ˙x, t)dt, dengan fungsional objektif didefin-isikan oleh f (x, ˙x, t) ≡ a ˙x2 + bx, dan persyaratan pada kedua titik ujung diberikan oleh x(0) = 1 dan x(10) = 5.

Solusi :

Fungsi f (x, ˙x, t) = a ˙x2 _{+ bx. Maka persamaan Euler f}

x − _dtdfx˙ = 0 akan memberikan b − d

dt2a ˙x = 0. Yang terakhir ini akan memberikan ¨x = b/(2a). Dengan melakukan integrasi dua kali, maka akan diperoleh solusi umum

x(t) = b 4at

2_{+ k}

1t + k2.

Dengan menggunakan x(0) = 1 dan x(10) = 5, diperoleh k1 = 25b/a, k2 = 1, sehingga diperoleh solusi khusus

x(t) = b 4at

2

(13)

Contoh 2.3 Seorang produsen merencanakan produksi dalam rentang waktu [0, 1]. Tingkat output pada waktu t = 0 adalah nol dan tingkat output pada waktu terminal t = 1 adalah sebesar 10 satuan produksi. Tentukan tingkat output optimum x(t) apabila produsen di-hadapkan pada harga pasar stabil, p = 4 satuan moneter dan fungsi ongkos total ˙x2 _{+ x}2 yang mengalami diskon pada tingkat suku bunga pasar r = 0, 2.

Solusi :

Fungsional objektif yang akan dimaksimumkan oleh investor adalah J (x) =

Z 1

0

e−0,2t[4x − ( ˙x2+ x2)]dt, x(0) = 0, x(1) = 10. Persamaan Euler memberikan

fx− d dtfx˙ = e −0,2t (4 − 2x) − d dte −0,2t (−2 ˙x) = 0,

yaitu menghasilkan ¨x − 0, 2 ˙x − x = −2. Solusi dari persamaan diferensial ini adalah x(t) = k1eλ1t_{+ k2e}λ2t_{+ 2,}

dengan λ1, λ2 = 0, 1 ± √

0, 01 + 1 merupakan akar dari persamaan karakteristik λ2− 0, 2λ − 1 = 0,

dan 2 merupakan solusi dari persamaan diferensial tak homogen. Konstanta k1 dan k2 adalah konstanta integrasi yang dapat ditentukan dari syarat batas x(0) = 0 dan x(1) = 10. Akhirnya diperoleh solusi khusus, yaitu

x(t) = 3, 358e1,105t− 5, 358e−0,905t+ 2.

2.4 Persamaan Euler Yang Lebih Umum

2.4.1 Kasus Peubah banyak

Perhatikan fungsional objektif J (x) = RT

0 f (x, ˙x, t)dt, dengan x = (x1, x2, ..., xn) dan ˙x = ( ˙x1, ˙x2, ..., ˙xn). Maka, dengan melakukan integrasi bagian terhadap δJ dan dengan menggu-nakan hi(0) = 0 = hi(T ), ∀i diperoleh :

δJ = Z T 0 ( n X 1 hifxi+ n X 1 ˙ hifx˙i)dt = 0 = Z T 0 (fxi − d dtfx˙i)hidt, ∀hi(t).

(14)

Dengan menggunakan Lema Dasar, akan menghasilkan persamaan Euler fxi −

d

dtfx˙i = 0, ∀i,

(2.9)

atau dalam bentuk penuh, persamaan Euler-Lagrange

fxi − fx˙it− fxix˙ix˙i− fx˙ix˙ix¨i = 0, (1 ≤ i ≤ n).

(2.10)

Contoh 2.4 Tentukan ekstremum untuk R10

0 ( ˙x12 + ˙x22+ et)dt dengan syarat batas x1(0) = 1, x1(10) = 11 dan x2(0) = 2, x2(10) = 6.

Solusi : Fungsi integran dalam bentuk f (x1, x2, ˙x1, ˙x2, t) = ˙x12+ ˙x22+ et. Persamaan Euler memberikan fxi − d dtfx˙i = 0 − d dt2 ˙xi (i = 1, 2),

yaitu ¨xi = 0, ˙xi = ki, dengan solusinya adalah persamaan linier xi(t) = ki(t)+ci, (i = 1, 2). Dengan menggunakan syarat batas, maka diperoleh solusi khusus

x1(t) = t + 1, x2(t) = 0, 4t + 2.

2.4.2 Kasus Fungsi f Memuat Turunan ke-n

Perhatikan fungsional objektif dengan fungsi f memuat turunan ke-n, (n ≥ 1) J (x) =

Z T

0

f (t, x, ˙x, ¨x, ..., xn)dt (2.11)

dengan titik ujung tetap xi_{(0) = x}

0i, dan xi(T ) = xTi berturut-turut memberikan per-syaratan h(0) = ˙h(0) = ... = hn_{(0) = 0, dan h(T ) = 0 = ˙h(T ) = ... = h}n_{(T ). Syarat perlu} untuk adanya ekstremum bagi J (x) adalah

δJ =

Z T

0

(fxh + fx˙˙h + fx¨¨h + ... + fxnhn)dt = 0.

(2.12)

Integrasi bagian terhadap suku kedua integran menghasilkan

Z T 0 fx˙˙hdt = fx˙h|T0 − Z T 0 (d dtfx˙)hdt = 0 − Z T 0 (d dtfx˙)hdt karena h(0) = 0 = h(T ).

(15)

Integrasi bagian terhadap suku ketiga integran, dan mengulangi integrasi bagian sampai diperoleh suku yang memuat perkalian dengan fungsi h, diperoleh :

Z T 0 fx¨¨hdt = fx¨˙h|T0 − Z T 0 ˙hd dtfx¨dt = 0 − d dtf¨xh| T 0 + Z T 0 hd 2 dt2fx¨dt = 0 − 0 + Z T 0 hd 2 dt2fx¨dt.

Penggunaan integrasi bagian secara berulang terhadap suku-suku berikutnya dan dengan menggunakan syarat h(0) = 0 = ˙h(0) = ¨h(0) = ... = hn_{(0) dan h(T ) = 0 = ˙h(T ) = ¨}_{h(T ) =} ... = hn(T ), menghasilkan δJ = Z T 0 (fx− d dtfx˙+ d2 dt2fx¨+ ... + (−1) nd n dtnfxn)hdt = 0. Dengan Lema Dasar, maka diperoleh persamaan Euler-Poisson :

fx− d dtfx˙ + d2 dt2fx¨+ ... + (−1) ndn dtnfxn = 0. (2.13)

Contoh 2.5 Tentukan ekstremum dari R1

0(¨x2 + ˙x + at2)dt, dengan x(0) = 0, ˙x(0) = 1, x(1) = 1, dan ˙x(1) = 1.

Solusi : Fungsi objektif adalah f (¨x, ˙x, x, t) = ¨x2 _{+ ˙x + at}2_{. Persamaan Euler-Poisson} memberikan fx− d dtfx˙ + d2 dt2fx¨ = 0 − d dt1 + d2 dt22¨x = 0,

yang memberikan x(4) _{= 0. Dengan melakukan integrasi secara berulang, maka diperoleh} solusi umum x(t) = k1t 3 6 + k2t2 2 + k3t + k4,

dengan konstanta integrasi k1, k2, k3 dan k4ditentukan dari syarat batas yang diberikan. Maka akan diperoleh solusi atau ekstremal x(t) = t.

2.5 Kasus Khusus Persamaan Euler

2.5.1 Fungsi f Tidak Memuat x

Fungsional objektif adalah dalam bentuk J (x) =

Z T

0

(16)

dengan f tidak memuat x secara ekslpisit. Persamaan Euler akan berbentuk d/dtfx˙ = 0. Ini berarti bahwa fx˙ = k, dengan k adalah konstanta. Ini merupakan persamaan diferensial ordo-1, dengan k merupakan konstanta sebarang. Solusinya diperoleh dengan melakukan integrasi ˙x.

Jika f bergantung hanya pada ˙x, maka persamaan Euler menjadi d

dtfx˙ = fx ˙˙xx = 0.¨

Hal ini terjadi hanya jika ¨x = 0, yang memberikan ˙x = c, dan x(t) = c1t + c2, atau terjadi jika fx ˙˙x = 0. Jika fx ˙˙x memiliki akar nyata, dalam hal ini ˙x(t) = c, maka solusinya adalah

x(t) = c3t + c4.

Terlihat bahwa manapun yang berlaku, solusi dari persamaan Euler berbentuk persamaan garis lurus x(t) = at + b.

Contoh 2.6 Tentukan ekstremum untuk fungsional objektif J (x) = R1

0(t ˙x + ˙x2)dt dengan syarat batas x(0) = 1, x(1) = 1.

Solusi : Karena fungsi f (x, ˙x, t) = t ˙x + ˙x2 tidak memuat x, maka persamaan Euler menghasilkan d/dt(fx) = t + 2 ˙x yang memberikan t + 2 ˙x = konstanta, atau ˙x = −1/2t + k1.˙ Dengan melakukan integrasi secara langsung, diperoleh solusi umum :

x(t) = −1 4t

2_{+ k}

1t + k2.

Dengan menggunakan syarat batas, diperoleh k1 = 1/4, k2 = 1, sehingga diperoleh solusi khusus : x(t) = −1 4t 2 +1 4t + 1.

