DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

(1)

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika)

Hendra Gunawan^∗

∗Dosen FMIPA - ITB E-mail: [email protected].

December 6, 2007

(2)

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal 10.2 Titik Stasioner

11.3 Teorema Nilai Rata-rata

Hendra Gunawan DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

(3)

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c ∈ (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila

f (x ) ≤ f (c)

untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c.

Titik c dalam hal ini disebut sebagai titik maksimum lokal.

Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog.

(4)

Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c

(5)

Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘puncak’ di atas titik c.

Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘lembah’ di atas titik c.

(6)

Jika f (c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b), maka tentunya f mencapai nilai maksimum lokal di c.

Namun sebaliknya belum tentu benar.

(7)

Contoh 1

Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinsikan sebagai

f (x ) =

x + 2, x < −1,

|x|, x ≥ −1.

Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di −1, namun f (−1) = 1 bukan merupakan nilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0, namun f (0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R.

(8)

Teorema 2

Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c ∈ (a, b).

Jika f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f⁰(c) = 0,

(9)

Bukti. Menurut definisi turunan, f (x ) − f (c)

x − c → f⁰(c)

untuk x → c. Misalkan f⁰(c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No.

4, terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga f (x ) − f (c)

x − c > 0 (1)

untuk x ∈ (c − δ, c + δ), x 6= c. Sekarang misalkan x ∈ (c, c + δ) sembarang. Maka, x − c > 0 dan (1) memberikan f (x ) − f (c) > 0 atau f (x ) > f (c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya misalkan x ∈ (c − δ, c) sembarang. Maka, x − c < 0 dan (1) memberikan f (x ) − f (c) < 0 atau f (x ) < f (c).

Jadi f juga tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.

(10)

Hal serupa terjadi ketika f⁰(c) < 0. Jadi, jika f⁰(c) 6= 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f⁰(c) = 0, belum tentu f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

(11)

Soal Latihan

1 Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada (−2, 2) dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapi f (1) bukan merupakan nilai maksimum f pada (−2, 2).

2 Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titik tetapi f tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut.

(12)

Titik c dengan f⁰(c) = 0 disebut titik stasioner f . Sebagaimana telah dinyatakan sebelumnya, tidak semua titik stasioner

merupakan titik maksimum atau minimum lokal.

Sebagai contoh, jika f (x ) = x³, maka f⁰(x ) = 3x², sehingga 0 merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f . Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi f .

(13)

(14)

Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh, fungsi f (x ) = x²sin¹_x untuk x 6= 0 dan f (0) = 0 mempunyai turunan f⁰(0) = 0 tetapi 0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi.

(15)

Teorema 3 (Teorema Rolle)

Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Jika f (a) = f (b), maka

f⁰(c) = 0 untuk suatu c ∈ (a, b).

(16)

Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka

menurut sifat kekontinuan f mencapai nilai maksimum M di suatu titik c₁ ∈ [a, b] dan juga mencapai nilai minimum m di suatu titik c2∈ [a, b].

Misalkan c₁ dan c₂ adalah titik-titik ujung [a, b]. Karena

f (a) = f (b), maka m = M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f⁰(c) = 0 untuk setiap c ∈ (a, b).

Misalkan c₁ bukan titik ujung [a, b]. Maka c₁ ∈ (a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal di c₁. Menurut Teorema 2, f⁰(c1) = 0. Hal serupa terjadi bila c2 bukan titik ujung [a, b].

(17)

Soal Latihan

1 Diketahui f (x ) = x |x |, x ∈ R. Tunjukkan bahwa 0

merupakan titik stasioner. Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0.

2 Misalkan f : R → R mempunyai turunan di setiap titik dan f⁰(x ) = x² untuk setiap x ∈ R. Buktikan bahwa

f (x ) = ¹₃x³+ C , dengan C suatu konstanta.

(18)

Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata)

Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Maka

f⁰(c) = f (b) − f (a) b − a untuk suatu c ∈ (a, b).

Catatan. Nilai f (b)−f (a)

b−a disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f (a)) dan (b, f (b)). Kesimpulan Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f (x ) terdapat suatu titik (c, f (c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b].

(19)

Bukti. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai F (x ) = f (x ) − hx

dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F (a) = F (b), yakni

h = f (b) − f (a) b − a .

Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F⁰(c) = 0 untuk suatu c ∈ (a, b). Namun

F⁰(c) = f⁰(c) − h = 0, sehingga teorema pun terbukti.

(20)

Soal Latihan

1 Diketahui f (x ) =√

x . Tentukan nilai rata-rata f pada [0, 4].

Tentukan c ∈ (0, 4) sedemikian sehingga f⁰(c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.

2 Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Buktikan jika f⁰(x ) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f konstan pada [a, b].