Bagian 2 Turunan Parsial

Bagian 2 Turunan Parsial

Bagian 2 Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik differensiasi diterapkan untuk fungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik differensiasi ini tidak hanya akan diterapkan untuk fungsi-fungsi yang tergantung kepada nilai x dan nila y saja, tapi juga untuk fungsi-fungsi yang tergantung kepada nilai x, nilai y, dan nilai z.

Tentu saja dalam bagian ini, kemampuan teknik differensial untuk fungsi satu variabel yang telah anda dapatkan dalam Matematika Teknik 1 sangat bermanfaat.

Pengetahuan pada Bagian 2 ini diharapkan memberikan sedikit informasi kepada Anda, bahwa teknik turunan parsial dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan dalam bidang tiga dimensi. Sebagai contoh, bahwa volume kotak yang minimum atau maksimum dapat diketahui dengan menerapkan teknik turunan parsial

Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan Bagian 2 Turunan Parsial adalah Anda akan mampu melakukan proses differensial pada fungsi dua variabel atau lebih dan menerapkannya pada persoalan minimum dan maksimum fungsi.

2.1 Fungsi Dua Variabel atau Lebih

Beberapa persamaan yang digunakan dalam matematika atau cabang ilmu lain sangat tergantung kepada dua variabel atau lebih. Sebagai contoh, persamaan garis lurus y = mx + 3 sangat tergantung kepada nilai m dan nilai x., persamaan volume benda V = p l t sangat tergantung pada panjang, lebar, dan tebal benda, atau persamaan nilai rata-rata = (x1 + x2 + x3 +...+ xn)/n sangat tergantung pada nilai x₁ x₂ sampai x_n. Sehingga dapat dikatakan

−

x

Y adalah fungsi dua variabel m dan x V adalah fungsi tiga variabel p, l, dan t

−

x

adalah fungsi n variabel x1, x2, x3,..., xn

Notasi yang digunakan untuk menyatakan fungsi dua variabel atau lebih adalah sama seperti notasi untuk fungsi satu variabel. Persamaan

) , ( x y f

z =

2.1

mengandung arti z adalah fungsi yang tergantung kepada nilai x dan nilai y. Hal yang sama jika kita mempunyai persamaan

) , , ( x y z f

w =

2.2

mengandung arti bahwa w adalah fungsi yang bergantung kepada nilai x, nilai y, dan nilai z.

Sb. x Sb. y

y = x²

Sb. x

Sb. z

Sb. y (0,0,1)

(0,2,0) (1,0,0)

z=1-x-0,5y

Grafik fungsi dua variabel dapat digambarkan pada bidang xy atau pada sistem koordinat kartesius, sedangkan grafik fungsi tiga variabel dapat digambarkan pada bidang xyz atau bidang 3 dimensi

Contoh 2.1

Buatlah sketsa grafik fungsi y = x² Penyelesaian:

Contoh 2.2

Buatlah sketsa grafik fungsi f(x,y) = 1 – x – 0,5y Penyelesaian:

Contoh 2.3

Buatlah sketsa grafik fungsi f(x,y) = x² + 0,25y²

z=x

²

+0,25y

²

Sb. z

Sb. y

Sb. x

z = k

x

²

+0,25y

²

=k

Penyelesaian:

Latihan Soal 2.1

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!

1. Misalkan f(x,y) = x²y+1. Tentukan f(1,-3) dan f(3a,a)

2. Misalkan f(x,y) = xy + 3. Tentukan f(x+y, x-y) dan f(xy, 3x²y²) 3. Buatlah sketsa grafik fungsi f(x,y) = x² – y²

4. Buatlah sketsa grafik fungsi

f ( x , y ) = x

²

+ y

² 5. Buatlah sketsa grafik fungsi

9 1 4

) , (

2

2

y

y x x

f = − − −

2.2 Turunan Parsial

Jika f adalah fungsi dua atau lebih variabel bebas, dan satu dari variabel tersebut merupakan nilai yang tetap, maka turunan terhadap variabel tetap tersebut dinamakan turunan parsial fungsi f.

