05 Merumuskan dan Menghitung Volume Benda Putar

0 lim



x limx0 limx0

INTEGRAL TENTU FUNGSI ALJABAR

I. Merumuskan dan Menghitung Volume Benda Putar

Aplikasi lain dari teori integral adalah untuk menghitung volume benda putar. Benda putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi). Dalam hal ini sumbu rotasi adalah sumbu-X dan sumbu-Y.

Misalkan suatu daerah D dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-X, garis x = a dan garis x = b, seperti pada gambar di samping. Jika daerah D diputar 3600 mengelilingi sumbu-X, maka diperoleh suatu benda putar.

Volum benda putar ini dapat dirumuskan dengan menggunakan proses limit jumlah.

Ambil elemen daerah persegi panjang dengan lebar x dan tinggi y = f(x). Jika daerah itu diputar 3600 mengelilingi sumbu-X, maka diperoleh elemen silinder tegal dengan jari-jari y = f(x) dan tinggi x.

Volum dari elemen silinder itu adalah :

1 V

 = .y2.x = .[f(x)]2.x

Dengan menggunakan proses limit suatu jumlah, volum benda putar adalah :

V = . 1

 

 n

i i

V = . . . 1

2

 

 n

i

x y

 = .[ ( )] . . 1

2

 

 n

i

x x f



Bentuk limit jumlah di atas dapat dituliskan dengan menggunakan notasi integral tentu sebagai berikut :

V =



b

a 2

dx y

 atau V =



b

a (x) 2

dx f



Dengan cara yang sama, dapat diperoleh rumus volum benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) jika diputar mengelilingsi sumbu Y dalam interval y = a dan y = b, yaitu

V =



b

a 2

dy x

 atau V =



b

a (y) 2

dy f



Selanjutnya akan di uraikan beberapa rumus menentukan volum benda putar, yang dibatasi oleh satu kurva atau dua kurva dalam interval tertentu, jika diputar 3600 mengelilingi sumbu-X dan sumbu-Y, yakni sebagai berikut :

a _b

) (x f y

O x

y

x



Rumus 1

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) jika diputar mengelilingsi sumbu X dalam interval x = a dan x = b akan membentuk benda putar .

Volume benda putar dirumuskan :

V =



b

a 2

dx y

 atau V =



b

a (x) 2

dx f



Rumus 2

Daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) jika diputar mengelilingsi sumbu Y dalam

interval y = a dan y = b akan membentuk benda putar .

Volume benda putar dirumuskan :

V =



b

a 2

dy x

 atau V =



b

a (y) 2

dy f



Rumus 3

Daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x)

dan y2 = g(x) jika diputar mengelilingsi

sumbu X dalam interval x = a dan x = b akan memben-tuk benda putar .

Volume benda putar dirumuskan :

V =





b

a

) 2 y 2

dx 2 1 (y

 atau V =





b

a

] (x) 2 g (x) 2

dx [f



Rumus 4

Daerah yang dibatasi oleh kurva x1 = f(y)

dan x2 = g(y) jika diputar mengelilingsi

sumbu Y dalam interval y = a dan y = b akan memben-tuk benda putar .

Volume benda putar dirumuskan :

V =





b

a

) 2 x 2

dy 2 1 (x

 atau V =





b

a

] (y) 2 g (y) 2

dy [f

y = Berikut ini akan diberikan beberapa contoh soal tentang volum benda putar

[image:3.595.78.537.102.737.2]

01. Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang diarsir pada gambar di samping diputar 3600 mengelilingi sumbu-X

Jawab

Fungsi integral : y = 3x + 5

Batas integral : x = 1 dan x = 3

Maka volumenya :

V =



3

1 2

dx y



V =



 3

1

2 dx 5) (3x



V =



 

3

1 2

dx 25) 30x (9x



V = [ x3 x2 25x]

2 30

3 9

 



V = [3x315x225x]

V =

  

_[3(3)3_15(3)2 _{25(3)][3(1)}3_15(1)2 _25(1)]



V = 



[8113575][31525]



V = 



29143



V = 248 satuan volum

02. Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang diarsir pada gambar di samping diputar 3600 mengelilingi sumbu-Y

Jawab

Fungsi integral : y = x 3

2 1



y + 3 = x

2 1

Jadi fungssinya x = 2y + 6

Batas integral : y = 0 dan y = 3

1 3

Maka volumenya : V =



3 0 2 dy x 

V =



 3 0 2 dy 6) (2y 

V =



 

3 0 2 dy 36) 24y (4y 

V = [ y3 12y2 36y]

3 4    V =   

 _{   (0) 12(0) 36(0)]}

3 4 [ (3)] 36 12(3) (3) 3 4

[ 3 2 3 2



V = 



[36108108][0]



