INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI FISIKA
Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452 Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id
Pekerjaan Rumah-3
FI- 3101 Gelombang
1. Diberikan pers. Maxwell berikut: (1) ∇ ∙ 𝑬 = 𝜌 𝜖0 (2) ∇ × 𝑬 = −𝜕𝑩 𝜕𝑡 (3) ∇ ∙ 𝑩 = 0 (4) ∇ × 𝑩 = 𝜇0𝑱 + 𝜇0𝜖0 𝜕𝑬 𝜕𝑡 dan persamaan konstitutif 𝑩 = 𝜇𝑯 dan 𝑫 = 𝜖𝑬.
a. Turunkan persamaan gelombang bagi E dan H bilamana tak ada sumber muatan maupun sumber arus. b. Jika 𝑬(𝒓, 𝑡) = 𝑬𝟎exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) adalah solusi gelombang bisang yang menjalar dalam arah-Z, gunakan
persamaan Maxwell di atas untuk mendapatkan ungkapan bagi 𝑯(𝒓, 𝑡), serta nyatakan amplitudo H0 dinyatakan dalam 𝑬𝟎, 𝜇 𝑑𝑎𝑛 𝜖. (point:20)
Jawab:
Mulai dengan pers Maxwell tanpa sumber arus dan sumber muatan, 𝜌 = 0 𝑱 = 𝟎:
(1) ∇ ∙ 𝑬 = 0 (2) ∇ × 𝑬 = −𝜕𝑩
𝜕𝑡 (3) ∇ ∙ 𝑩 = 0 (4) ∇ × 𝑩 = 𝜇𝜖 𝜕𝑬
𝜕𝑡
Ambil curl pada (2) ∇ × ∇ × 𝑬 = −𝜕∇ ×𝑩𝜕𝑡 ∇ (∇ ∙ 𝐄) − ∇ 2𝑬 = −𝜕∇ ×𝑩𝜕𝑡 Pakai (1) dan (4) :
−∇ 2𝑬 = −𝜇𝜖 𝜕 𝜕𝑡(
𝜕𝑬 𝜕𝑡) Re-arrange , we obtain the wave equation for the E field :
∇ 2𝑬 − 𝜇𝜖𝜕
2𝑬
𝜕𝑡2 = 0
Selanjutnya mulai dengan curl (4) : ∇ × ∇ × 𝑩 = 𝜇𝜖𝜕∇ ×𝑬
𝜕𝑡 ∇ (∇ ∙ 𝑩) − ∇ 2 𝑩 = 𝜇𝜖𝜕∇ ×𝑬 𝜕𝑡 Pakai (2) dan (3): −∇ 2𝑩 = −𝜇𝜖𝜕 2𝑩 𝜕𝑡2 → ∇ 2 𝑩 − 𝜇𝜖𝜕 2𝑩 𝜕𝑡2 = 𝟎 dengan 𝑩 = 𝜇𝑯: ∇ 2𝑯 − 𝜇𝜖𝜕 2𝑯 𝜕𝑡2 = 𝟎
b. Jika 𝑬(𝒓, 𝑡) = 𝑬𝟎exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) maka B akan berbentuk serupa: 𝑩(𝒓, 𝑡) = 𝑩𝟎exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) dan 𝑯 = 𝑩 𝜇
maka memakai (2)
(2) ∇ × 𝑬 = −𝜕𝑩 𝜕𝑡 → ∇ × {𝑬𝟎exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧])} = − 𝜕 𝜕𝑡 𝑩𝟎exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) ∇ exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) × 𝑬𝟎 = −𝑖𝜔 𝑩𝟎exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) −𝑖 𝒛̂𝑘 exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) × 𝑬𝟎= −𝑖𝜔 𝑩𝟎exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) −𝑖 𝒛̂𝑘 × 𝑬𝟎exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) = −𝑖𝜔 𝑩𝟎exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) jadi 𝒛̂𝑘 × 𝑬 = 𝜔 𝑩 atau 𝒛̂𝑘 × 𝑬𝟎 = 𝜔 𝑩𝟎 secara umum : 𝒌 × 𝑬 = 𝜔 𝑩 dengan 𝒌 = 𝒛̂ 𝑘.
