Kalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan

(1)

Kalkulus II

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan

January 31, 2018

(2)

Outline

1 Aplikasi Integral

Luas Daerah di Bidang Datar

Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

Panjang Kurva

Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa

Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan BersamaInstitut Teknologi KalimantanKalkulus II January 31, 2018⁽⁾ 2 / 71

(3)

Aplikasi Integral

Aplikasi Integral

1.1 Luas Daerah di Bidang Datar

1.2 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin

1.3 Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

1.4 Panjang Kurva dan Luas Permukaan Benda Putar 1.5 Momen dan Pusat Massa

(4)

Outline

1 Aplikasi Integral

Panjang Kurva

(5)

Aplikasi Integral Luas Daerah di Bidang Datar

Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Figure :Ilustrasi fungsi kontinu dan tak negatif

Perhatikan Gambar1, y = f (x ) merupakan fungsi kontinu dan taknegatif di bidangxy pada interval a ≤ x ≤ b..

R adalah daerah yang dibatasi oleh y = f (x ), x = a, x = b, dan y = 0

Luas daerah R tersebut adalah:

A(R) = Z b

a

f (x ) dx

(6)

Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Contoh

Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x⁴− 2x³+2 antara x = −1 dan x = 2

Figure :Daerah di bawah fungsi y = x⁴− 2x³+2

(7)

Solusi:

A(R) = Z 2

−1

(x⁴− 2x³+2) dx

= x⁵ 5 −x⁴

2 +2x

²

−1

= 32 5 −16

2 +4

−

−1 5−1

2 − 2

= 51 10

= 5.1

(8)

Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Figure :Ilustrasi fungsi kontinu dan tak negatif

Perhatikan Gambar1, y = f (x ) merupakan fungsi kontinu dan takpositif di bidangxy pada interval a ≤ x ≤ b..

R adalah daerah yang dibatasi oleh y = f (x ), x = a, x = b, dan y = 0

KarenaRb

a dx bernilai negatif, maka luas daerah R tersebut adalah:

A(R) = − Z b

a

f (x ) dx

(9)

Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Contoh

Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x²/3 − 4 antara x = −2 dan x = 3

Figure :Daerah di bawah sumbu-x dan di atas fungsi y = x²/3 − 4

(10)

Solusi:

A(R) = − Z 3

−2

x²/3 − 4

dx

= Z 3

−2

−x²/3 + 4

dx

=

−x³ 9 +4x

³

−2

=

−27 9 +12

− 8 9− 8

= 145 9

(11)

Langkah menghitung luas Daerah

Figure :Ilustrasi Sketsa Grafik dan Irisannya

Buat sketsa fungsi f (x ), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b];

Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis;

Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik, ∆Ai' f (xi)∆xi; Jumlahkan semua luas irisan A 'Pn

i=1f (xi)∆xi; dan

Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambil pendekatan lebar irisan menuju nol, A =Rb

a f (x ) dx =; lim∆x →0Pn

i=1f (xi)∆xi.

(12)

Irisan Vertikal

Figure :Ilustrasi Irisan Vertikal

Perhatikan Gambar 7.

Misalkan f (x ) dan g(x ) adalah dua fungsi kontinu dengan f (x ) ≥ g(x ) pada a ≤ x ≤ b.

(13)

Irisan Vertikal

Figure :Ilustrasi Irisan Vertikal

Dengan menggunakan lima langkah menghitung luas daerah:

1 Buat sketsa fungsi f (x ) dan g(x ), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b];

2 Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis;

3 Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik,

∆Ai' (f (xi) −g(xi))∆xi;

4 Jumlahkan semua luas irisan A 'Pn

i=1(f (xi) −g(xi))∆xi; dan

5 Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambil pendekatan lebar irisan menuju nol,

A =Rb

(f (x ) − g(x )) dx =; lim∆x →0Pn

(f (xi) −g(xi))∆xi.

