← Bahan Ajar Matematika – Power Point Integral OK banget

(1)

(2)

Hal.: 2 Integral Adaptif

INTEGRAL TAK TENTU



Pengertian Hitung Integral



Hitung Integral

adalah kebalikan dari hitung

deferensial



Misal : y = F(x) = x

2



dx

x

dF

dx

dy

(

)

3x

₂

= f(x)

)

(

)

(

x

f

dx

x

dF



dF(x)= f(x) dx

Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang

"



"

(3)

INTRGRAL TAK TENTU



₄x3dx x2 c

Misal : f(x) = 4x3 maka kemungkinan untuk F(x) adalah

X4_{karena turunannya 4x}3_{= F’(x)}

X4 _{+ 5 karena turunannya 4x}3_{= F’(x)}

X4_{+ 1 karena turunannya 4x}3 _{= F(‘x)}

X4_{+ 50 karena turunannya 4x}3 _{= F’(x)}

X4_{+ c karena turunannya 4x}3_{= F’(x)}

Jadi anti turunan dari 4x3_{adalah x}4_{di tambah bilangan c ( c = Konstanta)}

Dengan lambang integral di tulis :

Secara um8um di tulis :

(4)

INTEGRAL TAK TENTU

Rumus – rumus Pengintegralan

a.

b.

c.

d.

e.

1

,

1











n

c

n

x

dx

x

x n

1

,







ax

n

dx

a

x

n

dx

n

c

lx

dx

x

dx

x











1

1

c

ax

adx







dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

(5)

Integral Tak Tentu

Contoh:

1. Tentukan dari

Penyelesaian

c

n

x

n



1



xdx

=

c

x



2

=

c

x 

2 1

2. Integralkanlah (5x – 1)

2

Penyelesaian



xdx



(

6

x

2



1

)

2

dx

=



(

36

x

2



12

x



x



1

)

dx

c

x

3



2



2

12

3

36

(6)

Integral Tak Tentu

3.

Tentukan

Penyelesaian







x

dx

ox

4

10

5

)

2

(

4 1



(

2

ox

4



4

x



10



5

x

1

)

dx

=

x



x



10

x



5

ln

x



c

2

4

5

20

3 2

=

4x

3

+ 2x

2

+ 10x – 5lnx + c

4. Tentukan

X dx

X )

1 ( 



=

dx X

X )

1 ( 



(

x

2

)

dx

1 2

1







c

x



2



3 2

1

3

2

=

c x x

x  

3 2 2

(7)

INTEGRAL TERTENTU

Bentuk umum intergral tertentu





(

)

(

)

(

x

dx

(

)

f

b

f

x

f

b

a

b

a

x

F









a disebut batas bawah

b disebut batas bawah

F(x)

: fungsi hasil integral dari f(x)

(8)

INTEGRAL TERTENTU



Sifat-sifat intergral tertentu

1.

2.

3.

4.









b

a

b

dx

x

f

dx

x

f

(

)

(

)













c

a

b

a

c

b

c

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

(

)

(

)

(

)

;





a

dx

x

f

(

)

0







b

a

b

a

Konsanta

k

dx

x

f

k

dx

x

(9)

INTEGRAL TERTENTU

Contoh :

1.Tentukan nilai dari



2 1 3

dx

x

Penyelesaian

2 1 4 2 1       _x



2 1 3

dx

x

=

           

 4 ₁4 4 1 2 . 4 1

=

4 -

₄1

=

3₄3

2.

Tentukan nilai dari

Penyelesaian

dx

x

3

)

2

(

1 0 2





dx

x

3

)

2

(

1

0

2





=



x

2



x

3



1₀

=



1

2



1

3

 



3

0

2



0

3



 

1



1



0

(10)

(11)

Penggunaan Integral

9

2

(12)

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.

Kompetensi

Kompetensi Dasar Dasar

Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat :

1. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.

2. menentukan luas daerah dengan menggunakan limit jumlah.

3. merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya.

4. merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar

terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.