Memakai hubungan konstitutif 𝑩 = 𝜇𝑯, maka 𝑯 = 𝑘 𝜇𝜔𝒛̂ × 𝑬 → 𝑯 = 𝑘 𝜇𝜔𝒛̂ × 𝑬𝟎exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) = 𝑯𝟎exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) 𝑯𝟎= 𝑘 𝜇𝜔𝒛̂ × 𝑬𝟎= 1 𝜇𝑐𝒛̂ × 𝑬𝟎= √ 𝜖 𝜇𝒛̂ × 𝑬𝟎
2. Gelombang datar EM di vakum dinyatakan oleh fungsi gelombang sbb: 𝑬(𝒓, 𝑡) = 𝒊 0,02 cos([𝜔𝑡 + 𝑘𝑧])
semua satuan SI. Frekuensinya diberikan oleh 𝑓 = 108 ℎ𝑧 dan laju propagasinya 𝑐 = 3𝑥108 𝑚/𝑠.
a. Apakah jenis polarisasinya dan arah jalarnya? (point:4) b. Berapakah 𝜔, 𝒌 dan 𝜆 ? (point:4)
c. Carilah medan H terkait. (point:4)
d. Hitunglah rapat energi rata-ratanya. (point:4) e. Hitunglah rapat arus energi rata-ratanya. (point:4)
Jawab:
a. Polarisasi linear, menjalar arah Z b. 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 × 108 𝑟𝑎𝑑 𝑠 = 6,28 × 10 8 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑘 =𝜔 𝑐 = 2𝜋 × 108 𝑐 𝑟𝑎𝑑 𝑚 = 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 𝑚 = 2,09 𝑟𝑎𝑑/𝑚 𝜆 =2𝜋 𝑘 = 2𝜋𝑐 2𝜋×108=𝑐10 −8 𝑚 = 3𝑚
c. Medan H diberikan oleh
𝑯 = √𝜖0 𝜇0 𝒌̂ × 𝑬 𝑯 = √𝜖0 𝜇0 𝒌 × 𝒊 𝐸 = 𝒋 √ 𝜖0 𝜇0𝐸 = 𝒋 √ 𝜖0 𝜇0 0,02 ∗ cos (2𝜋 × 108[𝑡 +𝑥 𝑐]) Amplitudo 𝐻0= (0,02)√ 𝜖0 𝜇0
d. Rapat energi rata-rata : < 𝑢 >= 𝜖0< 𝑬 ∙ 𝑬 >= 𝜖0𝐸02 < cos2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) > = 1 2𝜖0𝐸0 2=1 2𝜖0(0,02 2) = 2𝑥10−4𝜖 0 𝐽 𝑚3
Atau bisa juga dihitung melalui: < 𝑢 > = < 𝑩 ∙ 𝑩 > 𝜇0 = 𝜇0𝐻02< cos2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) > = 1 2𝜇0(0,02 2) (𝜖0 𝜇0 ) = 2𝑥10−4𝜖 0 𝐽 𝑚3
f. Rapat arus energinya (karena tidak pakai representasi komplek, jadi bisa langsung memakai rumus berikut):
𝑵 =< (𝑬 × 𝑯) > = < 𝐸0 𝒊 × 𝒋 𝐻0 cos2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) > = 𝒌 𝐸0𝐻0< cos2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) > = 𝒌 1 2𝐸0𝐻0 𝑵 = 𝒌 1 2√ 𝜖0 𝜇0 𝐸02 = 𝒌 1 2(0,02 2)√𝜖0 𝜇0 = 𝒌 2𝑥104√𝜖0 𝜇0 𝑤𝑎𝑡𝑡 𝑚2
3. Gelombang EM datar di medium 1 (indek bias n1=1) dinyatakan oleh :
𝑬(𝒓, 𝑡) = (𝐸𝑜𝒌) exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝒌 ∙ 𝒓])
datang ke bidang batas dengan medium 2 (indek bias n2=1,5) dengan
sudut datang 𝜃1= 30. Gelombang ini menjalar di bidang XY dengan
bidang batas medium 1 dan 2 adalah z=0.