(14)

Irisan Horizontal

Figure :Ilustrasi Irisan Horizontal

Perhatikan Gambar 9.

Misalkan f (y ) dan g(y ) adalah dua fungsi kontinu dengan f (y ) ≥ g(y ) pada a ≤ y ≤ b.

(15)

Irisan Horizontal

Figure :Ilustrasi Irisan Horizontal

Dengan menggunakan lima langkah menghitung luas daerah:

1 Buat sketsa fungsi f (y ) dan g(y ), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b];

2 Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis;

3 Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik,

∆Ai' (f (yi) −g(yi))∆yi;

4 Jumlahkan semua luas irisan A 'Pn

i=1(f (yi) −g(yi))∆yi; dan

5 Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambil pendekatan lebar irisan menuju nol,

b n

(16)

Luas Daerah di antara Dua Kurva

Contoh

Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x⁴dan y = 2x − x².

Figure :Daerah di antara fungsi y = x⁴dan y = 2x − x² Solusi:

Kerjakan dengan lima langkah

(17)

Jarak dan Perpindahan

Misalkan sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan v (t).

Jika v (t) ≥ 0, makaRb

a v (t) dt merupakan jarak yang ditempuh dalam interval a ≤ t ≤ b.

Rb

a v (t) dt = s(b) − s(a) menyatakan suatu perpindahan benda yang bergerak dari posisi s(a) ke s(b).

Karena nilai kecepatan bisa negatif, maka total jarak yang ditempuh selama a ≤ t ≤ b adalahRb

a |v (t)| dt

(18)

Contoh

Sebuah benda berada pada posisi s = 3 saat t = 0 dan bergerak dengan kecepatan v (t) = 5 sin 6πt. Di posisi manakah benda tersebut pada saat t = 2 dan berapa jauh benda bergerak selama rentang waktu tersebut?

Figure :Grafik Gerak Benda

(19)

Solusi:

Perpindahan benda:

s(2) − s(0) = Z 2

0

v (t) dt = Z 2

0

5 sin 6πt dt =

− 5

6π cos 6πt

2 0

=0 Dengan demikian, s(2) = s(0) + 0 = 3 + 0 = 3 menunjukkan bahwa benda tersebut berada pada posisi 3 saat t = 2.

Total jarak yang ditempuh benda tersebut adalah Z 2

0

|v (t)| dt = Z 2

0

| 5 sin 6πt| dt Dengan menggunakan sifat simetri, maka

Z 2 0

|v (t)| dt = 12 Z 2/12

0

| 5 sin 6πt| dt

= 60

− 1

6πcos 6πt

1/6 0

= 20

π ≈ 6.3662.

(20)

Latihan Soal

Dapatkan luas daerah dari A.

Figure :Soal latihan 1 sampai 4

(21)

Latihan Soal

Dapatkan luas daerah dari A.

Figure :Soal latihan 5 dan 6

(22)

Latihan Soal

7 Sketsakan daerah yang ditutupi oleh kurva-kurva berikut dan hitung luas areanya.

a. y = x², y =√

x , x = 1/4, x = 1 b. y = cos 2x , y = 0, x = π/4, x = π/2 c. x = sin y , x = 0, y = π/4, y = 3π/4 d. x²=y , x = y − 2

8 Dapatkan garis horizontal y = k yang membagi daerah di antara y = x²dan y = 9 menjadi dua bagian yang sama.

9 Dapatkan garis vertical x = k yang membagi daerah yang dibatasi oleh x =√

y , x = 2 and y = 0 menjadi dua bagian yang sama.

10 Hitung luas daerah antara kurva y = sin x dan garis yang menghubungkan antara titik-titik (0, 0) dan (^5π₆,12) pada kurva tersebut.

11 Bermula dari s = 0 saat t = 0, sebuah benda bergerak sepanjang garis sehingga kecepatannya pada saat t adalah v (t) = 4t − 2 cm/s. Berapa lama benda tersebut akan sampai pada s = 20?

