Fungsi Bernilai Vektor

) 3 ( 2

:

R

R

f



Definisi

Fungsi bernilai vektor adalah suatu aturan yang

memadankan setiap dengan tepat satu vektor

t



R

) 3 ( 2 ) (t R F   Notasi : 1 2 1 2

( )

( )

( )

( ),

( )

t

F t



f t i



f t j



f t

f t

1 2 3

( )

( )

( )

( )

t

F t

f t i

f t j

f t k

   







1

ˆ

ˆ

1.

F t

( )



t



2

i

 

(

t

3)



j

ˆ

ˆ

ˆ

( )

cos

sin

2.

F t



t i



t j k



2 ˆ

ˆ

( )

ln

6

3.

F t

i

t j

t

 



_{ }





 

Contoh :  Daerah Asal (D_F )



|

f1 f2 f3



F

D



t



R t



D



D



D

 Daerah Hasil (R_F )



3



( )

|

F F

R



F t



R t



D

Contoh : Tentukan Domain dari

_F



_t

_

_t

_



_i

_

_t

_

1 

_j

)

3

(

2

)

(

Jawab : 1( ) 2 f1 [2, ) f t  t   D   1 2( ) ( 3) f 2 {3} f t  t   D  R



f1 f 2



F

D

 

t

R t



D



D

 



t

R t

[2, )

R

3



 

   

 



t

[2, )

3



[2,3)

(3, )

   



 

Jadi

2 ˆ

ˆ

2.

F t

( )

ln

i

6

t j

t

 



_{ }





 

1

2

( )

ln

f t

t

 

  

_{ }

2( ) 6 f t   t 1

(0, )

f

D







2

(

, 6]

f

D



 



f1 f 2



F

D

 

t

R t



D



D



t

R t

(0, )

(

, 6]



 

   

(0, 6]



Jawab:

Latihan

Tentukan daerah asal dari fungsi vektor berikut

ˆ

ˆ

( )

(

4)

1.

F t

 

t

i



t j

2

ˆ

ˆ

( )

4

2.

F t

  

t i



t j

1

_ˆ

_ˆ

( )

(

4)

3.

F t

i

t j

t







2

1

_ˆ

_ˆ

( )

4.

F t



i



t j

Persamaan Parameter

Persamaan kurva di ruang dalam bentuk parameter:

ˆ

ˆ

ˆ

( )

cos

sin

1.

F t



t i



t j t k



1

( ) ;

2

( ) ;

3

( ) ,

x



f t

y



f t

z



f t

t



I

Contoh :

cos ,

sin ,

x

t y

t

z

t

 





ˆ

ˆ

( )

(

4)

2.

F t

 

t

i



t j

  

x

(

t

4) ,

y



t

Garis

0

w



w



v



P₀=(x₀,y₀,z₀) P(x,y,z) x z

Garis adalah himpunan semua titik P sehingga

0

0

P P



t v

0

w

w t v

  

v =

0

w



w



t v

Jika _w _{ x, y,z } 

_

_

0 0 0 0

x

,

y

,

z

w







c

b

a

v

,

,

at

x

x



₀



bt

y

y



₀



ct

z

z



₀



Maka persamaan garis dalam bentuk parameter:

(Persamaan garis dalam bentuk vektor) vektor yang sejajar dengan garis

Contoh

1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,-5,2) dan sejajar vektor<-1,2,3>

Jawab: _{x, y,z  4,5,2 t 1,2, 3}

t

x



4



t

y





5



2

t

z



2



3

Contoh

2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3,-1) dan (5,-1,-4)

Jawab:

2 3 ;

3 2 ;

1 3

x

 

t

y

  

t

z

  

t

Sehingga Persamaan parameter garis tersebut: Vektor yang sejajar dengan garis tersebut adalah

5 2, 1 3, 4 1

3, 2, 3

v

      



Latihan

1.

Tentukan persamaan parameter dari garis yang

melalui pasangan titik yang diberikan:

a.

(1, -2, 3), (4 , 5, 6)

b.

(2, -1, 5), (7, -2, 3)

c.

(4, 2, 3), (6, 2, -1)

2.