a. Tentukan apakah ini kasus TE, TM atau bukan keduanya? (point:4) b. Jika 𝒌𝟏′ dan 𝒌𝟐 adalah bilangan gelombang pantul dan bias, turunkan
ungkapan bagi vektor 𝒌𝟏′ dan 𝒌𝟐 dinyatakan dalam k (yaitu besar
bilangan gelombang datang) dan vektor satuan i,j dan k. (point:4)
c. Hitunglah koefisien refleksi (r) dari medium 1 ke 2, dan koefisien transmisi t. (point:4) d. Hitunglah reflektansi R dan transmitansinya T. (point:4)
e. Pakailah hasil-hasil di atas untuk menuliskan bentuk medan E1’ dan E2 yaitu gelombang pantul dan transmisi
dinyatakan dalam 𝐸0, 𝜔, 𝑡, 𝑘, 𝑥, 𝑦, 𝑧, n1 dan n2. (point:4)
Jawab:
a. Lihat gambar. Karena arah polarisasi medan E tegak lurus bidang datang maka ini kasus TE. b. Untuk gelombang pantul 𝑘1= 𝑘, sehingga:
𝒌𝟏′ = 𝑘(𝒊 sin 𝜃1+ 𝒋 cos 𝜃1) = 𝑘(𝒊 sin 30° + 𝒋 cos 30°) = 𝑘(0.5 𝒊 + 0.5√3𝒋) = 𝑘(0.5𝒊 + 0.87𝒋)
Untuk gelombang transmisi, memakai hukum snellius: 𝑛1𝑠𝑖𝑛𝜃1= 𝑛2sin 𝜃2 or
𝑛1
𝑛2𝑠𝑖𝑛𝜃1= sin 𝜃2→
1
1.5sin 30° = sin 𝜃2 → 𝜃2= arcsin ( 1 3) = 19.47° (atau sin 𝜃2= 1 3 cos 𝜃2= 2
3√2). Dan vektor gelombang 𝑘2= 𝜔 𝑣2= 𝜔 𝑐𝑛2= 𝑘𝑛2= 1.5𝑘 𝒌𝟐 = 𝑘2(𝒊 sin 𝜃2− 𝒋 cos 𝜃2) = 1.5𝑘 (𝒊 1 3− 𝒋 2 3√2) = 𝑘 (𝒊 3 2− 𝒋√2) c. Koefisien refleksi TE (r ) X k 2 k2 1 1 k’1 Y n1 n2
𝑟𝑇𝐸 = 𝑛1cos 𝜃1− 𝑛2cos 𝜃2 𝑛1cos 𝜃1+ 𝑛2cos 𝜃2 =1 ∗ cos 30° − 1.5 cos 19.47° 1 ∗ cos 30° + 1.5 cos 19.47°= √3 − 2√2 √3 + 2√2 = −0.2404 Koefisien transmisi (t) : 𝑡𝑇𝐸 = 2𝑛1cos 𝜃1 𝑛1cos 𝜃1+ 𝑛2cos 𝜃2 = 2 ∗ 1 ∗ cos 30° 1 ∗ cos 30° + 1.5 cos 19.47°= √3 1 2 √3 + √2 = 0.7596 Lihat bahwa 𝑡𝑇𝐸 = 1 + 𝑟𝑇𝐸 → 0.7596 = 1 − 0.2404 d. Reflektansi 𝑅𝑇𝐸 = 𝑟𝑇𝐸2 = (−0.2404)2= 0.0578
Transmitansi ditentukan dari 𝑅𝑇𝐸+ 𝑇𝑇𝐸 = 1 → 𝑇𝑇𝐸 = 1 − 0.0578 = 0.9422
e. Gelombang pantul:
𝑬𝟏′(𝒓, 𝑡) = (𝑟𝑇𝐸𝐸𝑜𝒌) exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝒌𝟏′ ∙ 𝒓]) = (−0.2404𝐸𝑜𝒌) exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘(0.5𝑥 + 0.87𝑦)] )
Gelombang transmisi:
𝑬𝟐(𝒓, 𝑡) = (𝑡𝑇𝐸𝐸𝑜𝒌) exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝒌𝟐 ∙ 𝒓]) = (0.7596𝐸𝑜𝒌) exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘(1.5x − √2y )] )
4.a Buktikan bahwa 1 + 𝑟𝑇𝐸 = 𝑡𝑇𝐸 berlaku untuk seluruh sudut datang 𝜃1 (point:10)
b. Buktikan bahwa 1 − 𝑟𝑇𝑀= 𝑡𝑇𝑀 hanya berlaku untuk sudut datang normal 𝜃1 = 0 (point:10)
Jawab:
a. Untuk kasus TE , Dari kontinutas syarat batas : 𝐸1+ 𝐸1′ = 𝐸2
Artinya : 1 +𝐸1′
𝐸1= 𝐸2
𝐸1 → 1 + 𝑟𝑇𝐸 = 𝑡𝑇𝐸 dengan memakai definisi 𝑟𝑇𝐸 dan 𝑡𝑇𝐸. Hasil ini jelas tak bergantung sudut 𝜃1.
b. Untuk kasus TM penerapan syarat batas kontinutas memberikan: 𝐸1cos 𝜃1− 𝐸1′ cos 𝜃1= 𝐸2cos 𝜃2 atau cos 𝜃1−
𝐸1′
𝐸1cos 𝜃1=
𝐸2
𝐸1cos 𝜃2→ cos 𝜃1− 𝑟𝑇𝑀 𝑐𝑜𝑠 𝜃1= 𝑡𝑇𝑀cos 𝜃2
Or 1 − 𝑟𝑇𝑀 = 𝑡𝑇𝑀 cos 𝜃2 cos 𝜃1
Memakai hukum snellius maka 𝜃1= 0 dan 𝜃2= 0, sehingga untuk kasus ini : 1 − 𝑟𝑇𝑀 = 𝑡𝑇𝑀.
