INTEGRAL TERTENTU DAN PENERAPANNYA KALKULUS 2

INTEGRAL TERTENTU DAN

PENERAPANNYA

REVIEW - INTEGRAL

TAK

TENTU

• Pengertian Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu (undefinite integral) adalah bentuk

integral yang variabel

integrasinya tidak memiliki batas

sehingga integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkan

banyak kemungkinan dan hanya dinyatakan sebagai

penyelesaian umum. Istilah tak tentu berarti bentuk fungsi

F(x) memuat konstanta real sembarang.

• Rumus Integral Tak Tentu

න 𝑥

𝑛

𝑑𝑥 =

1

𝑛 + 1

𝑥

𝑛+1

_{+ 𝑐, 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑛 ≠ −1}

INTEGRAL TERTENTU

• Pengertian Integral Tentu (Tertentu)

Integral tentu (definite integral) adalah bentuk integral yang

variabel integrasinya memiliki batasan (batas atas dan batas

bawah) yang ditulis di bagian atas dan bawah notasi integral.

• Notasi Integral Tentu

න

𝑎 𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Di mana a = batas bawah, dan b = batas atas

Penyelesaian dari integrasi tersebut adalah:

න

𝑎 𝑏

CONTOH

• Diberikan fungsi f(x) = x

2

_{. Tentukanlah integral dari}

f(x) untuk batas atas 3 dan batas bawah 2.

• Penyelesaian:

න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න 2 3 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 2 + 1𝑥 2+1_|3 2

=

1 3

𝑥

3

_|

3 2

=

1 3

3

3

₋

1 3

2

3

_{= 9 −}

8 3

=

19 3

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU

1.

׬

_𝑎𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 |

𝑏_𝑎

= 𝐹 𝑎 − 𝐹 𝑏 , jika a> b.

2.

׬

_𝑎𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − ׬

_𝑏𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

3.

׬

_𝑎𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0

4.

׬

_𝑎𝑏

𝑐𝑑𝑥 = 𝑐(𝑏 − 𝑎)

5.

׬

_𝑎𝑏

𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 ׬

_𝑎𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥, jika c bilangan riil

6.

׬

_𝑎𝑏

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ׬

_𝑎𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ׬

_𝑎𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

7.

׬

_𝑎𝑏

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ׬

_𝑎𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − ׬

_𝑎𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

PENERAPAN INTEGRAL TENTU

Luas Bidang Datar

Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x pada [a,b] seperti pada gambar R y=f(x) f(xi) xi x=a x=b Ai=f(xi) xi, a  xi  b Luas empat persegi panjang



 b af(x)dx ) R ( A Contoh 1

Hitunglah luas daerah R, yang terletak dibawah kurva f(x) = 4x2 _{– x}3_{, sumbu x, garis x = 1 dan}

garis x = 3. Jawab x=1 x=3 f(xi) x y f(x) = 4x2 _{– x}3 Ai=(4xi2 _{– xi}3_{)xi, 1  xi  3} 3 44 dx ) x x 4 ( ) R ( A 3 1 3 2 _{ } 



-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -20 -15 -10 -5 0 5 10 f(x)=x3 _{– 2x}2 _{– 8x}

Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x dan fungsi

A(R1)

A(R2)

–2 0 4

LUAS ANTARA DUA KURVA

Misalkan daerah R dibatasi oleh dua kurva y=f(x), y=g(x) pada [a,b] seperti pada gambar f(x)-g(x) xi R y=f(x) y=g(x) x y x=a x=b

Luas empat persegi panjang :

Ai=[f(xi) – g(xi)] xi, a  xi  b



  b a[f(x) g(x)]dx ) R ( A

Prosedur Menghitung Luas Daerah

Langkah-langkah untuk menghitung luas daerah dengan integral tertentu

(1) Buatlah gambar daerah R yang

bersangkutan, beserta batas-batasnya. (2) Pada daerah R buatlah suatu jalur

tertentu.