Misalkan f merupakan fungsi dari nilai x dan nilai y. Jika kita pandang nilai y sebagai konstanta dan nilai x sebagai variabel, maka f(x,y₀) adalah fungsi yang tergantung kepada nilai x saja. Sehingga nilai turunan dinotasikan

) , ( x

₀

y

₀

f

_x 2.3

Dan dinamakan turunan parsial fungsi f terhadap x pada titik (x₀,y₀). Interpretasi geometrik dari turunan parsial ini dapat kita lihat pada Gambar 2.1 berikut.

Sb. x Sb. y Sb. z

z=f(x,y)

y0

x0

P

(x0,y0) C1

Slope = fx(x0,y0)

Gambar 2.1

Misalkan P adalah titik potong antara permukaan z = (f(x,y) dan bidang y = y₀. Jika y adalah konstanta pada y = y₀ dan x merupakan nilai yang bervariasi, maka titik P akan bergerak sepanjang kurva C₁ yang merupakan perpotongan permukaan dengan bidang vertikal y = y0. sehingga turunan parsial dapat diinterpretasikan sebagai kemiringan garis singgung kurva C₁ pada titik (x₀,y₀).

) , ( x

₀

y

₀

f

_x

Nilai yang dihasilkan merupakan nilai pada sembarang titik (x,y). Untuk menghasilkan kita melakukan proses turunan pada terhadap nilai x dengan menganggap nilai y sebagai konstanta. Sebaliknya, untuk menghasilkan kita melakukan proses turunan terhadap nilai y dengan menganggap nilai x sebagai konstanta.

) , ( x

₀

y

₀

f

_x

) , y

) , ( x y f

_x

(x

f

_y

Contoh 2.4

Carilah turunan parsial fungsi terhadap x dan y pada titik (1,2)

x y y x y x

f ( , ) = 2

^{3 2}

+ 2 + 4

Penyelesaian:

Anggaplah y sebagai konstanta, maka akan didapatkan turunan fungsi terhadap x

28

4 ) 2 ( ) 1 ( 6 ) 2 , 1 ( ...

...

4 6

) ,

( =

^{2 2}

+

_x

=

^{2 2}

+ =

x

x y x y f

f

Anggaplah x sebagai konstanta, maka akan didapatkan turunan fungsi terhadap y 10

2 ) 2 ( ) 1 ( 4 ) 2 , 1 ( ...

...

2 4

) ,

( = ³ + _y = ³ + =

y x y x y f

f

Penulisan untuk menyatakan turunan parsial fungsi f terhadap x dan penulisan untuk menyatakan turunan parsial fungsi f terhadap y kadangkala membuat bingung. Untuk itu penulisan simbol turunan parsial dilakukan seperti di bawah ini.

) , ( x y f

_x

) , ( x y f

_y

x z x f

∂

= ∂

∂

∂

dan

y z y f

∂

= ∂

∂

∂

2.4

Contoh 2.5

Carilah turunan parsial fungsi z = x⁴sin (xy³) terhadap x dan terhadap y Penyelesaian

Turunan parsial fungsi z terhadap x adalah

[

⁴

^sin(

³

⁾ ] ^sin(

³

^{). (}

⁴

⁾

⁴

^. [ ^{sin( xy}

³

⁾ ]

x x x x

xy xy

x x x z

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂

) ( ) cos(

. ) sin(

4

^{3 3 4 3}

xy

³

xy x x

xy x x

z

∂ + ∂

∂ =

∂

) cos(

. )

sin(

4 x

³

xy

³

x

⁴

y

³

xy

³

x

z = +

∂

∂

Dengan cara yang sama, turunan parsial fungsi z terhadap y adalah

)

cos(

3 x

⁵

y

²

xy

³

y z =

∂

∂

Seperti pada penyelesaian turunan biasa, turunan parsial juga mengenal turunan tingkat tinggi, yaitu turunan parsial yang dilakukan beberapa kali. Untuk turunan tingkat dua dinotasikan sebagai

