INTEGRAL TENTU FUNGSI ALJABAR
B.
Merumuskan dan Menghitung Luas Suatu Daerah
Dari uraian terdahulu, telah dijelaskan bahwa salah satu penerapan penting konsep integral adalah untuk menentukan luas suatu daerah. Berikut ini akan diuraikan lebih dalam tentang aturan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral
(a) Luas daerah yang dibatasi oleh satu kurva
Rumus 1
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) garis x = a dan garis x = b serta sumbu x dirumuskan :
L =
b
a
dx f(x)
Rumus 2
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) garis x = a dan garis x = b serta sumbu x dirumuskan :
L =
p
a
dx f(x) +
b
p dx f(x)
Berikut akan diurakan beberapa contoh penerapannya
Contoh
01 Tentukanlah luas daerah yang diarsir pada gambar disamping
Jawab
Fungsi integral : y = 2x + 6 Batas integral : x = 1 dan x = 4
Sehingga : L =
4
1
dx 6)
(2x (menggunakan rumus 1)
L = x2 6x
L = [42 + 6(4)] – [12 + 6(1)] L = [40] – [7]
L = 33 satuan luas
02 Jika persamaan parabola disamping adalah y = 3x2 + 6x – 24, maka luas daerah yang
diarsir adalah …
Jawab
Fungsi integral : y = 3x2 + 6x – 24 Batas integral : 3x2 + 6x – 24 = 0
x2 + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0 x1 = 2 dan x2 = –4
Jadi batas integral adalah x = 0 , x = 2 dan x = 3
Sehingga : L =
2
0
dx ) 24 6
(3x2 x +
3
2
dx ) 24 6
(3x2 x (rumus 2)
L = x33x2 24x + x33x2 24x
L = │[23 + 3(2)2– 24(2)] – [03 + 3(0)2–24(0)]│ + │[33 + 3(3)2– 24(3)]
– [23 + 3(2)2–24(2)]│
L = │[8 + 12 – 48] –[0]│ + │[27 + 27 – 72] – [8 + 12 –48]│ L = │–28 –0│ + │–18 – (–28)│
L = │–28│ + │10│
L = 28 + 10
L = 38 satuan luas
03. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – 6 dan sumbu-X dalam interval x = 1 dan x = 5
Jawab
Fungsi integral : y = 2x – 6 Batas Integral
y = 2x – 6 y = 0
0
2
2 3
2x – 6 = 0 2x = 6 x = 3
1
3 5
O y
Jadi batas integral : x = 1 , x = 3 , x = 5
Sehingga : L =
3
1
dx ) 6
(2x +
5
3
dx ) 6
(2x (rumus 2)
L = x26x + x2 6x
L = │[(3)2– 6(3)] – [(1)2–6(1)]│ + │[(5)2– 6(5)] – [(3)2–6(3)]│
L = │[9 – 18] – [1 –6]│ + │[25 – 30] – [9 –18]│
L = │–9 – (–5)│ + │–5 – (–9)│
L = │–4│ + │4│
L = 8 satuan luas
04. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = cos x dan sumbu-X dalam interval x = 0 dan x = π
Jawab
Fungsi integral : y = cos x Batas Integral
y = cos x y = 0
Jadi batas integral : x = 0 ,
x = π/2 x = π
Sehingga : L =
π/20
cosx. dx +
ππ/2
dx .
cosx (rumus 2)
L = sin x + sin x
L = sin0 2
sin +
2 sin
sin
L = │1 –0│ + │0 –1│ L = │1│ + │–1│
L = 1 + 1
L = 2 satuan luas
1 3
3
5
cos x = 0 x = π/2
x = 3π/2 O π/2
y
x
π
0
π/2
05. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x2– 6x – 9 dan sumbu-X dalam interval x = 1 dan x = 4
Jawab
Fungsi integral : y = 3x2– 6x – 9 Batas Integral
y = 3x2– 6x – 9 y = 0
Jadi batas integral : x = 1 , x = 3 , x = 4
Sehingga : L =
3
1
dx ) 9 6 (3 2
x
x +
4
3
dx ) 9 6
(3x2 x (rumus 2)
L = x3 3x2 9x + x33x2 9x
L = │[(3)3– 3(3)2– 9(3)] – [(1)3– 3(1)2–9(1)]│ + │[(4)3– 3(4)2– 9(4)]
– [(3)3– 3(3)2–9(3)]│
L = │[27 – 27 – 27] – [1 – 3 –9]│ + │[64 – 48 – 36] – [27 – 27 –27]│
L = │–27 – (–11)│ + │–20 – (–27)│
L = │–16│ + │7│
L = 16 + 7
L = 23 satuan luas
06. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x2 + 6x – 9 dan sumbu-X Jawab
Fungsi integral : y = 3x2 + 6x – 9 Batas Integral
y = 3x2 + 6x – 9 y = 0
Sehingga : L =
1
3 2
dx ) 9 6
(3x x (rumus 1)
