MA3231 Analisis Real TEOREMA NILAI RATA-RATA

(1)

MA3231 Analisis Real

Hendra Gunawan*

*http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology

Bandung, INDONESIA

Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

(2)

BAB 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

1 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal

3 10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor

(3)

BAB 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

2 10.2 Titik Stasioner

(4)

2 10.2 Titik Stasioner

(5)

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal

Misalkanf terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b)dan c∈(a, b).

Kita katakan bahwaf mencapai nilai maksimum lokal di capabila f(x)≤f(c)

untuk setiap xdalam suatu interval terbuka I yang memuatc.

Titik cdalam hal ini disebut sebagai titik maksimum lokal.

Nilai dan titik minimum lokaldidefinisikan secara analog.

(6)

Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c

(7)

Secara intuitif,f mencapai nilai maksimum lokal dic apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘puncak’ dix=c.

Serupa dengan itu,f mencapai nilai minimum lokal di capabila grafiknya mempunyai sebuah ‘lembah’ di x=c.

Jikaf(c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval(a, b), maka tentunyaf mencapai nilai maksimum lokal dic.

Namun sebaliknya belum tentu benar, nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimumf.

(8)

Contoh 1. Misalkanf :R→Radalah fungsi yang didefinisikan sebagai

f(x) =

x+ 2, x < −1,

|x|, x≥ −1.

Maka,f mencapai nilai maksimum lokal di−1, namun f(−1) = 1 bukan merupakan nilai maksimumf padaR.

Demikian pulaf mencapai nilai minimum lokal di 0, namunf(0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R.

(9)

Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan

c∈(a, b). Jika f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal dic, makaf⁰(c) = 0.

Bukti. Menurut definisi turunan, f(x)−f(c)

x−c →f⁰(c)

untukx→c. Misalkanf⁰(c)>0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatuδ >0 sedemikian sehingga

f(x)−f(c)

x−c >0 (1)

untukx∈(c−δ, c+δ), x6=c. Akibatnya, jika x∈(c, c+δ), maka f(x)−f(c)>0 atau f(x)> f(c), dan jika x∈(c−δ, c), maka f(x)−f(c)<0 atau f(x)< f(c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal dic.

Hal serupa terjadi ketika f⁰(c)<0. Jadi, jika f⁰(c)6= 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

(10)

Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f⁰(c) = 0, belum tentuf mencapai nilai maksimum atau minimum lokal dic.

SOAL

1 Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada (−2,2) dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapif(1) bukan merupakan nilai maksimum f pada (−2,2).

2 Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titik tetapif tidak mencapai nilai maksimum atau

minimum lokal di titik tersebut.

(11)

10.2 Titik Stasioner

Titik cdengan f⁰(c) = 0 disebut titik stasioner f.

Sebagaimana telah dicatat sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum lokal.

Sebagai contoh, jikaf(x) =x³, maka f⁰(x) = 3x², sehingga 0 merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f.

(Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksif, yaitu titik terjadinya perubahan kecekungan grafik fungsif.)

(12)

Gambar 10.2 Grafik fungsi f(x) = x³

(13)

Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh, fungsi

f(x) =

x²sin¹_x, x6= 0,

0, x= 0

mempunyai turunan di 0, yaituf⁰(0) = 0, tetapi 0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi.

Fungsi yang lebih ekstrim dapat ditemukan di literatur, anda mungkin tertarik mencarinya.

(14)

Teorema 3 (Teorema Rolle). Misalkanf kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada(a, b). Jika f(a) =f(b), maka f⁰(c) = 0 untuk suatu c∈(a, b).

Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka menurut sifat kekontinuan f mencapai nilai maksimum M di suatu c₁ ∈[a, b]

dan mencapai nilai minimum m di suatu c₂ ∈[a, b].

Misalkanc₁ dan c₂ adalah titik-titik ujung[a, b]. Karenaf(a) =f(b), makam=M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f⁰(c) = 0 untuk setiap c∈(a, b).

Jikac₁ bukan titik ujung [a, b], maka c₁ ∈(a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal dic₁. Menurut Teorema 2, f⁰(c₁) = 0. Hal serupa terjadi bilac₂ bukan titik ujung [a, b].

(15)

Gambar 10.3 Teorema Rolle menjamin adanya garis singgung dengan gradien 0.

(16)

Gambar 10.4 Michel Rolle (1652-1719) adalah adalah matematikawan Perancis yang terkenal dengan Teorema Rolle, yang

diperlukan dalam pembuktian Teorema Nilai Rata-rata dan uraian

(17)

SOAL

1 Diketahui f(x) = x|x|, x∈R. Tunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner. Selidiki apakahf mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0.