Indikator Hasil Belajar

(13)

Runtuhnya Jembatan Tacoma,

Washington

Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.

(14)

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan

menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

Next Back

(15)

Bola lampu di samping dapat

dipandang sebagai benda

putar jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan dipelajari

juga penggunaan integral

untuk menghitung volume

benda putar.

(16)

X Y

x y sin

Menentukan luas daerah

dengan

limit jumlah

dapat

diilustrasikan oleh gambar

di samping. Langkah utama

yang dilakukan adalah

memartisi

,

mengaproksimasi

,

menjumlahkan

,

dan

menghitung limitnya

.

Home Back Next

(17)

Langkah menghitung luas

daerah dengan limit jumlah

adalah:

1. Bagilah interval menjadi

selang

yang sama

panjang.

2. Partisilah daerah

tersebut.

3. Masing-masing partisi

buatlah

persegi

panjang.

4. Perhatikan persegi

panjang

pada interval

[x

_i-1

, x

_i

].

y

a x

0

L_i

x

x_i

) (x f y

) (x_i f

Next Back

Home

(18)

Langkah menghitung luas

daerah

( lanjutan )

:

5. Tentukan luas persegi

panjang ke-i (L

_i

)

6. Jumlahkah luas semua

persegi panjang

7. Hitung nilai limit

jumlahnya

y

a x

0

L_i

x

x_i

) (x f y

) (x_i f

Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x

Jumlah luas persegi panjang :L   f(x_i) x

Limit jumlah : L = lim  f(x_i) x ( n

 ∞ ) _Back _Next

Home

(19)

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2_,_{sumbu X, dan garis x =}

3 dengan menggunakan cara limit jumlah.

Contoh 1.

1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.

2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.

3. Tentukan ukuran persegi

panjang pada interval [x_i, x_i+1] dan hitunglah luasnya.

x₀ = 0 x₁ = 3/n

x₂= (3/n) × 2 = 6/n

Jadi x_i = 3i/n dan x_{i + 1} = 3(i +1)/n

y

0

x 3 L_i

3/n

2 1 

i

x

2

) (x x f 

x_i+1 x_i x₁ x₂ x3

 2 3

i 27 1 L  i 

n



i_n



_n

n i

x ₁2 3 3( 1) 2 3 i

L  _    

Jawab

Next Back

Home

(20)

4. Jumlahkan luas semua partisi





    1 0 2 3 1 27 L n

i n i



2 2 2



3 1 2 ... 27

L n

n     ) 1 2 )( 1 ( 6 1 27

L  ₃  nn n n ) 2 )( 1 ( 2 9

L 1 1

n n    5. Tentukan limitnya ) 2 )( 1 ( 2 9

L _lim 1 1

n n

n  

   9 ) 0 2 )( 0 1 ( 2 9

L    

Jadi luas daerah = 9 satuan 6 ) 1 2 )( 1 ( 1

2  



n n n n

k k 0 x 3 L_i 3/n 2 1  i x 2 ) (x x f 

x_i+1 x_i x₁ x₂ x3

y

Next Back

Home

(21)

Perhatikan gambar di bawah ini!

Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian (lebar tidak

harus sama) dengan lebar selang

ke-i adalah x_i = x_i – x_i-1. Pada

selang [x_i-1, x_i] diambil titik

sampel x_k maka jumlah Riemann

dituliskan sebagai :

k n

k1

f

(

x

k

)

Δ

x

y

a

x

0 _b

x_i-1x_k _x_i

 xi

Next Back

Home

Selanjutnya didefinisikan

bahwa: k

n

k k

n f x x

dx x

f( ) lim ( ) Δ

1 b

a

 

  



Bentukb_

af(x) dx

disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)

(22)

=

= 2(2)3_{– 2(2)}2_{– [2(-1)}3_–

2(-1)2_]

= 16 – 8 + 2 - 2 = 8





   2 1

2 ₄ _dx

6x x



₂ 3 ₂ 2



2₁



 x

x

Hitunglah nilai dari _







2

1

2 ₄ _dx

6x x

Contoh 2. Contoh 2. Jawab Jawab Next Back Home

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b]

dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang

tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b]

dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang

tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Teorema Dasar Kalkulus

) ( F ) ( F )

