TUGAS AKHIR MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN

(1)

TUGAS AKHIR MATEMATIKA INDUSTRI

APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN

Oleh :

Nama : Maranatha Fectauli Novianti NIM : 125100301111058

No. Absen : 17 Kelas : P

JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG

(2)

PENERAPAN INTEGRAL DALAM DUNIA EKONOMI DAN KETEKNIKAN

Penerapan integral dalam kehidupan sehari-hari sangat luas. Aplikasi integral banyak digunakan di berbagai disiplin ilmu.Beberapa aplikasai integral di terapkan dalam bidang ekonomi,biologi,fisika dan juga keteknikan. Tidak hanya itu, integral juga digunakan dalam disiplin ilmu sosial yang berupa penerapan dalam bidang bisnis dan ekonomi.

Integral digunakan dalam analisis ekonomi dalam berbagai cara,diantaranya :  Dari fungsi marginal ke fungsi total

Bila diketahui fungsi total (misalnya,fungsi total biaya), proses diferensiasi dapat menghasilkan fungsi marjinal (misalnya,fungsi biaya marjinal). Karena proses integrasi merupakan kebalikan dari diferensiasi,hal ini sebaliknya akan

memungkinkan kita untuk mencari fungsi total dari fungsi marjinal tertentu. Jika biaya marginal (MC) suatu perusahaan merupakan fungsi output C’(Q) = 2e = 0.2𝑄_{, dan jika biaya tetap adalah Cf = 90, carilah fungsi biaya total C(Q).} Dengan mengintegrasikan C’(Q) terhadap Q, kita dapat bahwa

ʃ 𝟐𝒆𝟎,𝟐𝑸_{dQ = 2} 𝟏 𝟎,𝟐𝒆

𝟎,𝟐𝑸_{+c =10𝒆}𝟎,𝟐𝑸_+c Hasil ini dapat digunakakn sebagai fungsi C(Q) yang diinginkan

kecuali,mengingat konstanta arbitrer c,jawabannya timbil tan[a ditentukan.  Investasi dan Pembentukan Modal

Pembentukan modal adalah proses penjumlahan persendian atau stok modal. Dengan menganggap proses ini sebagai proses yang kontinu sepanjang waktu,kita bias menyatakan persediaan modal sebagai suatu fungsi waktu,K(t) dan

menggunakan derivative dK/dt untuk menunjukkan tingkat pembentukan modal pada waktu t adalah identik dengan tingkat arus investasi netto(net investment) pada waktu t yang ditunjukkan dengan I(t). Jadi persediaan modal K dan investasi netto I dihubungkan dengan dua persamaan berikut:

𝒅𝑲

𝒅𝒕 = 𝑰(𝒕) Dan K(t) = ʃ I(t) dt =ʃ𝒅𝑲

𝒅𝒕𝒅𝒕 = ʃ 𝒅𝑲

Persamaan pertama merupakan suatu identitas yang menunjukkan sinonimitas antara investasi netto dan pertambahan modal. Karena I(t) adalah derevatif dari

K(t), maka beralasan bahwa K(t) merupakan integral atau antiderivatif dari I(t),

seperti ditunjukkan dalam persamaan kedua. Transformasi integran dalam persamaan yang terakhir juga mudah untuk dipahami: Peralihan dari I ke dK/dt adalah menurut definisi, dan transformasi selanjutnya adalah dengan pembatalan dua diferensial yang identik, yaitu menurut aturan subtitusi.

(3)

Kadang-kadang konsep investasi bruto digunakan bersama dengan investasi netto dalam model. Dengan menunjukkan investasi bruto dengan 𝐼𝑔 dan investasi netto dengan I, kita dapat menghubungkannya satu sama lain dengan persamaan

𝑰_𝒈= I +δK

Di mana δ menggambarkan tingkat penyusutan modal dan δK tingkat investasi

pengganti (replacement investment).