2.5.2 Fungsi f Tidak Memuat t

Fungsional objektif dalam bentuk

J (x) =

Z T

0

f (x, ˙x)dt. Persamaan Euler memberikan

fx− d

dtfx˙ = fx− fxx˙ ˙x − fx ˙˙xx¨ Kalikan dengan ˙x memberikan

fx˙x − fxx˙ ˙x2− fx ˙˙x˙x¨x ≡ d

dt(f − ˙xfx˙) = 0. Ini berarti bahwa f − ˙xfx˙ = k.

(17)

2.5.3 Fungsi f Tidak Memuat ˙x

Fungsional objektif dalam bentuk

J (x) =

Z T

0

f (x, t)dt.

Persamaan Euler memberikan fx = 0. Ini bukan persamaan diferensial, tetapi secara umum merupakan persamaan aljabar tak linier. Umumnya, syarat batas tidak dapat dipenuhi, karena tidak ada konstanta integrasi. Dengan kata lain, solusi ada hanya jika kurva x = x(t) melewati titik batas.

2.6 Masalah Variasi Dengan Kendala

Dalam masalah kalkulus variasi, kadangkala terdapat kendala tambahan yang disebabkan oleh kondisi fisik dari permasalahan. Ekstremum dari fungsional didefinisikan dalam kerangka kendala tersebut yang sering dikenal dengan sebutan ekstremum berkendala. Implikasi yang sangat penting dari kendala tersebut adalah variasi δxi bukan lagi merupakan sebarang se-hingga Lema Dasar tidak dapat diterapkan. Untuk masalah seperti ini digunakan metoda substitusi atau yang lebih dikenal dengan sebutan pengali Lagrange. Akan dibahas kendala titik, kendala persamaan diferensial dan kendala isoperimetric.

2.6.1 Kendala Titik Dan Persamaan Diferensial

Perhatikan masalah menentukan ekstremum fungsional

Z T 0 f (x, ˙x, t)dt (2.14) terhadap kendala gi(x, ˙x, t) = 0, (1 ≤ i ≤ r < n) (2.15)

dengan x merupakan vektor dimensi-n dan ˙x merupakan turunannya terhadap waktu t, serta f (x, ˙x, t) adalah fungsi bernilai skalar. Persamaan gi(x, ˙x, t) = 0 disebut dengan kendala persamaan diferensial. Apabila gi(x, ˙x, t) tidak memuat ˙x maka gi(x, t) = 0 disebut kendala titik.

Definisikan fungsi Lagrange L sebagai berikut :

L ≡ f (x, ˙x, t) + p.gi(x, ˙x, t) (2.16)

atau dalam bentuk skalar

L ≡ f (x, ˙x, t) + r X i=1 pigi(x, ˙x, t) (2.17)

(18)

dengan x(0) = x0 dan x(T ) = xT. Definisikan fungsional objektif yang diperluas, Ja sebagai berikut Ja≡ Z T 0 L(x, ˙x, p, t)dt. (2.18) Variasi δJa adalah δJa = Z T 0 (Lxδx + Lxδ ˙x + Lpδp)dt˙ = Z T 0 [(Lx− d dtLx˙)δx + Lpδp]dt. (2.19)

Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah δJa = 0 dan dipenuhinya kendala yang ada. In berarti bahwa persamaan Euler berikut harus dipenuhi, yaitu :

Lx− d dtLx˙ = 0, (2.20) Lp− d dtLp˙ = 0, (2.21)

dengan Lx ≡ fx + gxp, dan Lx˙ ≡ fx˙ + gx˙p, untuk kendala diferensial, dan Lx˙ ≡ fx˙ untuk kendala titik. Karena Lp˙ = 0 maka diperoleh Lp = g = 0. Solusi, atau ekstremal akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial yang diberikan oleh persamaan Euler.

2.6.2 Kendala Isoperimetris

Pada awalnya, masalah isoperimetric adalah masalah mencari kurva dengan panjangnya l yang melingkari daerah terbesar. Dalam perspektif yang lebih luas, masalah isoperimetric adalah masalah variasi dengan kendala yang diberikan dalam bentuk integral tentu yang mempunyai nilai tertentu. Secara matematis, masalah isoperimetric adalah masalah menen-tukan ekstremum dari fungsional objektif

J (x) = Z T 0 f (x, ˙x, t)dt (2.22) terhadap kendala xi(0) = xi0, xi(T ) = xiT, (1 ≤ i ≤ n) (2.23) dan Z T 0 gi(x, ˙x, t)dt = li, (1 ≤ i ≤ r < n) (2.24)

dengan li merupakan konstanta. Kendala ( 2.24) dinamakan kendala isoperimetric. Definisikan fungsi baru yi(t) ≡

Rt

0gi(x, ˙x, t)dt, dengan yi(0) = 0, dan yi(T ) = li, (1 ≤ i ≤ r < n). Dengan menurunkan yi(t) terhadap waktu t maka diperoleh ˙yi(t) = gi(x, ˙x, t) atau gi − ˙yi = 0. Dengan cara ini, kendala isoperimetric sudah ditransfer menjadi kendala

(19)

persamaan diferensial. Jadi, untuk menyelesaikannya, digunakan metode pengali Lagrange. Fungsional yang diperluas diberikan oleh

Ja ≡ Z T 0 F (x, ˙x, t)dt = Z T 0 [f (x, ˙x, t) + r X i=1 pi(t)(gi− ˙yi)]dt (2.25)

Persamaan Euler memberikan ∂F ∂xj − d dt( ∂F ∂ ˙xj) = 0 (1 ≤ i ≤ n) (2.26) ∂F ∂yj − d dt( ∂F ∂ ˙yj ) = 0 (1 ≤ i ≤ r) (2.27)

Selanjutnya, solusi atau ekstremum akan diperoleh dengan menentukan solusi dari per-samaan diferensial yang dibentuk oleh perper-samaan Euler.

Contoh 2.7 Maksimumkan J (x) =RT

0 ˙x2dt,

terhadap kendala x(0) = x0, x(T ) = xT dengan T diberikan, dan

Z T

0

(1 + x)dt = l, (l konstanta ).

Solusi : Definisikan fungsi y(t) dengan y(t) ≡

Z t

0

(1 + x)dt dengan y(0) = 0, y(T ) = l.

Maka ˙y(t) = 1 + x(t), dan fungsi Lagrange diberikan oleh L = ˙x2_{+ p(1 + x − ˙}_{y). Sehingga} persamaan Euler memberikan 2¨x = p, dengan solusinya adalah

x(t) = p 4t

2_{+ at + b.}

Syarat batas memberikan

x(0) = x0 = b x(T ) = xT = p 4T 2 + aT + b l = Z T 0 (1 + x)dt = Z T 0 (1 + p 4t 2 + at + b)dt Persamaan yang terakhir ini memberikan

p = 12 T3(l −

a 2T

2_{− (1 + b)T ).}

(20)

2.7 Syarat Batas Dalam Masalah Variasi

2.7.1 Dua Titik Ujung Tetap Dan Syarat Batas Natural

Perhatikan fungsional objektif

J (x) =

Z T

0

f (x, ˙x, t)dt (2.28)

Syarat perlu terdapatnya ekstremum adalah δJ = 0, dengan δJ = Z T 0 (fxh + fx˙˙h)dt = Z T 0 (fx− d dtfx˙)hdt + hfx˙| T 0 = 0. (2.29)

Karena persamaan Euler harus dipenuhi, yaitu fx − _dtdfx˙ = 0, maka suku kedua pada persamaan ( 2.29) haruslah memenuhi

hfx˙|T0 = 0. (2.30)

Jika titik awal A(0, x0) dan titik terminal B(T, xT) merupakan dua titik tetap, maka h(0) = 0 = h(T ), atau X(0) = x0, x(T ) = xT dan persamaan ( 2.30) dipenuhi. Permasalahan seperti ini dikenal dengan sebutan masalah dua titik ujung tetap.

Apabila titik ujung x(0) dan x(T ) tidak diberikan, maka fungsi h(t) tidak lagi memenuhi h(0) = 0 = h(T ). Sehingga untuk dapat terpenuhinya persyaratan ( 2.30) haruslah dipenuhi

fx˙ = 0 pada t = 0 dan fx˙ = 0 pada t = T. (2.31)

Persyaratan ini dikenal dengan sebutan syarat batas natural. Persamaan ( 2.31) akan menen-tukan konstanta integrasi.

Contoh 2.8 Perhatikan masalah brachistochrone yang meminimumkan fungsional objektif J (x) =

Z T

0

1/q(1 + ˙x2_)dt, dengan T = 10 dan x(0) = 4.

Solusi : Persamaan Euler memberikan ¨x = 0, yang memberikan solusi x(t) = at + b. Apabila x(0) = 4 dan T = 10, tetapi x(10) belum ditentukan, maka kita gunakan syarat fx˙|t=10= 0, yaitu

fx|t=10˙ =

˙x(10)

(1 + ˙x2₍₁₀₎₎1/2 = 0,

memberikan ˙x(10) = a = 0. Sedangkan x(0) = 4 memberikan b = 4, sehingga diperoleh solusi khusus x(t) = 4.