(x dx b a

f b a   





b a

x

)

(

F

(23)

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat

diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada

interval [a, b].

y

x

0 a x _b

y

a

x

0 b



b

a

dx x

f( )

Jumlah Luas Partisi

Berubah

Menjadi Integral

Tentukan limitnya

n  

) (x f





n

i 1f(xi)xi

) (x f

i n

i i n

b a

x x

f dx

x f

L    

 

 1

) ( )

( _lim

Next Back

Home

(24)

Kegiatan pokok dalam

menghitung luas daerah dengan

integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah

partisi L_i f(x_i) x_i

4. Jumlahkan luas partisi

L   f(x_i) x_i

5. Ambil limitnya L = lim  f(xi)

x_i

6. Nyatakan dalam integral

x

0

y yf(x)

a

x_i

xi

) (x_i f

L_i



af x dx 0 ( ) L

Next Back

Home

(25)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2_{, sumbu x,}

dan garis x = 3

Contoh 3.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya L_i  x_i2

x_i

4. Jumlahkan luasnya L 

x_i2 _x i

5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim  x_i2 _x

i

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya

y

0

x 3

2

) (x x

f 

dx x

 3

0 2

L

9 0

3 3 3 3

0 3

3

L

















x

Li

x_i

x_i

2

i x

Jawab

Next Back

Home

(26)

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : L_i  (4x_i- x_i2₎__x

i dan

A_j -(4x_j - x_j2₎__x j

4. Jumlahkan : L  (4x_i - x_i2)_x

i dan

A   -(4x_j - x_j2)_x j

5. Ambil limitnya L = lim  (4x_i -

x_i2₎__x

i dan A = lim  -(4xj - xj2)xj

6. Nyatakan dalam integral

y

0 4 5 x

2

4 )

(x x x f  

dx x

x

 

4 0

2₎ 4

(

L  x  x dx

5

4

2₎

4 ( A

xi

Li

x_i

x_j

A_j

x_j

2

4xi  xi

) 4

(

0 x x2

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2,

sumbu x,

dan garis x = 5

Contoh

Contoh 44..

Jawab

Next Back

Home

(27)

Hal.: 27 Integral Adaptif dx x x   4 0 2₎ 4 ( L dx x x   5 4 2₎ 4 ( A y

0 4 5 x

2

4 )

(x x x f  

x_i

L_i

x_i

x_j

A_j

x_j

2

4x_i  x_i

) 4

(

0 x x2





4

0 3 31 2 2

L  x  x

3 64 3

31

2 ₍₄₎ ₀ ₃₂

) 4 ( 2

L     





5

4 3 3 1 2 2

A   x  x



3



31 2 3

31

2 ₍₅₎ ₂₍₄₎ ₍₄₎

) 5 ( 2

A     

3 64 3

125 ₃₂

50

A    

18 A 61₃ 

18 32

daerah

Luas   64₃  61₃ 

13 daerah Luas  Next Back Home

(28)

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,

integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.

1. Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : L_i  [ f(x) – g(x) ]

x

4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim  [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

b a



f

x

g

x



dx

b

a





(

)

(

)

L

) (x f y

) (x g y

0

x

L_i

x

x

) ( ) (x gx f 

Next Back

Home

(29)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan

garis y = 2 - x

Contoh 5.

