Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi,
Syarat Perlu Optimalitas
Slide II
Toni Bakhtiar
Departemen Matematika IPB
Masalah Brachystochrone
Brachystochrone: brakhistos (tercepat, terpendek), khronos (waktu). Tentukan lintasan (kurva) yang harus dilewati bola sehingga bola bergerak dari titik A ke titik B dalam waktu tercepat.
b
a
B(b,a)
A(0,0)
x
y
Masalah Brachystochrone
Hukum konservasi energi: Energi Kinetik + Energi Potensial =0 :
1 2mv
2 mgy =0
()v =p2gy .
Lintasan di sekitar bola dapat dipandang sebagai sebuah garis lurus sehingga ds =pdx2+dy2 = s 1+ dy dx 2 dx. Hubungan waktu t, jarak s, dan kecepatan v :
v = ds dt ()dt = ds v = r 1+ dydx 2dx p 2gy .
Masalah Brachystochrone
Integralkan: t = p1 2g Z b 0 v u u t 1+ dydx 2 y dx. Masalah kontrol optimal:min J = Z b 0 s 1+ ˙y2 y dx s.t. y(0) =0, y(b) =a, dengan ˙y := dydx.
Masalah Lintasan Terpendek
Tentukan lintasan terpendek yang menghubungkan A dan B.
A(0,0)
B a,b
(
)
x
y
Di sepotong lintasan kecil berlaku ds =pdx2+dy2 = s 1+ dy dx 2 dx. Masalah kontrol optimal:
min J=
Z a
0
p
Masalah Luas Permukaan Terkecil
Tentukan kurva y =y(x)yang melewati A dan B sedemikian sehingga benda putar yang terbentuk memiliki luas permukaan terkecil.
x
y
A
B a,b
(
)
Di sepotong lintasan kecil berlaku
ds =pdx2+dy2 = s 1+ dy dx 2 dx.
Masalah Luas Permukaan Terkecil
Luas permukaan:
A=
Z
S2πy ds
Masalah kontrol optimal: min J =2π
Z a
0
MKV vs MKO
Masalah Kalkulus Variasi: opt J(x(t)) =
Z tf
t0
F(x(t), ˙x(t), t)dt Masalah kontrol optimal:
opt J(x(t)) =
Z tf
t0
F(x(t), u(t), t)dt baik dengan kendala ataukah tanpa kendala.
Fungsional Objektif
Bentuk umum fungsional objektif (kriteria, performance index) J =S(x(tf), tf) +
Z tf
t0
F(x(t), u(t), t)dt, dengan S dan F kontinu dan terturunkan.
1 S =0, F =1 (minimal time problem).
2 S =0, F = juj(minimal fuel/energy problem):
J = Z tf t0 ju(t)jdt, J = Z tf t0 uTRu dt. 3 S 6=0, F 6=0 (Bolza problem). 4 S =0, F 6=0 (Lagrange problem). 5 S 6=0, F =0 (Mayer problem). 6 Integral square problem:
J = Z tf t0 xTx dt, J = Z tf t0 xTQx dt.
Fungsional Objektif
Meskipun Bolza problem tampak memiliki formulasi yang lebih umum, ketiga problem bersifat convertible satu sama lain.
Diberikan Bolza problem:
JBolza =S(x(tf), tf) + Z tf t0 F(x(t), u(t), t)dt. De…nisikan: xn+1(t) = Z t t0 F(x, u, τ)d τ)xn+1(t0) =0, maka JBolza = S(x(tf), tf) +xn+1(tf) = ˆS(x(tf), tf) = JMayer.
Fungsional Objektif
Diberikan Lagrange problem:JLagrange =
Z tf
t0
F(x(t), u(t), t)dt. De…nisikan peubah state baru xa sedemikian sehingga
ˆx = xa x1 x2 . . . xn T , ˙xa = F(x(t), u(t), t), xa(t0) = 0. Diperoleh JLagrange = Z tf t0 ˙xa(t)dt =xajttf0 =x(tf) = S(x(tf), tf) = JMayer.
Fungsional Objektif
Diberikan Mayer problem:JMayer =S(x(tf), tf).
De…nisikan peubah state baru xa sedemikian sehingga
ˆx = xa x1 x2 . . . xn T , ˙xa = 0)xa(t) =k, xa(tf) = 1 tf t0 S(x(tf), tf). Diperoleh JMayer = (tf t0)xa(tf) = (tf t0)(xa(tf) k) +k(tf t0) = ˆS(x(tf), tf) + Z tf t0 kdt = ˆS(x(tf), tf) + Z tf t0 xa(t)dt =JLagrange.