(21)

2.7.2 Titik Ujung Bebas

Perhatikan masalah menentukan ekstremum untuk fungsional objektif J (x) =

Z T

t0

f (x, ˙x, t)dt (2.32)

dengan t0, T, x(t0) dan x(T ) semuanya belum diketahui. Untuk memudahkan pemba-hasan, misalkan t0 = 0 dan x(0) = x0 adalah tetap, sedangkan T dan x(T ) adalah bebas. Variasi pertama adalah

δJ = Z T 0 (fxh + fx˙˙h)dt + f(.)|TδT = Z T 0 (fx− d dtfx)hdt + hf˙ x|T˙ + f (.)|TδT (2.33)

Karena variasi pada titik ujung tidak mempengaruhi variasi dalam selang terbuka (0, T ), maka syarat perlu untuk δJ = 0 adalah dipenuhinya persamaan Euler, yaitu

fx− d

dtfx˙ = 0. (2.34)

Akibatnya, persamaan ( 2.33) menjadi δJ = fx˙h|T+ f (.)|TδT = 0. Dengan menggunakan informasi h(T ) = δxT − ˙x(T )δT, menghasilkan Syarat Batas atau Syarat Transversalitas :

(f (.)|T − ˙xfx˙|T)δT + fx˙|TδxT = 0. (2.35)

Syarat batas ini akan menentukan nilai T dan xT. Terdapat 2 kasus yang perlu diper-hatikan. Kasus pertama apabila variasi δxT dan δT saling bebas. Akibatnya, koefisien dari δxT dan δT dalam persamaan ( 2.35) masing-masing sama dengan nol, yaitu

f (.)|T − ˙xfx˙|T = 0, dan fx˙|T = 0, (2.36)

yang secara bersama menghasilkan

f (.)|T = 0 = fx˙|T. (2.37)

Kasus kedua apabila titik ujung B(T, xT) bergerak sepanjang kurva x(t) = g(t). Untuk kasus ini, maka δxT = ˙g(T )δT. Dengan substitusi ini ke dalam persamaan ( 2.35) meng-hasilkan

(f (.) + [ ˙g(T ) − ˙x(T )]fx˙)t=TδT = 0. (2.38)

Analisis yang sama berlaku pula untuk kasus titik awal bebas, yaitu apabila t0 dan x(t0) bebas. Secara umum, Syarat Transversalitas atau Syarat Batas ( 2.35) menjadi

[f (.) − ˙xfx˙]δt|t=Tt=t0 + fx˙δx(t)|

t=T t=t0 = 0.

(22)

Dengan cara yang sama seperti analisis untuk satu titik ujung tetap, maka untuk kasus variasi δxT dan δT saling bebas, diperoleh

f (.)|t=T_t=t₀ = 0 = fx˙|t=Tt=t0

(2.40)

dan untuk kasus titik ujung bergerak sepanjang kurva g, akan diperoleh [f (.) + ( ˙g − ˙x)fx˙]|t=Tt=t0δT = 0.

(2.41)

Syarat Transversalitas di atas mencakup semua kasus yang ada, sebagai berikut : 1. Apabila kedua titik ujung terletak pada garis lurus t = t0dan t = T, maka δt0 = 0 = δT

sehingga suku pertama dalam persamaan ( 2.39) menjadi nol dan persamaan ( 2.39) menjadi

fx˙δx(t)|t=Tt=t0 = 0.

2. Apabila titik ujung A dan B tetap, yaitu x(t0), x(T ) dan t0 dan T tetap, maka δt0 = 0 = δT dan δx(0) = 0 = δx(T ). Jadi kita mempunyai masalah dua titik ujung tetap, dan konstanta integrasi ditentukan oleh syarat batas pada titik A dan B. 3. Apabila x0 dan xT tetap, tetapi t0 dan T bebas, maka δx(0) = 0 = δx(T ), tetapi

δt0 6= 0 dan δT 6= 0. Persamaan ( 2.39) memberikan (f (.) − ˙xfx)|˙ t=Tt=t0 = 0.

4. Titik ujung bebas, yaitu x0, xT, t0 dan T semuanya bebas, maka Syarat Transver-salitas ( 2.39) harus dipenuhi. Dalam hal ini,

(f (.) − ˙xfx˙)|t=Tt=t0 = 0,

dan

fx˙|t=Tt=t0 = 0.

5. Titik ujung bebas, yaitu x(t0), x(T ), t0 dan T semuanya bebas, tetapi x(t0) dan x(T ) harus bergerak sepanjang kurva x(t0) = g1(t0) dan x(T ) = g2(T ). Maka konstanta integrasi akan ditentukan oleh

[f + ( ˙g1− ˙x)fx˙]|t=t0 = 0

dan

f + ( ˙g2− ˙x)fx˙]|t=T = 0. 6. Kombinasi dari semua kasus-kasus di atas.

7. Kadangkala dalam masalah ekonomi, syarat yang diberikan pada titik ujung tidak se-lalu dalam bentuk suatu nilai, tapi dibatasi oleh suatu nilai. Misalnya, jumlah produksi x pada waktu terminal haruslah lebih besar dari suatu nilai.

(23)

Perhatikan masalah memaksimumkan fungsional objektif J (x) = Z T t0 f (x, ˙x, t)dt, x(t0) = x0, (2.42) x(T ) ≥ xT, (xT diberikan, T tetap.).

Maka syarat batas yang harus dipenuhi oleh masalah seperti ini adalah ∂f ∂ ˙x|t=T ≤ 0, (= 0, jika x(T ) > xT). Definisikan p(t) ≡ −∂f /∂ ˙x, (2.43) H ≡ f (x, ˙x, t) − ˙xfx˙ ≡ f + p ˙x. (2.44)

Syarat Transversalitas ( 2.39) dapat dituliskan dalam bentuk (Hδt + pδx)|t=T_t=t₀ = 0.

(2.45)

Untuk kasus waktu awal t0 dan waktu terminal T bebas, maka H(t0) = 0 = H(T ). Sedangkan untuk kasus x(t0) dan x(T ) belum ditentukan maka p(t0) = 0 = p(T ).

Syarat Batas dan Penentuan Konstanta Integrasi

Kasus Substitusi Syarat Batas

T dan x(T ) δxT = 0 x?(0) = x0 dua2nya ditentukan δT = 0 x?_{(T ) = x} T x(T ) bebas δx(T ) 6= 0 x?_{(0) = x} 0 T ditentukan δT = 0 fx˙i|t=T = 0 x(T ) = xT tetap δxT = 0 x?(0) = x0 T bebas δT 6= 0 x?_{(T ) = x} T H ≡ (f − ˙xfx˙)|t=T = 0 x(T ) dan T δx(T ) 6= 0 x?_{(0) = x} 0 dua2nya belum ditentukan δT 6= 0 fx|t=T˙ = 0

dan saling bebas H ≡ (f − ˙xfx˙)|t=T = 0

x(T ) dan T bebas ˙x(T ) = ˙g(T )δT x?(0) = x0, x?(T ) = g(T ) tetapi x(T ) = g(T ) δxi(T ) = ˙gi(T )δT (f + ( ˙g(T ) − ˙x(T ))fx˙)|t=T = 0 T tetap xT diberikan fx˙|t=T ≤ 0, (= 0, x(T ) > xT)

x(T ) ≥ xT

Contoh 2.9 Perhatikan masalah meminimumkan fungsional objektif J (x) dengan J (x) =

Z 2

0

( ˙x2+ x ˙x + 2 ˙x + 4x)dt dengan x(0) dan x(2) belum ditentukan.

(24)

Solusi : Persamaan Euler memberikan ¨x = 2, dengan solusinya adalah x(t) = t2+ k1t + k2.

Konstanta k1 dan k2 akan ditentukan dari syarat

fx˙ = 2 ˙x + x + 2 = 0, untuk t = 0, dan t = 2. Syarat di atas memberikan k1 = −6, k2 = 10. Sehingga diperoleh solusi

x(t) = t2− 6t + 10.

Contoh 2.10 Tentukan ekstremum untuk fungsional objektif J (x) =

Z T

0

(x + ˙x2)dt dengan setiap kasus kendala berikut :

1. x(0) = 1, T = 2, x(2) = 10 ( dua titik ujung tetap ). 2. x(0) = 1, T = 2, x(2) bebas ( titik ujung bebas ).