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

x f x x

f

2 2

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

y f x y x

2

f

2.5

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

y f y y

f

2 2

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

x f y x y

2

f

2.6

Atau secara umum dapat dinyatakan

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

−

− 1 1 n n n

n

x f x x

f 2.7

Contoh 2.6

Carilah turunan kedua fungsi f(x,y) = x²y³ + x⁴y Penyelesaian:

Turunan pertama fungsi terhadap x dan y adalah

4 2 2 3

3

4 3

2 x y x

y y f

x x xy

f = +

∂ + ∂

∂ =

∂

Sehingga

(

^{xy x y}

) (

^{y x y}

x x f x x

f 3 3 3 2

2 2

12 2

4

2 + = +

∂

= ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

)

( ^{x y x} ) ( ^{x y}

y y f y y

f

2 2 4 2

2 2

6

3 + =

∂

= ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂ )

(

^{2 2 4}

) (

^{2 3}

2

4 6

3 x y x xy x

x y f x y x

f + = +

∂

= ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂ )

(

^{3 3}

) (

^{2 3}

2

4 6

4

2xy x y xy x

y x f y x y

f + = +

∂

= ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

)

Latihan Soal 2.2

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!

1. Tentukan

z x

∂ ∂

_dan z y

∂ ∂ untuk fungsi

^{z = x}

³

^ln ( ^{1 + xy}

^−3/5

)

2. Tentukan

z x

∂ ∂

_dan z y

∂ ∂ untuk fungsi

^{z = e}

^xy

^sin ( ) ^{4 y}

²

3. Tentukan f_xx, f_yy, f_xy, dan f_yx untuk fungsi

f ( x , y ) = x

³

y

⁵

− 2 x

²

y + x

4. Tentukan fxx, fyy, fxy, dan fyx untuk fungsi

f ( x , y ) = e

^x

cos y

5. Tentukan f_xx, f_yy, f_xy, dan f_yx untuk fungsi _{2 2}

2 2

) ,

( y x

y y x

x

f −

= −

2.3 Arah Turunan dan Gradien Fungsi Dua Variabel

Turunan parsial fx(x,y) dan fy(x,y) mempresentasikan perubahan kecepatan fungsi f(x,y) pada arah paralel dengan sumbu koordinat x dan y. Sebagai contoh, jika kita berdiri (x0,y0,z0) pada bidang lengkung dan kemudian berjalan pada arah sembarang, maka permukaan z = f(x,y) akan mempunyai kemiringan yang berbeda dari titik (x0,y0,z0) pada permukaan tersebut.

Definisi:

Jika f(x,y) dapat diturunkan pada (x0,y0), dan jika u = (u1,u2) adalah vektor unit, maka arah turunan fungsi f(x,y) pada titik (x0,y0) dalam arah vektor u didefinisikan

2 0 0 1

0 0 0

0

, ) ( , ) ( , )

( x y f x y u f x y u

f

D

_u

=

_x

+

_y 2.8

Contoh 2.7

Tentukan arah turunan fungsi f(x,y) = 3x2y di titik (1,2) pada arah vektor a = 3i + 4j

Penyelesaian

Vektor a bukan vektor unit, sehingga vektor unit a adalah

j i j a i

u a

5 4 5 ) 3 4 3 ( 25

1 + = +

=

= atau u1 = 3/5 dan u2 = 4/5

Turunan parsial fungsi terhadap x dan y adalah 3 2

) , ( 6

) ,

(x y xy f x y x

f_x = _y =

3 ) 2 , 1 ( 12

) 2 , 1

( =

_y

=

x

f

f

Jadi arah turunan fungsi adalah

5 48 5 3 4 5 12 3 3

12 )

2 , 1 ( )

2 , 1 ( ) 2 , 1

(

_{1 2 1 2}

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

= +

= f u f u u u

f

D

_{u x y}

Persamaan arah turunan

D

_u

f ( x , y ) = f

_x

( x , y ) u

₁

+ f

_y

( x , y ) u

₂ dapat dinyatakan dalam bentuk dot product yang ditulis

( ^{f x y i f x y j} ) ^{( u i u j )}

y x f

D

_u

( , ) =

_x

( , ) +

_y

( , ) .