Tuliskan persamaan parameter garis yang melalui

titik yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang

diberikan

a. (4,-6,3), <-2,1,5>

b. (2,5,-3) , <,-1,4,2>

Grafik Fungsi Bernilai Vektor



Misalkan

D_f=[a,b] 1

ˆ

2

ˆ

( )

( )

( )

F t



f t i



f t j

] [ atb f(b) (t) f  (a) f  c y x

Jika

t

berubah sepanjang [a,b]  ujung-ujung

f

(

t

)

menjelajahi lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu disebut titik pangkal lengkungan C

) (a f

disebut titik ujung lengkungan C

) (b f

 kurva C disebut kurva tertutup

) ( ) (a f b f Jika 

Grafik fungsi vektor



Grafik fungsi bernilai vektor berupa

lengkungan/kurva di R

2(3)

dengan arah tertentu



Cara menggambar grafik fungsi vektor :

1.

Tentukan persamaan parameter dari kurva

2.

Tentukan persamaan Cartesius kurva(eliminasi

parameter t ) dan gambarkan

Contoh

Gambarkan grafik fungsi vektor

ˆ

ˆ

1.

F t

( )



3cos

t i



2sin

t j

; 0

 

t

2



Persamaan parameternya: x = 3 cos t y = 2 sin t





x/3 = cos t y/2 = sin t cos2 _{t + sin}2 _{t =1} 2 2 1 3 2 x y   _  _         Arahnya (ellips) ) 0 , 3 ( ˆ 3 ) 0 (  i  F ) 2 , 0 ( ˆ 2 ) 2 (  j  F



) 0 , 3 ( ˆ 3 ) (   i   F



) 2 , 0 ( ˆ 2 ) 2 3 (   j   F



) 0 , 3 ( ˆ 3 ) 2 (  i  F



3 -3 2 -2 x y C

Persamaan parameternya: 2

4

x

y

 



Arahnya: (parabola)

ˆ

(0)

4

( 4, 0)

F

   

i

ˆ

(4)

2

(0, 2)

F



j



-4 2 x y C

ˆ

ˆ

( )

(

4)

; 0

4

2.

F t

 

t

i



t j

 

t

y



t

4

y



x



4

4

x

    

t

t

x

Latihan

2

ˆ

ˆ

2.

F t

( )



4



t i



t j

;

  

2

t

2

2

ˆ

ˆ

( )

4

;

2

2

1.

F t

 

t i



t j

  

t

Gambarkan grafik fungsi vektor berikut:



2



ˆ





ˆ

4.

F t

( )



t



2

t i

 

t

3

j

;

  

2

t

3





ˆ

ˆ

( )

4

1

2

; 0

3

3.

F t



t



i



t j

 

t

2 2

ˆ

ˆ

( )

;

5.

F t

  

t i

a



t j

  

a

t

a

Ekivalen



Fungsi

f t dan g t

( )

( )

menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan arah yang sama pula.

disebut ekivalen jika

 Contoh

_ˆ

_ˆ

( )

cos

sin

, 0

f t



a

t i



a

t j

 

t



2 2

ˆ

ˆ

( )

,

g t

  

t i

a



t j

  

a

t

a

Norm 1 ˆ 2 ˆ 3 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) f t  f t i  f t j  f t k



 

2

 

2



2

( )

( )

( )

( )

f t



f t



f t



f t

Misalkan maka norm dari

f t

( )

( )

( )

Sifat fungsi vektor

k t f j t f i t f t f( )  ₁( )ˆ ₂( )ˆ ₃( ) ˆ Misalkan dan g(t)  g₁(t)ˆi g₂(t)ˆj  g₃(t)kˆ  cos ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (t g t f₁ t g₁ t f₂ t g₂ t f₃ t g₃ t f t g t f        1. k t g t g t f t f j t g t g t f t f i t g t g t f t f t g t g t g t f t f t f k j i t g x t f ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ ) ( ) ( 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 1 3 2 1       2.



f t g t



c



f t g t



i c



f t g t



j c



f t g t



k c ( )  ( )  ₁( )  ₁( ) ˆ ₂( ) ₂( ) ˆ ₃( ) ₃( ) ˆ 3. c =konstanta

Limit

Definisi

lim

( )

0

0 0

( )

ta

f t

          

L





t a



f t

 

L



Ilustrasi ) ( a L (t) f L -(t) f y x

.

a+ a- ε

Teorema

1 ˆ 2 ˆ

( ) ( ) ( )

f t  f t i  f t j

Misalkan , maka

_{f t}

_{( )}

mempunyai limit di a

 f₁(t) dan f₂(t) mempunyai limit di a, dan



1

 