3. x(0) = 1, x(T ) = 4, T bebas tetapi T > 2 ( waktu terminal bebas ). Solusi : Persamaan Euler memberikan 1 − 2¨x = 0, yang memberikan solusi

x(t) = 1 4t

2_{+ k}

1t + k2,

dengan konstanta k1 dan k2 akan ditentukan untuk setiap kasus sebagai berikut : 1. x(0) = 1 ⇒ k2 = 1, x(2) = 10 ⇒ k1 = 4, sehingga solusi adalah

x(t) = 1 4t

2_{+ 4t + 1.}

2. x(0) = 1 ⇒ k2 = 1. Untuk menentukan k1 gunakan fx˙ = 2 ˙x = 0 pada t = T, yaitu ˙x(T ) = 0, memberikan k1 = −1. Jadi, diperoleh solusi

x(t) = 1 4t

2_{− t + 1.}

3. x(0) = 1 ⇒ k2 = 1. Untuk menentukan k1 gunakan persyaratan (f − ˙xfx˙)|t=T = 0, yang menghasilkan − ˙x2(T ) + x(T ) = 0. Ini akan memberikan k1 = ±1. Untuk k1 = 1 ⇒ T = 2. sedangkan untuk k1 = −1 ⇒ T = 6. Karena T > 2, maka haruslah k1 = −1. Sehingga diperoleh solusi optimum adalah

x(t) = 1 4t

(25)

2.8 Syarat Cukup / Sufficiency Conditions

2.8.1 Variasi Fungsional

Perhatikan fungsional objektif

J (x) =

Z T

0

f (x, ˙x, t)dt. (2.46)

Variasi total dari fungsional objektif adalah 4J(h) ≡ J(x + h) − J(x) = Z T 0 (fxh + fx˙˙h)dt + 1 2 Z T 0 (fxxh2+ 2fx ˙xh ˙h + fx ˙˙x˙h2)dt + O(k h k)2 ≡ δJ(h) + δ2_{J (h) + O(k h k)}2

= variasi pertama + variasi kedua + orde lebih tinggi dengan O(k h k)2 _{→ 0 untuk h → 0.}

Pada kurva ekstremum, δJ (h) = 0 dan 4J (h) harus memiliki tanda yang sama dengan tanda δ2_{J (h). Untuk memudahkan pembahasan, tuliskan variasi kedua sebagai berikut :}

δ2J (h) = 1 2 Z T 0 (fxxh2+ 2fx ˙xh ˙h + fx ˙˙x˙h2)dt ≡ Z T 0 (P ˙h2+ Qh2)dt (2.47)

dengan P ≡ P (t) ≡ 1₂fx ˙˙x; Q ≡ Q(t) = ₂1(fxx − _dtdfx ˙x) dan dengan melakukan integrasi bagian maka diperoleh RT

0 2fx ˙xh ˙hdt = −

RT

0 (dtdfx ˙x)h

2_{dt. Untuk masalah meminimumkan,} δ2_{J (h) ≥ 0, dan untuk masalah memaksimumkan, δ}2_{J (h) ≤ 0. Untuk fokusnya, kita lihat} masalah meminimumkan, dan untuk masalah memaksimumkan, tinggal mengganti tanda yang berlawanan. Akan dilihat kondisi-kondisi yang membuat δ2J (h) ≥ 0.

Akan ditunjukkan bahwa δ2J (h) ≥ 0, jika dan hanya jika (P ˙h2+ Qh2) ≥ 0 untuk semua h(t) yang memenuhi h(0) = 0 = h(T ). Fungsi h(t) yang memenuhi sifat ini bernilai kecil jika ˙h(t), ∀t ∈ (0, T ) juga bernilai kecil, tapi sebaliknya tidak berlaku. Apabila fungsi h(t) yang bersifat se[erti di atas dapat ditemukan demikian rupa sehingga h(t) kecil tetapi ˙h(t) besar untuk tin(0, T ), maka P ˙h2 mendominasi Qh2 dalam penentuan tanda dari δ2J (h), seperti yang ditunjukkan oleh lema dan teorema berikut.

2.8.2 Syarat Legendre

Lema 2.2 Misalkan δ2J (h) =RT

0 (P ˙h2+ Qh2)dt didefinisikan untuk fungsi h(t), yang memi-liki sifat dapat diturunkan pada ∀t ∈ (0, T ) dan memenuhi h(0) = 0 = h(T ). Maka syarat

(26)

perlu untuk δ2J (h) =RT

0 (P ˙h2+ Qh2)dt ≥ 0 adalah P (t) ≥ 0, ∀t ∈ (0, T ). Ini disebut Syarat Legendre.

Teorema 2.2 (Legendre). Syarat perlu bagi fungsional objektif J (x) = RT

0 f (x, ˙x, t)dt dengan syarat pada titik ujung x(0) = x0, x(T ) = xT untuk memiliki nilai minimum ( atau maksimum ) untuk semua kurva x = x(t) adalah dipenuhinya syarat Legendre P (t) ≥ 0 untuk semua t ∈ (0, T ).

Teorema Legendre ini, sayangnya masih merupakan syarat perlu. Upaya Legendre untuk membuktikannya sebagai syarat cukup untuk optimum mengalami kegagalan.

2.8.3 Syarat Jacobi

Upaya Legendre yang gagal, membawa kepada suatu persamaan diferensial linier ordo-2 dalam v,

−d

dt(P ˙v) + Qv = 0. Teorema 2.3 Perhatikan persamaan diferensial orde-2

−d

dt(P ˙v) + Qv = 0. (2.48)

Jika P > 0 (< 0) dan solusi v(t) untuk semua fungsi v(t) yang dapat diturunkan memenuhi sifat v(0) = 0 = v(T ), maka δ2_{J > 0} _{(< 0) artinya nilai minimum ( atau nilai} maksimum ) telah diperoleh. Ini disebut syarat perlu Jacobi.

2.8.4 Syarat Weierstrass untuk Ekstremal Kuat

Teorema 2.4 Definisikan fungsi ekstra E dengan

E(x, ˙x, p, t) = f (x, ˙x, t) − f (x, p, t) − ( ˙x − p)fp (2.49)

dengan p(t, x) adalah fungsi kemiringan/ ’slope’ dari ekstremum yang melalui titik (t, x). Apabila Jacobi dipenuhi maka E ≤ 0 untuk masalah memaksimumkan dan E ≥ 0 untuk masalah meminimumkan.

(27)

2.8.5 Syarat Legendre-Clebsch

Teorema 2.5 Fungsi ekstra E dapat disederhanakan menjadi E ≡ ( ˙x − p)

2

2! fx ˙˙x(t, x, q) (2.50)

dengan q = θ ˙x + (1 − θ)p, (0 < θ < 1). Supaya x(t) mencapai minimum ( atau maksimum) adalah cukup dipenuhi syarat Legendre-Clebsch E ≥ 0 (≤ 0) yang berarti fx ˙˙x ≥ 0 (≤ 0), atau dalam bentuk yang lebih umum, matriks [fx ˙˙x] merupakan semi-definit positif ( atau negatif ) dan syarat Jacobi dipenuhi untuk semua ˙x.

2.8.6 Syarat Cukup : Kasus khusus

Teorema 2.6 (Mangasarian). Misalkan f (x, ˙x, t) merupakan fungsi yang dapat diturunkan dua kali dan concave/cembung ( convex/cekung) dalam x dan ˙x. Maka syarat perlu dan syarat cukup untuk x? _{sebagai maksimum ( atau minimum ) dari fungsional J (x) =}RT

0 f (x, ˙x, t)dt adalah dipenuhinya persamaan Euler dan x(0) = x0, dan x(T ) = xT.

(28)

Chapter 3 Kontrol Optimum : Pendekatan

Kalkulus Variasi

3.1 Formulasi Masalah Kontrol Optimum

Teori kontrol optimum berkembang secara pesat pada tahun 50-an, dengan adanya pene-muan 2 metode penyelesaian masalah kontrol optimum, yaitu dynamic programming yang ditemukan oleh Richard Bellman (1957) dan maximum principle yang ditemukan oleh Pon-tryagin (1962).

Dengan alasan kepraktisan, pembahasan akan difokuskan pada teknik ’maximum prin-ciple’, yang dapat didekati dengan metode kalkulus variasi, terutama yang terkait dengan syarat perlu yang tertuang dalam persamaan Euler. Lagi pula, masalah kalkulus variasi den-gan kendala persamaan differensial merupakan masalah kontrol optimum, denden-gan mengden-ganti peubah ˙x dengan peubah kontrol u(t).

Perhatikan suatu masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu. Pada waktu t, sistem berada dalam keadaan atau kondisi (state), yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan (state variables) x1(t), x2(t), ..., xn(t), atau dalam bentuk vektor x(t) ∈ Rn. Dengan nilai t yang berbeda, vektor x(t) me-nempati posisi yang berbeda di ruang Rn. Dalam hal ini, kita katakan bahwa sistem bergerak sepanjang suatu kurva di Rn_.

Misalkan proses yang terjadi pada ekonomi (yang membuat x(t) bervariasi/bergerak) dapat dikendalikan atau dikontrol. Artinya, ada fungsi kontrol atau variable controls atau decision variables u1(t), u2(t), ..., uk(t) atau dalam bentuk vektor u(t) ∈ Rk, k ≤ n, yang mempengaruhi proses. [Contoh : pajak, tingkat suku bunga, alokasi investasi, dsb.] Ten-tunya kita harus mengetahui aturan/hukum/kaidah yang membentuk perilaku ekonomi sep-anjang waktu, yang kita sebut dengan dinamika dari sistem.

(29)

Sistem yang akan kita lihat adalah sistem yang dibentuk oleh sistem persamaan differ-ensial :

˙x(t) = f (x(t), u(t), t) (3.1)

dengan f = (f1, f2, ..., fn), fi dan ∂fi/∂xi adalah kontinu.

Misal state dari sistem diketahui pada waktu t0 sehingga x(t0) = x0, x0 ∈ Rn. Jika dipilih kontrol u(t) = (u1(t), u2(t), ..., uk(t)) ∈ Rk yang terdefinisi untuk waktu t ≥ t0, maka diperoleh sistem x(t). Jadi, x(t) merupakan respons terhadap kontrol u(t), sehingga kadang-kadang dituliskan sebagai xu(t). Untuk setiap fungsi kontrol u(t) dan respons xu(t) atau disingkat x(t), dikaitkan suatu bilangan J yang didefinisikan oleh

J [u(t)] = S[x(T ), T ] +

Z T

t0

f0(x(t), u(t), t)dt (3.2)

dengan fungsi f0adalah suatu fungsi yang diberikan dan S[x(T ), T ] merupakan fungsi ’scrap’. Waktu akhir atau waktu terminal T tidak selalu harus tetap, dan x(T ) dapat saja memiliki batasan tertentu.