₁

+

₂ 2.9

Vektor kedua dari dot product tersebut dinamakan gradien dari fungsi f(x,y) dan diberi simbol ∇.

Definisi:

Jika f adalah fungsi yang tergantung pada x dan y, maka gradien dari fungsi f didefinisikan

∇f(x,y) = fx(x,y)i + fy(x,y) j 2.10

Contoh 2.8

Tentukan gradien fungsi soal 2.7 Penyelesaian:

∇f(x,y) = fx(x,y)i + fy(x,y) j = 6xyi + 3x²j Sehingga gradien pada titik (1,2) adalah

∇f(1,2) = 6(1)(2)i + 3(1)²j = 12i + 3j

Latihan Soal 2.3

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!

Tentukan arah turunan fungsi di titik P pada arah vektor a 1. f(x,y) = 4x³y² P(2,1) a = 4i – 3j 2. f(x,y) = y² ln x P(1,4) a = - 3i + 3j 3. f(x,y) = x² – 3xy + 4 y³ P(-2,0) a = i + 2j Tentukan D_uf fungsi pada titik P

4. f(x,y) = (1 + xy)^2/3 P(3,1) u = 1/√2i + 1/√2j

5. f(x,y) = ln (1+ x² + y) P(0,0) u = -1/√10i - 3/√10j

2.4 Arah Turunan dan Gradien Fungsi Tiga Variabel

Materi pada bagian sebelumnya akan kita perluas untuk fungsi tiga variabel.

Perbedaan mendasar antara fungsi dua variabel dengan fungsi tiga variabel adalah bahwa grafik fungsi z = f(x,y) mempresentasikan sebuah permukaan pada bidang tiga dimensi, sedangkan grafik fungsi w = f(x,y,z) tidak mempunyai interpretasi apapun. Teori dan definisi untuk fungsi tiga variabel dikembangkan dari prinsip dasar fungsi dua variabel.

Definisi:

Sebuah fungsi tiga variabel dapat diturunkan pada (x0,y0,z0) jika turunan parsial fx(x0,y0,z0), fy(x0,y0,z0), dan fz(x0,y0,z0) ada, dan

Δf = f(x0 + Δx,y0 + Δy,z0 + Δz) – f(x0,y0,z0) 2.11 Persamaan tersebut jika ditulis dalam bentuk lain menjadi

Δf = fx(x0,y0,z0) Δx + fx(x0,y0,z0) Δy + fx(x0,y0,z0) Δz + ε1 Δx + ε2 Δy + ε3 Δz 2.12 ε_{1 ,} ε_{2 ,} ε₃ adalah fungsi dari Δx, Δy, Δz.

Arah turunan dari fungsi tiga variabel pada titik (x₀,y₀,z₀) yang searah dengan vektor u=(u₁,u₂,u₃) didefinisikan sebagai

3 0 0 0 2

0 0 0 1

0 0 0 0

0

0

, , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( x y z f x y z u f x y z u f x y z u

f

D

_u

=

_x

+

_y

+

_z 2.13

Sedangkan gradien dari fungsi tiga variabel didefinisikan sebagai

∇f(x,y,z) = fx(x,y,z)i + fy(x,y,z)j + fz(x,y,z)k 2.14 Contoh 2.9

Tentukan arah turunan fungsi f(x,y,z) = x²y – yz³ + z pada titik P(1,-2,0) yang sesuai arah vektor a = 2i + j – 2k

