91aplikasi integral 2

7.2.2 Metoda Cincin



(

x

,

y

)

|

a

x

b

,

g

(

x

)

y

h

(

x

)



D











a. Daerah

diputar terhadap sumbu x

h(x)

g(x)

a b

D

Daerah D

Benda putar

MA1114 KALKULUS I 2

h(x)

g(x)

a x _b

D

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

Jika irisan berbentuk persegi panjang

dengan tinggi h(x)-g(x) dan alas diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu

cincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x).

x



x



x



sehingga

x

x

g

x

h

V











(

2

(

)

2

(

))







b

a

dx

x

g

x

h

V



(

2

(

)

2

(

))

h(x)

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1

2

x y 

2 x y 

x

 ₂

y=-1 1

2 1 x

D

Jika irisan diputar terhadap garis y=1 Akan diperoleh suatu cincin dengan Jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar _1x2

Sehingga

x

x

V













((

2

1

)

2

1

2

)

x

x

x













(

4

2

2

1

1

)

x

x

x









(

4

2

2

)

















2

15 186 3

16 5

32 2

0 3 3 2 5

5 1 2

4

2

(

|

)

(

)









x

x

dx

x

x

V

MA1114 KALKULUS I 4

Catatan :

-Metoda cakram/cincin

Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar

- Metoda kulit tabung

Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar

Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama

Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap

a. Garis y = 4 b. Garis x = 3

a. Sumbu putar y = 4 (i) Metoda cincin

2

x y 

2 D

y=4

x



Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincin dengan

Jari-jari dalam =r_d (4  x2)

) 4

( _{ x}2

Jari-jari luar =

4

r

_l



4

Sehingga

x

x

V













((

4

)

2

(

4

2

)

2

)

x

x

x









(

8

2 4

)

Volume benda putar

















2

15 224 5

32 3

64 2

0 5 5 1 3

3 8 4

2

)

(

)

|

(

)

8

(









x

x

dx

x

x

MA1114 KALKULUS I 6

b. Sumbu putar x=3

(i) Metoda cincin

2

x y 

2 D

y



x=3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3

diperoleh cincin dengan

Jari-jari dalam =

1

1



d

r

Jari-jari luar =

3

y _{3 y}

y r_l 3

Sehingga

y

y

V













((

3

)

2

(

1

)

2

)

y

y

y











(

8

6

)

Volume benda putar

dy

y

y

V









4

0

)

6

8

(

D. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap

sumbu x

1.

2.

3.

x

y

x

y



2

dan



4

4.

y

= sin

x

,

y

= cos

x

,

x

= 0 ,

x

=



/4

1

kuadran

di

,

dan

3

y

x

x

y





5.

x

y

x

y



2

,

dan



x

y

x

MA1114 KALKULUS I 8

E. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu y

1.

2.

3.

x

y

x

y



2

dan



4

4.

y

= -

x

+1,

y

=

x

2

, dan

x

= 0 di kuadran 1

1

kuadran

di

,

dan

3

y

x

x

y





5.

x

y

x

y



2

,

dan



x

y

x



(

x

,

y

)

|

a

x

b

,

0

y

f

(

x

)



D











7.2.3 Metoda Kulit Tabung

Diketahui

f(x)

a b

D

Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar

Daerah D _{Benda putar}

MA1114 KALKULUS I 10

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

f(x)

a b

D

x



x



x 

Jika irisan berbentuk persegi panjang

dengan tinggi f(x) dan alas serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal

x

f(x)

x

x



sehingga

x

x

f

x

V







2



(

)





b

a

dx

x

xf

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y

2

x y 

2

x y 

x

 ₂

2 x

D

x

x

 Jika irisan dengan tinggi ,tebal

dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh kulit tabung

dengan tinggi , tebal dan jari jari x

2

x

2

x



x

Sehingga

x

x

x

x

x

V











2



2

2



3

Volume benda putar









2

0

2 0 4

3

|

8

2

2



x

dx



x



MA1114 KALKULUS I 12

Catatan :

-Metoda cakram/cincin

Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar

- Metoda kulit tabung

Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar

Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama

Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap

a. Garis y = 4 b. Garis x = 3

(ii) Metoda kulit tabung

2

x y 

2 D

y=4

y



y

Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan

Jari-jari = r =

y



4

y 

4

y



2

Tinggi = h = 2 y

Tebal =



y

Sehingga

y

y

y

V











2



(

4

)(

2

)

y

y

y

y

y











2



(

8

4

2

)

Volume benda putar



  



4

0

) 2

4 8 (

2 y y y y dy

V



4

0 2 / 5 5 2 2

2 / 3 3

8

)

|

8

(

2

y



y



y



y

MA1114 KALKULUS I 14

(ii) Metoda kulit tabung

2

x y 

2 D

x



x=3

x

Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan

Tinggi = h =

2

x

2

x

Jari-jari = r =

3

3-x

3-x Tebal =



x

Sehingga

x

x

x

V









2



(

3

)