(23)

Aplikasi Integral Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin

Outline

1 Aplikasi Integral

Panjang Kurva

(24)

Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin

(25)

Konsep Volume

Figure :Volume Benda-Benda Tegak

Misalkan A dan h masing-masing adalah luas penampang dan tinggi benda tegak.

Volume V benda tersebut adalah: V = A · h

(26)

Konsep Volume

Figure :Irisan Benda Putar

Misalkan suatu kurva kontinu pada interval [a, b] di atas sumbu-x diputar tegak lurus sebesar terhadap sumbu putar (sumbu-x ).

Perhitungan volume didekati dengan membuat irisan-irisan tipis pada benda putar tersbut kemudian menjumlahkannya.

Misalkan irisan diambil pada titik-titik a = x0<x1<x2< · · · <xn=b.

Antara titik xidan xi−1terdapat titik tengah ¯xi, terlihat bahwa irisan tersebut menyerupai sebuah tabung tipis dengan luas alas A(xi)dan tinggi/tebal dari xi−1

hingga xi, sehingga ∆xi =xi− xi−1.

(27)

Konsep Volume

Figure :Irisan Benda Putar Volume irisan tersebut adalah ∆Vi≈ ∆A(¯xi)∆xi. Volume benda (pendekatan):

V ≈

n

X

i=1

A(xi)∆xi

Volume benda:

V = Zb

a

A(x ) dx

(28)

Metode Cakram

Contoh

Suatu daerah yang dibatasi kurva y =√

x , sumbu-x , dan x = 4 diputar terhadap sumbu-x . Dapatkan volume benda benda tersebut.

Figure :Sketsa Benda Putar

Misalkan irisan diambil pada titik xidan xi−1dengan tebal ∆x . Karena jari-jari irisan sebesar√

xi, maka luas alas irisan adalah ∆A(xi) = π(√

xi)²dan volume irisan:

∆Vi≈ π(√ xi)²∆x

(29)

Metode Cakram

Figure :Sketsa Benda Putar Volume benda (pendekatan):

V ≈

n

X

i=1

π(√ xi)²∆x

Volume benda:

V = lim

∆x →0 n

X

i=1

π(√

xi)²∆x = Z 4

0

π(√

x )²dx = π x² 2

⁴

0

=8π

(30)

Metode Cakram

Contoh

Suatu daerah yang dibatasi kurva y = x³, sumbu-y , dan y = 3 diputar terhadap sumbu-y . Dapatkan volume benda benda tersebut.

Figure :Sketsa Benda Putar Misalkan irisan diambil pada titik yidan yi−1dengan tebal ∆y Jarak dari sumbu putar ke kurva:√³

y sehingga jari-jari irisan sebesar√³ y Luas alas irisan adalah ∆A(xi) = π√³

y Volume irisan: ∆Vi≈ π(√³

y )²∆y

(31)

Metode Cakram

Figure :Sketsa Benda Putar Volume benda (pendekatan):

V ≈

n

X

i=1

π(√³ xi)²∆y

Volume benda:

V = lim

∆y →0 n

X

i=1

π(√³

xi)²∆y = Z 3

0

π(√³

x )²dy = π 3 5y^5/3

3 0

= π9√³ 9

5 ≈ 11.76

(32)

Metode Cincin

Figure :Konsep Volume pada Cincin

Cincin memiliki dua jari-jari, r₁sebagai jari-jari dalam dan r₂ sebagai jari-jari luar.

Jika tinggi cincin adalah h, maka volume cincin tersebut adalah V = A · h = π(r₂²− r₁²)h

(33)

Metode Cincin

Contoh

Dapatkan volume benda putar yang diperoleh dengan cara memutar daerah yang dibatasi y = x²dan y²=8x terhadap sumbu-x .

