Bab 3 Bagian 3 VOLUME BENDA PUTAR

Bab 3

Bagian 3

INTRODUCTION

•Bola lam

pu di samping dapat

dipandan

g sebagai benda putar

jika kurv

a di atasnya diputar

menurut

garis horisontal.

•Pada po

kok bahasan ini akan

dipelaja

ri juga penggunaan

integral

untuk menghitung volume

Suatu daerah jika di putar mengelilingi

garis tertentu sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar. Kegiatan

pokok dalam menghitung volume

benda putar dengan integral adalah:

1. Partisi

,

2. Aproksimasi

,

3. Jumlahkan

,

4. Ambil limitnya

5. Nyatakan dalam integral tentu.

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram 2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

y 0 x y x 0 1 2 x -2 1 -y 1 2 3 4

Metode Cakram

Metode cakram yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan

volume mentimun dengan

memotong-motongnya sehingga tiap potongan

berbentuk cakram.

Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai

V  r2_{h atau} _V   _f(x)2_x.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V    f(x)2 _x V = lim   f(x)2 _x

dx

x

f

a 



0 2

)]

(

[

v



x h=x x x y 0 x y x a ) (x f ) (x f r

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 _{+ 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi}

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.

1. Gambarlah daerahnya

2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan

dalam bentuk integral.

y 2 x 1 2_ x x 1 2_ x y 1 y h=x x x 1 2_ x r x Jawab

y h=x x x 1 2_ x r V  r2_h V  (x2 _{+ 1)}2 _x V   (x2 _{+ 1)}2 _x V = lim  (x2 _{+ 1)}2 _x dx x V  2  0 2 2 ₁₎ (  dx x x V  2   0 2 4 _{2 1)} ( 





2 0 3 3 2 5 51 x x x V      (32₅  16₃ 2 0) 13₁₅11  V

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_{, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.}

Contoh 8.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 2 y y 2 x y  x y y x y h=y y y r Jawab

V  r2_h V  (y)2 _y V   y y V = lim  y y dy y V 



2 0







2 0 2 2 1 _y V 



) 0 4 (₂1   V x y h=y y y r 2 dy y V 



2 0   2  V

Metode Cincin

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan

memotong-motongnya yang potongannya

berbentuk cincin.

Menghitung volume benda putar

dengan menggunakan metode

cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume

cincin seperti gambar di

samping, yaitu V=



(R

2

_{– r}

2

_)h

h r

R

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 _{dan garis y = 2x diputar}

mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral. 4 y y = 2x 2 2 x y  x x x x2 2x y x Jawab

y x 4 y y = 2x 2 2 x y  x x x r=x2 R=2x V  (R2 _{– r}2_{) h} V   [ (2x)2 _{– (x}2₎2 _{] x} V   (4x2 _{– x}4_{) x} V    (4x2 _{– x}4₎ _x V = lim   (4x2 _{– x}4_{) x} dx x x V  2  0 4 2 ₎ 4 ( 





2 0 5 51 3 3 4 _{x x} V 





)

(

32₃



32₅





V

) (160₁₅96 



V



1564  V

Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.

r r h h 2r Δr V = 2rhΔr

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 _{, garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.}

Contoh 10.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

0 x 1 2 x x 2 x y  x2 y 1 2 3 4 Jawab

0 x 1 2 x x 2 x y  x2 y 1 2 3 4 r = x x h = x2 0 x 1 2 1 2 y 1 2 3 4 V  2rhx V  2(x)(x2_)x V   2x3_x V = lim  2x3_x dx x V  2_ 0 3 2





2 0 4 41 2 x V 





8  V

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi

secara

horisontal

dan

sebuah

partisi

diputar

mengelilingi

sumbu

y,

maka

partisi

tersebut

membentuk cincin. Volume benda putar tersebut

dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.

0 x 1 2 -2 -1 y 1 2 3 4 V  (R2 _{– r}2₎_y V  (4 - x2_)y V   (4 – y)y V = lim  (4 – y)y



y



dx V  4_  0 4 





4 0 2 21 4y y V     ) 8 16 (   V



8  V 0 x 1 2 x 2 x y  y 1 2 3 4 y r=x R = 2

Exercise

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... 0 X Y _yx2 2 4 dx x  2 0 2 dy y  4 0 dx x  4 0 2 dx x   2 0 2₎ 4 ( dx x   4 0 2₎ 4 ( Soal 1. A B C D E

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

Soal 1. dx x  2 0 2 dy y  4 0 dx x  4 0 2 dx x   2 0 2₎ 4 ( dx x   4 0 2₎ 4 ( A B C D E 0 X Y _yx2 2 4 x x 4 - x2  L  (4 – x2_{) x} L   (4 – x2_{) x} L = lim  (4 – x2_{) x}

dx

x )

4

(

L

2 0 2 





( Jawaban D ) Jawaban

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas 0 X Y 2 4 x y  

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas 0 X Y 2 4 x y   2 -2 x x  L  (4 – x2_{) x} L   (4 – x2_{) x} L = lim  (4 – x2_{) x}

dx

x )

4

(

L

2 2 2  





( Jawaban E )





2 2 3 3 1 4 L  x  x _ ) 8 ( ) 8 ( L ₃8 3 8      3 2 10 L 3 32   Jawaban

Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A B C D E Soal 3. 5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas 0 X Y 2 8 x y   x y 2

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 3. 5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas 0 X Y 2 8 x y   x y 2 2  L  (8 – x2_{-2x) x}

dx

x

x

2

)

8

(

L

2 0 2 







_{( Jawaban D )} 31

9

L

3 28









2 0 2 3 31

8

L



x



x



x

4

16

L





₃8



Jawaban

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 _{dan garis x + y = 2 adalah ….} A B C D E Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 _{dan garis x + y = 2 adalah ….} A B C D E Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas ( Jawaban B )  L  [(2 – y ) – y2 _{] y} dy x y ) 2 ( L 1 2 2      _4,5 2 9 L  





1 2 3 3 1 2 21 2 L     y y y ) 2 4 ( ) 2 ( L ₃8 3 1 2 1 _{    }   0 X Y 2 y x  y x 2 -2 1 Jawaban

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A B C D E Soal 5. 



4 0

x

dx

v







4 0 2

_dx

x

v







4 0

2

x

x

dx

v









2 0

(

16

)

2

y

dy

v







2 0

y

dy

v



0 X Y X y  4 2

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A B C D E Soal 5.   4 0xdx v    4 0 2 _dx x v    4 0 2 x x dx v     2 0(16 ) 2 y dy v    2 0ydy v  0 X Y X y  4 2 ( Jawaban D )  V 2xx x dx x x   4 0 2 V



Jawaban

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A B C D E Soal 6. 4satuan volum 6 satuan volum 8 satuan volum 12satuan volum 15satuan volum 0 X Y X y  4 2

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A B C D E Soal 6. 4 satuan volum 6 satuan volum 8 satuan volum 12satuan volum 15 satuan volum 0 X Y X y  4 2 ( Jawaban C )  V  (x)2 _x   4 0 V



xdx

 

4 0 2 21 V 



x



8 V  Jawaban