5. Total internal reflection.
Sebuah gelombang TM datang dari medium dengan indek bias n1 ke n2 (dengan n1>n2) dan sudut datang 𝜃1. Besar
medan datang dan transmisi adalah :
𝐸1(𝒓, 𝑡) = 𝐸1exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝒌𝟏∙ 𝒓])
𝐸2(𝒓, 𝑡) = 𝐸2exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝒌𝟐∙ 𝒓])
Definisikn 𝑛 =𝑛2
𝑛1 < 1, dan bidang batas kedua medium adalah di z=0 dan bidang datang XY.
a. Carilah sudut kritis 𝜃𝑐 yaitu sudut datang yang terkait dengan sudut bias 𝜃2= 𝜋
b. Misal sudut datangnya 𝜃1> 𝜃𝐶, tunjukkan bahwa gelombang transmisinya akan memiliki amplitudo mengalami
atenuasi sebesar 𝑒−𝛼𝑦 dengan :
𝛼 = 𝑘2√(
sin 𝜃1
𝑛 )
2
− 1
dan gelombang transmisinya menjalar sepanjang bidang batas (inilah gelombang evanescence).(point:15)
Answer:
a.Menurut hukum Snellius, sudut kritis ditentukan dari 𝑛1sin 𝜃1 = 𝑛2sin 𝜃2 → dengan 𝜃2= 𝜋 2 , sehingga 𝑛1sin 𝜃𝑐 = 𝑛2sin 𝜋 2→ sin 𝜃𝑐= 𝑛2 𝑛1= 𝑛 atau 𝜃𝑐 = arcsin (𝑛).
Karena 𝑛1> 𝑛2 maka n=n2/n1 < 1, jadi 𝜃𝑐 sudut real.
b. Misal vektor gelombang transmisi k2, atau secara eksplisit berarti : 𝒌𝟐 = 𝑘2(𝐢 sin 𝜃2− 𝐢 cos 𝜃2) (lihat gambar).
atau 𝒌𝟐= 𝑘2(𝐢 sin 𝜃2− 𝐣 √1 − sin2𝜃2). (1)
Jika sudut datang1 > c maka sin 𝜃1> sin 𝜃𝑐= 𝑛.
Menurut hukum Snellius 𝑛1sin 𝜃1= 𝑛2sin 𝜃2 .
Sehingga sudut bias 2 dihitung dari : sin 𝜃2=sin 𝜃1
𝑛 > 1. (2)
Akibatnya sudut 2 kompleks, Tapi nilai sinusnya tetap bisa diperoleh! (lihat 2) :
𝒌𝟐= 𝑘2(𝐢 sin 𝜃1 𝑛 − 𝐣 √1 − ( sin 𝜃1 𝑛 ) 2 )
Karena sin𝜃𝑛1> 1 maka nilai di bawah akar negatif, jadi k2 adalah vektor gelombang kompleks! Jadi gelombang
transmisinya menjadi:
𝐸2(𝒓, 𝑡) = 𝐸2exp 𝑖( 𝜔𝑡 − 𝑘2𝑥 sin 𝜃2− 𝑘2𝑦 cos 𝜃2)
𝐸2(𝒓, 𝑡) = 𝐸2exp 𝑖 ( 𝜔𝑡 − 𝑘2[𝑥 sin 𝜃1 𝑛 − 𝑖 𝑦 √( sin 𝜃1 𝑛 ) 2 − 1 ]) Definisikan konstanta 𝛼 = 𝑘2√( sin 𝜃1 𝑛 ) 2
− 1 yang berharga real, maka :
𝐸2(𝒓, 𝑡) = 𝐸2𝑒−𝛼𝑦 exp 𝑖 (𝜔𝑡 −
𝑘2sin 𝜃1
𝑛 𝑥)
Hal ini berarti gelombang transmisi menjalar sepanjang perbatasan (sejajar X) tetapi amplitudonya mengalami atenuasi di arah tegak lurus perbatasan (Y).
&&&&&&&&&&& NOV 2017 &&&&&&&&&&&& Y X k1 2 k2 1 n1 n2