(34)

Solusi:

Dengan membuat irisan, pendekatan volume, kemudian mengintegralkan, maka volume benda tersebut adalah

V = π Z 2

0

(8x − x²)dx = π 8x² 2 = x⁵

5

2 0

= 48π 5

(35)

Contoh

Daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh kurva x =p4 − y²dan sumbu-y dirotasikan terhadap garis x = −1. Hitung volume benda tersebut.

Figure :Sketsa dan Irisan

(36)

Jari-jari dalam: 1

Jari-jari luar: 1 +p4 − y² Tinggi irisan: ∆y

∆V ≈ πh

(1 +p4 − y²)²− 1²i

∆y Volume:

V = π

Z 2

−2

h (1 +p

4 − y²)²− 1²i dy

= π

Z 2

−2

h 2p

4 − y²+4 − y²i dy

= π

2

Z 2 0

p4 − y²dy + Z 2

0

(4 − y²)dy

= π 2π +

4y −1

3y³

2 0

!

= π

2π + 8 −8 3

= 2π²+16 3 π

(37)

Latihan Soal

Jika R adalah daerah yang diputar mengelilingi sumbunya, maka dapatkan volume yang dihasilkan.

Figure :Latihan 1 sampai 4

(38)

Latihan Soal

Jika R adalah daerah yang diputar mengelilingi sumbunya, maka dapatkan volume yang dihasilkan.

Figure :Latihan 5 sampai 8

(39)

Latihan Soal

9 Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan oleh derah yang dibatasi oleh y =√

x + 1, y =√

2x dan y = 0 dan diputar mengelilingi sumbu x . [Hint: Bagi benda padat yang dihasilkan tersebut menjadi dua bagian.]

10 Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan oleh derah yang dibatasi oleh y = x²and y = x³dan diputar mengelilingi sumbu: (a) garis x = 1 dan (b) garis y = −1.

(40)

Tugas 1

Kerjakan semua latihan soal yang ada

(41)

Aplikasi Integral Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

Outline

1 Aplikasi Integral

Panjang Kurva

(42)

Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

(43)

Metode Kulit Tabung

Sebuah kulit tabung dengan jari-jari dalam r1, jari-jari luar r2, dan tinggi h akan memiliki volume sebagai berikut:

V = (luas alas) · (tinggi)

= (πr₂²− πr1²)h

= π(r2+r1)(r2− r1)h

= 2πr1+r2

2

h(r2− r1)

= 2πrh∆r dengan

r = (r1+r2)/2 : rata-rata jari-jari (r1+r2) :ketebalan, dan h : ketinggian.

Dengan teknik irisan, pendekatan, dan integrasi, maka diperoleh volume benda putar tersebut adalah

∆V ≈ 2πx f (x )∆x dan

V = 2π Z b

a

x f (x ) dx

(44)

Contoh: Metode Kulit Tabung

Daerah yang dibatasi oleh y = 1/√

x , sumbu−x , x = 1, dan x = 4 diputar terhadap sumbu−y . Dapatkan volume yang dihasilkan.

(45)

Solusi

Berdasarkan gambar, kita peroleh perhitungan volume yang dibangkitkan oleh kurva f (x ) = 1/√

x adalah sebagai berikut:

∆V ≈ 2πx f (x )∆x

∆V ≈ 2πx 1/√ x ∆x

V = 2π

Z4 1

x 1

√xdx = 2π Z 4

1

x^1/2dx

= 2π 2 3x^3/2

4 1

= 2π 2 3· 8 −2

3· 1

=28π

3 ≈ 29.32.

(46)

Outline

1 Aplikasi Integral

Panjang Kurva

(47)

Aplikasi Integral Panjang Kurva

Panjang Kurva

(48)

Persamaan Parameter

Perhatikan gambar lingkaran berjari-jari a, berpusat di (0, 0) dan persamaan pembentuknya.