ˆ

2



ˆ

lim

( )

lim ( )

lim

( )

ta

f t



ta

f t

i



ta

f t

j

Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):

              t j t t i t t t 9 ˆ 6 ˆ 3 9 lim . 1 2 2 ₂ 3     _  e j t i t t t t ˆ ˆ sin lim . 2 0 t t t tlim ln( ), ln . 3 2 0 

Jawab

              t j t t i t t t 9 ˆ 6 ˆ 3 9 lim . 1 2 2 ₂ 3 t j t t i t t t t 9 ˆ 6 lim ˆ 3 9 lim 2 ₂ 3 2 3           















t



t



j t t i t t t t t ˆ 3 3 2 3 lim ˆ 3 3 3 lim 3 3             





j t t i t t t 3 ˆ 2 lim ˆ 3 lim 3 3 _              j i ˆ 6 5 ˆ 6        _  e j t i t t t t ˆ ˆ sin lim . 2 0 e j t i t t t t t ˆ lim ˆ sin lim 0 0     i j i 0ˆ ˆ ˆ_{ } 

t t t tlim ln( ), ln . 3 2 0  tlim ln(t ), tlim0 t lnt 2 0         ln( ) lim 2 0 t t

karena (tidak ada)

Maka t t t tidak ada

tlim ln( ), ln

2 0

Latihan

Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):              t j t t i t t t 2 ˆ 6 ˆ 4 2 lim . 1 ₂ 2 2            t t j t i t t t ˆ 3 2 1 ˆ sin lim . 2 2₂ t e t t 1 , lim . 3 1/ 0 

Turunan

1

ˆ

2

ˆ

3

ˆ

( )

( )

( )

( )

f t



f t i



f t j



f t k

Definisi: Misalkan 1 2 3 1 2 3 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim h f t h i f t h j f t h k f t i f t j f t k f t h   _{    }  _{  }       3 3 1 1 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) _ˆ ( ) ( ) _{ˆ ˆ} lim h f t h f t f t h f t f t h f t i j k h h h           _   _   3 3 1 1 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) _ˆ ( ) ( ) _{ˆ ˆ}

lim lim lim

h h h f t h f t f t h f t f t h f t i j k h h h             1'( ) ˆ 2 '( ) ˆ 3'( ) ˆ f t i f t j f t k    ˆ ˆ ˆ '( ) '( ) '( ) '( ) f t  f t i  f t j  f t k Jadi

Contoh

2 ˆ 2 ˆ ( ) (2 3) t f t  t  i e j. Tentukan 1. Diketahui f '(0) dan f ''(0) Jawab 2

ˆ

ˆ

"( )

8

4

t

f

t



i



e j





ˆ

2

ˆ

'( )

2 2

3 2

2

t

f t



t



i



e j





ˆ

2

ˆ

8

t

12

i

2

e j

t







ˆ

ˆ

'(0) 12

2

f



i



j

ˆ

ˆ

''(0)

8

4

f



i



j

i. ii.

Contoh

ˆ

ˆ

( )

cos 2

t

f t



t i



e j

Tentukan 2. Diketahui

.

'( )

''( )

a f t dan f t

.

'(0)

''(0)

b sudut antara f

dan f

Jawab a.

_{'( )}

_{2sin 2}

ˆ

t

ˆ

_,

f t

 

t i



e j

f ''( )t  4cos 2t iˆe jt ˆ b.

f

'(0)



ˆ

j

;

f "(0)   4iˆ ˆj

'(0). "(0)

cos

'(0)

"(0)

f

f

f

f





1 17 

_

1

1

cos

17



_















Latihan





1

ˆ

2

ˆ

2

ˆ

( )

tan

t

ln

1

f t





t i



t e



j



t



k

Tentukan 1. Diketahui '(0) f dan

_f

_''(0)

2

ˆ

3

ˆ

( )

t

ln( )

r t



e i



t

j

Tentukan 2. Diketahui

[ ( ). '( )]

t

D r t r t

3. Tentukan

r t

'( )

dan

r t

"( )

a. b.





