bab 6 penerapan integral

(1)

BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL

6.1. Luas Daerah Bidang Datar

(2)

Penyelesaian dengan Derive:

AreaUnderCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi y = f(x) di atas sumbu-x di antara x = a dan x = b.

1. Tulislah: AreaUnderCurve(x4 – 2x3 + 2, x, -1, 2, y), enter, sama dengan

2. Klik icon gambar

3. Tulislah: A(R):= int(x4 – 2x3 + 2,x,-1,2), enter

4. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.

Jadi luas daerah R adalah A(R) = 5,1

Daerah di bawah sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas

daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah

A(R) = − b

a

(3)

Contoh 2:

Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva 4

3

AreaOverCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi y = f(x) di bawah sumbu-x di antara x = a dan x = b.

1. Tulislah: AreaOverCurve( 4

3 2

− x

, x, -2, 3, y), enter

2. Klik icon gambar

3. Tulislah: A(R):= int( 4

3 2

− x

, x, -2, 3), enter

(4)

Jadi luas daerah R adalah A(R) = 145/9 = 16,11.

Daerah di kanan sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas

daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah

A(R) = b

a

dy y f( )

Contoh 3:

Tentukanlah luas daerah R yang dibatasi oleh kurva x = y + cos(y) di antara y = 0

(5)

Jawab:

A(R) = +

3

0

) cos(y dy

y = 3₀

2

)] sin( 2

[y + y

= sin(3)

2 9₊

= 4,50 + 0,1411 = 4,64

AreaUnderCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi x = f(y) di kanan sumbu-y di antara y = a dan y = b.

1. Tulislah: AreaUnderCurve(y + cos(y), y, 0, 3, x), enter

2. Klik icon gambar

3. Tulislah: A(R):= int(y + cos(y), y, 0, 3), enter

(6)

Jadi luas daerah R adalah A(R) = 4,64

Daerah di kiri sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas

daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah

A(R) = -b

a

dy y f( )

AreaOverCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi x = f(y) di kiri sumbu-y di antara y = a dan y = b.

Contoh 4:

Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh x=cos(y)−y di antara y = 1 dan

(7)

Daerah di antara Dua Kurva. Andaikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan

(8)

3. Klik icon gambar

4. Tulislah: A:= int(f(x)-g(x), x, 0, 1), enter

Jadi luas daerah di antara y = 2x – x2 dan y = x4 adalah 0,47.

AreaBetweenCurves(f(y), g(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi grafik fungsi x = f(y) dan x = g(y) di antara y = a dan y = b.

Tugas Kelompok

1. Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh

y y

x=cos( )− di antara y = 1 dan x = 3, Jawab: 2,47.

3 3 2

3 ₋ ₋ ₊ =_x _x _x

y di antara x = -1 dan x = 2, Jawab: 23/4

(9)

Soal-Soal Latihan

Gambarlah daerah yang dibatasi grafik persamaan-persamaan yang diketahui,

kemudian tentukanlah luas daerah yang terbentuk.

1. 2

3 1

3 x

y= − , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3

2. y=(x−4)(x+2), y = 0, di antara x = 0 dan x = 3

3. ( 7)

4

1 ₂ ₋

= _x

y , y = 0, di antara x = 0 dan x = 2

4. 3

x

y= , y = 0, di antara x = -2 dan x = 2

5. y=(x−3)(x+1), y = x

6. y=x2 −2x, y=−x2

7. x=8y−y2, x=0

8. x= y2 −2y, x−y−4=0

9. 4y2 −2x=0, 4y2 +4x−12=0

10. y=x+6, y= x3, dan 2y+x=0

11.Tinjaulah kurva y = 1₂

x untuk 1

≤_x≤₆

(a) Hitunglah luas dibawah kurva ini

(b) Tentukanlah c sedemikian sehingga garis x = c membagi dua luas pada (a)

sama besar

(c) Tentukanlah d sedemikian sehingga garis y = d membagi dua luas pada (a)

(10)

6.2. Volume Benda Putar

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu sisi dari

sebuah garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu

akan membentuk sebuah benda putar. Garis tetap disebut sumbu benda putar.

Metode Cakram

Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva

y = f(x), x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu-x dengan metode cakram adalah

V = b

a

dx x f( ) )

( 2

π

Contoh 6:

Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh

kurva y= x, sumbu-x, dan garis x = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x.

Jawab:

V =

4

0

2 ) )

( x dx

π

₌

4

0

.x dx

(11)

= ) 8 25,13 2

16 ( ] 2 [ 4₀

2

= =

=

π

x

Penyelesaian dengan Derive

Cara 1:

Menggunakan rumus V= b

a

dx x f( ))2 (

π

1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x, x, 0, 4, y) enter

2. Klik icon gambar

3. Deklarasikan: V:= π.int(x,x,0,4) enter

4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi

Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y= x, sumbu-x, dan garis

(12)

Cara 2:

Volume_Of_Revolution(f(x), x, x1, x2) adalah menghitung volume daerah yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu-x, di antara x = x1 dan x = x2 di putar mengelilingi

sumbu-x.