2 Beri contoh sebuah fungsif yang terdefinisi pada[a, b],

mempunyai turunan pada(a, b), dan f(a) = f(b), namun tidak adac∈(a, b) dengan f⁰(c) = 0.

(18)

Gambar 10.5 Brook Taylor (1685-1731) adalah matematikawan Inggris yang terkenal dengan Teorema Taylor (untuk fungsi yang

(19)

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor

Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut.

Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Maka

f⁰(c) = f(b)−f(a) b−a untuk suatu c∈(a, b).

(20)

Catatan. Nilai ^f(b)−f_b−a^(a) disebut nilai rata-rataf pada[a, b].

Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik(a, f(a)) dan (b, f(b)).

Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y=f(x) terdapat suatu titik(c, f(c))dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rataf pada [a, b].

Secara fisis, jika y=f(t) menyatakan posisi suatu partikel yang bergerak (sepanjang garis lurus) pada saatt, maka f⁰(t)menyatakan kecepatan sesaatpada saat t dan ^f(b)−f(a)_b−a menyatakan kecepatan rata-rata partikel tersebut pada interval waktu[a, b]. Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa partikel tersebut akan mencapai kecepatan rata-ratanya pada suatu saat c∈(a, b).

(21)

Bukti Teorema 4. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai F(x) = f(x)−hx

denganh konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F(a) = F(b), yakni

h= f(b)−f(a) b−a .

Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F⁰(c) = 0 untuk suatu c∈(a, b). Namun

F⁰(c) = f⁰(c)−h= 0, sehingga teorema pun terbukti.

(22)

Jikaf mempunyai turunan dic, maka persamaan garis singgung pada kurvay =f(x)di titik (c, f(c))adalah

y=f(c) + (x−c)f⁰(c).

Untukx dekat c, nilaif(c) + (x−c)f⁰(c) merupakan hampiran yang

’baik’ untukf(x).

Namun seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini?

(23)

Lebih jauh, misalkanf mempunyai turunan ke-(n−1)di c. Maka polinom

P(x) = f(c)+(x−c)f⁰(c)+(x−c)²

2! f⁰⁰(c)+· · ·+(x−c)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁻¹⁾(c) mempunyai turunan ke-k, k = 0,1, . . . , n−1, yang sama dengan turunan ke-k dari f.

Karena itu masuk akal untuk menghampiri f(x) dengan P(x) untuk xdi sekitar c. Namun, sekali lagi, seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini.

Teorema Taylor (pada halaman berikut) menjawab pertanyaan tersebut.

(24)

Teorema 5 (Teorema Taylor). Misalkan f mempunyai turunan ke-n pada interval terbukaI yang memuat titik c. Maka, untuk setiap x∈I, berlaku

f(x) = f(c) + (x−c)f⁰(c) + (x−c)²

2! f⁰⁰(c) +· · · +(x−c)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁻¹⁾(c) +E_n

denganE_n = _n!¹(x−c)ⁿf⁽ⁿ⁾(ξ) untuk suatu ξ di antara x dan c.

(25)

Bukti. Untuk t di antara xdan c, definisikan

F(t) = f(x)−f(t)−(x−t)f⁰(t)− · · · − (x−t)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁻¹⁾(t).

Perhatikan bahwa

F⁰(t) =−(x−t)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁾(t).

Sekarang definisikan

G(t) = F(t)−x−t x−c

n

F(c).

Maka,G(x) =G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξ di antara x dan csedemikian sehingga G⁰(ξ) = 0.

(26)

Tetapi

G⁰(ξ) =F⁰(ξ) + n(x−ξ)ⁿ⁻¹ (x−c)ⁿ F(c)

=−(x−ξ)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁾(ξ) + n(x−ξ)ⁿ⁻¹ (x−c)ⁿ F(c).

Dari sini kita peroleh

F(c) = (x−c)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(ξ) dan teorema pun terbukti.

(27)

SOAL

1 Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Buktikan jika f⁰(x) = 0 untuk setiap x∈(a, b), maka f konstan pada [a, b].

2 Misalkan f :R→R mempunyai turunan di setiap titik dan f⁰(x) = x² untuk setiap x∈R. Buktikan bahwa

f(x) = ¹₃x³ +C, dengan C suatu konstanta.

3 Diketahui f :R→R memenuhi ketaksamaan

|f(x)−f(y)| ≤C|x−y|^p, x, y ∈R,

untuk suatu C >0 dan p > 1. Buktikan bahwa f konstan.

4 Misalkan c∈R dan n ∈N. Buktikan dengan menggunakan Teorema Taylor bahwa

(1 +c)ⁿ = 1 +nc+n(n−1)

2! c²+· · ·+cⁿ. (Petunjuk. Tinjau f(x) =xⁿ.)