2

x

x

x







2



(

3

2 3

)

Volume benda putar







2

0

3

2

)

3

(

2

x

x

dx

V



2



(

)

|

2

2



(

8

4

)

8



0 4 4 1 3









F. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

x y 

(1) sumbu x (4) sumbu y

(2) garis x = -1 (5) garis y = -2

(3) garis y = 4 (6) garis x = 4

G. Daerah D dibatasi oleh parabol dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

2

4x x y  

(1) sumbu x (3) sumbu y

MA1114 KALKULUS I 16

7.3 Panjang Kurva

Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t)

y = g(t)

,

a



t



b

Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva.

Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika

(1)

(i)

f

'

dan

g

'

_{kontinu pada [a,b]}

Kurva tidak berubah sekonyong-konyong

Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva

Langkah

1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian

b

t

t

t

t

a



_o



₁



₂



...



_n



a ●

t

₁ ●ti1 ●

t

_i ●tn1 b

Partisi pada [a,b]

Paritisi pada kurva ●

1

Q ●

● ●

●

o

Q

1



i

Q

Q

_i

n

MA1114 KALKULUS I 18

2. Hampiri panjang kurva

1



i

Q

i

Q

i

s



i

w



i

s

 panjang busurQi1Qi

i

w

 _{panjang tali busur} Q_i1Q_i

i

i

w

s







Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur

i

x



i

y



2

2

(

)

)

(



x

_i





y

_i



2 1 2

1

)]

[

(

)

(

)]

(

)

(

[



_





_



f

t

_i

f

t

_i

g

t

_i

g

t

_i

Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat sehingga tˆ_i,t_i (t_i1,t_i)

t

t

f

t

f

t

f

(

_i

)



(

_i1

)



'

(

_i

)



t

t

g

t

g

t

dengan



t

_i



t

_i



t

_i1

sehingga

2 2

[

'

(

ˆ

)

]

]

)

(

'

[

_{i i i i}

i

f

t

t

g

t

t

w











i i

i

g

t

t

t

f







[

'

(

)]

2

[

'

(

ˆ

)]

2

Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur











n

i

i i

i

g

t

t

t

f

L

1

2 2

[

'

(

ˆ

)]

)]

(

'

[

Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh

dt t

g t

f L

b

a





MA1114 KALKULUS I 20

Ctt:

Jika persamaan kurva y=f(x),_{a x b}

    dt t g t f L b f a f



    1 1 2

2 _{[ '( )]}

)] ( ' [ dt dt dy dt dx b a





 [ ]2 [ ]2

    dt t g t f L d g c g



    1 1 2 2 _{[ '( )]} )] ( ' [

dx

dx

dy

dt

dx

dy

dt

dx

b a b a





































2 2

2

(

1

)

1

)

(

Jika persamaan kurva x=g(y),

c



y



d

dt dt dy dt dx d c





 [ ]2 [ ]2

dy dy dx dt dy dx dt dy d c d c





                        2 2

2 _{1 1}

Contoh : Hitung panjang kurva

4

0

;

,

2 3









t

y

t

t

x

1. 2

3

)

(

'

t

t

x



,

y

'

(

t

)



2

t

dt

t

t

L







4

0

2 2

2

)

(

2

)

3

(

Panjang kurva

dt

t

t







4 0 2 4

4

9







4

0

2

2

(

9

t

4

)

dt

t







4 0 2

4

9

t

dt

t









4 0 2 2 / 1 2

18

)

4

9

(

)

4

9

(

t

t

d

t

t

4 0 2 / 3 2 3 2

181

(

9



4

)

|



t

(

40

40

8

)

₂₇1

(

80

10

8

)

271







MA1114 KALKULUS I 22

2.

y



2

x

3/2 _{antara x =1/3 dan x=7}

Jawab :

2 / 1

3

x

dx

dy



















7

3 / 1

7

3 / 1 2

2 /

1

1

9

3

1

x

dx

x

dx

L

(

1

9

)

(

1

9

)

7

3 / 1

2 / 1 9

1



x

d



x





3 1 272

7 3 / 1 2 / 3

272

(

1



9

)

|



(

512



8

)



37

E. Hitung panjang kurva berikut

1

0

,

)

2

(

3

1

_{2 3/2}









x

x

y

4

2

,

4

ln

2

2









x

x

x

y

2

/

1

0

),

1

ln(



2







x

x

y

9 0 ), 3 ( 3 1   

 y y y

x

4

1

;

2

/

1

2

,

2

3

2





3









t

y

t

t

x













t

y

t

t

x

4

sin

,

4

cos

5

;

0