APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan

APLIKASI INTEGRAL

9

2 x y

Luas daerah di bawah kurva berdsar prinsip Riemaan 2

x

y



Indikator 1 _{Indikator 2} x x y   2 4

PENERAPAN INTEGRAL

Volume benda putar, jika kurva diputar mengelilingi sumbu Y

= = 2(2)3 _{– 2(2)}2 _{– [2(-1)}3 _{– 2(-1)}2_] = 16 – 8 + 2 + 2 = 12





   2 1 2 _{4 dx} 6x x



₂ 3 ₂ 2



2₁   x x

Hitunglah nilai dari _





  2 1 2 _{4 dx} 6x x Contoh 1 : Jawab

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai Teorema Dasar Kalkulus

) ( F ) ( F ) (x dx b a f b a  

 

b a

x)

(

F

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y x 0 a x _b y a x 0 b  b a dx x f( )

Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral

Tentukan limitnya n   ) (x f   n i 1f(xi)xi ) (x f Luas Daerah i n i i n b a x x f dx x f L         1 ) ( ) ( _lim

Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: 1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi L_i  f(x_i) x_i

4. Jumlahkan luas partisi L   f(x_i) x_i

5. Ambil limitnya L = lim  f(x_i) x_i 6. Nyatakan dalam integral

x 0 y ) (x f y  a x_i x_i ) (x_i f L_i   a f x dx 0 ( ) L

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2_{, sumbu x, dan garis x = 3} Contoh 1. Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya L_i  x_i2 _x i 4. Jumlahkan luasnya L   x_i2 _x i

5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim  x_i2 _x

i

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y 0 x 3 2 ) (x x f  dx x   3 0 2 L 9 0 3 3 3 3 0 3 3

L



_



x

_









L_i x_i x_i 2 i x Luas Daerah Jawab

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2_{, sumbu Y, dan garis y = 4} Contoh 2. Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya L  x_i.y 4. Jumlahkan luasnya L   y. y 5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim  y. y

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y 0 x 4 dy y



 4 0 . L 3 16

8

.

3

2

3

2

L

4 0 2 3



















y

Jawab x_i 2 ) (x x f  y 

y



Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : L_i  (4x_i - x_i2_)x i dan A_j  -(4x_j - x_j2_)x j 3. Jumlahkan : L  (4x_i - x_i2)x_i dan A   -(4x_j - x_j2₎_x j

4. Ambil limitnya L = lim  (4x_i - x_i2₎_x i

dan A = lim  -(4x_j - x_j2_)x j

5. Nyatakan dalam integral

y 0 4 6 x 2 4 ) (x x x f   dx x x    4 0 2₎ 4 ( L







_x



_x

_dx

6 4 2

)

4

(

A

x_i L_i x_i x_j A_j x_j 2 4x_ix_i ) 4 ( 0 xx2 Luas Daerah

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2_{, sumbu x,}

dan garis x = 6

Contoh 3.

dx x x    4 0 2₎ 4 ( L

dx

x

x









6 4 2

)

4

(

A

y 0 4 6 x 2 4 ) (x x x f   xi L_i x_i x_j Aj xj 2 4x_ix_i ) 4 ( 0 xx2





4 0 3 31 2 2 L  x  x 3 64 3 31 2 _{(4) 0 32} ) 4 ( 2 L     





6 4 3 3 1 2

2

A





x



x



3



3 1 2 3 3 1 2

)

4

(

)

4

(

2

)

6

(

)

6

(

2

A













3 64 3 216

₃₂

72

A











40

A



152₃



3

1

21

40

32

daerah

Luas

152₃ 3 64











Luas Daerah

Kesimpulan :





b a

dy

x

L

.





b a

dx

y

L

.

y 0 x y  y x 0 ) (x f y  x_i x_i ) (x_i f y

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.

Langkah penyelesaian: 1. Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : L_i  [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya : L = lim  [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y b a ) (x f y ) (x g y  0 x L_i x x ) ( ) (x g x f 



f

x

g

x



dx

b a





(

)

(

)

L

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 _{dan garis y = 2 - x}

Contoh 4.

Langkah penyelesaian:

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 _{= 2 – x  x}2 _{+ x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0}

diperoleh x = -2 dan x = 1 3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya L_i  (2 - x - x2_)x

5. Nyatakan dalam integral tertentu

dx x x      1 2 2₎ 2 ( L 0 x 1 2 -1 -2 -3 2 x y  x y 2 y 1 2 3 4 5 L_i x x 2 ) 2 ( x x Luas Daerah Jawab

dx x x      1 2 2₎ 2 ( L 0 x 1 2 -1 -2 -3 2 x y  x y 2 y 1 2 3 4 5 L_i x x 2 ) 2 ( x x





1 2 3 2 3 2

2

L



_x



x



x _       _{  }        _{ }  1₃3 (2₂)2 (₃2)3 2 2 1 _{2( 2)} ) 1 ( 2 L



 

8₃



3 1 21 4 2 2 L        3 8 31 2 1 _{4 2} 2 L       21 21 4 5 L   

Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. ) (x f y  y a _b L_i x x ) ( ) (x gx f  ) ( 2 xf A_i 0 x ) (x g y

Luas daerah =

a

_

_f

_x

_dx

0

)

(

2



b

_







a

dx

x

g

x

f

(

)

(

)

Luas Daerah

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

) ( ) (x x f y f y    y 0 x ) ( ) (x x g y g y   Luas daerah =









d c dy y f y g( ) ( ) L_i y c d ) ( ) (y f y g 

Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 _{= x, garis x + y = 6,}

dan sumbu x

Contoh 5.