Definisi 3.1 Misalkan U menyatakan kelas dari semua fungsi yang kontinu bagian. Masalah kontrol optimum (MKO) adalah masalah menentukan fungsi kontrol u?(t) diantara fungsi admissible u(t) ∈ U yang membawa sistem dari state awal x0 kepada state akhir/terminal xT yang memenuhi kondisi akhir/terminal, melalui sistem

˙x(t) = f (x(t), u(t), t) (3.3)

sehingga fungsional J mencapai nilai maksimum. Dengan kata lain, masalah kontrol opti-mum adalah masalah memaksiopti-mumkan fungsional objektif

max u(t)∈UJ [u(t)] = S[x(T ), T ] + Z T t0 f0(x(t), u(t), t)dt (3.4)

terhadap kendala ˙x(t) = f (x(t), u(t), t), x(t0) = x0, x(t) ∈ Rn.

3.2 Syarat Perlu : Prinsip Maksimum Pontryagin

Teorema 3.1 Misalkan u?_{(t) sebagai kontrol admissible yang membawa state awal (x(t} 0), t0) kepada target state terminal (x(T ), T ), dengan x(T ) dan T secara umum tidak ditentukan. Misalkan x?_{(t) merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan u}?_{(t). Supaya} kon-trol u?(t) merupakan kontrol optimum adalah perlu terdapat fungsi vektor p?(t) 6= 0, dan konstanta p0 demikian rupa sehingga

(30)

1. p?(t) dan x?(t) merupakan solusi dari sistem kanonik ˙x?(t) = ∂H ∂p(x ?_{(t), u}?_{(t), p}?_{(t), t)} (3.5) ˙ p?(t) = −∂H ∂x(x ? (t), u?(t), p?(t), t) (3.6)

dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh

H(x, u, p, t) = f0(x(t), u(t), t) + p.f (x(t), u(t), t) (3.7)

dengan p0 ≡ 1.

2. H(x?_{(t), u}?_{(t), p}?_{(t), t) ≥ H(x(t), u(t), p(t), t)} 3. Semua syarat batas dipenuhi.

Bukti : Untuk memudahkan pembahasan, ambil t0 = 0 dan x(0) = x0. Tuliskan fungsi ’scrap’ S[x(T ), T ] dalam bentuk

S[x(T ), T ] ≡ S[x0, 0] + Z T 0 d dtS[x(t), t]dt (3.8)

sehingga fungsional objektif J dalam persamaan ( 3.2) dapat ditulis dalam bentuk yang berikut : J [u(t)] = S[x0, 0] + Z T t0 [f0(x(t), u(t), t) + d dtS(x(t), t)]dt (3.9) = S[x0, 0] + Z T t0 [f0(.) + ∂S ∂x ˙x + ∂S ∂t]dt (3.10)

Suku S[x0, 0] dapat diabaikan untuk mempermudah pembahasan, karena x(0) = x0 sudah tetap, sehingga tidak mempengaruhi proses optimisasi.

Tuliskan fungsional objektif yang diperluas Ja(u) sebagai berikut Ja(u) ≡=

Z T

t0

L(x, ˙x, p, u, t)dt (3.11)

dengan fungsi L didefinisikan oleh

L(x, ˙x, p, u, t) ≡ f0(.) + p[f (.) − ˙x] + ∂S ∂x ˙x + ∂S ∂t (3.12) ≡ H(x, u, p, t) − p ˙x +∂S ∂x ˙x + ∂S ∂t (3.13)

(31)

Dengan menggunakan syarat perlu untuk adanya ekstremum pada fungsional objektif yang diperluas, maka

δJa(u) = Z T 0 [(Lx− d dtLx)δx + Luδu + Lpδp]dt˙ (3.14) + [Lx˙δx + (L − Lx˙˙x)δt]t=T = 0. (3.15)

Karena persamaan Euler harus dipenuhi, maka haruslah Lx− d dtLx˙ = Hx+ ∂ ∂x(Sx˙x + St) − d dt(Sx− p) (3.16) = Hx+ Sxx˙x + Sxt− Sxx˙x − Sxt+ ˙p = Hx+ ˙p = 0. Ini memberikan ˙ p = −Hx (3.17)

Karena δu dan δp adalah sebarang dan saling bebas, maka haruslah Lu = 0 dan Lp = 0. Dari pendefinisian fungsi L, maka

Lu = Hu, dan Lp = f (.) − ˙x = Hp− ˙x, sehingga diperoleh Hu = 0 (3.18) ˙x = f (x, u, t) = Hp (3.19)

Syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh suku-suku sisanya, yaitu [Lx˙δx + (L − Lx˙˙x)δt]t=T = 0. (3.20) Tetapi Lx˙ = Sx− p L − Lx˙˙x ≡ H − p ˙x + Sx˙x + St− ˙xSx+ ˙xp = H + St

sehingga diperoleh syarat transversalitas atau syarat batas (Sx− p)δx|t=T + [H(t) + St]δt|t=T = 0. (3.21)

Apabila x(t0) dan t0 dua-duanya belum ditentukan pula, maka syarat batas menjadi (Sx− p)δx|t=Tt=t0 + [H(t) + St]δt|

t=T t=t0 = 0

(3.22)

yang menghasilkan teorema Pontryagin. Catatan :

(32)

1. H(x?(t), u?(t), p?(t), t) ≥ H(x(t), u(t), p(t), t) disebut dengan Prinsip Maksimum Pon-tryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh Hu = 0 dan Huu < 0, untuk masalah yang kita bicarakan. Jika u ∈ U dan U himpunan tertutup, maka Hu = 0 tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari H diberikan oleh bagian dalam (interior ) himpunan U . 2. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u, dan U tertutup, maka kontrol

opti-mum adalah uimax untuk masalah memaksimumkan dan uimin untuk masalah

memini-mumkan. Jika H fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah uimin untuk

masalah memaksimumkan dan uimax untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga

berlaku apabila H adalah fungsi linier dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum ui adalah kontinu bagian dan loncat dari satu vertex ke vertex lainnya. Ini adalah kasus khusus dari kontrol ’bang-bang.’

3. H(x?_{(t), u}?_{(t), p}?_{(t), t) ≥ H(x(t), u(t), p(t), t) juga mencakup syarat cukup.}

4. Vektor p disebut juga vektor adjoint, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoint merupakan ’shadow price’ nilai marginal dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan/penurunan untuk setiap kenaikan/penurunan dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi ter-hadap fungsional objektif optimum J. Sedangkan ˙p mengindikasikan tingkat kenaikan (appresiasi untuk ˙p > 0,) atau penurunan ( depresiasi untuk ˙p < 0 )dalam nilai dari tiap unit modal.

5. dH/dt = ∂H/∂t.

6. ˙p = −Hx, Hu = 0, ˙x = Hpmemberikan syarat perlu untuk masalah yang dibicarakan. 7. Syarat batas diberikan oleh persamaan ( 3.22). Apabila fungsi scrap S = 0, maka

persamaan ( 3.22) menjadi

p(t)δx(t)|t=T_t=t₀ + H(t)δt|t=T_t=t₀ = 0. (3.23)

Khususnya, apabila waktu awal t0 dan x(t0) telah ditentukan, sedangkan T dan x(T ) belum ditentukan, maka syarat batas menjadi

−p(T )δx(T ) + H(T )δT = 0.

Contoh 3.1 Minimumkan fungsional objektif J (u(t)) = Z 1 0 (x + u2)dt dengan kendala ˙x(t) = −u(t); x(0) = 0, x(1) bebas .

(33)

Solusi : Dalam masalah di atas, f0(x, u, t) = x + u2, fungsi f (x, u, t) = −u(t). Maka fungsi Hamilton adalah H(x, u, p, t) = f0(x, u, t) + pf (x, u, t) = x + u2+ p(−u(t)) sehingga diperoleh Hu = 2u(t) − p(t) ⇒ u?(t) = p(t)/2; Huu = 2 > 0. ˙

p(t) = −Hx = −1, memberikan p(t) = −t + k1. Karena fungsi scrap S = 0, dan x(1) belum ditentukan ( dan T = 1), maka syarat batas p(1)δx(1) = 0, yang memberikan p(1) = −1 + k1 = 0, yaitu k1 = 1, dan p(t) = −t + 1. Sistem dinamis menjadi

˙x(t) = −u(t) = −p(t)/2 = −1 2(−t + 1) = t 2− 1 2, yang memberikan solusi

x(t) = t2− 1 2 + k2 dengan k2 = 0, karena x(0) = 0. Jadi solusi optimum adalah

x?(t) = t2− 1 2 p?(t) = −t + 1 u?(t) = t 2− 1 2 Contoh 3.2 Minimumkan fungsional objektif

J (u(t)) = 1 2x(1) 2₊1 2 Z 1 0 u2dt dengan kendala ˙x = −u(t), x(0) = 1.