Pada koordinat kartesius, lingkaran tersebut dibentuk oleh persamaan x²+y²=a² Lingkaran x²+y²=a²dapat pula dibentuk oleh x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ 2π

x dan y diekspresikan dalam parameter t

Kurva yang dihasilkan oleh persamaan parameter merupakan kurva berarah

(49)

Contoh: Persamaan Parameter

Persamaan parameter x = 2t + 1, y = t²− 1, pada 0 ≤ t ≤ 3

menghasilkan kurva berarah sebagai berikut

(50)

Panjang Kurva

Teorema

Suatu kurva dikatakan halus (smooth) jika dibentuk oleh dua

persamaan parameter x = f (t) dan y = g(t) pada a ≤ t ≤ b dengan syarat kedua turunan pertama dx /dt dan dy /dy tidak bersama-sama bernilai nol pada (a, b).

Teorema

Panjang Kurva yang dibentuk oleh oleh dua persamaan parameter x = f (t) dan y = g(t) pada a ≤ t ≤ b adalah

L = Z b

a

s

dx dt

2

+ dy dt

2

dt

(51)

Panjang Kurva

Teorema

Jika x dipandang sebagai parameter, maka panjang kurva y = f (x ) pada a ≤ x ≤ b adalah

L = Z b

a

s

1 + dy dx

2

dx (1)

Teorema

Jika y dipandang sebagai parameter, maka panjang kurva x = g(y ) pada c ≤ y ≤ d adalah

L = Z d

c

s

dx dy

2

+1dy (2)

(52)

Contoh Panjang Kurva

Dapatkan panjang kurva y = x^3/2dari titik (1, 1) ke (2, 2√

2) dalam dua cara: (a) menggunakan formula (1) dan (b) menggunakan formula (2)

Solusi (a)

dy dx = 3

2x^1/2

Karena kurva membentang dari x = 1 ke x = 2, maka panjang kurva y = x^3/2adalah

L = Z 2

1

s

1 + 3 2x^1/2

2

dx = Z 2

1

r 1 + 9

4x dx

(53)

Contoh Panjang Kurva (lanjutan)

Dengan mensubstitusi u = 1 +⁹₄x dan mengubah batas integrasi (x = 1, x = 2) menjadi (u = ¹³₂,u = ²²₄), diperoleh

L = 4

9 Z 22/4

13/4

u^1/2du

= 8

27

"

22 4

3/2

− 13 4

3/2#

= 22√

22 − 13√ 13

27 ≈ 2.09

(b) Sekarang coba untuk menghitung panjang kurva dengan mengubah y = x^3/2menjadi x = y^2/3dan memperhatikan batas integrasi.

(54)

Outline

1 Aplikasi Integral

Panjang Kurva

(55)

Aplikasi Integral Luas Permukaan Benda Putar

Luas Permukaan Benda Putar

Perputaran suatu kurva menghasilkan benda putar yang memiliki volume

Selain volume, benda putar tersebut juga memiliki luas permukaan.

(56)

Luas Permukaan Benda Putar

Perhitungan luas permukaan benda putar didekati dengan menghitung luas irisan kerucut (frustum)

Luas irisan kerucut dengan jari-jari r₁, r₂, sisi miring l dan tinggi t adalah S = π(r₁+r₂)l

(57)

Luas Permukaan Benda Putar

Perhatikan irisan kerucut (frustum) berikut

Sisi miring irisan kerucut ke−k dari suatu benda putar dengan jari-jari f (x_{k −1}), f (x_k), tinggi ∆x adalah

S_k = π[f (x_{k −1}) +f (x_k)]

q

(∆x )²+ [f (x_k) −f (x_{k −1})]²

(58)

Luas Permukaan Benda Putar

Teorema

Misalkan f adalah fungsi halus (smooth) dan tak negatif pada [a, b]. Luas permukaan benda putar yang dihasilkan dari perputaran y = f (x ) antara x = a dan x = b terhadap sumbu-x adalah