Fungsi dan Fungsional
Fungsi Fungsional Pemetaan f :R!R J : f !R Notasi f =f(t) J =J(x(t)) Contoh f(t) =t J(x(t)) =Rabx(t)dt Riap dt =t t δx(t) =x (t) x(t) ∆f(t) =f(t+dt) f(t) ∆J(x) =J(x+δx) J(x) Kalkulus Variasi: cabang matematika yang memelajari masalah pengoptimuman fungsional, yaitu mencari fungsi yang meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsional.Perluasan Taylor 1 Peubah
Diberikan fungsi f dengan f0, f00, . . . , f(n+1) kontinu di[a, b]dan misalkan c 2 [a, b].
Perluasan Taylor dari f di sekitar c diberikan oleh f(x) = n
∑
k=0 f(k)(c) k ! (x c) n+R n+1(x),dengan Rn+1 disebut sebagai remainder (sisaan):
Rn+1(x) = 1 n! Z x c ( x s)f(n+1)(s)ds. Jika limn!∞Rn+1 =0 maka
f(x) = ∞
∑
n=0 f(n)(c) n! (x c) n.Perluasan Taylor 1 Peubah
Set h=x c f(c+h) = ∞∑
n=0 f(n)(c) n! h n. Dengan demikian f(x+h) = ∞∑
n=0 f(n)(x) n! h n.Dapat juga ditulis
f(x+h) f(x) +hf0(x) + h
2
2!f 00(x).
Perluasan Taylor Peubah Ganda
m peubah di sekitar(c1, . . . , cm): f(x1, . . . , xm) = ∞∑
n1=0 ∞∑
nm=0 (x1 c1)n1 (xm cm)nm n1! nm! ∂n1+ +nmf ∂x1n1 ∂xmnm (c1, . . . , cm). 2 peubah di sekitar(a, b): f(x, y) f(a, b) + (x a)fx(a, b) + (y b)fy(a, b) + (x a) 2 2! fxx(a, b) + 2(x a)(y b) 2! fxy(a, b) + (y b) 2 2! fyy(a, b).Perluasan Taylor 2 Peubah
Set h1 =x a dan h2 =y b : f(a+h1, b+h2) f(a, b) +h1fx(a, b) +h2fy(a, b) + h 2 1 2 fxx(a, b) +h1h2fxy(a, b) + h 2 2 2 fyy(a, b). Atau f(x+h1, y+h2) f(x, y) +h1fx(x, y) +h2fy(x, y) + h 2 1 2fxx(x, y) +h1h2fxy(x, y) + h 2 2 2fyy(x, y).Variasi Pertama (1 Peubah)
Diberikan fungsional J(x) = Z T t0 f(x, t)dt. Diperoleh 4J(x) = J(x+h) J(x) = Z T t0 f(x+h, t)dt Z T t0 f(x, t)dt Z T t0 [f(x, t) +hf0(x, t)] dt Z T t0 f(x, t) dt = Z T t0 hf0(x, t)dt. Variasi pertama δJ(x):= Z T t0 hf0(x, t) dt.Variasi Pertama (2 Peubah)
Diberikan fungsional J(x, y) = Z T t0 f(x, y , t) dt. Diperoleh 4J(x, y) = J(x+h1, y+h2, t) J(x, y) = Z T t0 f(x+h1, y+h2, t)dt Z T t0 f(x, y , t)dt Z T t0 [h1fx(x, y , t) +h2fy(x, y , t)]dt. Variasi pertama δJ(x, y):= Z T t0 [h1fx(x, y , t) +h2fy(x, y , t)] dt.Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
De…nition
Fungsi f =f(t)mencapai:
maksimum lokal di t jika f(t ) f(t)untuk semua t di sekitar t . minimum lokal di t jika f(t ) f(t) untuk semua t di sekitar t . maksimum global di t jika f(t ) f(t)untuk semua t 2Df.
minimum global di t jika f(t ) f(t) untuk semua t2Df.
Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
De…nition
Fungsional J =J(x(t))mencapai:
maksimum lokal di x jika J(x ) J(x)untuk semua x di sekitar x .
minimum lokal di di x jika J(x ) J(x)untuk semua x di sekitar x .
maksimum global di x jika J(x ) J(x)untuk semua x. minimum global di x jika J(x ) J(x)untuk semua x.