Solusi : Fungsi Hamilton adalah H = 1₂u2_{− pu, sehingga H}

u = u − p = 0. Ini memberikan u(t) = p(t); Huu = 1 > 0. ˙p = −Hx = 0. Ini memberikan p(t) = k, konstanta. Sedangkan

˙x = −u = −p memberikan

x(t) = −pt + k1 == −pt + 1, karena x(0) = 1.

Syarat batas p(1) = Sx = x(1) memberikan p(1) = x(1) = −p + 1, yaitu p?(t) = 1₂. Sehingga diperoleh solusi optimum

x?(t) = −1

2t + 1, p

?_{(t) = u}?_{(t) =} 1 2.

(34)

Perhatikan masalah kontrol optimum satu dimensi yang memaksimumkan fungsional objektif J max u(t)∈UJ [u(t)] = Z T t0 f0(x(t), u(t), t)dt (3.24) terhadap kendala

˙x(t) = f (x(t), u(t), t), x(t0) = x0, T dan xT tetap (3.25)

dan salah satu dari syarat terminal berikut : 1. x(T ) = xT,

2. x(T ) ≥ xT, 3. x(T ) bebas dan kontrol u(t) ∈ U .

Teorema 3.2 Syarat perlu untuk adanya kontrol optimum adalah ∃(p0, p(t)) 6= (0, 0) dan H(x?(t), u?(t), p?(t), t) ≥ H(x(t), u(t), p(t), t) (3.26) ˙x?(t) = ∂H ∂p (x ?_{(t), u}?_{(t), p}?_{(t), t)} (3.27) ˙ p?(t) = −∂H ∂x(x ?_{(t), u}?_{(t), p}?_{(t), t)} (3.28) p0 = 1 atau p0 = 0, (3.29)

dan syarat batas yang sesuai adalah :

1. p(T ) tanpa syarat,

2. p(T ) ≥ 0 (= 0 jika x?_{(T ) > x(T )),} 3. p(T ) = 0.

3.3 Syarat Transversalitas Atau Syarat Batas

Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif max u(t)∈UJ [u(t)] = S[x(T ), T ] + Z T t0 f0(x(t), u(t), t)dt (3.30)

(35)

terhadap kendala

˙x(t) = f (x(t), u(t), t), x(t0) = x0, x(t) ∈ Rn. (3.31)

Maka syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh (Sx− p)∂x|t=T + [H + St]∂t|t=T = 0. (3.32)

3.3.1 Masalah Waktu Terminal T Tetap

Dengan waktu terminal T tetap, maka δT = 0, dan persamaan ( 3.32) menjadi (Sx− p)∂x|t=T = 0

(3.33)

Terdapat 3 kasus untuk masalah ini, yaitu :

Kasus 1 : State terminal (akhir) tetap, x(T ) = xT.

Untuk kasus ini, jelas bahwa δx(T ) = 0, dan persamaan ( 3.32) tidak memberikan in-formasi apa-apa. Malahan inin-formasi tersebut tidak diperlukan, karena konstanta integrasi akan diberikan oleh x(t0) = x0 dan oleh x(T ) = xT.

Kasus 2 : State Terminal Bebas.

Untuk kasus ini, jelas bahwa δx(T ) 6= 0 sehingga diperoleh p(T ) = Sx. Apabila tanpa S[x(T ), T ], yaitu S[x(T ), T ] = 0, maka syarat batas adalah p(T ) = 0.

Kasus 3 : State Terminal berada pada manifold M [x(T ), T ] = 0.

Apabila state terminal berada pada manifold M [x(T ), T ] = 0 dengan M merupakan vektor, maka syarat batas menjadi

(Rx− p)∂x|t=T = 0 (3.34)

dengan

R[x(T ), T ] ≡ S[x(T ), T ] + µM [x(T ), T ] (3.35)

dengan µ merupakan pengali Lagrange. Jadi syarat batas atau syarat transversalitas menjadi p(T ) = Rx.

3.3.2 Masalah Waktu Terminal T Bebas

Syarat batas menjadi

(Rx− p)∂x|t=T + [H + St]∂t|t=T = 0. (3.36)

Terdapat 3 kasus untuk masalah ini, yaitu : Kasus 4 : State Terminal x(T ) = xT Tetap

Jelas bahwa δx(T ) = 0, sehingga diperoleh

H(T ) + St|t=T = 0. (3.37)

(36)

Apabila tanpa fungsi scrap, maka H(T ) = 0.

Kasus 5 : State Terminal x(T ) Bebas, yaitu δx(T ) 6= 0. Maka syarat batas menjadi

p(T ) = Sx[x(T ), T ], dan H(T ) + St|t=T = 0 Apabila fungsi scrap tidak ada, maka p(T ) = 0 = H(T ).

Kasus 6 : State Terminal Bebas, tapi memenuhi M [x(T ), T ] = 0. Maka syarat batas menjadi

(37)

Ringkasan Syarat Batas/Transversalitas Conditions Kontrol Optimum (Sx− p)δx|t=T + [H(t) + St]δt|t=T = 0.

Kasus Substitusi Syarat Batas

Waktu Terminal T tetap ( δT = 0)

x(T ) = xT tetap δx(T ) = 0 x(0) = x0, x(T ) = xT δT = 0 (tidak ada batasan pada p(T ))

x(T ) bebas δx(T ) 6= 0 x(0) = x0 yaitu δx(T ) 6= 0 δT = 0 p(T ) = Sx State terminal x(T ) δx(T ) 6= 0 x(0) = x0 berada pada M (x, t) = 0 δT = 0 p(T ) = Sx+ M 0 xµ M (x(T ), T ) = 0 Waktu Terminal T bebas ( δT 6= 0)

x(T ) = xT tetap δx(T ) = 0 x(0) = x0 δT 6= 0 x(T ) = xT H(T ) + St= 0 pada t = T x(T ) bebas δx(T ) 6= 0 x(0) = x0 δT 6= 0 p(T ) = Sx[x(T ), T ] H(T ) + St= 0 pada t = T x(T ) tidak diberikan δx(T ) 6= 0 x(0) = x0

berada pada manifold δT 6= 0 p(T ) = Rx ≡ Sx+ M

0

x

M (x(T ), T ) = 0 H(T ) + Rt= 0

M = 0

3.4 Syarat Cukup Untuk Kontrol Optimum

Syarat H(x?_{(t), u}?_{(t), p}?_{(t), t) ≥ H(x(t), u(t), p(t), t) dalam Prinsip Maksimum Pontryagin} sekaligus memberikan syarat cukup. Variasi total dari fungsional yang diperluas Ja(u) adalah

4Ja(u) ≡ Ja(u) − Ja(u?) = δJa(u) + δ2Ja(u) + O(u).

Tanpa mempedulikan orde yang lebih tinggi O(u) dan pada saat ekstremum variasi pertama δJa(u) = 0, maka terlihat bahwa tanda dari 4Ja(u) ditentukan oleh tanda dari variasi kedua δ2_J

a(u), yang harus bertanda tak-positif untuk maslah maksimum dan tak-negatif untuk masalah minimum.

Dengan mengabaikan fungsi scrap, yaitu S(x(T ), t) = 0, maka variasi kedua δ2_J a(u) diberikan oleh δ2Ja(u) = 1/2 Z T 0 ( δx δu ) " _∂2_H ∂2_x ∂2_H ∂x∂u ∂2_H ∂u∂x ∂2_H ∂2_u #" δx δu # dt

dengan Hxx ≡ [δ2H/δxiδxj], merupakan turunan dari Hx terhadap x yang dihitung pada (x?, p?, u?, t). Hal yang sama berlaku untuk Hux(= Hxu) dan Huu.

(38)

Teorema 3.3 Kontrol adalah maksimum lokal, dengan kata lain u?(t) merupakan kontrol optimum dari fungsional J jika :

1. ∂H_∂u(x?_{(t), u}?_{(t), p}?_{(t), t) = 0, ∀t ∈ [0, T ];} 2. Variasi kedua δ2Ja(u) ≤ 0 ∀(δx, δu) 6= (0, 0).

yang berakibat bahwa pada u = u?,∂_∂22H_u adalah definit negatif dan matrik He (Hessian) berikut

merupakan matrik definit negatif,

He = " ∂2H ∂2_x ∂2_H ∂x∂u ∂2_H ∂u∂x ∂2_H ∂2_u #

Teorema 3.4 Jika f0 dan f, dan akibatnya H = f0+p.f adalah fungsi concave, maka syarat perlu juga merupakan syarat cukup.

Teorema 3.5 (Mangasarian Sufficiency Theorem).

Misalkan (x?_{, u}?_{) merupakan pasangan admissible. Misalkan U concave dan ∂f}

i/∂uj ada dan kontinu. Jika ∃p(t) = (p1, p2, . . . , pn) dan p0 = 1 sehingga

1. ˙pi = −∂H_∂x i, ∀i = 1, 2, . . . , n 2. P∂H ∂uj(u ? j(t) − uj(t) ≥ 0, ∀u ∈ U

3. Hamiltonian H adalah concave dalam (x, u), ∀t

maka (x?_{, u}?_{) merupakan solusi optimum. Jika H strictly concave, maka (x}?_{, u}?_{) merupakan} solusi tunggal.

Teorema 3.6 (The Arrow Sufficiency Theorem).