Penyelesaian:

f(x,y,z) = x²y – yz³ + z

Jika fungsi diturunak secara parsial terhadap x, y, dan z akan didapat f_x(x,y,z) = 2xy f_y(x,y,z) = x² –z³ f_z(x,y,z) = – 3yz² + 1

∇f(x,y,z) = 2xyi + (x² –z³)j + (– 3yz² + 1)k

∇f(1,-2,0) = -4i + j + k Unit vektor dari vektor a adalah

k j i k j a i

u a

3 2 3 1 3 ) 2 2 2

9(

1 + − = + −

=

=

Sehingga arah turunan fungsi adalah

3 3 1 2 3 1 1 3 4 2 ).

0 , 2 , 1 ( ) 0 , 2 , 1

( ⎟ = −

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

−

∇

=

− f u

f D

_u

Latihan Soal 2.4

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!

Tentukan gradien fungsi f pada titik P dan gunakan untuk menghitung D_uf di P 1.

f ( x , y , z ) = 4 x

⁵

y

²

z

³ P(2,-1,1) u = 1/3i + 2/3j – 2/3k 2.

f ( x , y , z ) = ye

^xz

+ z

² P(0,2,3) u = 2/7i – 3/7j + 6/7k 3.

f ( x , y , z ) = ln( x

²

+ 2 y

²

+ 3 z

²

)

P(-1,2,4) u = -3/13i - 4/13j – 12/13k Tentukan arah turunan f pada titik P yang sesuai aray vektor a

4.

f ( x , y , z ) = x

³

z − yx

²

+ z

² P(2,-1,1) a = 3i – j + 2k 5.

f ( x , y , z ) = y − x

²

+ z

² P(-3,1,4) a = 2i – 2j – k

6.

z y

x z z

y x

f +

= − ) , ,

(

P(1,0,-3) a = - 6i + 3j - 2k

2.5 Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Dua Variabel

Dalam buku Matematika Teknik 1 telah dikemukan bagaimana menentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi satu variabel. Konsep yang sama dapat kita terapkan untuk mendapatkan nilai minimum dan maksimum fungsi dua variabel.

Karena fungsi dua variabel merupakan permasalahan tiga dimensi, maka nilai minimum dan maksimum fungsi merupakan permasalahan tiga dimensi juga. Untuk mengerti konsep nilai minimum dan maksimum fungsi dua variabel ini, sebaiknya anda memahami uraian berikut.

Cobalah anda bayangkan bahwa saat ini anda sedang berdiri di atas perbukitan lalu anda melihat sekelilingnya. Lingkungan sekeliling yang anda lihat akan berupa puncak-puncak gunung, puncak-puncak bukit, lembah-lembah, ngarai-ngarai, dan lain-lain. Hal itu semua menandakan bahwa ada bagian tertinggi dan ada bagian terendah dari permukaan yang anda lihat. Jika seandaiknya permukaan bumi yang berupa gunung, bukit, dan lembah tersebut kita misalkan sebagai fungsi z = f(x,y), maka puncak gunung tertinggi merupakan nilai absolut maksimum dan lembah terdalam merupakan nilai absolut minimum fungsi z = f(x,y).

Sebuah fungsi dua variabel f dikatakan mempunyai relatif maksimum pada titik (x0,y0) jika ada sebuah lingkaran yang berpusat di (x0,y0) sehingga berlaku f(x0,y0) >

f(x,y) untuk semua nilai (x,y) dalam domain f, dan fungsi f dikatakan mempunyai absolut maksimum di (x0,y0) jika f(x0,y0) > f(x,y) untuk semua nilai (x,y) dalam domain f.

Sebuah fungsi dua variabel f dikatakan mempunyai relatif minimum pada titik (x0,y0) jika ada sebuah lingkaran yang berpusat di (x0,y0) sehingga berlaku f(x0,y0) <

f(x,y) untuk semua nilai (x,y) dalam domain f, dan fungsi f dikatakan mempunyai absolut minimum di (x0,y0) jika f(x0,y0) < f(x,y) untuk semua nilai (x,y) dalam domain f.