Masalah Kalkulus Variasi
De…nisikan:C[a, b] = ff jf kontinu di[a, b]g,
Ci[a, b] = ff jf terde…nisi di[a, b], f(i) kontinu di[a, b]g. Tanpa kehilangan sifat keumuman, diasumsikan [a, b] = [0, T]. Diberikan fungsional
J(x) =
Z T
0
f(x, ˙x, t)dt
dengan A(0, x(0)) dan B(T , x(T)) adalah dua titik yang sudah ditetapkan, f 2C2[0, T], dan x 2C2[0, T].
Problem (MKV)
Tentukan fungsi x (t)dalam C2[0, T] yang memiliki titik awal A(0, x(0)) dan titik akhir B(T , x(T)) dan memberikan nilai optimum bagi J(x).
Lema Dasar
Lemma Misalkan g(t) 2C[0, T] dan S = fh jh 2C1[0, T], h(0) =h(T) =0g. Jika R T 0 g(t)h(t)dt =0untuk semua h 2S (h disebut sebagai displacement function) maka g(t) 0 untuk semua t 2 [0, T].
Proof.
Akan dibuktikan kontrapositif dari lema di atas. Andaikan g(t) 6=0, katakanlah g(t) >0 pada t2 [t1, t2] [0, T]. Fungsi h dapat berbentuk
h(t) = (t t1)
3(t
2 t)3 ; t 2 [t1, t2]
0 ; t /2 [t1, t2]
. Jelas terpenuhi h(0) =h(T) =0. Dengan demikian
RT 0 g(t)h(t)dt = Rt2 t1 g(t)(t t1) 3(t 2 t)3 dt 6=0. Kontradiksi. Haruslah g(t) 0.
Fungsi penyimpang: h(t) = (t 1) 3(3 t)3 ; t 2 [1, 3] 0 ; t /2 [1, 3] . 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t
h
Persamaan Euler
Theorem (Persamaan Euler) Misalkan
J(x) = R0Tf(x, ˙x, t)dt, x(0) = x0,
x(T) = xT.
Syarat perlu agar J(x)memiliki ekstremum ialah x(t)memenuhi persamaan Euler berikut:
fx
d
dtf˙x =0.
Proof: Asumsikan terdapat solusi x(t) bagi MKV di atas, yang memenuhi syarat batas dan memberikan ekstremum bagi fungsional J. Dengan kata lain, semua fungsi lain tidak akan mencapai ekstremum. Misalkan
sebarang fungsi tersebut ialah
z(t) =x(t) +εh(t),
dengan h merupakan fungsi penyimpang (displacement function) yang terturunkan dua kali dan memenuhi h(0) =h(T) =0, dan ε konstanta real. Jika ε =0 maka z(t) =x(t).
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5
t
z, x, h
Karena z(t)memenuhi syarat batas:
z(0) = x(0) +εh(0) =x0,
z(T) = x(T) +εh(T) =xT,
maka diperoleh fungsional yang bergantung pada parameter ε : J(ε) =R0Tf(z, ˙z, t)dt,
dengan ˙z(t) = ˙x(t) +ε ˙h(t). Fungsional J(ε) identik dengan J(x) jika ε=0 dan mencapai ekstremum ketika ∂J∂ε(ε)
ε=0 =0. Diperoleh, ∂J(ε) ∂ε = RT 0 fz dX d ε +f˙z d ˙z d ε dt. Karena dzd ε =h dan d ˙zd ε = ˙h maka
∂J(ε) ∂ε =
RT
0 fzh+f˙z˙h dt.
Suku kedua diintegralkan secara parsial dengan memisalkan u = f˙z )du= dtd f˙z dt, dv = ˙h dt )v =h, sehingga RT 0 f˙z˙h dt =f˙zhj T 0 RT 0 h d dtf˙z dt = RT 0 h d dtf˙z dt. Jadi, ∂J(ε) ∂ε = RT 0 fz d dtf˙z h dt.
Ekstremum dicapai ketika ε=0 yang membuat fz =fx dan f˙z =f˙x. Lema
dasar mengakibatkan ∂J(ε)
∂ε ε=0=0,fx
d
Proof (Alternative): Pertama akan dibuktikan bahwa syarat perlu bagi J untuk mencapai ekstremum ialah δJ =0. Perhatikan bahwa
J(ε) =R0Tf(z, ˙z, t)dt =R0Tf(x+εh,˙x+ε ˙h, t)dt. Penguraian Taylor memberikan
J(ε) R0T f(x, ˙x, t) +εhfx(x, ˙x, t) +ε ˙hf˙x(x, ˙x, t) dt
= R0Tf(x, ˙x, t) dt+R0T εhfx(x, ˙x, t) +ε ˙hf˙x(x, ˙x, t) dt
= J(x) +δJ(ε).