Misalkan (x?_{, u}?_{) merupakan pasangan admissible. Jika ∃} _{p(t) = (p}

1, p2, . . . , pn) dan p0 = 1 sehingga

(39)

ˆ

H(x, p, t) = max

u∈U H(x, u, p, t) dan ˆH(x, p, t) concave,

maka (x?_{, u}?_{) merupakan solusi optimum. Jika ˆ}_{H(x, p, t) strictly concave maka x}? _tunggal, sedangkan u? _{belum tentu tunggal.}

3.5 Current-Value Hamiltonian

Penggunaan teori kontrol optimum dalam masalah ekonomi,fungsi integrand f0sering memuat faktor diskon e−ρt. Dengan demikian, fungsi integrand f0secara umum dapat dituliskan men-jadi

f0(t, x, u) = G(t, x, u)e−ρt

sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai max V =

Z T

0

G(t, x, u)e−ρtdt

terhadap kendala ˙x = f (t, x, u) ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk

H(t, x, u, p) = G(t, x, u)e−ρt+ p(t)f (t, x, u).

Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan turunan fungsi Hamilton terhadap x dan u, dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan terse-but. Untuk itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru, yang sering disebut dengan Current-Value Hamiltonian. Untuk menerapkan konsep current-value Hamiltonian, diperlukan konsep current-value pengali Lagrange, atau current value fungsi adjoint. Misalkan m(t) menyatakan current-value pengali Lagrange, yang didefinisikan dengan m(t) = p(t)eρt_{, yang berimplikasi} p(t) = m(t)e−ρt. Sehingga fungsi current-value Hamiltonian, yang dinotasikan dengan Hc, dapat dituliskan menjadi

Hc ≡ Heρt = G(t, x, u) + m(t)f (t, x, u).

Perhatikan bahwa, Hc, sebagaimana yang diinginkan, sudah tidak memuat faktor diskon. Juga, perhatikan bahwa H ≡ Hce−ρt. Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap Hc, harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksi-mumkan Hc, jadi

max

u Hc, ∀t ∈ [0, T ].

Persamaan state yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah ˙x(t) = ∂H/∂p. Karena

∂H

∂p = f0(t, x, u) = ∂Hc

∂m, maka persamaan ini disesuaikan menjadi

˙x(t) = ∂Hc ∂m.

(40)

Persamaan untuk peubah adjoint yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah dalam bentuk ˙p(t) = −∂H/∂x. Pertama-tama, transformasikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoint baru, m(t), kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri,

˙

p(t) = ˙m(t)e−ρt− ρm(t)e−ρt_.

Dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk −∂H ∂x = − ∂Hc ∂x e −ρt .

Dengan menyamakan kedua persamaan tersebut di atas, menghasilkan ˙

m(t) = −∂Hc

∂x + ρm(t).

Tersisa sekarang adalah memeriksa kondisi(syarat) batas. Untuk syarat batas p(T ) = 0, memberikan syarat batas yang sesuai, yaitu m(T )e−ρT = 0. Untuk syarat batas [H]t=T = 0, menghasilkan syarat batas yang sesuai [Hce−ρt]t=T = 0.

3.6 Beberapa contoh masalah nyata kontrol optimum

1. Portfolio Selection and Consumption Model

Model ini pertama kali dikembangkan oleh R.Merton, dengan merumuskan persamaan diferensial stokastik untuk pertumbuhan kekayaan investor, yang dikenal dengan sebu-tan budget equation. Misalkan W (t) menyatakan jumlah kekayaan investor pada waktu t, dan yang dapat diinvestasikan pada 2 aset, yaitu pada aset bebas resiko dan aset beresiko. Problem pemilihan portofolio dan konsumsi optimal untuk investor yang hidup T tahun diformulasikan sebagai berikut :

max u,C J [u, C] = E{ Z T 0 U (C(t), t)dt + B(W (T ), T )} (3.38)

dengan kendala budget equation

dW (t) = (1 − u)W rdt + uW (αdt + σdB(t)) − Cdt; (3.39)

W (0) = W0, (3.40)

dengan W0 > 0, u(t) menyatakan proporsi kekayaan yang diinvestasikan pada aset beresiko pada waktu t dengan 0 ≤ u(t) ≤ 1, C(t), (≥ 0), menyatakan tingkat konsumsi pada waktu t. Fungsi utilitas U diasumsikan strictly concave dan bequest function B juga concave.

(41)

Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif J se-bagai berikut : max J (u(t)) = Z T 0 U (1 − u(t))dt (3.41) terhadap kendala ˙x(t) = u(t), x(0) = x0, x(T ) ≥ xT, u(t) ∈ [0, T ], x0 < xT < x0+ T.

Masalah di atas mempunyai interpretasi ekonomi sebagai berikut : Negara menerima bantuan tetap sebesar 1 satuan ekonomi. x(t) dapat menyatakan tingkat infrastruktur pada waktu t, u(t) menyatakan proporsi dari bantuan yang dialokasikan untuk inves-tasi pada infrastruktur pada waktu t, sedangkan 1 − u(t) menyatakan bagian dari ban-tuan yang dialokasikan untuk konsumsi. U menyatakan fungsi utilitas. Periode peren-canaan adalah untuk jangka waktu [0, T ], x(T ) ≥ xT menyatakan bahwa pada akhir periode perencanaan tingkat infrastruktur sekurang-kurangnya berada pada tingkat xT. Masalah perencanaan adalah menentukan berapa banyak dari bantuan yang harus dialokasikan untuk investasi pada infrastruktur supaya tingkat utilitas maksimum. 3. A two-sector model

Perhatikan suatu ekonomi yang terdiri atas dua sektor, dimana sektor 1 mempro-duksi investment goods sedangkan sektor 2 mempromempro-duksi consumption goods. Mis-alkan xi, i = 1, 2, menyatakan jumlah produksi sektor i per satuan waktu, dan misalkan u(t) menyatakan proporsi investasi yang dialokasikan pada sektor 1. Kita asumsikan ˙x1 = aux1 dan ˙x2 = a(1 − u)x1, dengan a merupakan suatu konstanta positif. Kenaikan jumlah produksi per satuan waktu dalam setiap sektor diasumsikan proporsional terhadap besarnya investasi yang dialokasikan pada sektor tersebut. Den-gan pemahaman tersebut, kontrol 0 ≤ u(t) ≤ 1, dan periode perencanaan dimulai pada t = 0, sehingga x1(0) dan x2(0) diketahui besarnya. Untuk situasi seperti ini, berbagai macam masalah kontrol optimum dapat diinvestigasi. Salah satunya adalah masalah memaksimumkan total konsumsi pada periode waktu [0, T ].

Masalah kontrol optimum tersebut, secara matematis dituliskan seperti berikut : max J (u) = Z T 0 x2(t)dt, dengan kendala : ˙ x1 = aux1, x1(0) = x01, x1(T ) bebas ˙

x2 = a(1 − u)x1, x2(0) = x0₂, x2(T ) bebas 0 ≤ u(t) ≤ 1. 4. Model pertumbuhan ekonomi neo klasik

Menentukan proporsi menabung sehingga memaksimumkan jumlah konsumsi per kapita dan memenuhi persamaan dasar model pertumbuhan ekonomi neo klasik, yang secara matematis diformulasikan sebagai berikut :

max 0≤st≤1 J (st) = Z ∞ 0 (1 − st)f (kt)e−ρtdt (3.42) Dengan kendala ˙kt = stf (kt) − λkt, kt≥ 0, (3.43)

(42)

dimana kt = kapital per tenaga kerja, st = proporsi menabung, f (kt) = output per kapita.

5. Masalah Konsumsi dan Investasi Model Waktu Diskret-Kontinu

Formulasi masalah konsumsi dan investasi untuk investor yang memiliki dua instrumen investasi, yaitu aset bebas resiki dan aset beresiko adalah sebagai berikut : Masalah kontrol optimum untuk investor diberikan oleh

U (x0) ≡ max (T,W,V,C)∈U E [ Z ∞ 0 e−δt u(Ct) dt], (3.44)

dengan kendala, untuk n = 1, 2, 3, ...,

xτn+1 = ( 1 − ε ) [ xτn− Wτn ] e r Tn _{+ V} τn[ Γn+1− e r Tn_], (3.45) dan Mt≥ 0, dan xτn+1 ≥ 0.

Masalah kontrol optimum di atas diselesaikan dengan cara modifikasi, menjadi seperti berikut U (x0) = max {T ∈T ,W ∈W,V ∈V}E [ ∞ X n=1 e−δτn_Qν n 1 γ W γ τn], (3.46)

terhadap kendala, untuk n = 1, 2, 3, ..., xτn+1 = (1 − ε) [ xτn − Wτn ] e r Tn_{+ V} τn [ Γn+1− e r Tn _{] ≥ 0,} (3.47) dimana Tn= τn+1− τn.