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 _{= 2 – x}__x2_{+ x – 2 = 0}__{(x + 2)(x – 1) = 0}

diperoleh x = -2 dan x = 1 3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya L_i  (2 - x- x2₎__x

4. Jumlahkan luasnya L   (2 - x - x2₎__x

5. Tentukan limit jumlah luasnya L = lim  (2 - x - x2₎__x

6. Nyatakan dalam integral tertentu _x _x _dx

     1 2 2₎ 2 ( L 0 x 1 2 -1 -2 -3 2 x y  x

y2 y

1 2 3 4 5 L_i x x 2 ) 2

(  x  x

Jawab

Next Back

Home

(30)

Hal.: 30 Integral Adaptif dx x x      1 2 2₎ 2 ( L 0 x 1 2 -1 -2 -3 2 x y  x

y2 y

1 2 3 4 5 L_i x x 2 ) 2

(  x  x

1 2 3 3 2 2 L      _ _  x x x

      _ _ _        _ _

 2(1) 1₂2 1₃3 2( 2) (2₂)2 (2₃)3

L



 

₃8



3 1

21 4 2

2

L       

3 8 31

2

1 ₄ ₂

2

L      

21 21 4

5

L   

Next Back

Home

(31)

Untuk kasus tertentu

pemartisian secara vertikal

menyebabkan ada dua

bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama

untuk menghitungnya.

) (x f y 

y

a _b

Li

x

) ( ) (x gx f 

) ( 2f x

A_i 0

x ) (x g y

Luas daerah =

a



f

x

dx

0

)

(

2











b

a

dx

x

g

x

f

(

)

(

)

Next Back

Home

(32)

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas

daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

) ( )

(x x f y f

y   

y

0

x

) ( )

(x x gy g

y  

Luas daerah =









d

c

dy y

f y

g( ) ( ) Li y

c d

) ( ) (y f y g 

Next Back

Home

(33)

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,

dan sumbu x

Contoh

Contoh 66..

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 _{= 6 – y}__y2_{+ y – 6 = 0}__{(y + 3)(y}

– 2) = 0

diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya L_i  (6 - y- y2₎__y

4. Jumlahkan luasnya L   (6 - y - y2₎__y

5. Tentukan limitnya

L = lim  (6 - y - y2₎__y

6. Nyatakan dalam integral tertentu Luas daerah = 



 



2

0

2

6 y y dy

2

y x 

y x 6

2 y

6

x 0

6

L_i y y

2

) 6

(  y  y

Jawab

Jawab

Next Back

Home

(34)

Luas daerah = _



 



2

0

2

6 y y dy

2

y x 

y x6

2 y 6 x 0 6

Li y

y

2

) 6

(  y  y

Luas daerah =

2 0 3 3 2 6           

 y y

y

Luas daerah = 6(2) ₂2  2₃3_  0

     

Luas daerah =       _ _ 3 8 1 12

Luas daerah = 25₃

Home Back Next

(35)

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu

sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar.

Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda

putar dengan integral adalah:

partisi, aproksimasi,

penjumlahan, pengambilan

limit, dan menyatakan dalam

integral tentu.

Gb. 4

(36)

Dalam menentukan volume benda putar yang harus

diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar

dibagi menjadi : 1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

y

0 x

y

x

0 1 2 x

-2 -1

y

1 2 3 4

Next Back

Home

(37)

Metode cakram yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume mentimun

dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk

cakram.

Next Back

Home

(38)

Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat

diaproksimasi sebagai V  r2_h

atau V   f(x)2__x.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam

integral diperoleh: V    f(x)2 _x

V = lim   f(x)2 x

dx x

f

a 



0

2

)] (

[ v



x

h=

x x

x y

0 x

y

x

a

) (x f

) (x f r 

Next Back

Home

(39)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2_{+ 1}_{, sumbu x, sumbu y, garis}_{x = 2}_{diputar mengelilingi}

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

y

2

x

1 2_

x x

1 2_

x y

1

y

h=

x

1

2_

x r x

Jawab

Next Back

Home

(40)

y

h=

x

1

2_

x r V  r2_h

V  (x2 + 1)2 _x

V   (x2_{+ 1)}2 __x

V = lim  (x2 + 1)2

x

dx x

V  

2

0

2 2 ₁₎

( 

dx x

x

V   

2

0

2

4 ₂ ₁₎

(







2

0 3

3 2 5

51x x x

V   

 (32₅  16₃ 2 0) 13₁₅11



V

Next Back

Home

(41)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_{, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh}

360º.

Contoh 8.

