PENGGUNAAN INTEGRAL. 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar.

(1)

PENGGUNAAN INTEGRAL

1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.

2. Menghitung volume benda putar.

9

x2

y

Luas daerah di bawah

kurva Volume benda putar yang diputar

mengelilingi sumbu Y

(2)

=

= 2(2)³ – 2(2)² – [2(-1)³ – 2(-1)²] = 16 – 8 + 2 + 2 = 12

 

² 

1

2 4 dx

6x x



2x3 2x2



²_1

Integral Tentu Luas Daerah Luas Daerah

Hitunglah nilai dari ^

 

² 

1

2 4 dx

6x x

Contoh 1 :

Jawab

Next Back

Home

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai

Teorema Dasar Kalkulus

) ( F ) ( F )

(x dx b a

bf

a



 

 

^F⁽^x) _a^b

(3)

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

x

0 a ^x b

y

a

x

0 b

b

a

dx x f( )

Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral

Tentukan limitnya

n  

) (x f

 n

i f xi xi 1 ( )

) (x f

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

i n

i i

n b

a

x x

f dx

x f

L     

 

 1

) ( )

( lim

Next Back

Home

(4)

Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi L_i f(x_i) x_i

4. Jumlahkan luas partisi L   f(x_i) x_i

5. Ambil limitnya L = lim  f(x_i) x_i 6. Nyatakan dalam integral

x 0

y

) (x f y 

a

x_i

x_i

) (x_i

L_i f

 ^a f x dx

0 ( )

L

Next Back

Home

(5)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x², sumbu x, dan garis x = 3 Contoh 1.

Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya L_i  x_i² x_i 4. Jumlahkan luasnya L  x_i² x_i 5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim  x_i² x_i

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya

y

0

x 3

) 2

(x x f 

dx x

 ³

0

L 2

9

3 0

33 3

3 0

L

3

    

 



^x

L_i

x_i

x_i

i2

x

Jawab

Next Back

Home

(6)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x², sumbu Y, dan garis y = 4 Contoh 2.

Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya L  x_i.y 4. Jumlahkan luasnya L  y. y 5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim  y. y

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya

y

0

x

4

dy



y



4

0

. L

3

8

16

3 . 2 3

L 2

4

0 2 3



 



 



  y

Jawab

Next Back

Home

x_i

) 2

(x x f 

y

 y

(7)

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : L_i  (4x_i- x_i²)x_idan A_j -(4x_j - x_j²)x_j

3. Jumlahkan : L  (4x_i - x_i²)x_idan A

  -(4x_j - x_j²)x_j

4. Ambil limitnya L = lim  (4x_i - x_i²)x_i

dan A = lim  -(4x_j - x_j²)x_j 5. Nyatakan dalam integral

y

0 4 6 x

4 2

)

(x x x

f  

dx x

 x 

 ⁴

0

2) 4

(

L

^ 

⁶

^ x ^ x dx

4

2

) 4

( A

x_i

L_i

x_i

x_j

A_j

x_j 4x_ix_i2

) 4

(

0 xx²

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x², sumbu x, dan garis x = 6

Contoh 3.

Jawab

Next Back

Home

(8)

dx x

 x 

 ⁴

0

2) 4

( L

dx x

 ^ x ^



6

4

2

) 4

( A

y

0 4 6 x

4 2

)

(x x x

f  

x_i

L_i

x_i

x_j

A_j

x_j 4x_ix_i2

) 4

(

0 xx²



² ² ₃¹ ³



₀⁴

L  x  x

643 3

31

2 (4) 0 32

) 4 ( 2

L     



3 ³



⁶₄

2 1

2 A   x  x



² ¹₃ ³



3 3

2 1

) 4 ( )

4 ( 2 )

6 ( )

6 ( 2

A      

3 64 3

216

32

72 A      40

A 

¹⁵²₃



3 21 1 40

32 daerah

Luas  

⁶⁴₃



¹⁵²₃

 

Next Back

Home

(9)

Next Back

Home

Kesimpulan :





b

a

dy x

L .





b

a

dx y

L .

y

0

x

y

y

x 0

) (x f y 

x_i

x_i

) (x_i f

y

(10)

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.

1. Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : L_i  [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya :

L = lim  [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

a b

) (x f y

) (x g y  0

L_i x

x

x

) ( ) (x g x f 

Next Back

Home



^f ^x ^g ^x



^dx

b

a 

 ( ) ( ) L

(11)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x²dan garis y = 2 - x Contoh 4.