Pengaplikasian prinsip keoptimalan Bellman pada U, menghasilkan U (xτn) = max {Tn,Wτn,Vτn} {Qν n 1 γ W γ τn+ e −δTn_{E [U (x} τn+1)|Hτn]}, (3.48)

terhadap kendala, untuk n = 1, 2, 3, ..., xτn+1 = (1 − ε) [ xτn − Wτn ] e

r Tn_{+ Vτ}

n [ Γn+1− e

r Tn _{] ≥ 0.}

(3.49)

6. Optimal Monetary Policy

Untuk aplikasi dalam masalah ekonomi, perhatikan model Optimal Monetary Pol-icy yang dikembangkan oleh Peterson dan Lerner (1971). Sistem yang digunakan berdasarkan studi empris Friedman yang sudah dimodifikasi, yaitu :

a2 2 d2_x(t) dt2 + a dx(t) dt + x(t) = u(t) (3.50)

dengan x(t) menyatakan proportional rate of growth of money income, u ≡ m + b ˙m dimana m ≡ (1/M )(dM/dt) merupakan proportional rate of change of money supply M (t) dan b suatu konstanta. a = konstanta yang merepresentasikan the length of

(43)

business cycle. Dengan mendefinisikan x = x1, ˙x = x2,d

2_x(t)

dt2 = ˙x2, maka masalah di atas dapat dituliskan dalam bentuk sistem

˙x(t) = Ax(t) + bu(t) (3.51)

Objektif dari otoritas moneter adalah untuk mencapai rate of growth of national in-come yang stabil pada waktu mendatang, yaitu x(T ) = x1T; ˙x(T ) = 0 dengan cara menggunakan optimal money supply policy. Masalah ini sama saja dengan memini-mumkan fungsional objektif J = RT

0 dt. Dengan demikian, masalah menjadi masalah kontrol optimum yang meminimumkan fungsional objektif

J (u) = Z T 0 dt (3.52) dengan kendala ˙x(t) = Ax(t) + bu(t) (3.53)

dengan x(0) ≡ (x1(0), x2(0)) = (x10, x20) diberikan dan x(T ) ≡ (x1(T ), x2(T )) = (x1T, 0), |u| ≤ 0.1

3.7 Kontrol Variabel Berbatas

Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif J [u(t)] =

Z T

0

f0(x(t), u(t), t)dt

dengan kendala ˙x(t) = f (x(t), u(t), t), dan kontrol u memenuhi kendala gi(x(t), u(t), t) ≥ 0, dan x(t) dan ˙x(t) ∈ Rn _{dan u(t) ∈ R}k_{. Masalah kontrol optimum di atas dapat} ditransfor-masikan menjadi masalah dengan kendala persamaan. Hal ini dilakukan dengan membuat variable semu ˙ζ sehingga gi(x, u, t) − ˙ζ_i2 = 0. Definisikan fungsi F dengan

F = H − p ˙x + λ(g − ˙ζ_i2).

Teorema 3.7 Misalkan u?(t) merupakan kontrol admissible yang mentransfer x(0) kepada target (x(T ), T ) dan memberikan ekstremal untuk fungsional J. Definisikan fungsi ˆH = p0f0+ pf + λg. Supaya u?(t) adalah optimal, maka perlu terdapat p0, p(t) dan λ(t) pada interval waktu [0, T ] sehingga :

1. (p0, p(t)) 6= (0, 0), 2. ˙x(t) = ˆHp,

(44)

3. ˙p(t) = − ˆHx,

4. ˆHu = 0, atau ˆH(x?, u?, p0, p) ≥ ˆH(x?, u, p0, p) 5. λi ≥ 0, gi ≥ 0, dan λigi = 0.

Pada waktu terminal T berlaku ˆH(T )δT + F_Z˙δZ|T = 0.

3.7.1 Masalah Kontrol Optimum dengan Variabel State Berbatas

Masalah kontrol optimum adalah memaksimumkan fungsional objektif J yang diberikan oleh J [u(t)] =

Z T

0

f0(x(t), u(t), t)dt

dengan kendala ˙x(t) = f (x(t), u(t), t), dan x(t) ≥ ϕ(t), x(t), ˙x(t) ∈ Rn _{dan u(t) ∈ R}k_. Definisikan Z2 ≡ x(t) − ϕ(t). Masalah kontrol optimum di atas ditransformasikan menjadi

J [u(t)] =

Z T

0

f0(x(t), u(t), t)dt

dengan kendala ˙x(t) = f (x(t), u(t), t), dan g(x) − Z2 _{= 0, dengan g(x) = x(t) − ϕ(t).} Kemudian definisikan F = H − p ˙x + λ(g − Z2_{). Dengan menentukan persamaan Euler dari} F , maka diperoleh fungsi Hamiltonian yang dilengkapi :

ˆ

H = f0(x, u, t) + p.f (x, u, t) + λg(x, t)

dengan λ merupakan pengali Lagrange. Untuk g > 0 maka λ = 0, dan untuk g ≡ 0, maka λ 6= 0.

3.7.2 Masalah Kontrol Optimum dengan Kendala Persamaan

Hadirnya kendala persamaan pada masalah kontrol optimum diperlakukan sama seperti pada masalah calculus variasi.

Perhatikan masalah kontrol optimum memaksimumkan fungsional objektif J max J [u(t)] = Z T 0 f0(x(t), u(t), t)dt (3.54) dengan kendala ˙xi(t) = f (x(t), u(t), t), (1 ≤ i ≤ n) (3.55) ψi(x, u, t) = 0, (1 ≤ i ≤ q ≤ n) (3.56) Ii(x) ≡ Z T 0 φi(x, u, t)dt − li = 0, (1 ≤ i ≤ m) (3.57)

(45)

dengan li = konstanta untuk (i = 1, 2, . . . , m), f0, fi dan φi diasumsikan fungsi ”well behaved”. Masalah tersebut merupakan masalah kendala isoperimetric dan kendala titik. Seperti pada calculus variasi, kita definisikan fungsi yi, dimana

yi ≡

Z t

0

φi(x, u, t)dt, (1 ≤ i ≤ m)

yi(0) = 0; yi(T ) = li, yi(t) = φi(x, u, t), (1 ≤ i ≤ m).˙

Dengan demikian, kendala isoperimetric sudah ditransfer menjadi kendala dalam bentuk per-samaan diferensial. Selanjutnya, trayektori optimal harus memenuhi kendala titik ψi(x, u, t) = 0, dengan asumsi bahwa matrik Jacobian [∂ψi/∂uj] mempunyai rank q, dengan kata lain ψi = 0 merupakan persamaan yang saling bebas. Definisikan fungsi Hamiltonian ˆH dengan

ˆ

H = f0(x, u, t) + pf (x, u, t) + λφ(x, u, t) + µψ(x, u, t) (3.58)

Teorema 3.8 Jika u?_{(t) memaksimumkan J maka terdapat p(t),} _{λ dan µ yang tidak} se-muanya nol sehingga

1. λi merupakan konstanta 2. p(t) kontinu dan memenuhi

(a) ˙x(t) = f (x(t), u(t), t) (b) ˙p = − ˆHx

(c) ˆHu = 0 (d) ψ = 0

3. ˆH(x, u?_{, p, µ, t) ≥ ˆ}_{H(x, u, p, µ, t) untuk semua u}?_{(t) yang memenuhi ψ(x, u}?_{, t) = 0.}

3.7.3 Masalah Kontrol Optimum dengan Variabel Kontrol Berbatas

Perhatikan masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif J [u(t)] = Z T 0 f0(x(t), u(t), t)dt (3.59) dengan kendala ˙x(t) = f (x(t), u(t), t) (3.60) gi(x, u, t) ≥ 0 (1 ≤ i ≤ q ≤ r ≤ n) (3.61)

Kendala ketaksamaan ditransfer menjadi kendala persamaan dengan mengenalkan peubah semu ˙ξ sehingga

gi(x, u, t) − ˙ξi2 = 0, (1 ≤ i ≤ q.) (3.62)

Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab

Kuliah Pengantar

Kontrol Optimum dan

Metode Numeriknya

dalam

Scilab

Effendi Syahril

Agah D. Garnadi

Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan

Metode Numeriknya dalam

Scilab

Effendi Syahril

Agah D. Garnadi

Contents

Chapter 1

Pendahuluan

1.1

Masalah Optimisasi Dinamis

1.2

State Sistem Dinamis

1.3

Peubah Kontrol

1.4

Reachability, Controllability dan Observability

1.5

Fungsional Objektif

1.6

Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum

Chapter 2

Kalkulus Variasi

2.1

Pendahuluan

2.2

Fungsional Dan Variasi

2.3

Syarat Perlu Untuk Optimum : Persamaan Euler

2.4

Persamaan Euler Yang Lebih Umum

2.4.1

Kasus Peubah banyak

2.4.2

Kasus Fungsi f Memuat Turunan ke-n

2.5

Kasus Khusus Persamaan Euler

2.5.1

Fungsi f Tidak Memuat x

2.5.2

Fungsi f Tidak Memuat t

2.5.3

Fungsi f Tidak Memuat ˙x

2.6

Masalah Variasi Dengan Kendala

2.6.1

Kendala Titik Dan Persamaan Diferensial

2.6.2

Kendala Isoperimetris

2.7

Syarat Batas Dalam Masalah Variasi

2.7.1

Dua Titik Ujung Tetap Dan Syarat Batas Natural

2.7.2

Titik Ujung Bebas

2.8

Syarat Cukup / Sufficiency Conditions

2.8.1

Variasi Fungsional

2.8.2

Syarat Legendre

2.8.3

Syarat Jacobi

2.8.4

Syarat Weierstrass untuk Ekstremal Kuat

2.8.5

Syarat Legendre-Clebsch

2.8.6

Syarat Cukup : Kasus khusus

Chapter 3

Kontrol Optimum : Pendekatan

Kalkulus Variasi

3.1