1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x, x, 0, 4, y) enter

2. Klik icon gambar

3. Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION( x, x, 0, 4) enter

(13)

kurva 3

x

y= , sumbu-y, dan garis y = 3 apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.

Jawab:

Cara 1:

Menggunakan rumus V= b

(14)

2. Klik icon gambar

3. Deklarasikan: V:= π.int(_y2/3,_y,0,3)_enter

4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi

Cara 2:

Volume_Of_Revolution(f(y), y, y1, y2) adalah menghitung volume daerah yang dibatasi oleh x = f(y), sumbu-y, di antara y = y1 dan y = y2 di putar mengelilingi

sumbu-y.

1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve(y1/3 , y, 0, 3, x) enter

2. Klik icon gambar

3. Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION(y1/3 , y, 0, 3) enter

(15)

Metode Cincin.

y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g(x) diantara x = a, x = b diputar mengelilingi

sumbu-x dengan metode cincin adalah

V = −

b

a

dx x g x

f( ) ( ) )

( 2 2

π

Contoh 7:

(16)

Jawab:

Menggunakan rumus V= −

b

3. Klik icon gambar

4. Deklarasikan: V:= π.int(f(x)2 −g(x)2,x,0,2) enter

5. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi y = x2

(17)

Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 8x dan y =x2

mengelilingi sumbu-x adalah V = 48 /5 = 30,16. π

Tugas Kelompok:

1. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk

oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva x= y2, sumbu-y, dan garis y = 2

apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.

2. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R

diputar mengelilingi sumbu-y (Metode Kulit Tabung).

Gunakan:

a. Rumus V = 2π.f(x) dx

(18)

3. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar dengan metode

kulit tabung diputar mengelilingi sumbu y = c, c konstan.

(Gunakan: rumus V= −

b

4. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk

oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva y= x2 dan y2 =8x mengelilingi

sumbu-y.

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal (1-5) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan,

kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar

mengelilingi sumbu-x.

1. , 4, 0

mengelilingi sumbu-y.

(19)

7. x=2 y, x=0, y=4 8. x= y3/2, x=0, y=9

9. = 1, x=1, x=4, y=0 x

y

10. y= x, x=3, y=0

mengelilingi garis yang diberikan.

11. y= x, x=5, y =0 mengelilingi garis x = 5

12. y=9−x2 (x≥0), x=0, y =0 mengelilingi garis x = 3

13. ₌ 2, ₌0, ₌2

y x

y

x mengelilingi garis y = 2

(20)

6.3. Panjang Kurva Bidang dan Luas Permukaan Benda Putar Panjang Kurva

Kurva bidang ditentukan sepasang persamaan parametrik x = f(t), y = g(t),

a ≤ t ≤ b, dengan fungsi f dan g kontinu pada selang tersebut. Anggp t

menyatakan waktu, apabila t bertambah dari a ke b maka (x, y) menyelusuri suatu

kurva di bidang.

Rumus panjang kurva:

+

(21)

PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b) adalah menghitung panjang kurva bentuk parametrik bentuk vektor v = [x(t), y(t)] dengan a ≤ t ≤ b.

Cara 1 (menggunakan PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b):

1. Tulislah: PARA_ARC_LENGTH([3t2 + 2 , 2 t3-1/2], t, 1, 4) enter.

2. Klik sama dengan, lalu aproksimasi

Cara 2 (menggunakan rumus):

1. Deklarasikan: f(t):= dif(3t2 + 2, t) dan g(t):= dif(2 t3 – 1/2, t)

2. Deklarasikan: L:=int(√(f(t)2 + g(t)2), t, 1, 4). Klik sama dengan, lalu

(22)

(23)

Untuk x = 1 diperoleh u =13/4 dan x = 4 diperoleh u =10

ARC_LENGTH(f(x), x, a, b) adalah menghitung panjang kurva bentuk y = f(x) dengan a ≤ x ≤ b.

Cara 1 (menggunakan ARC_LENGTH(f(x), x, a, b):

1. Tulislah: ARC_LENGTH(x3/2, x, 1, 4) enter. 2. Klik sama dengan, lalu aproksimasi

Jadi panjang kurvanya adalah 7,63

(24)

2. Deklarasikan: L:=int(√(1 + (f(x))2), x, 1, 4)

Tugas Kelompok::

Selesaikan contoh 9 dengan menggunakan:

a. Rumus: = +

b

a

dy y f

L 1 '( )2 ; bentuk x = f(y), dan a ≤ y ≤ b.