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x²= 2 – x  x² + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1

3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya

L_i  (2 - x- x²)x

dx x

 x

  

 ¹

2

2) 2

(

L 0

x

1 2

-1 -2

-3

x2

y  x

y 2 y

1 2 3 4 5

L_i

x

x ) 2

2

( x x

Jawab

Next Back

Home

(12)

dx x

 x

  

 ¹

2

2) 2

( L

0

x

1 2

-1 -2

-3

x2

y  x

y 2 y

1 2 3 4 5

L_i

x

x ) 2

2

( x x

 ²

₂² ₃³



¹₂

L  x 

^x



^x _



 



   

 





  

 2(1) ¹₂² ¹₃³ 2( 2) ⁽^₂²⁾² ⁽^²₃⁾³ L



² ₂¹ ₃¹

 

⁴ ² ₃⁸



L       

38 31

21 4 2

2

L      

21

21 4

5

L   

Next Back

Home

(13)

Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya.

) (x f y  y

a b

L_i

x

) ( ) (x gx f 

) ( 2 xf

A_i 0

x

) (x g y

Luas daerah =

^a

 f x dx

0

) (

2 ^

^b

_  ^ 

a

dx x

g x

f ( ) ( )

Next Back

Home

(14)

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

) ( )

(x x f y f

y   

y

0

x ) ( )

(x x g y g

y   

Luas daerah = ^d

_ 





c

dy y

f y

g( ) ( )

L_i y

c d

) ( ) (y f y

g 

Next Back

Home

(15)

Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y² = x, garis x + y = 6, dan sumbu x

Contoh 5.

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y²= 6 – y  y² + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2

3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya

L_i  (6 - y- y²)y

Luas daerah = ²_



^ ^



0

6 y y2 dy

y2

x 

y x 6

2 y 6

x 0

6

L_i y

y

) 2

6

( y y

Jawab

Next Back

Home

(16)

Luas daerah = ²_



^ ^



0

6 y y2 dy

y2

x 

y x 6

2 y 6

x 0

6

L_i y

y

) 2

6

( y y Luas daerah =

2

3 0 3 2

2

6 









  y  y

y

Luas daerah = 0

3 23 2

) 4 2 (

6   _^ 











Luas daerah =    

3 2 8

12

Luas daerah = 3 22

Home Back Next

(17)

Pendahuluan

Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

Volume Benda Putar

(18)

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan menyatakan

dalam integral tentu. ^{Gb. 4}

(19)

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram 2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

y

0 x

y

x

0 x

1 2

-

2 -

1 y

1 2 3 4

Next Back

Home

(20)

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Next Back

Home

(21)

Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

volumenya dapat diaproksimasi sebagai

V  r²hatau V   f(x)²x.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh:

V    f(x)² x V = lim   f(x)² x

dx x

a f

 

0

)]2

( [

v



x

h=x x

x y

0 x

y

a x )

(x f

) (x f r

Next Back

Home

(22)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x² + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

y

x 2

21 x

x

2 1

x y

1

y

h=x

x

21

x r

x

Jawab

Next Back

Home

(23)

y

h=x

x

21

x r

V  r²h

V  (x²+ 1)²x V   (x² + 1)² x V = lim  (x² + 1)² x

dx x

V  ²  0

2 2 1)

(

dx x

x

V  ²   0

2

4 2 1)

(



₅¹ ^x⁵ ₃² ^x³ ^x



²₀

V    



(³²₅  ¹⁶₃ 20) 13₁₅¹¹ V 

Next Back

Home

(24)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x², sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 8.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

2

y

y x2

y 

x y

y

x y

h=y y

y r

Jawab

Next Back

Home

(25)

V  r²h

V  (y)² y V   y y V = lim  y y

ydy

V ^



²

0





₂¹ ^y²



²₀

V 



) 0 4 (₂¹ 

 V

x y

h=y y

y r

2

ydy

V ^



²

0



 2 V

Next Back

Home

(26)

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin.