Contoh 8.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

2

y

y

2

x y

x y

y

x y

h=

y y

y r

Jawab

Next Back

Home

(42)

V  r2h

V  (y)2 __y

V   y y

V = lim  y y

dy

y V 



2

0







2

0 2 21 y

V 



) 0 4 (₂1_ _



V

x y

h=y y

y r 2

dy

y

V 



2

0 



2



V

Next Back

Home

(43)

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan

memotong-motongnya yang potongannya

berbentuk cincin.

Next Back

Home

(44)

Menghitung volume benda

putar dengan menggunakan

metode cincin dilakukan

dengan memanfaatkan

rumus volume cincin seperti

gambar di samping, yaitu V=

(R2_{– r}2_)h

h r

R

Gb. 5

Next Back

Home

(45)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_{dan garis}_{y = 2x}_{diputar mengelilingi}

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

4 y

y = 2x

2

x y

x

x

x

x2 2x

y

x

Jawab

Next Back

Home

(46)

y

x 4

y

y = 2x

2

x y

x

x

x

r=x2 R=2x

V  (R2 – r2) h

V   [ (2x)2 _–_(x2₎2_]__x

V   (4x2 – x4) _x

V    (4x2_{– x}4₎__x

V = lim   (4x2 – x4) _x

dx x

x

V   

2

0

4 2 ₎

4 (







2

0 5 51 3

3

4 _x _x

V  

)

(

32₃



32₅





V

) (160₁₅ 96 



V



15 64



V

Next Back

Home

(47)

Metode kulit tabung yang

digunakan untuk menentukan

volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar

disamping.

Next Back

Home

(48)

r

r

h

2r

Δr

V = 2rhΔr

Next Back

Home

(49)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar

mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 10.

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi.

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan nyatakan

dalam bentuk integral.

0

x 1 2

x

x

2

x y 

x2

y

1 2 3 4

Jawab

Jawab

Next Back

Home

(50)

0

x 1 2

x

x

2

x y 

x2

y

1 2 3 4

r = x

x

h = x2

0

x 1 2

1 2

y

1 2 3 4

V  2rhx

V  2(x)(x2₎__x

V   2x3_x

V = lim  2x3__x

dx x

V  2_

0 3

2





2

0

4 41 2 x V  



8 

V

Next Back

Home

(51)

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara

horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda

putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.

0

x 1 2

-2 1

-y

1 2 3 4

V  (R2_{– r}2₎__y

V  (4 - x2₎__y

V   (4 – y)y

V = lim  (4 –

y)y



y



dx

V  4_ 

0

4







4

0

2 21

4y y

V  



) 8 16 (  

V



8



V

0

x 1 2

x

2

x y 

y

1 2 3 4

y r=x

R = 2

(52)

Hal.: 52 Integral Adaptif Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

Home Back Next

(53)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

0 X

Y _y__x2

2 4

dx x



2 0

2

dy y



4 0

dx x



4 0

2

dx x

 

2 0

2₎

4 (

dx x

 

4 0

2₎

4 (

Soal 1.

A

B

C

D

E

Home Back Next

(54)

Soal 1.

0 X

Y _y__x2

2 4 dx x  2 0 2 dy y  4 0 dx x  4 0 2 dx x   2 0 2₎ 4 ( dx x   4 0 2₎ 4 ( A B C D E

 L  (4 – x2₎__x

L   (4 – x2₎__x

L = lim  (4 – x2) x

dx x ) 4 ( L 2 0 2  

 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Benar

(55)

Soal 1. Soal 1. dx x  2 0 2 dy y  4 0 dx x  4 0 2 dx x   2 0 2₎ 4 ( dx x   4 0 2₎ 4 ( A B C D E 0 X

Y _y__x2

2 4

x

x

4 - x2

 L  (4 – x2₎__x

L   (4 – x2₎__x

L = lim  (4 – x2) x

dx x ) 4 ( L 2 0 2  

 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Salah

(56)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

0 X

Y

2

4 x y 

Home Back Next

(57)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A B C D E Soal 2. Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0 X

Y

2

4 x y 

 L  (4 – x2₎__x

L   (4 – x2₎__x

L = lim  (4 – x2₎__x

dx x ) 4 ( L 2 2 2    

( Jawaban E )



3



2₂

3 1 4 L    x x

) 8 ( ) 8 (

L ₃8

3

8 _ _ _

  3 2 10 L 3 32  

(58)

A B C D E Soal 2. Soal 2.