Langkah penyelesaian:

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y2 _{= 6 – y  y}2 _{+ y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0}

diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya L_i  (6 - y - y2_)y

5. Nyatakan dalam integral tertentu Luas daerah = 2_



 



0 2 6 y y dy 2 y x  y x 6 2 y 6 x 0 6 L_i y y 2 ) 6 ( y y Luas Daerah Jawab

Luas daerah = 



 



2 0 2 6 y y dy 2 y x  y x 6 2 y 6 x 0 6 L_i y y 2 ) 6 ( y y Luas daerah = 2 0 3 3 2 2 6           y y y Luas daerah = 0 3 3 2 2 4 ) 2 ( 6   _        Luas daerah = _   _ 3 8 2 12 Luas daerah = 3 22

PENERAPAN INTEGRAL

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi,

aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan menyatakan

Volume Benda Putar Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram 2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

y 0 x y x 0 1 2 x -2 -1 y 1 2 3 4



RUMUS DASAR TABUNG :

>> LUAS PERMUKAAN TABUNG

L = 2 x

π

x jari-jari x tinggi

L = 2 π r t

>> VOLUME TABUNG

V = luas alas x tinggi

V =

π

x (jari-jari)

2

x tinggi

Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat dianalogikan

seperti menentukan volume

mentimun dengan

memotong-motongnya sehingga tiap

Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

volumenya dapat diaproksimasi sebagai

V  r2_{h atau} _V   _f(x)2_x.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V    f(x)2 _x V = lim   f(x)2 _x dx x f a   0 2 )] ( [ v



x h=x x x y 0 x y x a ) (x f ) (x f r

dx

y

a





0 2

V



Volume Benda Putar x h=x x x y 0 x y x a ) (x f ) (x f r

dx

y

a

.

V

0 2







x h=y ) ( y f x r  y y y x ) ( ) (x x f y f y   x y ) (x f y

dy

x

a





0 2

.

V



Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 _{+ 1,}

sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 6.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Nyatakan dalam bentuk integral. y 2 x 1 2_ x x 1 2 _ x y 1 y h=x x x 1 2_ x r x Jawab dx y V 



2 0 . 2



dx

x

V







2 0 2 2

)

1

(



Volume Benda Putar y h=x x x 1 2_ x r dx

x

V







2 0 2 2

)

1

(



dx

x

x

V









2 0 2 4

)

1

2

(







2 0 3 3 2 5 51

x

x

x

V













(

32

₅



16

₃



2



0

)



13

₁₅

11



V

d x

y

V





2 0 . 2



Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_,

sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 7.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 2 y y 2 x y  x y y x y h=y y y r Jawab

Volume Benda Putar dy

y

V





2 0







2 0 2 21

y

V





)

0

4

(

₂1









V

x y h=y y y r 2 dy

y

V





2 0





2



V

dy

x

V





2 0 2

.



_{y = x}2

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan

memotong-motongnya yang potongannya

berbentuk cincin.

Volume Benda Putar

Menghitung volume benda putar

dengan menggunakan metode

cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume

cincin seperti gambar di samping,

yaitu V=



(R

2

_{– r}

2

_)h

h r R dan











b a

dx

y

y

V



₁2 ₂2

.











b a

dy

x

x

V



₁2 ₂2

.

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 _{dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.}

Contoh 8.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral. 4 y y = 2x 2 2 x y  x x x x2 2x y x Jawab

Volume Benda Putar y x 4 y y = 2x 2 2 x y  x x x r=x2 R=2x V  (R2 _{– r}2_{) h} V   [ (2x)2 _{– (x}2₎2 _{] x} dx x x V  2  0 4 2 ₎ 4 ( 





2 0 5 51 3 3 4 _{x x} V 





)

(

32₃



32₅





V

) (160₁₅96 



V



1564  V

dx

y

y

V







2 0 2 2 2 1

)

(



Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 _{, garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.}

Contoh 9.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil limitnya,

dan nyatakan dalam bentuk integral. 0

x 1 2 x x 2 x y  x2 y 1 2 3 4 Jawab

Volume Benda Putar

Metode kulit tabung yang

digunakan untuk menentukan

volume benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume roti pada

gambar disamping.

r r h h 2r Δr V = 2rhΔr a b





b a

dx

y

x

V

2



.

.

Volume Benda Putar 0 x 1 2 x x 2 x y  x2 y 1 2 3 4 r = x x h = x2 0 x 1 2 1 2 y 1 2 3 4 V  2rhx V  2(x)(x2_)x V   2x3_x V = lim  2x3_x dx x V  2_ 0 3 2





2 0 4 41 2 x V 





8  V

dx

y

x

V

2

.

.

2 0