Teorema 1 (Uji parsial satu)

Jika fungsi f mempunyai sebuah relatif ekstrim pada titik (x0,y0), dan jika turunan parsial pertamanya ada pada titik tersebut, maka

f_x(x₀,y₀) = 0 dan f_y(x₀,y₀) = 0 2.15 Teorema 2 (Uji parsial kedua)

Jika fungsi f mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu dalam lingkaran yang berpusat pada titik kritis (x₀,y₀), dan misalkan

) , ( ) , ( ).

,

(x₀ y₀ f x₀ y₀ f ² x₀ y₀ f

D= _{xx yy} − _xy 2.16

a. Jika D > 0 dan

( x

₀

, y

₀

)

> 0, maka fungsi f mempunyai relatif minimum di (x₀,y₀)

f

_xx

b. Jika D > 0 dan

( x

₀

, y

₀

)

< 0, maka fungsi f mempunyai relatif maksimum di (x₀,y₀)

f

_xx

c. Jika D < 0, maka fungsi f mempunyai saddle point di (x₀,y₀) d. Jika D = 0, maka tidak ada kesimpulan untuk digambarkan.

Contoh 2.10

Cari lokasi relatif ekstrim dan saddle point fungsi

f ( x , y ) = 3 x

²

− 2 xy + y

²

− 8 y

Penyelesaian:

Turunan parsial fungsi terhadap x dan y adalah

8 2 2 ) , ( 2

6 ) ,

( x y = x − y f x y = − x + y −

f

_{x y}

Titik kritis didapat dengan cara membuat nilai turunan sama dengan nol, sehingga didapat persamaan

6 x − y 2 = 0 0 8 2

2 + − =

− x y

Penyelesaian persamaan di atas akan mendapatkan x = 2 dan y = 6 sehingga titik (2,6) merupakan titik kritis fungsi f(x,y). Untuk menentukan relatif ekstrim kita perlu menurunkan sekali lagi fungsi f(x,y)

2 ) , ( 2

) , ( 6

) ,

( x y = f x y = f x y = −

f

_{xx yy xy}

Pada titik (2,6) akan didapat

...

8 ) 2 ( 2 . 6 ) 6 , 2 ( ) 6 , 2 ( ).

6 , 2

( − ² = − − ² =

= f_xx f_yy f_xy

D > 0

Karena D > 0 dan

f

_xx

( x , y ) = 6

> 0 maka fungsi tersebut mempunyai relatif minimum pada titik (2,6)

Latihan Soal 2.5

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!

Cari relatif minimum, relatif maksimum, dan saddle point fungsi berikut 1.

f ( x , y ) = 3 x

²

+ 2 xy + y

²

2.

f ( x , y ) = x

²

+ 2 y

²

− x

²

y

3.

f ( x , y ) = 2 xy

²

− x

²

y + 4 xy

4.

f ( x , y ) = x

²

+ y − e

^y 5.

f ( x , y ) = e

^x

sin y

g(x,y)=0

C

(x0,y0)

2.6 Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier)

Dalam subbab ini anda dikenalkan dengan istilah konstren (contraint).

Permasalahan lain dalam fungsi dua variabel adalah bagaimana menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi f(x,y) akibat konstren g(x,y) = 0, sedangkan permasalahan fungsi tiga variabel adalah bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x,y,z) akibat konstren g(x,y,z) = 0.

Satu cara untuk mengatasi permasalahan tersebut adalah menyelesaikan persamaan konstren dan mengsubstitusikan hasilnya dalam fungsi f. Fungsi hasil substitusi tersebut dapat berupa fungsi dua atau tiga variabel, yang selanjutnya dapat dimaksimalkan atau diminimalkan dengan cara menentukan titik kritisnya.