S = Z b

a

2πf (x )p

1 + [f⁰(x )]²dx = Z b

a

2πy s

1 + dy dx

2

dx

Teorema

Misalkan g adalah fungsi halus (smooth) dan tak negatif pada [c, d ]. Luas permukaan benda putar yang dihasilkan dari perputaran x = g(x ) antara x = c dan x = d terhadap sumbu-y adalah

S = Z d

c

2πg(y )p

1 + [g⁰(y )]²dy = Zd

c

2πx s

1 + dx dy

2

dy

(59)

Latihan Luas Permukaan Benda Putar

Dapatkan luas permukaan benda putar yang dibangkitkan oleh perputaran kurva y = x²antara x = 1 dan x = 2 terhadap sumbu−y solusi: Karena diputar terhadap sumbu-y , maka y = x²menjadi x =√

y dan untuk x = 1 dan x = 2 masing-masing menghasilkan y = 1 dan y = 4.

(60)

Contoh Luas Permukaan Benda Putar

S =

Z 4 1

2πx s

1 + dx dy

2

dy

= Z 4

1

2π√ y

s 1 +

1 2√

y

2

dy

= π Z 4

1

p1 + 4y dy

= π 4

Z 17 5

u^1/2du

= π 4 ·2

3 h

u^3/2i17 5

= π

6 · (17^3/2− 5^3/2) ≈30.85

(61)

Latihan

1 Dapatkan panjang kurva berikut

a. y = 2x + 3 antara (1, 5) dan (3, 9) b. x = 3y^3/2− 1 untuk 0 ≤ y ≤ 4 c. x = 1 + t, y = 2 + 3t, 0 ≤ t ≤ 1 d. 4 sin t, y = 4 cos t − 5, 0 ≤ t ≤ π

(62)

2 Carilah luas permukaan yang terbentuk dengan pemutaran kurva yang diberikan mengelilingi sumbu x

a. y =√

25 − x², −2 ≤ x ≤ 3 b. y = ^x_8x⁶⁼²2 , 1 ≤ x ≤ 3 c. y = ^x₃³, 1 ≤ x ≤√

7

d. x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 1 3 Sebuah luasan R dibatasi kurva

x =p

9 − y², −3 ≤ x ≤ 3 dan diputar mengelilingi sumbu y . Hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu

menggambar benda putarnya.

(63)

Aplikasi Integral Momen dan Pusat Massa

Outline

1 Aplikasi Integral

Panjang Kurva

(64)

Bagaimana cara menentukan titik a pada gambar 1 dan P pada gambar 2 agar batang dan lempeng berada dalam keadaan setimbang?

Titik a dan P disebutpusat massa.

Misalkan batang L terletak pada sumbu−x dengan ¯x adalah pusat massa, m1pada x1yang berjarak d1

dari ¯x , dan m2pada x2, yang bejarak m2dari ¯x .

Batang pada gambar 1 akan setimbang jika

m1d1 = m2d2

m1(¯x − x1) = m1(¯x − x2) m1x + m¯ 2x¯ = m1x1+m2x2

x¯ = m1x1+m2x2

m1+m2

m1x1dan m2x2disebutmomen.

(65)

Secara umum, jika terdapat n buah partikel bermassa m₁,m₂, . . . ,mn

pada titik x₁,x₂, . . . ,x_n pada sumbu−x , maka pusat massa sistem tersebut berada pada

¯x = Pn

i=1m_ix_i Pn

i=1m_i = M

m (3)

dengan M =Pn

i=1m_ix_i dan m =Pn

i=1m_i, sehingga persamaan (3) bisa ditulis m¯x = M.

(66)

Misalkan suatu sistem pada bidang−xy memuat n buah sistem m1,m2, . . . ,mnberada pada titik (x1,y1), (x2,y2), . . . , (xn,yn).