4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas

0 X

Y

2

4 x y 

2 -2

x

x

 L  (4 – x2₎__x

L   (4 – x2₎__x

L = lim  (4 – x2₎__x

dx x ) 4 ( L 2 2 2    

( Jawaban E )



3



2₂

31

4 L



  x x

) 8 ( ) 8 (

L ₃8

3

8 _ _ _

  3 2 10 L 3 32  

(59)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

8 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0 X

Y

2

8 x y 

x y2

(60)

A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

8 satuan luas

 L  (8 – x2 _-2x)

x

dx x x 2 ) 8

(

L 2

0

2

  

 _{( Jawaban D )}

31

9 L

3 28

 



3 2



2₀

3 1

8

L  x x  x

4 16

L _ _ 8₃ _

0 X

Y

2

8 x y 

x y2

2

(61)

A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas

9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas

0 X

Y

2

8 x y 

x y2

2

 L  (8 – x2 _-2x)

x

dx x x 2 ) 8

(

L 2

0

2

  

 _{( Jawaban D )}

31

9 L

3 28

 



3 2



2₀

3 1

8

L  x x  x

4 16

L _ _ 8₃ _

(62)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2_{dan garis x + y = 2} adalah ….

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2_{dan garis x + y = 2}

adalah …. A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

(63)

adalah …. A B C D E Soal 4. Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

( Jawaban B )

 L  [(2 – y) – y2 _]__y

dy x y ) 2 ( L 1 2 2    

 ₄_,₅

2 9 L  



3



1₂

3 1 2 21 2 L   

 y y y

) 2 4 ( ) 2 (

L 8₃

31 2

1 _ _ _ _ _

  0 X Y 2 y x y x2

-2 1

(64)

( Jawaban B )

 L  [(2 – y) – y2 _]__y

dy x y ) 2 ( L 1 2 2    

 ₄_,₅

2 9 L  



3



1₂

3 1 2 21 2 L   

 y y y

) 2 4 ( ) 2 (

L 8₃

31 2

1 _ _ _ _ _

 

adalah …. A B C D E Soal 4. Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

20 5/6 satuan luas ₀ X

Y

2

y x

y x2

-2 1

(65)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A

B

C

D

E

Soal

Soal 55..

  4

0xdx

v 

  4

0

2_dx

x v 

  4

0

2 x xdx v 

   2

0(16 )

2 y dy v 

  2

0ydy

v 

0 X

Y

X y

4 2

Home Back Next

(66)

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A

B

C

D

E

Soal

Soal 55..

  4

0xdx

v 

  4

0

2_dx

x v 

  4

0

2 x xdx v 

   2

0(16 )

2 y dy v 

  2

0ydy

v 

0 X

Y

X y

4 2

( Jawaban D )

 V  2xx x

dx x x



 4

0

2

V 

(67)

( Jawaban D )

 V  2xx x

dx x x



 4

0

2

V 

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

A

B

C

D

E

Soal

Soal 55..

  4

0xdx

v 

  4

0

2_dx

x v 

  4

0

2 x xdx v 

   2

0(16 )

2 y dy v 

  2

0ydy

v  0

X Y

X y

4 2

x

(68)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum

0 X

Y

X y

4 2

(69)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum 6 satuan volum

0 X

Y

X y

4 2

( Jawaban C )

 V  (x)2 __x



 4

0

V  xdx



2



₀4

2 1

V  x



8

V

(70)

( Jawaban C )

 V  (x)2 __x



 4

0

V  xdx



2



₀4

2 1

V  x



8

V

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.

0 X

Y

X y

4 2

x

(71)

Media Presentasi Pembelajaran

Penggunaan Integral

Selesai

Terima Kasih