Next Back

Home

(27)

Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume

cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R² – r²)h

h r

R

Gb. 5

Next Back

Home

(28)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x² dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

4 y

y = 2x

2 x2

y 

x

x

x

x² 2x

y

x

Jawab

Next Back

Home

(29)

y

x 4

y

y = 2x

2 x2

y 

x

x

x

r=x² R=2x

V  (R² – r²) h

V   [ (2x)²–(x²)² ] x

V   (4x² – x⁴) x V    (4x² – x⁴) x V = lim   (4x² – x⁴) x

dx x

x V  ²_ 

0

4

2 )

4

 (



₃⁴ ^x³ ₅¹ ^x⁵



²₀

V    ) (³²₃  ³²₅





V

) (^160₁₅⁹⁶

  V

1564





V Back Next

Home

(30)

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.

Next Back

Home

(31)

r r

h

2r Δr

V = 2rhΔr

Next Back

Home

(32)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x² , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 10.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

0

x

1 2

x

x

x2

y 

x² y

1 2 3 4

Jawab

Next Back

Home

(33)

0

x

1 2

x

x

x2

y 

x² y

1 2 3 4

r = x

x

h = x²

0

x

1 2

y

1 2 3 4

V  2rhx

V  2(x)(x²)x V   2x³x V = lim  2x³x

dx x

V ^ ²

0

2 3

 

²

0

41 4

2 x

V  



 8 V

Next Back

Home

(34)

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan

sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut

membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.

0

x

1 2

-2 -1

y

1 2 3 4

V  (R² – r²)y

V  (4 - x²)y V   (4 – y)y V = lim  (4 – y)y



y



dx V ^ ⁴ ^

0

 4

 

⁴

0

21 2

4y y

V   



) 8 16

( 

 V



 8 V

0

x

1 2

x

x2

y  y

1 2 3 4

r=x y R = 2

(35)

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

(36)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

0 X

Y yx2

2

dx 4

x

2 0

2

dy y

4 0

dx x

4 0

2

dx x

 

2 0

2) 4

(

dx x

 

4 0

2) 4

(

Soal 1.

A B C

D E

(37)

Soal 1.

0 X

Y yx2

2

dx 4

x

2 0

2

dy y

4 0

dx x

4 0

2

dx x

 

2 0

2) 4

(

dx x

 

4 0

2) 4

(

A B C

D E

 L  (4 – x²) x L   (4 – x²) x L = lim  (4 – x²) x

dx x ) 4

( L ²

0

  2

 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Benar

(38)

Soal 1.

dx x

2 0

2

dy y

4 0

dx x

4 0

2

dx x

 

2 0

2) 4

(

dx x

 

4 0

2) 4

(

A B C

D E

0 X

Y yx2

2 4

x

x

4 - x²

 L  (4 – x²) x L   (4 – x²) x L = lim  (4 – x²) x

dx x ) 4

( L ²

0

  2

 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Salah

(39)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A B C

D E Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

0 X

Y 4 x2

y  

(40)

A B C

D E Soal 2.

4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas

0 X

Y 4 x2

y  

 L  (4 – x²) x L   (4 – x²) x L = lim  (4 – x²) x

dx x ) 4

( L ²

2

 2

 



( Jawaban E )



4 31 ³



²₂

L  x  x 

) 8 ( ) 8 (

L   ⁸₃    ₃⁸

32

10 L 3

32 



(41)

A B C

D E Soal 2.

4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas

0 X

Y 4 x2

y  

2 -2

x

x

 L  (4 – x²) x L   (4 – x²) x L = lim  (4 – x²) x

dx x ) 4

( L ²

2

 2

 



( Jawaban E )



4 31 ³



²₂

L  x  x 

) 8 ( ) 8 (

L   ⁸₃    ₃⁸

32

10 L 3

32 



(42)

A B C

D E Soal 3.

5 satuan luas

8 satuan luas

0 X

Y

8 x2

y   x y 2

(43)

A B C

D E Soal 3.

5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas

 L  (8 – x²-2x) x

dx x x 2 ) 8

( L ²

0

  2 

 L 9 ₃¹ ( Jawaban D )

3 28 





8 31 ³ ²



²₀

L  x  x  x

4 16

L   ₃⁸ 

0 X

Y

8 x2

y   x y 2

2

(44)

A B C

D E Soal 3.

5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas

0 X

Y

8 x2

y   x y 2

2

 L  (8 – x²-2x) x

dx x x 2 ) 8

( L ²

0

  2 

 L 9 ₃¹ ( Jawaban D )

3 28 





8 31 ³ ²



²₀

L  x  x  x

4 16

L   ₃⁸ 

(45)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y² dan garis x + y = 2 adalah ….

A B C

D E Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

PENGGUNAAN INTEGRAL. 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar.