7. APLIKASI INTEGRAL

7.1 Menghitung Luas Daerah

a.Misalkan daerah

D





(

x

,

y

)

|

a



x



b

,

0



y



f

(

x

)



a _b f(x) D

Luas D = ?

x



Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar)



_x

x

x

f

A







(

)

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:



b

f

(

x

)

dx

Contoh :

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh

kurva sumbu

x

, dan

x

= 2.

3

8

3

1

2 0 3 2 0 2













x

dx

x

A

,

2

x

y



2 x y  2

Luas irisan

x  2

x

x

x

A







2

Luas daerah

b) Misalkan daerah

D





(

x

,

y

)

|

a



x



b

,

g

(

x

)



y



h

(

x

)



x 

x

x

g

x

h

A









(

(

)

(

))

h(x) g(x) a b

Luas D = ?

Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar)

x 

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: Luas D = A =





b a

dx

x

g

x

h

(

)

(

))

(

D _h(x)-g(x)

Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis

y

=

x

+4 dan parabola



2



₂

x

y

2

4



2





x

x

2 2 x y

_x

2



_x



₆



₀

0

)

2

)(

3

(

x



x





Titik potong antara garis dan parabola y=x+4 -2 ₃ x = -2, x = 3 x  ) 2 ( ) 4 (x  x2 

Luas irisan

x

x

x

A













((

4

)

(

2

2

))





 

















3 2 3 2 2 2

)

6

(

))

2

(

)

4

((

x

x

dx

x

x

dx

A

6

125

6

2

1

3

1

3 2 2 3

















x

x

x

Sehingga luas daerah :

Ctt :

Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih

Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x, 2

x

y



dan y = -x + 2 Jawab Titik potong

2

2







x

x

2 x y

0

2

2







x

x

x

x

A







2 1 2

0

)

1

)(

2

(

x



x





x = -2, x = 1 y=-x+2 1

Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harus dibagi menjadi dua bagian

x  x 

x

x

A











(

2

)

Luas irisan I Luas irisan II









1 0 1 0 3 3 1 2 1

3

1

|

x

dx

x

A

Luas daerah I Luas daerah II 2 1 2 2 1 2 1 2

x

2

dx

x

2

x

|

A















2

1

)

2

(

)

4

2

(









1₂







Sehingga luas daerah

6

5

2

1

3

1

2 1











A

A

A

c). Misalkan daerah

D





(

x

,

y

)

|

c



y



d

,

g

(

y

)



x



h

(

y

)



y 





d

dy

y

g

y

h

(

)

(

))

(

h(y) g(y) c d D

Luas D = ?

Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar) y

y

y

g

y

h

A









(

(

)

(

))

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

y



Luas D = A =

2 3 y x   2

3

1

y

y







0

2

2







y

y

2

3

y

x





Contoh

: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh dan

_y



_x



₁

Jawab : _{Titik potong antara garis dan} parabola

0

)

1

)(

2

(

y



y





y = -2 dan y = 1

1





x

y

-2 1 y  ) 1 ( ) 3 ( y2  y Luas irisan y y y A      ((3 2) ( 1))

Sehingga luas daerah :













1 2 2

))

1

(

)

3

((

y

y

dy

L













1 2 2

)

2

(

y

y

dy

. 2 9 2 2 1 3 1 1 2 2 3         y y y Ctt :

Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva

yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri. Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D

7.2

Menghitung volume benda putar

7.2.1 Metoda Cakram



(

x

,

y

)

|

a

x

b

,

0

y

f

(

x

)



D











a. Daerah diputar terhadap sumbu x

a _b

f(x) D

Benda putar

Daerah D

a _b f(x)

D

x



Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal dan jari-jari f(x).



x

x



x

x

f

V









2

(

)





b

dx

x

f

V



2

(

)

sehingga f(x)

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu

x

2

x

y



2 x y  2 x  2

x

Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari dan tebal 2

x



x

Sehingga

x

x

x

x

V











2 2 4

)

(





Volume benda putar









2 0 2 0 5 4

5

32

|

5







x

dx

x

V

2 x



(

x

,

y

)

|

c

y

d

,

0

x

g

(

y

)



D











b. Daerah

diputar terhadap sumbu y

c d

x=g(y) D

Daerah D Benda putar

? Volume benda putar

c d

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

c d x=g(y) D y 

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal dan Jari-jari g(y). y 

y



y  ) (y g sehingga

y

y

g

V









2

(

)





d c

dy

y

g

V



2

(

)

Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y

2 x y 2 x y  4 y 

Jika irisan dengan tinggi dan tebal diputar terhadap sumbu y akan diperoleh cakram dengan jari-jari dan tebal y y



y

y y y

y



Sehingga

y

y

y

y

V













2



)

(

Volume benda putar









4 0 4 0 2

8

|

2







ydy

y

V

y x  

7.2.2 Metoda Cincin



(

x

,

y

)

|

a

x

b

,

g

(

x

)

y

h

(

x

)



D











a. Daerah

diputar terhadap sumbu x

h(x) g(x) a _b D Daerah D Benda putar

h(x)

g(x)

a x b

D

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

Jika irisan berbentuk persegi panjang

dengan tinggi h(x)-g(x) dan alas diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu

cincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x).

x



x



x



sehingga

x

x

g

x

h

V











(

2

(

)

2

(

))







b

h

x

g

x

dx

V



(

2

(

)

2

(

))

h(x) g(x)

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1

2 x y  2 x y  x  ₂ y=-1 1 2 1 x D

Jika irisan diputar terhadap garis y=1 Akan diperoleh suatu cincin dengan Jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar 2

1 x Sehingga

x

x

V













((

2

1

)

2

1

2

)

x

x

x













(

4

2

2

1

1

)

x

x

x









(

4

2

2

)

















2 186 16 32 2 3 2 5 1 2 4

)

(

)

|

(

2









x

x

dx

x

x

V



(

x

,

y

)

|

a

x

b

,

0

y

f

(

x

)



D











7.2.3 Metoda Kulit Tabung

Diketahui

f(x)

a b

D

Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar

Daerah D _{Benda putar}

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

f(x) a b D x 

x



x 

Jika irisan berbentuk persegi panjang

dengan tinggi f(x) dan alas serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal

x f(x) x

x



sehingga

x

x

f

x

V







2



(

)





b

xf

x

dx

V

2



(

)

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y

2 x y  2 x y  x  ₂ 2 x D x

x



Jika irisan dengan tinggi ,tebal

dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh kulit tabung

dengan tinggi , tebal dan jari jari x 2

x

2

x



x

Sehingga

x

x

x

x

x

V











2 3

2

2





Volume benda putar









2 0 2 0 4 3

8

|

2

2



x

dx



x



V

Catatan :

-Metoda cakram/cincin

Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar

- Metoda kulit tabung

Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar

Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama

Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap

a. Garis y = 4 b. Garis x = 3

2

x y 

a. Sumbu putar y = 4 (i) Metoda cincin

2 x y  2 D y=4 x 

Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincin dengan

Jari-jari dalam = r_d  (4 x2) ) 4 (  x2 Jari-jari luar = 4

r

_l



4

Sehingga

x

x

V













((

4

)

2

(

4

2

)

2

)

x

x

x









(

8

2 4

)

Volume benda putar















(ii) Metoda kulit tabung 2 x y  2 D y=4 y  y

Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan

Jari-jari = r = y  4

y



4

y  2 Tinggi = h = 2 y Tebal =



y

Sehingga

y

y

y

V











2



(

4

)(

2

)

y

y

y

y

y











2



(

8

4

2

)

Volume benda putar











4

)

2

4

8

(

2

y

y

y

y

dy

V



4 0 2 / 5 5 2 2 2 / 3 3 8

₎

_|

8

(

2

y



y



y



y







224₁₅



b. Sumbu putar x=3 (i) Metoda cincin

2 x y  2 D y 

x=3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan

Jari-jari dalam = 1 1  d r Jari-jari luar = 3 y ₃ _y y r_l 3 Sehingga

y

y

V













((

3

)

2

(

1

)

2

)

y

y

y











(

8

6

)

Volume benda putar

dy

y

y

V









4

)

6

8

(







(

8

y



4

y

3/2



8

|

4

)



8



(ii) Metoda kulit tabung 2 x y  2 D x  x=3 x

Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan

Tinggi = h = 2

x

2 x Jari-jari = r = 3 3-x 3-x Tebal =



x

Sehingga

x

x

x

V









2

)

3

(

2



x

x

x







2



(

3

2 3

)

Volume benda putar







2 0 3 2

)

3

(

2

x

x

dx

V



₂



₍

₎

_|

2

₂



₍

₈

₄

₎

₈



0 4 4 1 3











x

x

7.3 Panjang Kurva

Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t)

y = g(t)

,

a



t



b

Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva.

Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika

(1)

(i)

f

'

dan

g

'

_{kontinu pada [a,b]}

Kurva tidak berubah sekonyong-konyong

Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva

Langkah

1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian

b

t

t

t

t

a



_o



₁



₂



...



_n



a

t

●₁ t●i1 ●

t

_i t●n1 b Partisi pada [a,b]

Paritisi pada kurva ● 1 Q ● ● ● ● o Q 1  i Q

Q

_i n

Q

2. Hampiri panjang kurva 1  i Q i Q i s  i w  i s  panjang busur Qi1Qi i w

 _{panjang tali busur} Q_i1Q_i

i

i

w

s







Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur

i

x



i y  2 2

)

(

)

(



x

_i





y

_i



2 1 2 1

)]

[

(

)

(

)]

(

)

(

[



_





_



f

t

_i

f

t

_i

g

t

_i

g

t

_i

Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat sehingga tˆ_i,t_i (t_i1,t_i )

t

t

f

t

f

t

f

(

_i

)



(

_i1

)



'

(

_i

)



t

t

g

t

g

t

g

(

)



(

)



'

(

ˆ

)



dengan



t

_i



t

_i



t

_i1 sehingga 2 2

]

)

ˆ

(

'

[

]

)

(

'

[

_{i i i i} i

f

t

t

g

t

t

w











i i i

g

t

t

t

f







2 2

)]

ˆ

(

'

[

)]

(

'

[

Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur











n i i i i

g

t

t

t

f

L

1 2 2

)]

ˆ

(

'

[

)]

(

'

[

Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh

dt

t

g

t

f

L

b a







2 2

)]

(

'

[

)]

(

'

[

Ctt:

Jika persamaan kurva y=f(x),

_a

_

_x

_

_b

dt

t

g

t

f

L

b a







2 2

)]

(

'

[

)]

(

'

[

dt dt dy dt dx b a



  2 2 ] [ ] [ dt t g t f L d c



  2 2 )] ( ' [ )] ( ' [

dx

dx

dy

dt

dx

dy

dt

dx

b a b a





































2 2 2

1

)

1

(

)

(

Jika persamaan kurva x=g(y),

c



y



d

dt dt dy dt dx d c



  2 2 ] [ ] [ dx dy dt dy dx d d





        2 2 2 1 1 ) (

Contoh : Hitung panjang kurva

4

0

;

,

2 3









t

y

t

t

x

1. 2

3

)

(

'

t

t

x



,

y

'

(

t

)



2

t

dt

t

t

L







4 0 2 2 2

)

2

(

)

3

(

Panjang kurva

dt

t

t







4 0 2 4

4

9







4 0 2 2

)

4

9

(

t

dt

t







4 0 2

4

9

t

dt

t









4 0 2 2 / 1 2

18

)

4

9

(

)

4

9

(

t

t

d

t

t

4 0 2 / 3 2 3 2 18 1

₍

₉



₄

₎

_|



t

(

40

40

8

)

₂₇1

(

80

10

8

)

27 1









2. 3/2

2

x

y



antara x =1/3 dan x=7 Jawab : 2 / 1

3

x

dx

dy

_

















7 3 / 1 7 3 / 1 2 2 / 1

9

1

3

1

x

dx

x

dx

L

₍

₁

₉

₎

₍

₁

₉

₎

7 3 / 1 2 / 1 9 1



_x

_d



_x





3 1 27 2 7 3 / 1 2 / 3 27 2

₍

₁



₉

₎

_|



₍

₅₁₂



₈

₎



₃₇



x

Soal Latihan

A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh

2

dan

2







x

y

x

y

1.

8

dan

,

,

3









x

y

x

y

y

2. 3.

y

=

x

,

y

= 4

x

,

y

= -

x

+2

4.

y

= sin

x

,

y

= cos

x

,

x

= 0 ,

x

= 2.

B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu

x

1.



3

_,



₀

_,

_dan



₂

x

y

x

y

2.

y



9



x

2

dan

y



0

3.

y



x

2

dan

y



4

x

4.

y

= sin

x

,

y

= cos

x

,

x

= 0 ,

x

= /4

1

kuadran

di

,

dan

3

x

y

x

y





5.

C. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis

x

= 2

y

. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : y  x

(1) sumbu

x

(4) sumbu

y

(2) garis

x

= -1 (5) garis

y

= -2 (3) garis

y

= 4 (6) garis

x

= 4

D. Daerah D dibatasi oleh parabol dan garis

x+ y

= 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

2

4x x

y  

(1) sumbu

x

(3) sumbu

y

E. Hitung panjang kurva berikut

1

0

,

)

2

(

3

1

_{2 3/2}









x

x

y

4

2

,

4

ln

2

2









x

x

x

y

2

/

1

0

),

1

ln(



2







x

x

y

9

0

),

3

(

3

1

_

_

_



y

y

y

x

4

1

;

2

/

1

2

,

2

3

2





3









t

y

t

t

x













t

y

t

t

x

4

sin

,

4

cos

5

;

0

1. 2. 3. 4. 5. 6.