Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
5. 4. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.
Aplikasi Integral
Luas Daerah
Volume Benda Putar
Luas Daerah Dibatasi Kurva
Diputar Mengelilingi Sumbu X
Diputar Mengelilingi Sumbu Y
Volume Benda Antara Dua Kurva
Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva
� = ∫
=
=
=
� = − ∫ =
=
=
� = − ∫ =
= =
� = ∫
=
=
=
� = − ∫ + ∫
=
= =
=
� = ∫[ − ]
= = = =
� = ∫[ − ]
= =
=
=
=
� = � ∫( ) =
=
� = � ∫( )
= =
=
� = � ∫ [( ) − ( ) ]
=
=
= =
= =
= =
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Luas Daerah)
Luas Daerah
Dibatasi
Diketahui
Garis Memotong
Dua Kurva
Lebar dan Tinggi
Kurva di Titik Puncak
� = − adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: + + = . Persamaan kuadrat tersebut diperoleh
dari persekutuan kedua kurva.
� =�√�
� = × Lebar × Tinggi
Lebar
Tinggi
� = × Lebar × Tinggi
Lebar Tinggi
� � =
� =
X Y
X Y
X Y
,
� � =
� =
X Y
Contoh Soal 1a:
Luas daerah yang dibatasi parabola = − dan garis = adalah ....
a. 36 satuan luas
b. satuan luas
c. satuan luas
d. 46 satuan luas
e. satuan luas
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Titik potong parabola dengan garis adalah: =
⇒ = −
⇔ − − =
⇔ − + =
⇔ + − =
⇔ + − =
⇔ + = atau − = ⇔ = − atau =
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = − dan = . Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah.
Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
� = ∫ [ − ]
−
Nah, sekarang kita menentukan dan . Pada interval batas integrasi − , berlaku .
Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:
= − dan =
Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
� = ∫ [ − − ] −
Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.
� = ∫ [ − − ] −
= ∫ − − +
−
= [− − + ]
−
= − − + + − − − − + −
= (− − + ) − ( − − )
= (− − + ) − ( − − )
= − (− )
= +
=
= satuan luas X Y
=
Contoh Soal 1b:
Luas daerah yang dibatasi parabola = − dan garis = adalah ....
a. 36 satuan luas
b. satuan luas
c. satuan luas
d. 46 satuan luas
e. satuan luas
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva.
Titik potong parabola dengan garis adalah: =
⇒ = −
⇔ − − =
⇔ − + =
⇔ + − =
⇔ + − =
⇔ + = atau − = ⇔ = − atau =
Dari persamaan kuadrat + − = , diperoleh nilai diskriminan:
� = − ⇒ � = − −
= + =
Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:
� =�√�= √ = × = satuan luas
Stop sampai sini aja.
Contoh Soal 2a:
Luas daerah yang dibatasi kurva = , = + , sumbu Y di kuadran I adalah ....
a. satuan luas
b. satuan luas
c. satuan luas
d. 8 satuan luas
e. satuan luas
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Titik potong parabola dengan garis adalah: =
⇒ = +
⇔ − + =
⇔ − − =
⇔ + − =
⇔ + = atau − = ⇔ = − atau =
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = − dan = . Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis = dan = .
Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
� = ∫ [ − ]
Nah, sekarang kita menentukan dan . Pada interval batas integrasi , berlaku .
Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:
= + dan =
Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:
� = ∫ [ + − ]
Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.
� = ∫ [ + − ]
= ∫ − + +
= [− + + ]
= − + + + − + +
= (− + + ) −
=− + +
= satuan luas X
Y
Contoh Soal 2b:
Luas daerah yang dibatasi kurva = , = + , sumbu Y di kuadran I adalah ....
a. satuan luas
b. satuan luas
c. satuan luas
d. 8 satuan luas
e. satuan luas
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Titik potong parabola dengan garis adalah: =
⇒ = +
⇔ − + =
⇔ − − =
⇔ + − =
⇔ + = atau − = ⇔ = − atau =
Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut:
=
−
{Luas daerah arsir} = { luas segiempat, alas 2 dan tinggi 4} – {luas segitiga, alas 2 dan tinggi − = }
� � = �□ − �∆
= −
= −
= −
= satuan luas Y
X = +
2 4
2
=
2 4
2 Y
X 2
4
2 Y
X 2
4
2 Y
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Volume Benda Putar)
Volume Benda Putar
Dibatasi Kurva
dan Garis Sumbu
� = − adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: + + = . Persamaan kuadrat tersebut adalah
persamaan kurva pada soal.