(25)

Luas Permukaan Benda Putar Rumus luas permukaan benda putar:

+

diputar mengelilingi sumbu-x.

+

mengelilingi sumbu-x.

Jawab:

Cara 1 (menggunakan Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) ):

(26)

Jadi luas permukaan benda putar adalah 36,18

1. Deklarasikan: f(x):=√x enter

2. Deklarasikan: g(x):=dif(f(x), x) enter

3. Deklarasikan: A(R):= 2π.int(√(1 + (g(x))2), x, 0, 4)

(27)

Tugas Kelompok:

1. Konstruksilah langkah-langkah mencari panjang kurva x = y2; 0 ≤ y ≤ 2 dalam

dua cara.

2. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila

kurva y= x3/2, 1 ≤ x ≤ 4 diputar mengelilingi sumbu-y dalam dua cara.

3. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila

(28)

Soal-soal Latihan

Carilah panjang kurva-kuva yang diberikan

1. y =x2, diantara x=−1 dan x=3

Carilah luas permukaan benda putar yang terbentuk bila kurva-kurva:

11. y=6x, 0≤x≤1 mengelilingi sumbu−x

12. y=6x, 0≤x≤1 mengelilingi sumbu−y

13. y=x3/3, 1≤x≤7 mengelilingi sumbu−x

14. y=x3/3, 1≤x≤7 mengelilingi sumbu− y

(29)

6.4. Momen dan Pusat Massa Momen

Hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak berarahnya dari suatu titik

(lengan tuas) dinamakan momen partikel terhadap titik tersebut. Dengan kata lain

Momen = panjang lengan tuas kali massa atau M =x m

Titik x dinamakan pusat massa (titik kesetimbangan)

Contoh 11:

Massa sebesar 4, 2, 6, dan 7 kilogram masing-masing diletakkan pada titik-titik

0, 1, 2, dan 4 sepanjang sumbu-x. Carilah pusat massanya.

Jawab:

Distribusi massa yang kontinu sepanjang kawat dengan kepadatan di x adalah δ(x)

(30)

=

Kepadatan δ(x) sepotong kawat di titik yang terletak x sentimeter dari salah satu

ujungnya adalah δ(x) = 3x2 gram/sentimeter. Tentukan pusat massa kawat antara

x = 0 dan x = 10.

Tugas: Hitung contoh 12 di atas menggunakan derive

Pusat Massa (centroid)

Area_Centroid(x, a, b, y, f(x), g(x)) adalah untuk menghitung pusat massa daerah R yang dibatasi oleh a ≤ x ≤ b dengan y = f(x) dan y = g(x).

Contoh 13: Tentukanlah pusat massa daerah R yang dibatasi oleh 0 ≤ x ≤ 1,

y = √x, dan y = x3.

1. Gambar daerah R: AreaBetweenCurves(√x, x3, x, 0, 1, y)

2. Gambar pusat massa: Area_Centroid(x, 0, 1, y, (√x, x3)

(31)

Jadi pusat massa daerah R adalah (0,48; 0,43)

Tugas:

Hitunglah contoh 13 di atas dengan menggunakan rumus:

(32)

Soal-Saol Latihan

1. Partikel-partikel bermassa m1 = 5, m2 = 7, dan m3 = 9 terletak di x1 = 2,

x2 = -2, dan m3 = 1 sepanjang suatu garis. Carilah pusat massanya.

2. Feni dan Wati beratnya masing-masing 25 dan 15 kilogram duduk pada

ujung-ujung papan yang panjangnya 3 meter dengan titik tumpu di tengah-tengah

papan. Dimanakah Ari dengan berat 10 kilogram harus duduk agar papan

tersebut dalam keadaan setimbang?

3. Sepotong kawat lurus panjangnya 7 satuan mempunyai kepadatan δ(x) = √x

pada sebuah titik yang jauhnya x-satuan dari salah satu ujungnya. Tentukan

jarak dari ujung ini ke pusat massa kawat.

Dalam soal-soal 4-5, Massa-massa dan koordinat-koordinat suatu sistem partikel

dalam bidang koordinat diberikan. Tentukanlah momen dan pusat massanya.

4. 2, (1,1); 3, (7,1); 4, (-2,-5); 6, (-1,0); 2, (4,6)

5. 5, (-3,2); 6, (-2,-2); 2, (3,5); 7, (4,3); 1, (7,-1)

Dalam soal-soal 6-8, Carilah centroid daerah yang dilingkupi oleh kurva yang

diberikan dan buatlah grafiknya.

6. ₌2₋ 2, ₌0

y x

y

7. y=x3,y =0,x=1

8. y=2x−4,y=2 x,x=1

9. Untuk setiap lamina homogen R1 dan R2 yang ditunjukkan dalam gambar,

(33)

10.Untuk lamina homogen R yang ditunjukkan dalam gambar, carilah m, Mx, My,

y dan