V = 252 satuan volum

03. Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = (2x – 3)2 diputar 3600 mengelilingi sumbu-X dalam interval x = 0 dan x = 3 Jawab

Fungsi integral : (2x – 3)2

Batas integral : x = 0 dan x = 3 y = (2x – 3)2

y = 0

Jadi batasnya : x = 0 , x = 3/2 dan x = 3 Maka volumenya :

V = 3 3/2 2 3/2 0 2 dx y dx y





  

V = =









3 3/2 2 2 3/2 0 2

2 _{dx (2x 3) dx}

3)

(2x





   



V = (2x 3) (2x 3) 3 3/2 3/2 0 dx dx 4 4





    

V = [ (2 3)4 1] ) 1 4 ( 2 1 _   x

 + [ (2 3)4 1] ) 1 4 ( 2 1 _   x 

V = [ (2 3)5]

10 1



x

 + [ (2 3)5]

10 1  x  V =     _{  }   

 5 5

) 3 (2[0] 10 1 ) 3 2 3 (2 10 1  +     _     

 5 5

) 3 2 3 (2 10 1 ) 3 [3] (2 10 1  0 3

(2x – 3)2 = 0 2x – 3 = 0 2x = 3 x = 3/2

V =

  

 _ 5_{ } 5

) 3 (0 10

1 ) 3 3 ( 10

1

 +

  

 _ 5_{ } 5

) 3 (3 10

1 ) 3 6 ( 10

1 

V =

  

 5_{ } 5

) 3 ( 10

1 (0) 10

1

 +

  

 5_ 5

(0) 10

1 ) 3 ( 10

1



V =

  

 _{  )}

10 243 ( 0

 +

  

 _0

10 243 

V =  10 243

+  10 243

V =  10 486

V =  5 243

satuan volum

04. Tentukanlah volum benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh lingkaran x2 + y2 = 4 dikuadran I dan IV diputar 3600 mengelilingi sumbu-Y

Jawab

Fungsi integral : x2 + y2 = 4 y2 = 4 – x2 y = 4x2 Batas integral : x2 + y2 = 4

x = 0

Jadi batas integral : y = 0 dan y = 2 Maka volumenya :

V =



2

0 2

dy x



V =



  

 

2

0

2 2

dy 4 y



V =



  

 

2

0

2 dy 4 y



V = [4 y3]

3 1



y



V =

  

_{[4(2) (2)}3_{][4(0) (0)}3_] 3 1

3 1



V =

  

_{[8 ][0]}

3 8



V =  3 16

satuan volum

0 2

[image:6.595.90.477.69.745.2]

05. Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang diarsir pada gambar di samping diputar 3600 mengelilingi sumbu-X

Jawab

Fungsi integral : y = x2 y = 2 – x2 Batas integral : y = x2

y = 6 – x2

Jadi batas integral : x = – 3 dan x = 3 Maka volumenya :

V =





b

a

) 2 y 2

dx 2 1 (y



V = _

  

 _{ }

 3

3

dx ) (6 )

(x2 2 x2 2



V =









  

3

3

dx ) x 12 (36

x4 x2 4



V =









 



3

3

dx ) x 12 36

x4 x2 4



V =











3

3

dx ) 36 12x2



V = [ 3 36x]

3 12



x



V = [4x336x]

V = [4( 3)336( 3)][4( 3)3 36( 3)] V =  4 2736 34 2736 3

V =  4(3 3)36 34(3 3)36 3

V =  12 336 312 336 3

V =  36 3 = 36 3 satuan volum x2 = 6 – x2 2x2– 6 = 0 x2– 3 = 0

(x – )(x + ) = 0

x1 = dan x2 = –

3

 3

3

 3

y

x O

2 x

x – 2y = 0 x + y = 9

06. Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang diarsir pada gambar di samping diputar 3600 mengelilingi sumbu-Y

Jawab

Fungsi integral : x + y = 9 maka x = 9 – y x – 2y = 0 maka x = 2y Batas integral : x = 9 – y

x = 2y

Jadi batas integral : y = 0 dan y = 3 Maka volumenya :

V =





b

a

) 2 2

dy 2 1 (x x



V =





 



3

0

2 2 _{(2y) dx} )

(9 y



V =





  



3

0

2 2

dx 4y 18

81 y y



V =





 



3

0

2

dx y 3 18 81 y



V = [81y9y2 y3]

V =

  

_[81(3)9 2_ 3_{]  [81(0)9} 2_ 3_] ) 0 ( ) 0 ( )

3 ( ) 3 (



V = 



[2438127]  [0]



V = 135 satuan volum

E.  3 32

sat. volum 0

3