(3) Hampiri luas suatu jalur tertentu

langkah 2 dengan luas empat persegi panjang.

(4) Jumlahkan luas aproksimasi dari langkah 3.

(5) Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu.

Contoh 2

Hitunglah luas daerah R, terletak y = 4x2 _{– x}3_{, dan x+y = 4.}

Jawab :

Sketsa grafik R lihat gambar berikut

R2 R1 g(x)=4-x f(x) = 4x2 _{– x}3 x=-1 x=1 x=4 x y A2 A1

Titik potong kedua kurva diperoleh : 4-x = 4x2 _-x3 X3_-4x2 _{– x + 4 = 0, x1=-1,x2=1,x3=4} Menghitung A(R) A₁ = [g(xi)-f(xi)]x_i = [(4-x_i)-(4x_i2 _{– x} i3)]xi, -1xi 1



_     1 1 3 2 1) [(4 x) (4x x )]dx R ( A 3 16 4 x 3 x 4 2 x x 4 1 1 4 3 2               A₂= [f(xi)-g(xi)]x_i = [(4x_i2 _{– x} i3)-(4-xi)]xi, 1xi 4



    4 1 3 2 2) [(4x x ) (4 x)]dx R ( A 4 63 4 x 3 x 4 2 x x 4 4 1 4 3 2               12 253 4 63 3 16 ) R ( A   

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 f(x)=x3 _{– 2x}2 _{– 8x} g(x)=3x – 12 –3 –2 0 1 4 A(R1) A(R2) Contoh :

FUNGSI DENSITAS

Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi densitas (probabilitas), jika hanya jika f(x) memenuhi sifat-sifat berikut ini :

(1) f(x)  0

dx ) x ( f ) b x a ( P ) 3 ( 1 dx ) x ( f ) 2 ( b a





      

Mean dan variannya diberikan oleh :

2 2 2 2 _{E(x ) E(x ) [E(x)]} dx ) x ( xf ) x ( E         



__

Soal 1.

Suatu fungsi densitas (kepadatan) didefinisikan oleh

• f(x) = k x (2 – x)4_{, 0 x  2}

• f(x) = kxa_{(8 – x}3_{) 0  x  2}

• f(x) = kxb_{(4 – x}2_{), 0 x  2}

(a) Hitunglah nilai k (b) Berapa, P(x>1)

(c) Hitunglah E(x) dan varian Soal 2.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva, berikut dengan sumbu x

(a) f(x)=(x+a)(x – 1)(x – a – 1) (b) f(x) = (x2 _{– 1 )(x – a – 1)}

SOAL-SOAL LATIHAN

Soal 3.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut ini:

(a). y = a – (x – 4)2_{, dan x + y = (a + 2),}

(b). y = x2_{, x + y = 2, dan x=y}3_.

(c). y = x2_{, y = 8 – x}2_{, dan 4x–y+12 = 0.}

Soal 4.

Hitunglah luas segitiga di mana titik-titik sudutnya adalah:

(a). (1,2), (7,4), dan (-1,8) (b). (2,1), (6,5), dan (0,8) Soal 5.

Hitunglah luas segiempat dimana koordinat titiktitik sudutnya adalah:

(a). (1,1), (4,2), (–2, 6) dan (2,7) (b). (2,1), (5,3), (–2,7) dan (1,9)

VOLUME BENDA PEJAL, METODE SILINDER

Perhatikanlah sketsa silinder

berikut ini r h V=r2h r1 r2 h



r r



h V 



₂2  ₁2

Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b.

y=f(x) y f(xi) xi x=a x=b x R r=f(xi) h=xi

Jika R diputar terhadap sumbu x dihasilkan benda pejal. Elemen volume

V = r2_h

=[f(xi)]2xi, axib

Jadi :



 b a 2_dx )] x ( f [ V 

Contoh 3:

Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2_{, sumbu x, dari x=1}

sd x=3, jika diputar tehadap sb x Jawab h=xi r=f(xi) x y x=3 x=1 y=1+(x-1)2 V = r2_h =[1+(x-1)2_]2xi, 1xi3   15 206 ] ) 1 ( 1 [ 3 1 2 2      x dx V

Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2_{, garis y=5, dari x=1}

sd x=3, jika diputar terhadap garis y=5 Jawab x y=5 r=5-f(xi) y=1+(x-1)2 x=1 x=3 R R V = r2_{h =[4-(x-1)}2_]2xi, 1xi3   15 256 ] ) 1 ( 4 [ 3 1 2 2     _ x dx V

METODE CINCIN, SILINDER

Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis

x = b, dengan f(x)  g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu x,

maka akan dihasilkan suatu benda pejal, dimana bagian tengahnya lubang. Metode demikian disebut metode cincin

xi y=f(x) y=g(x) x=a x=b R f(x)-g(x) x y r₁=g(x) r₂=f(x) y h=xi

Dengan metode silinder : V=[r₂2 _{– r} 12]h = [f(x_i)2_–g(x i)2]xi,axib dx ] ) x ( g ) x ( f [ V b 2 a 2



  

Contoh 4

Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2_{+1. Hitung volume bendanya, jika R}

diputar terhadap sumbu x, garis y=6, y=1

Jawab :

Kasus 1. Sumbu putar sumbu x

y=f(x)=6-x y=g(x)=(x-3)2₊₁ r₁=g(x) r₂=f(x) h=xi x

Karena, A  SP . dengan metode silinder : V=[r₂2 _{– r} 12]h = [f(x)2_–g(x)2_{]x,1x4} = [(6-x)2_–(1+(x-3)2₎2_{]x,1x4} Jadi, dx } ] ) 3 x ( 1 [ ) x 6 {( V 4 1 2 2 2



      R a=1 b=4 4 1 5 3 3 4 1 4 2 2 5 ) 3 x ( 3 ) 3 x ( 2 x 3 ) x 6 ( dx } ) 3 x ( ) 3 x ( 2 1 ) x 6 {(         _                



  5 117 V

Kasus 2 : Sumbu putar garis y = 6 r₁=6-f(x) r₂=6-g(x) y=6 y=f(x)=6-x y=g(x)=(x-3)2₊₁ R a=1 b=4 x y h=xi

Karena, A  SP, Dengan metode silinder : V=[r₂2 _{– r} 12]h = {[6-g(x)]2_–[6-f(x)]2_{}x,1xi4} = {[6–(1+(x-3)2_)]2_-[6-(6-x)]2_}x, = {[5–(x-3)2_]2_{- x}2_{}x, 1x4} Jadi,                             





5 153 3 x 5 ) 3 x ( 3 ) 3 x ( 10 x 25 dx } x ) 3 x ( ) 3 x ( 10 25 { dx } x ] ) 3 x ( 5 {[ V 4 1 3 5 3 4 1 2 4 2 4 1 2 2 2

Kasus 3 : Sumbu putar garis y = 1 y=1 x y y=g(x)=(x-3)2₊₁ y=f(x)=6-x r₁=g(x)-1 r₂=f(x)-1 R h=xi a=1 b=4

Karena, A  SP, maka dengan metode silinder : V=[r₂2 _{– r} 12]h = {[f(x)-1]2_{– [g(x)-1]}2_{}x,1x4} = {[(6–x)-1]2 _{– [(1+(x-3)}2_)-1]2_}x, = {[5–x]2 _{– (x-3)}4_{}x, 1x4} Jadi,           _          



5 72 5 ) 3 x ( 3 ) x 5 ( dx } ) 3 x ( ) x 5 {( V 4 1 5 3 4 1 4 2

METODE SEL SILINDER

Perhatikanlah sel silinder berikut ini

r₂ r r₁ r1 : jari-jari dalam r2 : jari-jari luar r : jari-jari rata-rata h : tinggi silinder h _{(r r )h} 2 r r 2 2 1_{ 2}  ₁        

Volume sel silinder adalah : V = r₂2_{h – r} 12 h = [r₂2 _{– r} 12 ] h = (r₂ + r₁)(r₂ – r₁)h Jika diambil

2

1 2

r

r

r





r = r₂ – r₁ Dihasilkan rumus V = 2  r h r

VOLUME BENDA PEJAL, METODE SEL SILINDER Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b.

x=b x=a R y=f(x) r=xi r=x h=f(x)

Jika R diputar terhadap sumbu y dihasilkan benda pejal. Elemen volume

V = 2rhr = 2x f(x)x, axb Jadi :



 b axf(x)dx 2 V  Contoh 5 :

Hitung volume benda pejal jika R dibatasi oleh y=1+(x-1)2_{, sumbu x, dari x=1 sd x=3,}

diputar terhadap y Jawab r=x h=f(x) r=xi R x=1 x=3 V = 2rhr = 2 x f(x) x =2 x[1+(x-1)2_{]x, 1x3} Jadi, _{ } 3 64 dx ) ) 1 x ( 1 ( x 2 V 3 1 2 _   



METODE SEL SILINDER LANJUTAN

Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x)  g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, berbentuk sel silinder. Metode demikian disebut metode sel silinder xi y=f(x) y=g(x) x=a x=b R h=f(x)-g(x) x y h=f(x)-g(x) r=x y r=x

Dengan metode sel silinder : V= 2 r h r = 2 x[f(x)–g(x)]x, axb V 2 x[f(x) g(x)]dx b a



   x

Contoh 4

Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2_+1.

Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu y, garis x=1, dan x=4 Jawab :

Kasus 1. Sumbu putar sumbu y

Karena A // SP, maka dengan metode sel silinder : V= 2 r h r = 2 x [f(x)–g(x)]x,1x4 = 2 x [(6-x)–(1+(x-3)2_{)]x,1x4} Jadi, dx } ) 3 x ( ) x 5 {( x 2 V 4 1 2



     4 1 4 3 3 2 4 1 3 2 2 4 ) 3 x ( 3 ) 3 x ( 3 3 x 2 x 5 2 dx } ) 3 x ( ) 3 x ( 3 x x 5 { 2         _           



   2 45 V  r=x y=6-x y=(x-3)2₊₁ R x=1 _x=4 x y h=f(x)-g(x) r=xi

Kasus 2 : Sumbu putar garis x=1 y=6-x 1 x r=x-1 h=f(x)-g(x) y=(x-3)2₊₁ r=xi

Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (x-1)[(6-x) – (1+(x-3)2_]x, Jadi,   ) 2 / 27 ( dx } ) 3 x ( x 5 ){ 1 x ( 2 V 4 1 2      



x=1 _x=4

Kasus 3 : Sumbu putar garis x=4

h=f(x)-g(x) r=4-x x R r=xi y=6-x y=(x-3)2₊₁ x=1 x=4

Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (4 - x)[(6-x) – (1+(x-3)2_{] x} Jadi,   ) 2 / 27 ( dx } ) 3 x ( x 5 ){ x 4 ( 2 V 4 1 2      



PROSEDUR MENGHITUNG VOLUME BENDA PEJAL

Langkah-langkah untuk menghitung volume benda pejal dengan integral tertentu adalah sebagai berikut :

(1) Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, tentukan fungsi f(x) dan g(x) beserta batas-batasnya (batas integral).

(2) Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu (luas empat persegi panjang), dan buatlah sumbu putarnya yang tidak memotong daerah R.