Fungsional J(ε)identik dengan J(x) jika dan hanya jika δJ(ε) =0. Selanjutnya, δJ(ε) =0 , R0T(hfx+ ˙hf˙x) dt =0 , R0T(fx d dtf˙x)h dt=0 , fx dtd f˙x =0.
Example
Tentukan ekstremum dari
J(x) = R01(a ˙x2+bt)dt, a>0, x(0) = 0, x(1) =1.
Solution
Dengan f(˙x) =a ˙x2+bt maka diperoleh fx =0 dan f˙x =2a ˙x sehingga
persamaan Euler memberikan
0 dtd (2a ˙x) =0,2a ¨x =0, ¨x =0,x(t) =k1t+k2.
Dengan mensubstitusikan syarat batas diperoleh x (t) =2t dan J(x ) =R01(4a+bt) dt =4a+12b.
Beberapa fungsi penyimpang ialah sbb: h1(t) = t(t 1) )x1(t) =2t+εt(t 1), h2(t) = sin(2πt) )x2(t) =2t+ε sin(2πt) sehingga diperoleh J(x1) = R1 0(a(2+ε(2t 1)) 2+bt) dt = 4a+12b+31aε2 >J(x ), J(x2) = R1 0(a(2+2πε cos(2πt)) 2 +bt)dt = 4a+12b+2π2aε2 >J(x ).
Dapat disimpulkan bahwa masalah di atas adalah masalah minimisasi dan x (t) =2t merupakan minimum lokal.
Example
Tinjau sebuah masalah makroekonomi di mana sebuah indikator ekonomi y(t)ingin dikendalikan dengan kendali u(t) = ˙y(t) sehingga mencapai level yang diinginkan ˆy dalam periode [0, T]. Pengendalian memerlukan biaya sehingga ingin diminimumkan fungsional
J(y) =R0T (y ˆy)2+cu2 dt. De…nisikan x :=y ˆy sehingga
˙x = ˙y =u,
x(T) = y(T) ˆy = ˆy ˆy =0. Masalah kalkulus variasi:
min J(x) = R0T(x2+c ˙x2)dt, x(0) = x0, x(T) =0.
Solution
Persamaan Euler memberikan:
2x 2c ¨x =0 , ¨x 1cx =0
, x(t) =Aert+Be rt, r = p1c. Syarat batas menghasilkan:
x (t) = x0 erT e rT h er(T t) e r(T t)i, sehingga y (t) = x (t) + ˆy , u (t) = ˙x (t).
Example
Selesaikan MKV berikut:
min J(x) = R01(x2+ ˙x2)dt, x(0) = 1,
Solution
De…nisikan f(x, ˙x, t) =x2+ ˙x2, diperoleh fx =2x dan f˙x =2 ˙x.
Persamaan Euler menjadi 2x d
dt(2 ˙x) =0, ¨x x =0.
Karena persamaan karakteristik PD orde dua di atas r2 1=0 memiliki solusi r =1 dan r = 1 maka solusi umum PD di atas ialah
x(t) =C1et +C2e t.
Syarat batas x(0) =1 dan x(1) =0 memberikan C1+C2 =1, C1e+C2e 1=0, sehingga C2 = e 2 e2 1 dan C1 =1 e 2 e2 1 = e211. Jadi, x (t) = e211(e 2 t et).
Problem
Tentukan persamaan Euler dari J(x) =R0Tf(x, ˙x, t) dt jika
1 f(x, ˙x, t) =x2+ ˙x2+2xet. 2 f(x, ˙x, t) = e˙x ax, a>0. 3 f(x, ˙x, t) =2tx+3x ˙x+t ˙x2. 4 f(x, ˙x, t) = (x ˙x)2+x2 e at, a>0. Problem Selesaikan MKV berikut: 1 max R1 0(4xt ˙x 2)dt, x(0) =2, x(1) = 2 3. 2 max R1 0(t ˙x ˙x 2)dt, x(0) =1, x(1) =0. 3 min R1 0(x 2+2tx ˙x+ ˙x2)dt, x(0) =1, x(1) =2. 4 min R1 0(x 2+tx+tx ˙x+ ˙x2)dt, x(0) =0, x(1) =1.