L = x33x29x 3x2– 6x – 9 = 0 x2– 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 x1 = 3 dan x2 = –1
1 3
3
4
1 3
4 O
y
x
3x2 + 6x – 9 = 0 x2 + 2x – 3 = 0 (x + 3)(x – 1) = 0 x1 = –3 dan x2 = 1
1 3
O y
x
3
L =
(1)33(1)29(1)
–
(3)33(3)29(3)
L = 139272727
L = 32
L = 32 satuan luas
Rumus praktis
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = ax2 + bx + c dan sumbu X dirumuskan
L = 2
6a D D
y = ax2 + bx + c
Sehingga : y = 3x2 + 6x – 9
D = 62– 4(3)(–9) = 36 + 108 = 144
Jadi L = 2
6a D D
L =
2 6(3)
144 144
L =
6(9) 144(12)
L =
9 288
L = 32 satuan luas
07. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x2– 18x + 27 , sumbu-X dan sumbu-Y
Jawab
Fungsi integral : y = 3x2– 18x + 27 Batas Integral
y = 3x2– 18x + 27 sumbu-X y = 0 3x
2–
18x + 27 = 0 x2– 6x + 9 = 0 (x – 3)(x – 3) = 0 x = 3
3 O
y
Jadi batas integral adalah x = 0 (sumbu-Y) dan x = 3
Sehingga : L =
3
0
dx ) 27 18
(3x2 x (rumus 1)
L = x39x2 27x
L = [(3)39(3)2 27(3)] – [(0)39(0)2 27(0)] L = 2781810
L = 27 satuan luas
(b) Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva
Rumus 1
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) dalam interval x = a
dan x = b dirumuskan :
L =
b
a
2 1 y ]dx
[y atau
L =
b
a
dx g(x)]
[f(x)
Rumus 2
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1
= f(x) dan y2 = g(x) dalam interval x = a
dan x = b dirumuskan :
L =
p
a
1 2 y ]dx
[y +
b
p
2 1 y ]dx [y
L =
p
a
dx f(x)]
[g(x) +
b
p
dx f(x)] [g(x)
0
2 4
x y
2 2
x y
08. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – 2 dan y = 2x + 2 dalam
interval x = 3 dan x = 5 …
Jawab
Fungsi integral : y = 4x – 2
y = 2x + 2 Batas Integral y = 4x – 2 y = 2x + 2
Jadi batas integral adalah x = 3 dan x = 5
Sehingga : L =
5
3
dx )] 2 2 ( ) 2
[(4x x (rumus 3)
L =
5
3
dx )] 2 2 2
[(4x x
L =
5
3
dx )] 4 [(2x
L = x2 4x
L = [(5)2 4(5)] – [(3)2 4(3)] L = 2520912
L = 8 satuan luas
09. Tentukana luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 2 dan y = –3x + 2 dalam interval x = –2 dan x = 3
Jawab
Fungsi integral : y = x – 2
y = –3x + 2 Batas Integral y = x – 2 y = –3x + 2
Jadi batas integral adalah x = –2 , x = 1 , x = 3
4x – 2 = 2x + 2 4x – 2x = 2 + 2 2x = 4
x = 2
3
5
3 O
y
x 5
2
x – 2 = –3x + 2 x + 3x = 2 + 2 4x = 4
x = 1
3 O
y
x 1
2
Sehingga : L =
Batas IntegralTentukanlah luas daerah yang diarsir pada gambar si samping
y = 2x2– 8 y = –2x2 + 8
y = –2x2 + 8
x =
Soal tersebut dapat pula diselesaikan dengan cara rumus praktis, yaitu y = 6x2– 6
y = 6x + 6
maka D = b2 4ac = (1)2 4(1)(2) = 1 + 8 = 9
Jadi L = 6.
2 6a
D D
L = 6
2 6(1)
9 9
L = 6
6 27
L = 27 satuan luas
11.
Jawab
2x2– 8 = –2x2 + 8 x2– 4 = 0
(x – 2)(x + 2) = 0 x1 = 2 dan x2 = –2
Jadi batas bawah –2 dan batas atas 1 y = –2(1)2 + 8 = 6 Titiknya (1, 6)
sehingga
1 2
1
y y
y y
=
1 2
1
x x
x x
maka
0 6
0 y
=
2 1
2 x
atau y = 2x + 4
x2 + 4 = ax
beserta garis g dan h membatasi daerah D. Hitunglah luas daerah d tersebut
y = 6x – 4x2 y = x2
x y
II I
O
13. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan sumbu-X dibagi oleh parabola y = x2
menjadi dua bagian. Perbandingan luas kedua bagian itu adalah ….
Jawab
x2 = 6x – 4x2 2x2– 6x = 0 x2– 3x = 0 x(x – 3) = 0
1
x = 0 x2= 3
1
L =
3
0
2 2 x ]dx
x x 6
[ =
3
0
2]dx
x 2 x 6 [
=
6
0
3
2 x
3 2 x
3
= 2 .33 3 2 3 .
3 – [0] = 9
1
L + L2 =
3
0
2
dx ] x x 6
[ =
6
0
3
2 x
3 1 x
3
= 2 .63 3 1 6 .
3 – [0] = 36
Maka L2 = 36 – 9 = 27