 Nilai Sekarang dan Arus Kas

Konsep penjumlahan terus berlanjut ke kasus arus kas yang kontinu, tetapi dalam konteks yang belakangan symbol Ʃ tentunya harus dihilangkan dan diganti

dengan tanda integral definit. Pertimbangkan aliran pendapatan yang kontinu pada tingkat R(t) dollar pertahun. Ini berarti bahwa pada t=t1 tingkat arus adalah R(t1) dollar pertahun,tetapi pada titik waktu lain t=t2 tingkatnya akan menjadi R(t2) dollar pertahun dengan t dianggap sebagai variable kontinu.Pada setiap titik waktu,jumlah pendapatan selama interval (t,I +dt) dapat ditulis sebagai R(t) dt

(lihat pembahasan terdahulu atas dK = I(t) dt ). Bila didiskontokan serta kontinu

pada tingkat r per tahun, nilai sekarangnya akan menjadi R(t)𝑒−𝑟𝑡_{dt. Bila} permasalahannya sekarang adalah mencari total nilai sekarang dari aliran tiga tahun, jawaban kita akan diperoleh dalam integral definit berikut:

Π = ∫ 𝑹(𝒕)_𝟎𝟑 𝒆−𝒓𝒕_𝒅𝒕  Nilai Sekarang dari Arus Perpetual

Jika arus berlangsung selamanya,suatu situasi yang dicontohkan oleh bunga atas obligasi perpetual atau pendapatan atas aktiva modal yang tak dapat rusak seperti tanah, nilai sekarang dari arus kas akan terjadi

Π = ∫ 𝑹(𝒕)_𝟎∞ 𝒆−𝒓𝒕_𝒅𝒕 Yang merupakan integral tak wajar (improper integral)  Menentukan Persamaan Harga dan Permintaan  Menentukan Persamaan Harga dan Penawaran  Menentukan Fungsi Biaya

 Menentukan Fungsi Pendapatan

Integral digunakan dalam bidang keteknikan ,diantaranya :  Volume Benda Putar

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

(4)

dx x A V b a



 ( )

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.

 Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

Misal pusat cakram

 

x₀,0 dan jari-jari r  f

 

x₀ . Maka luas cakram dinyatakan :

 

2

 

₀

0 f x

x A 

Oleh karena itu, volume benda putar :

 



f x



dx V b a 2



 

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

 



w y



dy V d c 2



 

Bila daerah yang dibatasi oleh y f

 

x 0 , yg

 

x 0



f

   

x g x



untuk setiap

 

a b

x , , x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume :

 







 





f x g x



dx V b a



  _ 2 2

Bila daerah yang dibatasi oleh xw

 

y 0,xv

 

y 0



w

   

y v y



untuk setiap

 

c d

y , , y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :

 





 

 



w y v y



dx V d c



  _ 2 2

(5)

 Metode Kulit Tabung

Metode berikut sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r₁ dan r₂ , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :



r r



h rh r

V    

 ₂ ₁ 2



rata rata jari jari



r r r r r r dengan 2  1    ₂  ₁  , , 2 :

Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x , rxdan tinggi tabung h = f(x). Oleh karena itu volume benda putar adalah

 

xdx xf V b a



 2

misal daerah dibatasi oleh kurvay f

 

x,yg

     

x



f x g x,x

 

a,b



, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar adalah

   



f x g x



dx x V b a



  2

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x=w(y) x=0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume adalah

 



w y



dy y V d c



 2

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh

 

y x v

     

y



w y v y y

 

c d



w

x ,   ,  , , y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar

   



w y v y



dx y V d c



  2

(6)

 Mencari Potensi Listrik

Persamaan integral terkait dengan problem mencari potensial listrik akibat distribusi muatan di suatu titik. Secara matematik, integrasi potensial yang dijumpai biasanya sangat rumit : 𝑽(𝒓) =𝟏 𝒓 ∫ 𝝆(𝒓 ′_)𝒅𝟑_𝒓′ 𝒗𝒐𝒍 + 𝟏 𝒓𝟐 ∫ 𝒓′𝒄𝒐𝒔𝜽𝝆(𝒓′)𝒅𝟑 𝒗𝒐𝒍 𝒓′_{+ ⋯}

Teknik memperoleh potensial dengan cara ini ini dikenal sebagai cara Metode Ekspansi Multipol.

(7)

DAFTAR PUSTAKA

Alatas,Husein.2009.Buku Perlengkapan Fisika Matematika.Bogor: IPB Press

C.Chiang Alpha,Wainwright Kevin.2005.Dasar-dasar Matematika Ekonomi.Jakarta:Erlangga Listya Dewi Tri, Herawati.2007.Buku Pelajaran Untuk SMA Kelas XII Program