Namun demikian, jika persamaan konstren sangat rumit untuk diselesaikan dalam satu variabel, maka kita akan memerlukan teknik lain. Pada bagian ini, kita akan mempelajari teknik lain tersebut, yang dikenal dengan metode Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier).

Misalkan kita mempunyai problem bagaimana meminimalkan atau memaksimalkan fungsi f(x,y) akibat konstren g(x,y) = 0. Grafik dari g(x,y) biasanya merupakan beberapa kurva C pada bidang xy.

Gambar 2.2

Secara geometrik, kita akan menentukan nilai maksimum atau nilai minimum fungsi f(x,y) di atas kurva konstren C. Jika (x0,y0) adalah titik pada kurva konstren C, maka kita dapat mengatakan bahwa f(x,y) mempunyai sebuah constrained relative maximum di titik (x0,y0) jika ada sebuah lingkaran yang berpusat di (x0,y0), sehingga berlaku

f(x0,y0) > f(x,y) 2.17

untuk sembarang titik (x,y) pada C dalam lingkaran tersebut.

Kita misalkan fungsi f dan dan fungsi g adalah fungsi dua variabel dan turunan parsial pertamanya adalah kontinu pada selang dimana mempunyai kurva konstren g(x,y)=0 dan diasumsikan bahwa ∇g ≠ 0 pada sembarang titik di kurva tersebut.

Jika fungsi f mempunyai constrained relative maximum, dan nilai maksimum tersebut berada pada titik (x0,y0) dimana gradien vektor ∇f(x0,y0) dan ∇g(x0,y0) adalah paralel, maka terdapat sebuah bilangan λ, yang disebut Lagrange multiplier (pengali Lagrange) sehingga berlaku

∇f(x0,y₀) = λ ∇g(x0,y₀) 2.18

Contoh 2.11

Pada titik koordinat berapa pada lingkaran x² + y² = 1 sebuah fungsi xy mempunyai nilai maksimum?

Penyelesaian:

Kita mempunyai fungsi f(x,y) = xy akibat konstren g(x,y) = x² + y² – 1 = 0

∇f = yi + xj dan ∇g = 2xi + 2yj

Dari persamaan gradien tersebut dapat dikatakan bahwa ∇g ≠ 0 pada sembarang titik di lingkaran x² + y² = 1, dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa ada sebuah constrained relative extremum

∇f = λ ∇g atau yi + xj = λ (2xi + 2yj)

Persamaan tersebut ekivalen dengan persamaan y = 2xλ dan x = 2yλ atau dapat ditulis

x y

= 2

λ

dan

y x

= 2

λ

. Jika persamaan ini disubstitusikan, akan didapat

y x x y

2

2 =

atau y² = x².

Substitusikan persamaan y² = x² pada x² + y² = 1 akan didapat 2x² – 1 = 0 atau

2

= 1

x

dan

2

− 1

=

x

. Jika kedua nilai x tersebut kita substitusikan pada persamaan y² = x² , kita akan mendapatkan

2

± 1

=

y

. Sehingga terdapat empat koordinat yang kemungkinan terdapat nilai maksimumnya, yaitu:

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

2 , 1 2 1 2

, 1 2 1 2

, 1 2 1 2

, 1 2

1 dan

Dari empat koordinat tersebut, yang mempunyai nilai maksimum hanya koordinat

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

2 , 1 2 1 2

, 1 2

1 dan

Latihan Soal 2.6

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!

Gunakan Lagrange multiplier untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi f akibat konstren yang diberikan, dan tentukan koordinat titik maksimum atau minimumnya.

1.

f ( x , y ) = xy 4 x

²

+ y 8

²

= 16

2.

f ( x , y ) = x

²

− y x

²

+ y

²

= 25

3.

f ( x , y ) = 4 x

³

+ y

²

2 x

²

+ y

²

= 1

4.

f ( x , y ) = x − 3 y − 1 x

²

+ y 3

²

= 16

5.

f ( x , y ) = 2 x + y − 2 z x

²

+ y

²

+ z

²

= 4