2

ˆ

ˆ

( )

t t t

r t



e



e



i



e j

5/ 3

ˆ

ˆ

( ) tan

2

r t



t i



t

j

Arti Geometris

D_f=[a,b] ] [ a t b h) (t f  (t) f (t) f -h) (t f   c z y x O P Vektor

f t

(

h

)

f t

( )

_,

_h

₀

h

 

_

_{searah dengan vektor}

(

) - ( )

f t



h

f t

Jika

h

 0, maka

merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada saat 0

(

)

( )

lim

'( )

h

f t

h

f t

f t

h



 



f D  t

Garis Singgung

D_f=[a,b] ] [ atb

)

(t

f



₀ ) (t ' f ₀ c z y x O P

Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah

0 0

( )

( )

'( )

x t



f t



t f t

atau 1 0 2 0 3 0 1 0 2 3 0

, ,

( ),

( ),

( )

'( ),

'( 0),

'( )

x y z

f t

f t

f t

t

f t

f

t

f

t





  



Contoh

ˆ

ˆ

ˆ

( )

cos

sin

f t



t i



t j t k



Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, ). Diketahui

ˆ

ˆ

ˆ

'( )

sin

cos

f t

 

t i



t j k



Jawab: t₀ = waktu saat P tercapai, yaitu t₀ = 

ˆ

ˆ

ˆ

'( )

0

( 1)

f





i

 

j k



ˆ

ˆ

ˆ

( )

( 1)

0

f



 

i



j





k

0, 1, 1    1, 0,



 

Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, ) adalah x = –1, y = – t , z =  + t

Latihan

ˆ

ˆ

( )

3sin

4cos

f t



t i



t j

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4). 1. Diketahui



2



ˆ

ˆ

ˆ

( )

t

sin

t

cos

1

f t



e

t i



e

t j

 

t

k

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1). 2. Diketahui





ˆ



2



ˆ

( )

2

2

3

2

f t



t



i



t



j

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–2, –2). 3. Diketahui

Gerak Sepanjang Kurva

Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter

x = f(t); y = g(t). maka

menyatakan vektor posisi dari titik P.

j

t

g

i

t

f

t

r



(

)



(

)

ˆ



(

)

ˆ

Jika t berubah  ujung vektor



r

(

t

)

bergerak sepanjang lintasan titik P.

Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva

Definisi

1. Kecepatan

2. Percepatan

jˆ

)

t

(

'

g

iˆ

)

t

(

'

f

)

t

(

'

r

)

t

(

v











titik P adalah

)

t

(

v



di sebut laju titik P

)

t

(

v



jˆ

)

t

(

''

g

iˆ

)

t

(

''

f

)

t

(

''

r

)

t

(

a











titik P

)

t

(

a



di sebut besar percepatan

)

t

(

a



pada saat t 1. Gerak Linear

q

)

t

(

h

p

)

t

(

r











2. Gerak pada Lingkaran

real

fungsi

)

t

(

h

;

tetap

vektor

q

,

p





3. Gerak pada ellips

0

a

,

jˆ

t

sin

a

iˆ

t

cos

a

)

t

(

r









0

b

,

a

,

jˆ

t

sin

b

iˆ

t

cos

a

)

t

(

r









4. Gerak pada heliks Lingkaran

kˆ

t

b

jˆ

t

sin

a

iˆ

t

cos

a

)

t

(

r















Contoh

Contoh Gerak Sepanjang Kurva

Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah

x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P.

b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan

c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai

Jawab

a. Persamaan parameter x = 3 cos t y = 2 sin t





x/3 = cos t y/2 = sin t cos2 _{t + sin}2 _{t =1} 1 2 3 2 2               x y _(ellips) 3 -3 2 -2 x y

.

P (t) a (t) v b. r(t)  3cost ˆi  2sint ˆj j t i t t v t r'( )  ( )  3sin ˆ 2cos ˆ   

t t t v_{( )  9 sin}2 _{ 4cos}2



t t



t t t t 2 2 2 2 2

2 _{4 sin 4cos 5 sin 4 sin cos}

sin 5       4 sin 5 2 _  t

b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = /2, 3/2 yaitu pada titik (0, ±2)

Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0, 

Latihan

Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak

pada bidang adalah

x = 4 cos

t

dan y = 3 sin

t

(t = waktu)

a. Gambarkan grafik lintasan P.

b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan

percepatan

c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan

pada saat mana nilai itu dicapai

Kelengkungan

Andaikan a



t



b,

r



(

t

)



f

(

t

)

i

ˆ



g

(

t

)

ˆ

j

vektor posisi titik P.

Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah

Laju titik yang bergerak itu adalah



 













b a t a 2 2

du

)

u

(

'

r

du

)

u

(

'

g

)

u

(

'

f

s



)

(

)

(

'

t

v

t

r

dt

ds









)

(

1

t

v

ds

dt





 Definisi. Vektor Singgung Satuan di P, Notasi

T



(

t

)

didefinisikan sbb Apabila P bergerak 

)

(

)

(

)

(

'

)

(

'

)

(

t

v

t

v

t

r

t

r

t

T

_













berubah arah

)

(

t

T



x o y

disebut vektor kelengkungan di P

ds

T

d



 Kelengkungan di P;  (kappa).

Dengan aturan rantai diperoleh

Jadi

)

(

)

(

'

)

(

1

)

(

'

t

v

t

T

t

v

t

T

ds

dt

dt

T

d

ds

T

d



















dan

ds

T

d







disebut jari-jari kelengkungan

)

(

)

(

'

t

v

t

T

ds

T

d















1



R

12

,

ˆ

sin

8

ˆ

cos

8

)

(

.

1

_r



_t

_

3

_t

_i

_

3

_t

_j

_di

_titik

_P

_pada

_t

_



Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari Jawab: j t t i t t t v t

r'( ) _ ( ) _{ }24cos2 sin ˆ_ 24sin2 cos ˆ

t t

t t

t

v_{( )  24 cos}4 _sin2 _{ sin}4 _cos2

j t i t t v t v t T cos ˆ sin ˆ ) ( ) ( ) (        t t t t t

t sin (cos sin ) 24 cos sin cos 24 2 2 2 _ 2 _  j t i t t T'( )  sin ˆ cos ˆ t t t t t t t t v t T t 2 sin 12 1 sin cos 24 1 sin cos 24 cos sin ) ( ) ( ' ) (    2  2   



Contoh:

6 1 2 1 . 12 1 6 sin 12 1 12 2 sin 12 1 ) 12 (                      









6 1  



R (Jari-jari kelengkungan)

Jadi kelengkungan (



) kurva diatas di t= /12 adalah 1/6, Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6

Latihan

Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan

2

pada

titik

di

,

ˆ

cos

ˆ

sin

)

(

.

1

r



t



e

t

t

i



e

t

t

j

P

t





 

1

ˆ

,

di

titik

pada

1

ˆ

2

)

(

.

2

r



t



t

i



t

2



j

P

t



2

1

pada

titik

di

,

ˆ

4

ˆ

4

)

(

.

3

r



t



t

2

i



t

j

P

t



9

pada

titik

di

,

ˆ

ˆ

3

cos

ˆ

3

sin

)

(

.

5

r



t



t

i



t

j



t

k

P

t





6

pada

titik

di

,

ˆ

4

ˆ

cos

8

ˆ

sin

8

)

(

.

4

r



t



t

i



t

j



t

k

P

t





Teorema

Andaikan

x

=

f

(

t

)

dan

y

=

g

(

t

)

adalah persamaan parameter

kurva yang mulus. Maka

   



2 2



32 ' ' " ' " ' y x x y y x   



Khususnya, untuk kurva dengan persamaan

y =g(x),

berlaku

 



2



32 ' 1 " y y  



Contoh

1. Tentukan kelengkungan elips

x = 2 cos t, y = 3 sin t

pada titik t = 0 dan t = /2 Jawab: x’ = –2 sin t x” = –2 cos t y’ = 3 cos t y” = –3 sin t Kita peroleh

   



2 2



32 ' ' " ' " ' y x x y y x    



 





2 2



32 2 2 cos 3 sin 2 cos 6 sin 6 t t t t    



2 2



32 cos 9 sin 4 6 t t   Sehingga





3 6 ) 0 (  

 

2 6   3 6 ) 2 (            4 3 

2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 _{di P(1, 1)} Jawab: y’ = 2x y” = 2 Kita peroleh

 



2



32 ' 1 " y y  



 



_{1 2} 2



32 2 x   Sehingga

25

5

2

5

2

2 / 3





 

 



_{1 2.1} 2



32 2 1  



Latihan

Tentukan kelengkungan kurva berikut di titik P

1.

y = x

2

– x

, di P(1,0)

2.

r

(t)=(

t+t

3

)

i

+ (

t+t

2

)

j

, di P(2,2)

3.

r

(t)=2

t

2

i

+ (4

t

+2)

j

, di P(2,-2)