(3) Hampiri volume benda pejalnya dengan pendekatan :

(a) Volume silinder, V = r2_{h jika A tegak lurus dengan sumbu putar}

(b) Volume sel slilinder, V = 2rh r, jika A sejajar dengan sumbu putar. (4) Jumlahkan volume silinder aproksimasi dari langkah 3.

(5) Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu, atau hitunglah volume benda pejalnya dengan integral tentu.

MOMEN DAN PUSAT MASSA

Misalkan sepotong lamina homogen dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan

f(x)  g(x) garis x = a, dan garis x = b. Andaikan bahwa kerapatan lamina adalah ,

 y=f(x) y=g(x) x=a x=b R y x 2 ) xi ( g ) xi ( f  xi xi

Andaikanlah, (x,y) pusat masaa lamina

m M y dan , m M x  y  x dimana,

My : moment terhadap sumbu y Mx : moment terhadap sumbu x

m : massa lamina



  b a [f(x) g(x)]dx m 





      b a 2 2 x b a y dx ] ) x ( g ) x ( f [ 2 M dx )] x ( g ) x ( f [ x M

Contoh 5

Hitung pusat massa daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2_{+1. Jika kerapatannya}

adalah konstan k Jawab : y=f(x) y=g(x) y=6-x xi y=(x-3)2₊₁  xi x=1 x=4 k 2 9 3 ) 3 x ( 2 ) x 5 ( k dx )] ) 3 x ( 1 ( ) x 6 [( k m 4 1 3 2 4 1 2          _         



k 4 45 dx )] ) 3 x ( 1 ( ) x 6 [( x k M 4 1 2 y      



k dx x x k M_x 10 117 ] ) ) 3 ( 1 ( ) 6 [( 2 4 1 2 2 2      



Jadi, 2 5 k ) 2 / 9 ( k ) 4 / 45 ( m M x  y   5 13 ) 2 / 9 ( ) 10 / 117 (    k k m M y x

TEOREMA PAPPUS

Jika sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar terhadap sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, maka volume benda putar yang dibentuk oleh R sama dengan luas daerah R dikalikan dengan keliling yang ditempuh oleh titik pusat R itu

Bilamana daerah diputar terhadap sebuah sumbu putar yang tidak terletak pada daerah R, maka volume benda putarnya diberikan oleh,

V = 2 r A

dimana r adalah jari-jari lingkaran yakni panjang jarak tegak lurus dari titik pusat massa ke sumbu putar, dan A adalah luas daerah R, lamina.

LATIHAN SOAL VOLUME BENDA PUTAR

Soal 1.

Perhatikanlah daerah R dibatasi oleh, y = (b – 5) + (x – a + 4)2 _{dan garis lurus}

yang menghubungkan titik (a–5, b–4) dan (a–2,b –1). Hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :

(a). Garis y = b – 6, y=b+5 (b). Garis x = a +1 , x=a – 6 Soal 2.

Suatu daerah R dibatasi oleh kurva, y = a – (x – b)2_{, dan x + y = (a + b – 2),}

hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap : a. garis y = a+1, y=a - 5

b. garis x = b + 3, x=b – 3 Soal 3.

Daerah R adalah sebuah segitiga dimana titik-titik ujungnya adalah (a,b), (2a,2b), dan (a,2a+2b). Dengan integral tentu hitunglah,

a. Volume benda putarnya jika R diputar terhadap garis y = b b. Volume benda putarnya jika R diputar terdadap garis x = a

Soal 5.

Massa dan Pusat Massa

a. Untuk soal nomor 1,2 dan 4 hitunglah pusat massa dengan asumsi kerapatan konstan

b. Hitunglah volume yang ditanyakan dengan metode teorema pappus. Soal 4

Perhatikanlah gambar daerah berikut ini Hitunglah volume benda putarnya jika daerah R diputar terhadap :

(a). Garis, y=b-5, (b). Garis, y= b+1 (c). Garis, x=a – 3 (d). Garis, x = a + 2