X
Contoh Soal 1a:
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva = − dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....
a. 8 � satuan volume
b. � satuan volume
c. � satuan volume
d. � satuan volume
e. � satuan volume
Pembahasan:
Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:
Titik potong parabola dengan sumbu X adalah: =
⇒ − =
⇔ − =
⇔ = atau − = ⇔ = atau =
Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = dan = .
Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar.
Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:
� = � ∫ [ ]
Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa:
= −
Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:
� = � ∫ [ − ]
Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu.
� = � ∫ [ − ]
= � ∫ − +
= � [ − + ]
= � [( − + ) + ( − + )]
= � [( − + ) − ]
= � [ − + ]
= � satuan volume X
Contoh Soal 1b:
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva = − dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....
a. 8 � satuan volume
b. � satuan volume
c. � satuan volume
d. � satuan volume
e. � satuan volume
Pembahasan TRIK SUPERKILAT:
Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar.
Titik potong parabola dengan garis adalah: =
⇒ − =
⇔ − =
⇔ = atau − = ⇔ = atau =
Dari persamaan kuadrat − = , diperoleh nilai diskriminan:
� = − ⇒ � = −
=
Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:
� =� √� � = √ � = × � = � satuan volume.
Stop sampai sini aja.
Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y
x
2
4
x
3
dan
y3xadalah ....
A.
6 41satuan luas
B.
3 19satuan luas
C.
2 9satuan luas
D.
3 8satuan luas
E.
6 11satuan luas
2.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y
x
2
3
x
4
dan
y1xadalah ....
A.
3 2satuan luas
B.
3 4satuan luas
C.
4 7satuan luas
D.
3 8satuan luas
E.
3 15satuan luas
3.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y
x
2
4
x
3
dan
y x1adalah ....
A.
6 41satuan luas
B.
3 19satuan luas
C.
2 9satuan luas
D.
3 8satuan luas
E.
6 11satuan luas
TRIK SUPERKILAT: = ⇒ − + = − ⇔ − = � � � = − = � =�√�= √∙ == satuan luas
Luas daerah diarsir:
� = ∫ − = ∫ − − − + = ∫ − + = [− + ] = (− + ) − (− + ) = (− + ) −
= satuan luas
TRIK SUPERKILAT:
Y X 3 1 3 = − = − + TRIK SUPERKILAT: = ⇒ − + = − ⇔ − + = � � � = − = � =�√�= √∙ == satuan luas
Luas daerah diarsir:
� = ∫ − = ∫ − − − + = ∫ − + − = [− + − ] = (− + − ) − (− + − ) = (− + − ) − (− + − )
= satuan luas Y X 4 3 3 = − = − +
-1 1
TRIK SUPERKILAT: = ⇒ + + = − ⇔ + + = � � � = − = � =�√�= √∙ =
= satuan luas
Luas daerah diarsir:
� = ∫ − = ∫− − − + + − = ∫ − −− − − = [− − − ] − − = − − − − − − − − − − − − − = ( − + ) − − +
4.
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva
y
x
2dan
y4x3diputar 360°
mengelilingi sumbu X adalah ....
A.
π15 11
13
satuan volume
B.
π15 4
13
satuan volume
C.
π15 11
12
satuan volume
D.
π15 7
12
satuan volume
E.
π15 4
12
satuan volume
5.
Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva
y
x
2dan
y2xdiputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....
A.
π15 11
3
satuan volume
B.
π15 4
4
satuan volume
C.
π15 4
6
satuan volume
D.
π15 6
6
satuan volume
E.
π15 1
17
satuan volume
6.
Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva
y
x
2dengan
y 2xdiputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....
A.
2πsatuan volume
B.
π15 1
3
satuan volume
C.
π15 4
4
satuan volume
D.
π15 4
12
satuan volume
E.
π15 2
14
satuan volume
Y X = − = − = = − +
Volume benda putar
� = � ∫ − = � ∫ − − = � ∫ − − = � ∫ − + − + = [− + − + ] = − + − + − − + − + = (− + − + ) − (− + − + ) = ( ) − ( )
= = satuan volume
3 1
Volume benda putar
� = � ∫ − = − � ∫ − − − = − � ∫ − = −� [ − ] = −� [( − ) − ( − )] = −� ( − ) = −� ( − )
= � = � satuan volume
Y X = − = − = − = − + 2 -4
Volume benda putar
� = � ∫ − = − � ∫ − = − � ∫ − = −� [ − ] = −� [( − ) − ( − )] = −� ( − ) = −� ( − )
= � = � satuan volume