Momen sistem terhadap sumbu−y adalah

My =

n

X

i=1

mixi

danMomen sistem terhadap sumbu−x adalah

Mx =

n

X

i=1

miyi

x =¯ Pn

i=1mixi

Pn i=1mi

=M m dengan M =Pn

i=1mixidan m =Pn i=1mi. My mengukur kecenderungan sistem berotasi pada sumbu−y

Mx mengukur kecenderungan sistem berotasi pada sumbu−x

(67)

Misalkan sebuah lempeng tipis R yang dibatasi oleh y = f (x ), sumbu−x , dan interval [a, b] pada gambar (a) memiliki kepadatan ρ yang sama.

Perhatikan irisan lempeng pada gambar (b) di titik xi. Luas daerah pada irisan tersebut adalah ρf (¯xi)∆x

momen pada R terhadap sumbu−y adalah

My = lim

n→∞

n

X

i=1

ρ¯xif (¯xi)∆x

= ρ

Z b a

xf (x ) dx

momen pada R terhadap sumbu−x adalah

Mx = lim

n→∞

n

X

i=1

ρ ·1

2[f (¯xi)]²∆x

= ρ

Z b a

1

2[f (x )]²dx

(68)

Massa lempeng dengan luas A dan rapat massa ρ adalah m = ρA = ρRb

a f (x ) dx

¯x = My

m = ρRb

a xf (x ) dx ρRb

a f (x ) dx = Rb

a xf (x ) dx Rb

a f (x ) dx = 1 A

Z b a

xf (x ) dx (4)

y =¯ M_x

m = ρRb a

1

2[f (x )]²dx ρRb

a f (x ) dx = Rb

a 1

2[f (x )]²dx Rb

a f (x ) dx = 1 A

Z b a

1

2[f (x )]²dx (5) Pusat massa (¯x , ¯y ).

(69)

Pusat massa lempeng yang dibatasi dua kurva f (x ) dan g(x ) pada interval [a, b]

¯x = 1 A

Z b a

x [f (x ) − g(x )] dx (6)

y =¯ Mx

m = 1 A

Z b a

1

2{[f (x)]²− [g(x)]²} dx (7)

(70)

Contoh Pusat Massa

Dapatkan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh garis y = x dan parabola y = x²

Solusi:

A = Z 1

0

(x −x²)dx = x² 2 −x³

3

¹

0

=1 6

x¯ = 1 A

Z1 0

x [f (x ) − g(x )] dx

= 1

1/6 Z 1

0

x [x − x²]dx

= 6

Z 1 0

(x²− x³)dx

= 6 x³ 3 −x⁴

4

1 0

= 1

2

(71)

¯y = 1 A

Z 1 0

1

2{[f (x)]²− [g(x)]²} dx

= 1

1/6 Z 1

0

1

2(x²− x⁴)dx

= 3 x³ 3 −x⁵

5

¹

0

= 2

5 pusat massa ¹₂,²₅

(72)

Teorema Pappus

Teorema

Misalkan daerah R terletak pada satu sisi suatu garis l dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, maka volum

benda-pejal yang dihasilkan sama dengan luas R dikalikan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya.

(73)

Latihan

1 Diketahui keping homogen dengan rapat massa 1 yang menempati daerah yang dibatasi oleh kurva y =√

x dan y = x². Tentukan massa dan pusat massa keping tersebut.

2 Jika D = (x , y )| − ^π₂ ≤ x ≤^π₂,0 ≤ y ≤ cos x

Tentukan(a) luas daerah D (b) momen daerah D terhadap sumbu x (c) momen daerah D terhadap sumbu y (d) pusat daerah D

3 GunakanTeorema Pappus untuk menentukan volum daerah D = {(x , y )|

0 ≤ x ≤ 2, x²≤ y ≤ 4} jika diputar terhadap sumbu y .

(74)

Daftar Pustaka

Dale Varberg, Edwin J. Purcell, steven E. Rigdon (2007): Calculus, ninth edition, Pearson Prentice Hall.

James Stewart (2012): Calculus Seventh Edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, USA.

Anton, Bivens, Davis (2012): Calculus Early Transcendentals 10th Edition, John Wiley and Sons, Inc., USA.